Albert Einstein: Najszczęśliwsza myśl i światło w polu grawitacyjnym (1911)

Siedziałem sobie właśnie w biurze patentowym w Bernie, gdy nieoczekiwanie przyszła mi do głowy pewna myśl: człowiek spadający swobodnie nie będzie odczuwał własnego ciężaru. Byłem doprawdy wstrząśnięty. Ta prosta myśl wywarła na mnie ogromne wrażenie i stała się impulsem do stworzenia teorii grawitacji” [A. Einstein, Einstein w cytatach. Pełne wydanie, przeł. M. Krośniak, s. 356.]

Czego dotyczył ów wstrząs? Einstein pisał w tym czasie (koniec roku 1907) artykuł przeglądowy o teorii względności, opublikowanej ledwie dwa lata wcześniej. Już Galileusz zauważył, że w polu grawitacyjnym wszystkie ciała spadają jednakowo (z dokładnością do oporu powietrza) – tego właśnie miał dotyczyć słynny eksperyment ze zrzucaniem kul z krzywej Wieży w Pizie (najprawdopodobniej zresztą apokryficzny). W prawach Newtona pojęcie masy pojawia się w dwóch różnych sytuacjach; raz w II zasadzie dynamiki:

a=\dfrac{F}{m_i},

a drugi raz w prawie powszechnego ciążenia:

F_g=\dfrac{GM_g m_g}{r^2}.

Dla przejrzystości oznaczyłem je innymi indeksami: m_i – to masa bezwładnościowa (inercyjna), m_g – masa grawitacyjna. Ponieważ oba rodzaje masy wchodzą do różnych praw, więc można je mierzyć niezależnie od siebie. Wiadomo, że oba te rodzaje masy są równe, tzn. są do siebie proporcjonalne, a ich jednostki zostały tak wybrane, żeby nie komplikować całej sprawy. Wskutek tej równości, gdy podstawimy siłę grawitacyjną F_g wywieraną na masę m_g do II zasady, to obie masy się skrócą i przyspieszenie nie będzie od niej zależeć.

Gdy nasz układ odniesienia porusza się z przyspieszeniem (np. hamujący autobus), odczuwamy działanie siły bezwładności równej -m\vec{a} (minus informuje, że zostaniemy podczas hamowania popchnięci do przodu, nie do tyłu). Jeśli jednak oba rodzaje masy są zawsze ściśle równe, to sił grawitacyjnych nie sposób odróżnić od sił bezwładności. Pasażer zamknięty w statku kosmicznym swobodnie orbitującym wokół Ziemi nie czuje jej pola grawitacyjnego, bo spada z przyspieszeniem równym przyspieszeniu grawitacyjnemu, zatem odczuwa on tylko ich różnicę, równą zeru. Ogólnie biorąc, pasażer taki nie może odróżnić, jaka część jego przyspieszenia pochodzi od grawitacji, a jaka wynika stąd, że jego statek kosmiczny porusza się z przyspieszeniem. Ta prosta obserwacja doprowadziła Einsteina z czasem do wniosku, że sił grawitacji nie ma: jest tylko zakrzywiona czasoprzestrzeń określająca, jak będą poruszać się cząstki. Ponieważ chodzi o pewną własność geometryczną, więc automatycznie każda cząstka, czy z pierza, czy z mięsa, będzie poruszać się tak samo (póki nie ma innych oddziaływań niż grawitacyjne). W ten sposób równość obu mas została wbudowana w teorię zamiast stanowić anomalię.

W roku 1911 Einstein starał się zwrócić uwagę astronomów, że światło powinno uginać się w silnym polu grawitacyjnym, np. przechodząc blisko Słońca. Grawitacja równoważna jest przyspieszeniu, zatem obie sytuacje na rysunkach powinny być równoważne. Na górnym nie ma pola grawitacyjnego, ale nasza kabina porusza się z pewnym przyspieszeniem w górę. Na drugim mamy pole grawitacyjne o takiej samej wartości skierowane w dół.

einstein_bendingPasażer musi w obu przypadkach zaobserwować to samo. Znaczy to, że będzie widział, jak promień światła zakrzywia się w kierunku pola grawitacyjnego. Możemy powiedzieć, że światło jest przyciągane grawitacyjnie. W pracy Einsteina ugięcie to obliczone jest dla przypadku fali, z wykorzystaniem zasady Huygensa. Naprawdę nie ma jednak znaczenia, czy wyobrażamy sobie światło jako cząstki, czy jako fale. Otrzymamy takie samo ugięcie, jakiego doznałaby newtonowska cząstka przebiegająca z prędkością c (prędkość światła w próżni) w pobliżu Słońca. Kąt ten okazuje się równy

\varphi=\dfrac{2GM}{c^2 r}=\dfrac{2r_s}{r}, \mbox{(*)}

gdzie G to stała grawitacyjna, M – masa Słońca, a r najmniejsza odległość promienia od środka Słońca. Można ten wynik zapisać, łącząc wszystkie stałe w wielkość r_s – tak zwany promień Schwarzschilda. Dla Słońca wynosi on około 3 km (gdyby masę Słońca upchnąć w kuli o takim promieniu, otrzymalibyśmy czarną dziurę). Ponieważ odległość r musi równać się przynajmniej promieniowi Słońca, więc kąt ten jest niewielki i równy maksymalnie 0,85 sekundy kątowej.

W następnych latach Einstein starał się tą sprawą zainteresować astronomów. Poniżej jego list do George’a Hale’a z Obserwatorium na Mount Wilson w Kalifornii.

Einstein_letter-2Einstein prawdopodobnie nie słyszał, iż efekt taki był już rozważany na przełomie XVIII i XIX wieku, gdy wierzono jeszcze w Newtonowskie cząstki światła. Dokładnie taki sam wynik uzyskał Henry Cavendish – pierwszy człowiek, który widział, jak przyciągają się masy (chodzi o przyciąganie między masami w laboratorium, nie o przyciąganie czegoś przez Ziemię). Niezależnie od niego obliczył to także Georg von Soldner.

Einsteinowi udało się tą kwestią zainteresować także Erwina Freundlicha, młodego astronoma z Berlina. Freundlich zaczął organizować wyprawę na Krym, aby zmierzyć efekt podczas całkowitego zaćmienia Słońca w roku 1914. Einstein organizował pieniądze na tę wyprawę, gotów był nawet w razie potrzeby wyłożyć 2000 marek z własnych oszczędności (dwie jego miesięczne pensje, wysokie). Jednak na Krymie, jak to na Krymie, akurat wybuchła wojna (tym razem światowa), ekipę aresztowano, pomiarów nie wykonano.

Największe zaskoczenie spotkało go jednak rok później. Odkrył bowiem ze zdumieniem, że jego wynik jest dokładnie dwa razy za mały! Należało bowiem uwzględnić zakrzywienie przestrzeni (zwykłej, trójwymiarowej). Ostatecznie pomiary wykonano w roku 1919, a Einstein zdobył tym światowy rozgłos, żył potem długo i dość szczęśliwie.

1919nyt_head

 

(*) Newtonowską wartość kąta ugięcia można obliczyć za pomocą całki (nudne) albo pamiętając, że w ruchu ciała niebieskiego orbita jest jedną z krzywych stożkowych: elipsą, parabolą albo hiperbolą (to nasz przypadek), lecz koniec wektora prędkości we wszystkich trzech sytuacjach zakreśla łuk okręgu. Można powiedzieć, że w przestrzeni prędkości wszystkie ciała niebieskie krążą po okręgach.

Moment pędu J cząstki o jednostkowej masie przemnożony przez krótki czas \Delta t równy jest

J\Delta t=|\vec{r}\times\vec{v}\Delta t|=|\vec{r}\times\vec{r'}|=r^2 \Delta \theta,

einstein_moment

w ostatniej równości zastąpiliśmy sinus kąta wartością tego kąta. Wynika stąd, że

\Delta t=\dfrac{r^2}{J}\Delta \theta.

Z definicji przyspieszenia mamy:

\Delta \vec{v}=\vec{a}\Delta t=-\dfrac{GM}{r^2}\hat{r}\dfrac{r^2}{J}\Delta\theta=-\dfrac{GM}{J}\hat{r}\Delta\theta.

Oznaczyliśmy przez \hat{r} jednostkowy wektor zwrócony od Słońca, minus informuje, że cząstka jest przyciągana (Nb. można to samo rozumowanie zastosować do rozpraszania Rutherforda). Ostatnia równość oznacza, że dla równych kątów \Delta\theta przyrosty prędkości są takie same co do wartości i obracają się razem z \hat{r}. Wektor prędkości zatacza łuk okręgu.

einstein_elipsa

W przypadku hiperbolicznego toru nie otrzymuje się całego okręgu.

einstein_bending1

Z rysunku widać, że

\dfrac{\varphi}{2}\approx \dfrac{h}{c}=\dfrac{GM}{Jc}=\dfrac{GM}{rc^2}.

W naszym przypadku prędkość jest praktycznie cały czas równa c, możemy więc uważać, iż J=rc.

Naprawdę fakt, że koniec wektora prędkości zatacza okrąg, czyli że hodograf jest okręgiem, wystarczy również do wykazania, iż tor ruchu musi być krzywą stożkową. To drobne, choć ciekawe odkrycie (mówię o hodografie) zawdzięczamy Williamowi Rowanowi Hamiltonowi, temu od kwaternionów.

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s