Hendrik Casimir: Czy próżnia może przyciągać? (1948)

Najważniejszym odkryciem kosmologicznym końca wieku XX było stwierdzenie, że ekspansja wszechświata przyspiesza. Można ten fakt opisać za pomocą energii próżni – zwanej zwykle ciemną energią. Pojęcie energii próżni pojawiło się w fizyce wraz z teorią kwantową zastosowaną do pola elektromagnetycznego. W roku 1948 Hendrik Casimir wykazał, że energia próżni może zostać zmierzona, a właściwie zmierzyć można jej zmiany. Dwie nienaładowane płytki z przewodnika umieszczone blisko siebie powinny się przyciągać. W zasadzie nie ma w tym nic szczególnie dziwnego: są to siły van der Waalsa wynikające z faktu, że wewnątrz przewodników mamy swobodne ładunki, które mogą się przemieszczać. Ponieważ ładunki różnoimienne się przyciągają, a jednoimienne odpychają, a siła zależy od odległości, więc wypadkowa siła wcale nie musi równać się zeru. Casimir wraz z Dirkiem Polderem wyprowadzili kwantowy wzór na oddziaływanie atomu z nienaładowaną płytką przewodnika. Wynik okazał się prosty, Casimir zajął się więc jeszcze prostszym przypadkiem dwóch równoległych płytek idealnego przewodnika. Okazało się, że siłę można w tym przypadku znaleźć, odwołując się jedynie do energii próżni. Podejście takie zasugerował mu Niels Bohr. Pokażemy w skrócie, o co chodzi. Wyobraźmy sobie dwie równoległe płytki z przewodnika. Pole elektryczne powinno w przewodniku znikać. Wobec tego dopuszczalne konfiguracje pola w obszarze między przewodnikami, to fale, które są równe zeru na obu przewodnikach.

harms_anim

 

Dla uproszczenia nie będziemy rozpatrywać innych fal niż prostopadłe do naszych powierzchni, rozpatrujemy właściwie przypadek jednowymiarowy, ale nie ma to wpływu na istotę rozumowania. Takie fale stojące powstają na przykład w strunie zamocowanej na obu końcach. Istnienie takich fal jest właściwie najstarszym odkryciem fizyki matematycznej, bo przypisywane jest Pitagorasowi. Instrumenty muzyczne wytwarzają dźwięk będący złożeniem pewnej liczby takich dopuszczalnych fal: słyszymy to jako wysokość dźwięku – odpowiadającą fali o najniższej częstotliwości f oraz jego barwę – zależną od fal o częstotliwościach 2f, 3f, 4f, \ldots. Nasze fale stojące mają całkowitą liczbę połówek fali na odległości x między płytkami:

n\dfrac{\lambda_n}{2}=x \mbox{ zatem } f_n=nf=\dfrac{nc}{2x},

gdzie \lambda_n jest długością fali, f_n – częstotliwością, a c – prędkością rozchodzenia się fal. W naszym przypadku chodzi o fale elektromagnetyczne, więc c powinno być prędkością światła. Klasycznie biorąc, każda z dopuszczalnych fal może mieć dowolne natężenie. Chcąc obliczyć energię pola elektromagnetycznego w obszarze między płytkami, powinniśmy zsumować wkłady do energii od każdego z dopuszczalnych rodzajów fali stojącej. Nasze pole elektromagnetyczne należy traktować jako kolekcję niezależnych oscylatorów (czegoś w rodzaju wahadła albo masy na sprężynie) o częstotliwościach danych przez ciąg wartości nf. Nie jest to oczywiste, ale udowadnia się ten fakt w podręcznikach. Energia jest sumą energii tych oscylatorów: gdy nie występuje jakiś rodzaj fal, to jego wkład do energii powinien być równy zeru, gdy amplituda danego rodzaju fali jest duża, to i jego wkład do energii powinien być duży.

W tym miejscu przychodzi pora na użycie fizyki kwantowej. Otóż kwantowy oscylator nie może być zupełnie nieruchomy. Wynika to z zasady nieoznaczoności Heisenberga. Wyobraźmy sobie np. elektron zamknięty w dołku potencjału. Nieruchomy oscylator oznaczałby w tym przypadku, że możemy zmierzyć jednocześnie położenie elektronu (dokładnie na dnie dołka) oraz jego pęd (nieruchomy – więc pęd równy zeru). Takie stany są niemożliwe w przyrodzie. Dlatego np. dwuatomowa cząsteczka, w której atomy drgają, zbliżając się i oddalając od siebie, drga nawet w stanie o najmniejszej energii. Z tego samego powodu kryształ złożony z atomów także drga, nawet w temperaturze zera bezwzględnego. Nasze oscylatory są bardziej abstrakcyjne, ale stosuje się do nich ta sama zasada. Najniższa energia oscylatora o częstotliwości f równa jest w fizyce kwantowej

E=\dfrac{1}{2}hf \mbox{ (*),}

gdzie h jest stałą Plancka. Pojawia się ona we wszystkich wzorach fizyki kwantowej. Ponieważ w zwykłych jednostkach SI jest ona rzędu 10^{-33}, energie dane powyższym wzorem będą bardzo małe. Możemy na to spojrzeć inaczej: stała Plancka informuje o wielkościach atomowych, a układ jednostek SI jest dopasowany do masy, długości itp. w skali ludzkiej. To my jesteśmy ogromni w skali atomowej.

Energia próżni między naszymi płytkami powinna być sumą wyrażeń typu (*) dla każdego rodzaju drgań:

E(x)=\dfrac{hc}{4x}+2 \dfrac{hc}{4x}+3 \dfrac{hc}{4x}+\ldots=\dfrac{hc}{4x}(1+2+3+\ldots),

widzimy, że dostaliśmy szereg liczb naturalnych, który jest rozbieżny. Na szczęście wiemy, że szereg ten ma sumę równą -\frac{1}{12}, toteż możemy napisać:

E(x)=-\dfrac{hc}{48x}.

Energia rośnie wraz z odległością płytek, znaczy to, że się one przyciągają (siła to pochodna ostatniego wyrażenia po x). Podobny wynik otrzymuje się dla realistycznego przypadku płytek w trójwymiarowej przestrzeni, będą się one przyciągać z siłą zależną od odległości w czwartej potędze, a nie w drugiej jak u nas.
Efekt Casimira został potwierdzony doświadczalnie, co jest trudne, bo w praktyce chodzi o bardzo niewielkie odległości i znikome siły. Nie ma jednak wątpliwości, że jest to realne zjawisko. Bardziej dyskusyjny jest jego status teoretyczny: niektórzy traktują go jak dowód na realność energii próżni. W ten sposób efekt ten mógłby mieć coś wspólnego z kosmologią i ciemną energią. Rzecz jest jednak dyskusyjna. Por. np. R. L. Jaffe, Casimir effect and the quantum vacuum,„Phys.Rev. D”, t. 72, 021301(R) (2005)

PS. Niefrasobliwa matematyka, którą tu zastosowaliśmy, może zostać uzasadniona poprzez regularyzację, tak samo jak zrobiliśmy to poprzednio. Dołączenie do szeregu energii kwantowych jakiegoś czynnika obcinającego przy dużych energiach ma pewien sens: skrajnie krótkie fale nie powinny wpływać na to, co dzieje się w odległości x: one po prostu „nie widzą”, że płytki są od siebie w skończonej odległości. Moglibyśmy więc wprowadzić jakąś maksymalną energię, W powyżej której wkłady są silnie tłumione, np. mnożone przez czynnik

\exp{(-\dfrac{nhc}{4xW})}. Teraz sumę energii można zapisać:

E(x)=\dfrac{hc}{4x}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\exp{(-\dfrac{nhc}{4xW})}.

Sumę ostatniego szeregu można obliczyć ściśle. Dla dużych wartości W nasza suma przyjmie postać (por. wyrażenie \tilde{s}_1 w poprzednim wpisie):

E(x)=\dfrac{hc}{4x}\left(\dfrac{4Wx}{hc}\right)^2-\dfrac{1}{12}\cdot\dfrac{hc}{4x}+\ldots

E(x)=\dfrac{4W^2x}{hc}-\dfrac{hc}{48x}+\ldots,

gdzie niewypisane wyrazy maleją wraz ze wzrostem W. Kłopotliwy jest pierwszy wyraz, który dąży do nieskończoności, gdy W rośnie. Można się go pozbyć zestawiając układ trzech płytek w odległościach x oraz L-x od siebie, przy czym wyobrażamy sobie, że L\gg x.

casimir

Suma energii próżni między pierwszą oraz drugą parą płytek wynosi

E(x)+E(L-x)=\dfrac{4W^2L}{hc}-\dfrac{hc}{48x}-\dfrac{hc}{48(L-x)}+\ldots.

Pierwszy, potencjalnie nieskończony składnik nie zależy od x, a więc i od położenia środkowej płytki. Trzeci składnik jest bardzo mały, gdy L>>x. Zostaje więc tylko drugi składnik. Odejmowanie potencjalnie nieskończonych wyrażeń od siebie to częsta praktyka w kwantowej teorii pola, jeśli zachować ostrożność, nie rodzi to kłopotów.

Advertisements

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s