Einstein dla użytkowników GPS

Teoria względności przewiduje, że odstęp dwóch zdarzeń w czasie nie jest taki sam dla wszystkich obserwatorów, lecz zależy od układu odniesienia. Okazuje się, że poprawki wynikające z teorii względności konieczne są do prawidłowego działania GPS. Inaczej mówiąc, używając nawigacji samochodowej, testujemy teorię względności (nie jest to test bardzo wymagający, istnieją znacznie lepsze).
Satelity tworzące GPS, czyli Global Positioning System, krążą wokół Ziemi po orbitach o okresie dokładnie pół doby (doby gwiazdowej, równej około 23 godziny 56 minut), w ten sposób pojawiają się w łatwo przewidywalny sposób nad tymi samymi punktami Ziemi. Pojęciowo prostsze byłyby satelity z okresem równym dobie – stacjonarne, które nie poruszają się względem obserwatora na Ziemi – ale mają one tę wadę, że ich orbity leżą zbyt daleko od powierzchni Ziemi i łączność z nimi byłaby trudniejsza (wystarczy porównać odbiornik GPS z anteną TV satelitarnej, aby dostrzec różnicę). Satelity GPS wysyłają sygnały radiowe z zakodowanymi danymi o swym położeniu w chwili wysłania (współrzędne x, y, z) oraz chwili wysłania sygnału (t). Gdy odbiornik GPS może korzystać z co najmniej czterech satelitów jednocześnie, może obliczyć cztery współrzędne swego położenia w czasoprzestrzeni, tzn. trzy współrzędne przestrzenne i czas. Jeśli satelitów jest więcej, to tym lepiej. Jeśli nie potrzebujemy aż tylu danych (np. znamy swoją wysokość), to wystarczy mniejsza liczba satelitów. Liczba 4 bierze się stąd, że trzeba rozwiązać cztery równania, aby otrzymać cztery współrzędne: krótko mówiąc nasza czasoprzestrzeń jest czterowymiarowa.
Dwie największe poprawki relatywistyczne (tzn. wynikające z teorii względności) wynikają z faktu, że satelita porusza się względem Ziemi ze sporą prędkością oraz z wpływu pola grawitacyjnego Ziemi na szybkość upływu czasu. Rozpatrzymy je po kolei.
W teorii względności poruszający się zegar tyka wolniej niż spoczywający. Aby to wykazać, przyjrzyjmy się działaniu zegara szczególnego rodzaju: tworzą go dwa zwierciadła, między którymi odbija się impuls świetlny. Odstęp czasu między kolejnymi odbiciami jest tyknięciem zegara.

dilation

Zachodzą one w odstępach \Delta t=\frac{2L}{c} (gdyby zwierciadła były mniej więcej w odległości Ziemia-Księżyc, tyknięcia następowałyby co 1s). Gdy zegar się porusza, impuls światła ma do przebycia dłuższą drogę. Dłuższa droga oznacza dłuższy czas, bo światło zawsze podróżuje z taką samą prędkością c bez względu na to kto, je obserwuje. Reszta jest prostą matematyką: wydłużoną drogę możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa. Po przekształceniach otrzymamy czas między tyknięciami poruszającego się zegara:

\Delta t'=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Nieistotne jest, że w naszym doświadczeniu myślowym używaliśmy zegara o szczególnej konstrukcji, wszystkie prawidłowo skonstruowane zegary będą wskazywały to samo. Późni się zatem nie zegar, ale czas. Sekundy poruszającego się zegara są dłuższe. Satelity GPS krążą po orbicie o promieniu 26600 km, znamy ich czas obiegu, łatwo więc obliczyć prędkość (3,9 km/s). Wielkość opóźnienia zegara przy tej prędkości satelity będzie na dobę równa około 7 μs=7·10-6 s.

Rozpatrzmy teraz wpływ pola grawitacyjnego na upływ czasu. Znowu posłużymy się wyobrażonym eksperymentem, nawiasem mówiąc takie Gedankenexperimente były ulubionym narzędziem pracy Alberta Einsteina. Rozumowanie poniżej pochodzi od niego.

wieza

Zaczynamy od tego, że mamy pewne ciało o masie m u szczytu wieży. Jego energia to wyłącznie energia spoczynkowa dana słynnym wzorem E=mc^2. Gdy pozwolimy naszemu ciału spaść z wieży, jego energia kinetyczna powiększy się kosztem energii potencjalnej pola grawitacyjnego. Przyrost energii kinetycznej będzie więc równy mgh. Wyobraźmy sobie teraz, że całą energię ciała u stóp wieży zamieniamy na energię fotonu, cząstki światła, i foton ten wysyłamy ku górze. Kiedy doleci do szczytu wieży, zamieniamy jego energię z powrotem na masę (takie zamiany są dozwolone, byle tylko energia się przy tym nie zmieniała). Gdyby u szczytu wieży energia fotonu była taka sama jak na dole, mielibyśmy darmowe źródło energii: powtarzając cyklicznie ten proces za każdym spadkiem masy zyskiwalibyśmy na czysto różnicę energii potencjalnej mgh. Nie można jednak zbudować maszynki do czerpania darmowej energii. Wobec tego nasz foton musi mieć u szczytu wieży energię mniejszą i to dokładnie w takim samym stosunku co energie ciała o masie m u dołu i u góry:

\frac{E(h)}{E(0)}=\frac{mc^2}{mc^2+mgh}\approx 1-\frac{gh}{c^2}

(Ostatnia przybliżona równość wynika z faktu, że gh\ll c^2.) Energia fotonu jest ściśle proporcjonalna do jego częstości (związek między tymi wielkościami to bardzo fundamentalne prawo kwantowe. Testujemy je codziennie, używając fotokomórek np. w pilotach do sprzętu elektronicznego albo przechodząc przez automatycznie otwierane drzwi). Wobec tego, gdy światło porusza się ku górze w polu grawitacyjnym, jego częstość maleje. Częstość to liczba drgań w sekundzie. Wobec tego okres fotonów niżej \Delta t' jest w  w takiej samej proporcji krótszy od okresu okresu fotonów wyżej  \Delta t:

\Delta t'=\Delta t \left(1-\frac{gh}{c^2}\right).

Odstęp czasu mierzony zegarem niżej jest krótszy niż odpowiadający mu odstęp czasu mierzony zegarem wyżej. Gdy obliczymy wielkość tego skrócenia dla satelity GPS na dobę, otrzymamy -45 μs=-45·10-6 s (*). W sumie oba te efekty prowadzą do spieszenia się zegara na satelicie w stosunku do zegara na Ziemi o -38 μs=-38·10-6 s . Nie jest to długi czas, ale światło przebywa w nim 11 km – gdyby nawigacja samochodowa pomyliła się o 11 km, byłaby do wyrzucenia.

(*) Uwaga do obliczenia
Satelity GPS są na tyle wysoko, że zamiast wzoru mgh na energię potencjalną, musimy do obliczeń zastosować dokładniejsze wyrażenie. Wystarczy tu jednak zwykła newtonowska szkolna fizyka:

E_p=-\frac{GMm}{r}.

(G jest stałą grawitacyjną, M – masą Ziemi, r – odległością od środka Ziemi). Komplikacja wynika stąd, że przyspieszenie grawitacyjne Ziemi maleje z odległością.

Advertisements

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s