Lars Onsager i model Isinga, czyli fizyka statystyczna a przejścia fazowe

Jesienią 1945 roku także uczeni wracali do pokojowego życia. Hendrik Casimir, doktorant Ehrenfesta i asystent Wolfganga Pauliego w ETH w Zurychu, lata wojny spędził w okupowanej Holandii, pragnął się więc dowiedzieć od swego dawnego szefa, co wydarzyło się w fizyce po stronie alianckiej: w Wielkiej Brytanii i w Stanach Zjednoczonych. Pauli, który spędził ten czas w Princeton, stwierdził, że w gruncie rzeczy niewiele się wydarzyło, prowadzono wprawdzie wiele prac nad radarem czy bombą atomową, ale w oczach Pauliego niezbyt się te kwestie liczyły. Dla niego ważne były dokonania intelektualne, a nie techniczne zastosowania. Właśnie jako dokonanie tego rodzaju – „arcydzieło analizy matematycznej” wyróżnił Pauli pracę Larsa Onsagera nad modelem Isinga z roku 1941. Na pochwałę ze strony Pauliego wyjątkowo trudno było zasłużyć, słynął on z ostrych ocen wygłaszanych często wprost w oczy („to nawet nie jest źle”). Był też wirtuozem trudnych technik, to on pierwszy rozwiązał problem atomu wodoru w mechanice kwantowej, w jej wersji macierzowej, zanim jeszcze powstało równanie Schrödingera.

Norweg pracujący w Stanach Zjednoczonych, Lars Onsager należał do wielkich dziwaków nauki. Karierę zaczął od tego, że zgłosił się do Petera Debye’a w ETH, by mu powiedzieć, że jego teoria elektrolitów jest błędna. Szybko przeniósł się za ocean. Studenci nazywali prowadzony przez niego przedmiot „sadistical mechanics” – wykłady były trudne, matematyczne, wykładowca mówił z norweskim akcentem, a do tego zasłaniał swą dużą sylwetką tablicę. W Yale dopiero po zaoferowaniu mu posady postdoca zorientowano się, że Onsager, mimo dorobku naukowego wciąż nie ma doktoratu. Napisał więc doktorat o funkcjach Mathieu, z którym wydział chemii nie wiedział, co zrobić. W tej sytuacji matematycy zaproponowali, że mogą tę pracę uznać za doktorat na ich wydziale. Ostatecznie przyznano mu doktorat z chemii. Onsager w latach czterdziestych wykazał, że dwuwymiarowy model Isinga wykazuje przejście fazowe. Całości bardzo długiej pracy nigdy zresztą nie opublikował, lubił podsycać zainteresowanie kolegów na konferencjach, pisząc np. na tablicy postać uzyskanego przez siebie ścisłego wyniku. Konkurowali pod tym względem z Feynmanem, który też lubił nagle wtrącić w dyskusji jakiś niepublikowany dotąd wynik. Przez pewien czas obaj zajmowali się nadciekłością helu i nabrali do siebie wzajemnego respektu.

Przez ostatnie kilkadziesiąt lat podano wiele rozwiązań problemu Isinga, jednak choć krótsze niż oryginalna praca Onsagera, nadal wymagają one sporo pracy i dość zaawansowanych technik, toteż ograniczymy się poniżej do zarysowania kontekstu, w którym ta praca się pojawiła.

Model Isinga to wyprany z wszelkich zbędnych szczegółów model ferromagnetyka, czyli materiału takiego jak np. żelazo, wykazującego namagnesowanie. Każdy atom stanowi dla nas strzałkę, która może być skierowana do góry albo na dół, czyli przeciwnie do wektora pola magnetycznego albo zgodnie z nim. Nasze strzałki są skrajnie uproszczoną wersją igły kompasu: mogą mieć tylko dwa zwroty. Gdy strzałka skierowana jest zgodnie z polem, ma niższą energię, gdy przeciwnie – wyższą.

Energie równe są odpowiednio , gdzie jest tzw. momentem magnetycznym (np. elektron ma ściśle określony moment magnetyczny). Na razie mamy do czynienia z paramagnetykiem, bo nasze strzałki zwracają się chętniej równolegle do wektora pola niż antyrównolegle. Gdy jednak pole wyłączymy, prawdopodobieństwa obu orientacji staną się równe.

Model Isinga opisuje styuację, gdy rozmieszczone w sieci krystalicznej spiny-strzałki położone najbliżej siebie wolą ustawiać się zgodnie. Równoległe ustawienie najbliższych sąsiadów ma energię , antyrównoległe . Zauważmy, że teraz do energii dają wkład wszystkie pary najbliższych sąsiadów, czyli całkowita energia będzie sumą po linkach między sąsiadami (linki te zaznaczone są na czerwono). W przypadku dwywymiarowym zaznaczyliśmy energie dla tylko jednego spinu i jego sąsiadów, żeby nie zaśmiecać rysunku.

Ponieważ sąsiednie spiny chętnie ustawiają się równolegle, mamy w takim układzie do czynienia z bliskim porządkiem: nasi sąsiedzi mają te same poglądy co my, a przynajmniej korzystniejsze energetycznie jest, żeby mieli takie same poglądy. Pytanie podstawowe dla takiego układu brzmi: w jakich sytuacjach ten bliski porządek rozciągnie się na całą wielką sieć, dając zgodne uporządkowanie większości spinów – daleki porządek („prawie wszyscy mają takie same poglądy”). Mówimy tu o poglądach, bo model Isinga można stosować do opisu każdej sytuacji, gdy bliski porządek może wytworzyć porządek daleki. Stosuje się pewne warianty modelu Isinga do badania rozpowszechniania się plotek albo aktywności neuronów w mózgu. Rzecz więc nie musi dotyczyć tylko naszych strzałek-spinów i fizyki. My ograniczymy się tutaj do fizyki, ale warto sobie zdawać sprawę, że wiele zjawisk zbiorowych, kolektywnych można opisywać metodami fizyki.

Wracając do modelu Isinga: jego zachowanie będzie zależeć od temperatury, a ściślej mówiąc od porównania dwóch charakterystycznych energii: energii oddziaływania z energią termiczną , gdzie to stała Boltzmanna (inaczej mówiąc to temperatura wyrażona nie w stopniach, lecz w jednostkach energii). W niskich temperaturach dominować powinno uporządkowanie, w wysokich nieuporządkowanie. Gdzieś pomiędzy tymi dwoma obszarami następuje przejście fazowe ferromagnetyk-paramagnetyk (ferromagnetyk jest uporządkowany, ferrum to żelazo). Na symulacjach komputerowych sieci 400×400 atomów wygląda to tak.

konfiguracja całkiem chaotyczna, bez bliskiego porządku

(Obrazki uzyskane za pomocą programu Dana Schroedera)

Przed drugą wojną światową nie można było oczywiście zrobić takiej symulacji komputerowej. Poza tym istotne jest udowodnienie, czy rzeczywiście model Isinga wykazuje przejście fazowe, a jeśli tak to w jakiej temperaturze, co dzieje się w jej pobliżu itp. itd.

Zacznijmy od spinów nieoddziałujących, czyli pierwszego obrazka u góry. Podstawowe prawo fizyki statystycznej mówi, że prawdopodobieństwo danego stanu układu zależy od energii tego stanu:

gdzie jest stałą proporcjonalności. Jest to rozkład Gibbsa albo Boltzmanna-Gibbsa, choć można by go też nazywać rozkładem Boltzmanna-Gibbsa-Einsteina, ponieważ Einstein, pracownik Urzędu Patentowego, rozwinął tę technikę w wolnych od pracy chwilach. Boltzmann był tu prekursorem, ale zajmował się wyłącznie przypadkiem gazu. Gibbs uogólnił jego podejście i opublikował o tym książkę w Stanach Zjednoczonych, Einstein poznał ją po kilku latach i nawet stwierdził, że gdyby znał ją wcześniej, nie ogłosiłby trzech swoich prac z lat 1902-1904.

Dla spinu w polu magnetycznym mamy tylko dwa przypadki:

Średnia wartość spinu w kierunku pola równa jest

Dla układu spinów należy po prostu tę wartość przemnożyć przez liczbę spinów. Gdy wyrazimy pole w jednostkach , a wartość spinu jako ułamek wartości maksymalnej , otrzymamy po prostu wykres tangensa hiperbolicznego.

Gdy nie ma pola magnetycznego , wypadkowy kierunek spinu jest równy . Przy niewielkich wartościach pola (magnetyzacja) jest proporcjonalna do . Przy dużych wartościach osiągamy nasycenie – praktycznie wszystkie spiny ułożone są wówczas w jednym kierunku. (Tak się składa, że dla prawdziwego elektronu w polu magnetycznym wynik jest ten sam, choć spin elektronu różni się technicznie od naszej strzałki. Ale to tylko nawiasem. Pozostajemy przy strzałkach).

Uwzględnienie oddziaływań między spinami bardzo komplikuje problem, gdyż nie możemy już traktować spinów jako niezależne statystycznie. Na symulacjach u góry widać, że w różnych temperaturach wyniki są odległe od całkiem przypadkowego ułożenia, mamy do czynienia z bliskim porządkiem. Rozkład Gibbsa daje nam wtedy prawdopodobieństwa z osobna dla każdej konfiguracji spinów – jest ich . W dodatku, żeby uzyskać wiarygodne wyniki musimy uwzględnić dużo spinów, w skończonych próbkach przejścia fazowe się rozmywają. Jeśli chcemy coś udowodnić, trzeba umieć obliczyć granicę przy dążącym do nieskończoności (co było główną trudnością Onsagera przy rozwiązywaniu modelu 2D).

Prosty przybliżony sposób poradzenia sobie z uwzględnieniem oddziaływań podał Pierre Weiss. Nazywa to się dziś przybliżeniem pola molekularnego. Otóż orientacja sąsiadów wpływa na energię danego spinu poprzez wartości . Jeśli spin środkowy zwrócony jest ku górze, to energia oddziaływań z sąsiadami jest równa

gdzie to liczba sąsiadów z odpowiednią orientacją. Podobnie

Zauważmy, że obie nasz spin środkowy ma takie energie, jakby był w zewnętrznym polu magnetycznym o wartości . Jak dotąd wszystko jest ściśle, ale też i nic nie obliczyliśmy. Krok decydujący i przybliżony polega teraz na uznaniu, że możemy po prawej stronie ostatnich wyrażeń wstawić wartości średnie. Wtedy nasz spin znajduje się niejako w uśrednionym polu zewnętrznym – im bardziej spolaryzowani sąsiedzi, tym większa presja energetyczna na ustawienie się tak jak i oni. Zatem oddziaływania mogą wywierać taki sam skutek jak zewnętrzne pole magnetyczne. Uśrednione wartości liczby sąsiadów każdej orientacji są równe , gdzie jest całkowitą liczbą sąsiadów (dla łańcucha 1D , dla sieci kwadratowej 2D ). Możemy teraz wykorzystać wynik dla nieoddziałujących spinów i otrzymać równanie, które zawiera po obu stronach. Rozwiązując to równanie, dostaje się magnetyzację jako funkcję temperatury w tym przybliżeniu. Wygląda ona następująco (nie ma tu zewnętrznego pola magnetycznego, to, co obserwujemy jest wyłącznie skutkiem oddziaływania spinów):

Temperatura, przy której magnetyzacja spada do zera, to tzw. temperatura Curie (chodzi o doktorat Pierre’a Curie jeszcze przed ślubem z naszą rodaczką Marią Skłodowską). Oczywiście magnetyzacje dodatnie i ujemne są tak samo możliwe. Układ ochładzany poniżej ma tutaj dwie możliwości: zależnie od tego, co przeważy, wartości będą dodatnie bądź ujemne. Temperatura Curie równa jest

Opisane zachowanie jest całkiem rozsądne z eksperymentalnego punktu widzenia. Jednak ścisłe rozpatrzenie modelu Isinga dla przypadku łańcucha 1D przynosi niezbyt przyjemny wniosek: układ nie ma w ogóle fazy ferromagnetycznej. A więc w tym przypadku przybliżenie pola molekularnego zawodzi kompletnie. Wynik ten był treścią doktoratu Ernsta Isinga w roku 1924. Podał on też argumenty na rzecz braku uporządkowania dalekiego zasięgu (ferromagnetyzmu) także w przypadku 2D.

Następnym wydarzeniem w dziejach tego modelu był argument Rudolfa Peierlsa opublikowany w roku 1936. Peierls, wychowanek Sommerfelda i Heisenberga, asystent Pauliego w ETH, nie miał po roku 1933 czego szukać w swej ojczyźnie, stając się jeszcze jednym z wielkich uczonych wypchniętych z Niemiec nazistowskich na emigrację. Z czasem pracował on w programie Manhattan i brytyjskim Tube Alloys, otrzymał brytyjski tytuł szlachecki. Niemcy już nigdy nie odzyskały swoich uczonych i swojej pozycji naukowej sprzed wojny. Argument Peierlsa, choć nie do końca prawidłowy w jego sformułowaniu, dowodził, że w dostatecznie niskich temperaturach 2D model Isinga ma fazę ferromagnetyczną.

OPiszemy krótko argument Peierlsa w wersji Wipfa (Statistical Approach to Quantum Field Theory, 2013). Wybierzmy na początek wszystkie spiny do góry, jest to stan o najniższej energii. Stany o orientacji ujemnej będą tworzyły wyspy rozmaitej wielkości, które można zamknąć konturem. Zbiór takich zamkniętych konturów określa jednoznacznie konfigurację spinów. Kontury ważne są dlatego, że po ich obu stronach mamy spiny skierowane antyrównolegle, czyli utworzenie takiego kontury, ściany domenowej, wymaga energii , gdzie to długość konturu.

 

.

Można następnie pokazać, że prawdopodobieństwo utworzenia konturu o długości jest nie większe niż . Wynika to z rozkładu Gibbsa, po drodze robi się następującą sztuczkę: zmieniamy znaki wszystkich spinów wewnątrz konturu: sam kontur wówczas znika, natomiast pozostałe energie się nie zmieniają.

Następny krok to wybranie jakiegoś spinu nie leżącego na krawędzi. Chcemy oszacować prawdopodobieństwo, że nasz spin będzie ujemny. Musi on leżeć wewnątrz jakiejś ściany domenowej o pewnej długości . Możliwe wartości są parzyste, począwszy od (samotny spin ujemny). Oszacujmy liczbę konturów zawierających nasz spin i mających długość .

 

 

W tym celu prowadzimy od naszego spinu półprostą w prawo (szary kolor na rysunku). Musi ona przecinać jakiś pionowy kontur w jednej z odległości: Ostatnia z odległości odpowiada konturowi prostokątnemu o wysokości 1 i długości . Mamy więc tutaj możliwości. Startując z tego przecięcia i wykonując pętlę, mamy do zrobienia kroków, a w każdym nie więcej niż trzy możliwości. Zatem

Prawdopodobieństwo, że nasz wybrany spin jest ujemny jest więc mniejsze niż

gdzie . Łatwo sprawdzić, że prawa strona nierówności maleje z temperaturą, a więc dla dostatecznie niskiej temperatury prawdopodobieństwo może stać się mniejsze niż . Dotyczy to wszystkich spinów oprócz brzegu. A więc w dostatecznie niskiej temperaturze większość spinów będzie zwrócona tak jak na brzegu, czyli do góry.

W przypadku 2D wystąpuje więc faza ferromagnetyczna wbrew wnioskom Isinga. Onsager potrafił obliczyć funkcję po wszystkich konfiguracjach całej sieci. W roku 1948 obliczył też magnetyzację jako funkcję temperatury w tym modelu i napisał wynik na tablicy na dwóch różnych konferencjach. Ma ona następujący kształt.

Mimo upływu lat nie można uzyskać ścisłego rozwiązania 2D szybko, wszystkie metody są dość techniczne. Nie udało się też otrzymać rozwiązania w obecności pola magnetycznego. Także przypadek 3D pozostaje nierozwiązany, i to nie dlatego że nikt nie próbował. Kenneth Wilson, laureat Nobla za zjawiska krytyczne (a więc takie jak w modelu Isinga), wspominał w swoim wykładzie noblowskim, że kiedy jako świeżo upieczony naukowiec zastanawiał się nad przedmiotem badań dla siebie, poszedł zapytać Murraya Gell-Manna i Richarda Feynmana, nad czym aktualnie pracują. Gell-Mann pokazał mu model Isinga i powiedział, że gdyby udało mu się uzyskać rozwiązanie dla przypadku 3D, byłoby miło. Feynman, jak to Feynman – odrzekł, że nic nie robi.

Erwin Schrödinger: trzeci początek mechaniki kwantowej (1926)

Równanie Schrödingera zasługuje na swoją sławę: dzięki niemu znamy nie tylko budowę atomów, ale i cząsteczek chemicznych czy ciał skondensowanych. Wynikają z niego najprzeróżniejsze własności materii, która nas otacza, a także materii we wszechświecie. Jest więc równaniem niezwykle istotnym tak dla fundamentów fizyki, jak i dla zastosowań.

Autor najsłynniejszego równania dwudziestowiecznej fizyki aż do roku 1926 nie należał do ścisłej czołówki fizyków teoretycznych. Zaledwie osiem lat młodszy od Einsteina, dopiero od 1921 roku zajmował katedrę na uniwersytecie w Zurychu. Studiował w Wiedniu, zbyt późno by zetknąć się osobiście z Ludwigiem Boltzmannem czy Ernstem Machem, choć wpływ obu tych uczonych wciąż dawał się tam odczuć. Fizyki teoretycznej uczył się u Friedricha Hasenöhrla, bliskiego przyjaciela Mariana Smoluchowskiego. Do tej pory niewiele zajmował się teorią kwantową, ponieważ opierała się ona wciąż na bardzo grząskich podstawach, korzystając po trosze z fizyki klasycznej, a po trosze z postulatów kwantowania, wyraźnie z nią sprzecznych. Zwrócił jednak uwagę na pracę Louisa de Broglie na temat fal materii. Postulowała ona, że zarówno fotony, jak i inne cząstki mikroświata mają dualną naturę: zachowują się czasem jak cząstki, a czasem jak fale. Obowiązywał przy tym jeden uniwersalny przelicznik własności cząstkowych: energii i pędu na wielkości falowe: częstość (kołową) i liczbę falową ( jest długością fali). Współczynnikiem proporcjonalności w obu przypadakch miała być stała Plancka :

Felix Bloch, wówczas początkujący fizyk, tak wspomina wspólne kolokwia (dziś powiedzielibyśmy raczej seminaria) fizyków z uniwersytetu w Zurychu i z ETH, gdzie najważniejszą postacią był Peter Debye.

Pewnego razu pod koniec kolokwium Debye powiedział coś w tym rodzaju: „Schrödinger nie zajmujesz się teraz żadnym ważnym tematem. Może opowiedziałbyś nam któregoś dnia o tym doktoracie de Broglie’a, który, zdaje się, przyciągnął sporo uwagi”. Więc na jednym z następnych kolokwiów Schrödinger przedstawił cudownie przejrzysty wykład o tym, jak de Broglie wiąże fale z cząstkami i w jaki sposób zdołał on uzyskać reguły kwantyzacji Bohra i Sommerfelda (…) Kiedy skończył, Debye stwierdził od niechcenia, że taki sposób ujęcia jest raczej dziecinny. Jako student Sommerfelda nauczył się, że właściwy sposób podejścia do fal wiedzie przez równanie falowe. Brzmiało to dość trywialnie i na pozór nie zrobiło głębszego wrażenia, ale Schrödinger najwyraźniej wrócił później do tego pomysłu. Zaledwie kilka tygodni później dał następne kolokwium, zaczynając od słów: „Kolega Debye zasugerował, że należy mieć równanie falowe, toteż je znalazłem”. [„Physics Today”, t. 29 (1976), nr 12, s. 23-24]

Najwyraźniej w pierwszej chwili obaj nie zdawali sobie sprawy z wagi tych badań. Erwin Schrödinger dzięki pracom z końca roku 1925 i roku 1926 stał się błyskawicznie jednym z najgłośniejszych fizyków świata. Seria jego artykułów natychmiast zyskała uznanie. Chwalili je Albert Einstein i Arnold Sommerfeld, który wraz ze swymi uczniami rozwijał od lat fizykę kwantową. Napisał do niego sędziwy Hendrik Lorentz, który uważnie śledził nowości i miał parę istotnych uwag. Surowy i poważny Max Planck, profesor najbardziej prestiżowej katedry w Niemczech (co wtedy znaczyło: najbardziej prestiżowej na świecie) – na uniwersytecie w Berlinie, pisał entuzjastycznie do Schrödingera:

Czytam pański artykuł tak, jak ciekawe dziecko, słuchające w napięciu rozwiązania zagadki, nad którą się długo głowiło, i cieszę się bardzo wszystkimi pięknościami, jakie tam dostrzegam, choć muszę go jeszcze dokładniej przestudiować, by wszystko z niego pojąć.

Kiedy w grudniu 1925 roku Schrödinger znalazł swe równanie, był to trzeci początek mechaniki kwantowej albo – jak wolał o tym mówić autor odkrycia – mechaniki falowej. Na pierwszy rzut oka nie miało to nic wspólnego z teorią Heisenberga, Borna, Jordana i Diraca. U Schrödingera nie było żadnych skoków kwantowych, żadnych wielkości macierzowych, nieprzemiennych iloczynów. Język był całkowicie klasyczny – była to matematyka drgań, dobrze już wówczas opracowana. W roku 1924 wyszła dwutomowa monografia Methoden der mathematischen Physik („Metody fizyki matematycznej”) zredagowana przez Richarda Couranta i innych matematyków z Getyngi na podstawie wykładów Davida Hilberta. Zawierała ona wiele materiału, który miał się okazać potrzebny fizykom za kilka lat. Jak na ironię metody Hilberta zastosowali pierwsi nie fizycy z grupy Maksa Borna, pracujący przecież głównie pod bokiem Hilberta w Getyndze, ale Erwin Schrödinger, outsider i naukowy samotnik. Fizycy z Getyngi zlekceważyli nawet wyraźną sugestię Hilberta w jednej z rozmów, że powinni poszukać równania różniczkowego, które opisuje skwantowane wartości energii. Nie próbowali iść tym tropem, przekonani, że ich mechanika kwantowa jest czymś całkowicie nowym i nie może się zawierać w książce sprzed paru lat. Źle przyjęli też pracę Schrödingera, która wydawała się recydywą fizyki klasycznej, odwrotem od kwantowej rewolucji spod sztandaru Heisenberga.

Fizycy klasyczni znali wiele przypadków drgań układów rozciągłych, czyli fal stojących. Są one np. podstawą wytwarzania dźwięku w instrumentach muzycznych takich, jak organy, flet, trąbka czy skrzypce. Wiadomo, że zamocowana na końcach struna drgać może tylko z określonymi ściśle częstościami: podstawową oraz jej wielokrotnościami. Rozważano różne bardziej skomplikowane możliwości, pisaliśmy tu o rówieśniku Einsteina, fizyku z Getyngi, Waltherze Ritzu. Idea Schrödingera polegała na tym, by wartości energii w atomie potraktować analogicznie do częstości dźwięku w pudle rezonansowym, stosując równanie falowe. Ma ono w przypadku trójwymiarowym postać:

gdzie jest prędkością fal. Jeśli przyjmiemy, że nasze fale są okresowe i mają częstość , możemy rozwiązania zapisać jako

Drugą pochodna po czasie jest ta sama funkcja wykładnicza pomnożona przez stałą. Wstawiając to do równania falowego, otrzymujemy tzw. równanie Helmholtza (który pod koniec XIX wieku był profesorem w Berlinie):

W równaniu tym skorzystaliśmy z tego, że . Droga Schrödingera do odkrycia była dość zawikłana. Związki de Broglie’a są relatywistyczne, naturalne wydawało się więc zapisanie równania relatywistycznego. Jednak kiedy spróbujemy je rozwiązać w najprostszym przypadku atomu wodoru, okazuje się, że dopuszczalne energie nie zgadzają się z tym, co wcześniej, w starej teorii kwantów obliczył Sommerfeld i co zgadzało się z doświadczeniem (szczegóły można znaleźć u L. Schiffa, Mechanika kwantowa, s. 409 i n.). Dwa lata później sytuacja się wyjaśniła: potrzebne tu jest równanie Diraca. Dwa lata w tamtej chwili rozwoju fizyki to było więcej niż epoka, Schrödinger znajdował się dopiero u początków tej drogi i nie mógł wiedzieć, co stanie się dalej. Rozsądnie zdecydował się więc na przybliżenie nierelatywistyczne, robiąc niejako krok wstecz w porównaniu do de Broglie’a. Nie pójdziemy tu jego drogą, a właściwie kilkoma różnymi drogami, jakimi próbował uzasadnić swe równanie. Wybierzemy podejście najprostsze zaproponowane pół roku później przez Maksa Borna – musimy jednak pamiętać, że nie jest to wyprowadzenie. Nie można bowiem wyprowadzić praw mechaniki kwantowej z praw klasycznych. Dla cząstki o masie i całkowitej energii możemy napisać równanie zachowania energii:

gdzie jest energią potencjalną (pierwszy składnik to zwykła energia kinetyczna). Jeśli wyznaczymy z ostatniego równania i wstawimy do równania Helmholtza, otrzymamy tzw. równanie Schrödingera bez czasu:

Chcąc np. opisać ruch elektronu wokół nieruchomego jądra atomowego o ładunku , należy wstawić do równania Schrödingera energię potencjalną postaci

czyli zwykłą energię potencjalną przyciągania elektrostatycznego dwóch ładunków oraz w odległości . Szukamy takich funkcji , które daleko od jądra zanikają. Okazuje się, że rozwiązania takie są możliwe tylko dla dyskretnych wartości energii równych

 Jest to wynik uzyskany w roku 1913 przez Bohra z założeń, które od początku wydawały się aktem rozpaczy, a nie solidną nauką. Równanie Schrödingera miało więc sens, choć nadal brakowało pewnych elementów do kompletnej teorii. Jednym z najważniejszych było znaczenie samej funkcji . Kiedy w piszczałce organowej czy w rurce fletu wytwarzany jest dźwięk, wiemy, co drga – jest to powietrze, które ściśnięte się rozpręża, a rozprężone wraca do początkowej gęstości. Co drga w atomie wodoru? Jakie jest znaczenie funkcji ? Co gorsza, okazało się, że powinna ona mieć wartości zespolone, z pewnością nie było to żadne proste drganie klasyczne. Geniusz Schrödingera ujawnił się i w tym, że nie próbował odpowiedzieć na wszystkie pytania naraz i pozwolił swoim ideom rozwijać się w czasie. Publikacje uczonego z pierwszego półrocza 1926 roku wystarczyły na Nagrodę Nobla i objęcie w roku 1927 katedry w Berlinie po odchodzącym na emeryturę Maksie Plancku.

Erwin Schrödinger, człowiek wszechstronnie wykształcony, o szerokich zainteresowaniach, całkowicie zaprzecza ascetycznej wizji uczonego, który nie ma czasu na nic oprócz nauki. Wydaje się wręcz, że jego pomysłowość przy stworzeniu słynnego równania szła w parze z gorączką miłosną. Praca ta powstała w uzdrowisku Arosa, gdzie wybrał się w towarzystwie do dziś nie znanej flamy. Jego małżeństwo należało do nowoczesnych i partnerzy pozostawiali sobie bardzo wielką swobodę. Były przecież lata dwudzieste: kobiety odsłoniły nogi, tańczono charlestona, wszyscy chcieli zapomnieć o koszmarze niedawnej wielkiej wojny.

 

 

 

 

 

Albert Einstein o Hitlerze (1935)

W roku 1933 i latach następnych Adolf Hitler był w Niemczech niewątpliwie „człowiekiem roku”. Choć nigdy nie zdobył samodzielnej większości parlamentarnej, rządził, nie oglądając się na takie regulaminowe szczegóły. Zresztą opozycja najpierw była podzielona, później poparła go prawicowa DNVP, a jeszcze później rozwiązał wszystkie partie. Trudno dziś zrozumieć, co tak uwodzicielskiego miały wygłaszane przez niego paranoiczne brednie. Prawdopodobnie miliony ludzi pragnęły odreagować swoje własne upokorzenia i swoje własne niepowodzenia – Hitler był do nich podobny, lecz umiał to przekuć w sukces i władzę. Niemcy mieli kompleks osaczenia: wokół był zły świat, który dybał na ich dobrostan, nie pozwalał poszerzyć granic i miał pretensje o jakieś zbrodnie wojenne w Belgii. Zresztą wróg czyhał także wewnątrz: Żydzi knuli, spiskowali i manipulowali biednymi prostolinijnymi Niemcami.

„Berliner Illustrirte Zeitung”, która kiedyś zamieściła portret Einsteina, teraz miała nowych bohaterów.

Trudno wyobrazić sobie kogoś mniej podatnego na stadne emocje niż Einstein. Nie dlatego gardził Hitlerem, że był słynnym uczonym, którego nic w Niemczech nie trzymało. Gdyby nie odniósł sukcesu naukowego i pozostał nikomu nieznanym urzędnikiem biura patentowego, myślałby tak samo.

Każdy, komu sprawia przyjemność maszerowanie w szeregu przy dźwiękach muzyki, już przez to samo wywołuje we mnie uczucie pogardy; jedynie przez przypadek obdarzono go wielką mózgownicą, gdyż mlecz pacierzowy wystarczyłby najzupełniej na jego potrzeby. Ową hańbiącą plamę na honorze cywilizacji należałoby usunąć jak najprędzej. O jakże nienawidzę tego bohaterstwa na komendę, bezmyślnej przemocy i bogoojczyźniactwa [Vaterlenderei, słówko Nietzschego – J.K.]

A to jego niepublikowany tekst o Hitlerze. Nie został opublikowany prawdopodobnie dlatego, że mógłby zaszkodzić krewnym w Niemczech albo jego siostrze mieszkającej w faszystowskich Włoszech.

Ku wiecznemu wstydowi Niemiec rozgrywa się w sercu Europy groteskowy i tragiczny spektakl; nie przynosi on chwały wspólnocie narodów, które zwą się cywilizowanymi!

Przez wieki naród niemiecki poddawany był indoktrynacji przez niekończący się szereg nauczycieli i sierżantów od musztry. Niemców zmuszano do ciężkiej pracy i uczenia się wielu rzeczy, wpajając im jednocześnie ślepe posłuszeństwo, wojskową dyscyplinę i brutalność. Powojenna demokratyczna konstytucja Republiki Weimarskiej pasowała do obywateli Niemiec mniej więcej tak samo, jak szaty wielkoluda na Tomcia Palucha. Potem nadeszły inflacja i kryzys, i wszyscy żyli w strachu i napięciu.

Zjawił się Hitler, człowiek o miernych zdolnościach umysłowych, nienadający się do żadnej użytecznej pracy, zionący zawiścią i żółcią na wszystkich, których natura i okoliczności obdarzyły hojniej niż jego. Wywodząc się z dołów klasy średniej, miał na tyle dużo klasowej pychy, by nienawidzić nawet klasy pracującej walczącej o większą równość w poziomie życia. Najbardziej ze wszystkiego znienawidził jednak kulturę i wykształcenie, na zawsze mu niedostępne. W swym desperackim pragnieniu władzy odkrył, iż jego przemówienia, tak mętne i przesiąknięte nienawiścią, przyjmowane są z dzikim aplauzem przez tych, których sytuacja i orientacja podobne były do jego własnej. Pozbierał te ludzkie szumowiny na ulicach i w piwiarniach i zorganizował wokół siebie. W taki sposób rozpoczął karierę polityczną.

Tym jednak, co przesądziło o jego przywództwie, była nieprzejednana nienawiść do wszystkiego, co zagraniczne, a zwłaszcza jego odraza do bezbronnej mniejszości, niemieckich Żydów. Ich wrażliwość intelektualna wywoływała u niego niepokój, uznawał ją – do pewnego stopnia słusznie – za niegermańską.

Bezustanne tyrady przeciwko tym dwóm «wrogom» pozwoliły mu zdobyć poparcie mas, którym obiecywał wspaniałe triumfy i złoty wiek. Sprytnie wykorzystał do swoich celów odwieczne niemieckie zamiłowanie do dyscypliny, rozkazów, ślepego posłuszeństwa i okrucieństwa. W taki sposób został Führerem.

Pieniądze płynęły obficie do jego skarbca, w niemałej części od klas posiadających, bo te widziały w nim narzędzie, mogące zapobiec społecznemu i ekonomicznemu wyzwoleniu narodu, które zaczęło się w Republice Weimarskiej. Grał przed ludźmi, wykorzystując romantyczną i pseudopatriotyczną frazeologię, do której zostali przyzwyczajeni w okresie poprzedzającym wojnę światową, a także oszustwo o rzekomej wyższości rasy aryjskiej czy nordyckiej, które jest mitem wymyślonym przez antysemitów do realizacji ich złowieszczych celów. Jego rozszczepiona osobowość sprawia, iż nie można stwierdzić, w jakim stopniu on sam wierzy w ów nonsens, który wciąż propaguje. Jednakże ci, którzy się wokół niego zgromadzili albo którzy wypłynęli na powierzchnię na fali nazizmu, to w przeważającej części zatwardziali cynicy, dokładnie świadomi fałszu stosowanych przez siebie metod.

Tymczasem koledzy Einsteina, tacy jak Max Planck, starali się dbać o naukę niemiecką (nieco skurczoną po wyjeździe Żydów), wszystko inne traktując jako nienależące do ich obowiązków. Tutaj widzimy Maksa Plancka na rocznicowym zebraniu Kaiser-Wilhelm Gesellschaft w 1936 roku.

Można powiedzieć, że bez Einsteina wszystko szło nawet lepiej: Instytut Fizyczny tego towarzystwa po Einsteinie miał nowego dyrektora Petera Debye’a, który nareszcie zdobył fundusze na wzniesienie budynku dla tej placówki – częściowo pochodziły z Ministerstwa Lotnictwa, częściowo zaś z Fundacji Rockefellera. Holender z pochodzenia, wybitny fizyk, Debye, jak się zdaje, nie był nazistą, starał się być apolityczny; nawet gdy wyjechał później do Stanów Zjednoczonych, urządził to tak, że był tylko urlopowany z Instytutu i pozostawiona w Berlinie córka pobierała jego wynagrodzenie.

Po wojnie Otto Hahn zaproponował Einsteinowi członkostwo w nowym Max-Planck-Gesellschaft, założonym po likwidacji Kaiser-Wilhelm-Gesellschaft.

„Postawa niemieckich intelektualistów – rozpatrywanych jako klasa – nie była lepsza niż motłochu” – odpisał mu Einstein, uzasadniając odmowę. Nie zezwalał też na wznowienia swoich książek w Niemczech.

Co to znaczy być wielkim człowiekiem? Przypadek Alberta Einsteina

John G. Kemeny, matematyk, późniejszy współtwórca języka BASIC, był przez rok asystentem Einsteina. Miał 22 lata, kończył właśnie doktorat z podstaw matematyki u Alonzo Churcha w Princeton, i zgłosił się do Einsteina, zapewne wcześniej ktoś go polecił jako zdolnego młodego człowieka. Einstein kazał sobie ze szczegółami opowiedzieć, czego dotyczyła praca Kemeny’ego. Młody człowiek protestował, że nie chce zawracać mu głowy, ale Einstein nalegał. Przez pół godziny rozmawiali o pracy Kemeny’ego, po czym Einstein rzekł: „To teraz ja panu opowiem o mojej pracy”. I tak się zaczęła ich współpraca. Scena ta jest wielce charakterystyczna dla Einsteina, który zawsze wszystkich traktował jednakowo, lekce sobie ważąc atrybuty społecznego prestiżu: stanowiska, urzędy, bogactwo, specjalne stroje, uroczyste ceremonie. Kiedy dziennikarze nie dawali mu spokoju z okazji którychś urodzin, stwierdził, że takie uroczystości są dla dzieci.

Był niezwykle sławny, żaden uczony przed nim nie był postacią tak bardzo rozpoznawalną. Oczywiście, duży udział miały w tym media, które w tym okresie zaczęły posługiwać się obrazem. Dziennikarze robili sensację z tego, że ukończył nową pracę, jak i z tego, że nie nosi skarpetek. Skąd jednak brała się niezmienna i autentyczna fascynacja szerokiej publiczności jego osobą? Większość czytelników prasy niewiele przecież rozumiała z naukowych osiągnięć Einsteina. Wiadomo było tylko, że dotyczą spraw fundamentalnych: pojmowania przestrzeni, czasu, rozchodzenia się światła, wszechświata jako całości. Jego odkrycia sięgały naszych elementarnych pojęć, wydawały się paradoksalne: czas może inaczej płynąć dla różnych obserwatorów, przestrzeń może być nieograniczona, lecz skończona, a każde dwie linie proste gdzieś się przecinają, światło jest przyciągane przez Słońce. Niewątpliwie pobudzało to wyobraźnię, zmieniało sposób widzenia świata, nawet jeśli się nie było naukowcem.

Jednak publiczny wizerunek Einsteina nie ograniczał się do nauki. Był jeszcze Einstein – persona publiczna, człowiek prosty w obejściu, bezpośredni, obdarzony poczuciem humoru, ciepły. Zabierał głos w sprawach, które wydawały mu się ważne: sprzeciwiał się bezmyślnemu hurrapatriotyzmowi niemieckiemu podczas I wojny światowej, po wojnie zabiegał o to, by jego rodaków nie traktować z niewspółmierną surowością. Gdy z Europy wschodniej, w tym z Polski, napływać zaczęli żydowscy uchodźcy, Einstein domagał się dobrego ich traktowania. Prowadził nawet osobny wykład, na który owi Ostjuden mogli uczęszczać, uniwersytet bowiem stawiał przeszkody formalne. Ze wschodniej Europy wywodziło się zresztą świetne grono żydowskich matematyków i fizyków, którzy w większości trafili później do Stanów Zjednoczonych. Einstein dopiero w okresie po I wojnie zaczął się zastanawiać nad swoją żydowską tożsamością, zaczął popierać syjonistów, raczej przez rozum, nigdy nie podzielał bowiem ich religijnego entuzjazmu. Był pacyfistą, dopóki Hitler nie doszedł do władzy i nie zmusił go do rewizji poglądów. Był socjalistą, niepraktykującym w żadnej partii, lecz wierzącym, że społeczeństwa powinny być zorganizowane na zasadach równości i bardziej sprawiedliwego podziału dóbr. W czasach nazizmu jako jeden z pierwszych nie miał złudzeń co do charakteru tego, co nastąpi. Wywoływał u hitlerowców furię, ponieważ jego głos był słyszalny na całym świecie. Pomagał uchodźcom z Niemiec i z Włoch, wystawiał niezliczone opinie i zaświadczenia o pomocy materialnej – niezbędne, aby dostać się do Stanów Zjednoczonych. Także w Stanach Zjednoczonych został zaangażowanym obywatelem, wypowiadającym się na ważne tematy. Charakterystyczny dla jego postawy publicznej był brak interesowności: nie kandydował do niczego ani nie kierowały nim inne motywy niż głębokie wewnętrzne przekonanie. Sądził, że sława naukowa zobowiązuje go do służenia swoim czasem i nazwiskiem (a często także pieniędzmi) wtedy, gdy można komuś pomóc albo gdy jego głos może wpłynąć na postawę innych. Odpisywał na wszystkie listy, które wydawały mu się istotne, zachowywał się tak samo wobec dzieci, jak i prezydentów. Przyjaźnił się z belgijską królową, małego sąsiada w Princeton nauczył jeździć na rowerze. Kolega uczonego z Instytutu Badań Zaawansowanych, Erich Kahler, pisarz i historyk idei, opowiadał, że kiedyś taksówkarz w Nowym Jorku powiedział mu, że sama świadomość, iż na świecie żyje Albert Einstein, sprawia, że czuje się mniej samotny.

Związek między działalnością publiczną a naukową nie był u Einsteina przypadkowy. W jego pojęciu wybitny uczony powinien być zarazem dobrym człowiekiem. Zachwycał się młodym Nielsem Bohrem, kiedy go poznał osobiście: że taki wybitny naukowo i że jest szlachetnym człowiekiem. Bolało go, gdy działo się inaczej, nieważne czy teraz, czy kiedyś. Niedługo przed śmiercią zwierzał się, że bolała go małostkowość Galileusza, który ignorował i lekceważył osiągnięcia Keplera.

Rysunek Maksa Liebermanna. „Obraz bardziej przypominał jego niż mnie, co mu zresztą wyszło na dobre”.

Był uczonym, który zawsze czuł pewne wyrzuty sumienia na myśl, że zajmuje się sprawami tak abstrakcyjnymi i odległymi od codzienności. Często mawiał, że nauką najlepiej zajmować się po godzinach pracy – człowiek zachowuje wówczas całe prawo do błędów i nie czuje presji uzyskiwania ciągle oryginalnych wyników. Dla niego praca naukowa była mierzeniem się z problemami zasadniczymi, przedsięwzięciem obarczonym ogromnym ryzykiem niepowodzenia. Inna działalność go po prostu nie interesowała.

Nadużywa się słowa geniusz w odniesieniu do Einsteina. Nie był on jakimś nadczłowiekiem, supermózgiem przerastającym nawet najwybitniejszych swoich kolegów o klasę. Z pewnością Wolfgang Pauli albo Paul M. Dirac nie byli gorzej wyposażeni umysłowo. Jednak pod względem osiągnięć Einstein ustępuje może tylko Isaakowi Newtonowi. Lew Landau miał ranking fizyków w skali logarytmicznej (każde przesunięcie o jednostkę oznaczało wielokrotny spadek możliwości intelektualnych). Newton miał 0; Einstein 0,5; Dirac, Heisenberg i Bohr: 1 (sobie Landau przyznawał 2 – a był wybitny nawet jak na noblistę). Oczywiście, to tylko rodzaj zabawy. Liczą się najróżniejsze cechy jakościowe umysłu, a nie jakaś abstrakcyjna sprawność.

Siłą Einsteina i jego obsesją była jedność fizyki, poszukiwanie coraz ogólniejszych zasad, wyszukiwanie sprzeczności między różnymi teoriami. To on pierwszy postawił na porządku dziennym kwestię istnienia jednej wszechobejmującej teorii fizycznej, teorii wszystkiego, jak się to później utarło nazywać. Sam Einstein pisał o tym kiedyś do swego przyjaciela Paula Ehrenfesta, starając się go pocieszyć, gdyż Ehrenfest był nadmiernie krytyczny wobec swoich możliwości naukowych (co zapewne było jedną z przyczyn jego samobójstwa). „Istnieją tacy, którzy mają dobrego nosa do zasad podstawowych [Prinzipienfuchser] i wirtuozi (…) – pisał – wszyscy trzej [razem z Bohrem – J.K.] należymy do tego pierwszego rodzaju i nie mamy (a na pewno my dwaj) talentu wirtuoza. (…) Efekt spotkania z wybitnym wirtuozem (Born albo Debye): zniechęcenie. Działa to zresztą podobnie w drugą stronę”. Rzeczywiście Einstein i Ehrenfest (a także Bohr) rzadko prowadzili długie obliczenia, a jeśli już to robili, to często się mylili. Ich przewaga była w tym, że z góry potrafili sobie wyobrazić, jaki powinien być wynik, byli intuicjonistami. O pracy Bohra na temat linii widmowych Einstein wypowiedział się, że to „najwyższy stopień muzykalności w dziedzinie myśli” [przeł. J. Bieroń]. Einstein całkiem świadomie nie interesował się szczegółowym opracowaniem pewnych idei, nawet gdy pochodziły od niego. Stwierdził np., że ciepło właściwe w bardzo uproszczonym modelu kryształu powinno spadać wraz z temperaturą. I to mu wystarczyło. Zbadanie bardziej rozbudowanych modeli, lepiej odpowiadających obserwacjom, zostawił kolegom Peterowi Debye’owi i Maksowi Bornowi. Einsteina interesowało kwantowanie, a nie szczegółowe zachowanie różnych kryształów. Jego praca od lat dwudziestych wyglądała najczęściej tak, że miał jakiegoś kompetentnego matematyka do pomocy. Byli to zwykle ludzie po doktoratach, czasem niedługo przed profesurą. Oni wykonywali większość obliczeń, Einstein decydował, co robić dalej. Mówi się czasem, że byli to asystenci Einsteina – bardzo buntował się przeciw takiemu określeniu Leopold Infeld. Z pewnością w wielu przypadkach ich wkład był poważny, ale niemal zawsze były to prace Einstein+X, gdzie X nie był uczonym klasy powiedzmy Landaua (jedynym wyjątkiem była krótka praca z Paulim). Nastawienie na podstawowe zasady towarzyszyło Einsteinowi od samego początku, rzadko też korzystał z wyników eksperymentalnych: albo były one stare i znane (jak ciepło właściwe diamentu albo obrót peryhelium Merkurego), albo ich jeszcze wcale nie było.

Einstein nie był też rasowym matematykiem (w odróżnieniu od Isaaka Newtona czy Edwarda Wittena). Teorie matematyczne interesowały go tylko o tyle, o ile mogły mu się przydać. Ponieważ jednak nie miał czysto matematycznej wyobraźni, więc jego prace w drugiej połowie życia w pewnym sensie nie mogły się udać. Stracił bowiem intuicyjne oparcie w fizyce, a zajął się teoriami, których zasada konstrukcyjna była czysto matematyczna, formalna. Wyszła z tego fizyka matematyczna – czyli coś w rodzaju świnki morskiej (ani świnka, ani morska). Oczywiście, wyostrzam sytuację, te nieudane prace Einsteina wystarczyłyby komu innemu na całkiem przyzwoitą karierę. Są one nieudane jedynie w tym sensie, że nie będziemy się o nich uczyć w podręcznikach.