Albert Einstein: Najszczęśliwsza myśl i światło w polu grawitacyjnym (1911)

Siedziałem sobie właśnie w biurze patentowym w Bernie, gdy nieoczekiwanie przyszła mi do głowy pewna myśl: człowiek spadający swobodnie nie będzie odczuwał własnego ciężaru. Byłem doprawdy wstrząśnięty. Ta prosta myśl wywarła na mnie ogromne wrażenie i stała się impulsem do stworzenia teorii grawitacji” [A. Einstein, Einstein w cytatach. Pełne wydanie, przeł. M. Krośniak, s. 356.]

Czego dotyczył ów wstrząs? Einstein pisał w tym czasie (koniec roku 1907) artykuł przeglądowy o teorii względności, opublikowanej ledwie dwa lata wcześniej. Już Galileusz zauważył, że w polu grawitacyjnym wszystkie ciała spadają jednakowo (z dokładnością do oporu powietrza) – tego właśnie miał dotyczyć słynny eksperyment ze zrzucaniem kul z krzywej Wieży w Pizie (najprawdopodobniej zresztą apokryficzny). W prawach Newtona pojęcie masy pojawia się w dwóch różnych sytuacjach; raz w II zasadzie dynamiki:

a=\dfrac{F}{m_i},

a drugi raz w prawie powszechnego ciążenia:

F_g=\dfrac{GM_g m_g}{r^2}.

Dla przejrzystości oznaczyłem je innymi indeksami: m_i – to masa bezwładnościowa (inercyjna), m_g – masa grawitacyjna. Ponieważ oba rodzaje masy wchodzą do różnych praw, więc można je mierzyć niezależnie od siebie. Wiadomo, że oba te rodzaje masy są równe, tzn. są do siebie proporcjonalne, a ich jednostki zostały tak wybrane, żeby nie komplikować całej sprawy. Wskutek tej równości, gdy podstawimy siłę grawitacyjną F_g wywieraną na masę m_g do II zasady, to obie masy się skrócą i przyspieszenie nie będzie od niej zależeć.

Gdy nasz układ odniesienia porusza się z przyspieszeniem (np. hamujący autobus), odczuwamy działanie siły bezwładności równej -m\vec{a} (minus informuje, że zostaniemy podczas hamowania popchnięci do przodu, nie do tyłu). Jeśli jednak oba rodzaje masy są zawsze ściśle równe, to sił grawitacyjnych nie sposób odróżnić od sił bezwładności. Pasażer zamknięty w statku kosmicznym swobodnie orbitującym wokół Ziemi nie czuje jej pola grawitacyjnego, bo spada z przyspieszeniem równym przyspieszeniu grawitacyjnemu, zatem odczuwa on tylko ich różnicę, równą zeru. Ogólnie biorąc, pasażer taki nie może odróżnić, jaka część jego przyspieszenia pochodzi od grawitacji, a jaka wynika stąd, że jego statek kosmiczny porusza się z przyspieszeniem. Ta prosta obserwacja doprowadziła Einsteina z czasem do wniosku, że sił grawitacji nie ma: jest tylko zakrzywiona czasoprzestrzeń określająca, jak będą poruszać się cząstki. Ponieważ chodzi o pewną własność geometryczną, więc automatycznie każda cząstka, czy z pierza, czy z mięsa, będzie poruszać się tak samo (póki nie ma innych oddziaływań niż grawitacyjne). W ten sposób równość obu mas została wbudowana w teorię zamiast stanowić anomalię.

W roku 1911 Einstein starał się zwrócić uwagę astronomów, że światło powinno uginać się w silnym polu grawitacyjnym, np. przechodząc blisko Słońca. Grawitacja równoważna jest przyspieszeniu, zatem obie sytuacje na rysunkach powinny być równoważne. Na górnym nie ma pola grawitacyjnego, ale nasza kabina porusza się z pewnym przyspieszeniem w górę. Na drugim mamy pole grawitacyjne o takiej samej wartości skierowane w dół.

einstein_bendingPasażer musi w obu przypadkach zaobserwować to samo. Znaczy to, że będzie widział, jak promień światła zakrzywia się w kierunku pola grawitacyjnego. Możemy powiedzieć, że światło jest przyciągane grawitacyjnie. W pracy Einsteina ugięcie to obliczone jest dla przypadku fali, z wykorzystaniem zasady Huygensa. Naprawdę nie ma jednak znaczenia, czy wyobrażamy sobie światło jako cząstki, czy jako fale. Otrzymamy takie samo ugięcie, jakiego doznałaby newtonowska cząstka przebiegająca z prędkością c (prędkość światła w próżni) w pobliżu Słońca. Kąt ten okazuje się równy

\varphi=\dfrac{2GM}{c^2 r}=\dfrac{r_s}{r}, \mbox{(*)}

gdzie G to stała grawitacyjna, M – masa Słońca, a r najmniejsza odległość promienia od środka Słońca. Można ten wynik zapisać, łącząc wszystkie stałe w wielkość r_s – tak zwany promień Schwarzschilda. Dla Słońca wynosi on około 3 km (gdyby masę Słońca upchnąć w kuli o takim promieniu, otrzymalibyśmy czarną dziurę). Ponieważ odległość r musi równać się przynajmniej promieniowi Słońca, więc kąt ten jest niewielki i równy maksymalnie 0,85 sekundy kątowej.

W następnych latach Einstein starał się tą sprawą zainteresować astronomów. Poniżej jego list do George’a Hale’a z Obserwatorium na Mount Wilson w Kalifornii.

Einstein_letter-2Einstein prawdopodobnie nie słyszał, iż efekt taki był już rozważany na przełomie XVIII i XIX wieku, gdy wierzono jeszcze w Newtonowskie cząstki światła. Dokładnie taki sam wynik uzyskał Henry Cavendish – pierwszy człowiek, który widział, jak przyciągają się masy (chodzi o przyciąganie między masami w laboratorium, nie o przyciąganie czegoś przez Ziemię). Niezależnie od niego obliczył to także Georg von Soldner.

Einsteinowi udało się tą kwestią zainteresować także Erwina Freundlicha, młodego astronoma z Berlina. Freundlich zaczął organizować wyprawę na Krym, aby zmierzyć efekt podczas całkowitego zaćmienia Słońca w roku 1914. Einstein organizował pieniądze na tę wyprawę, gotów był nawet w razie potrzeby wyłożyć 2000 marek z własnych oszczędności (dwie jego miesięczne pensje, wysokie). Jednak na Krymie, jak to na Krymie, akurat wybuchła wojna (tym razem światowa), ekipę aresztowano, pomiarów nie wykonano.

Największe zaskoczenie spotkało go jednak rok później. Odkrył bowiem ze zdumieniem, że jego wynik jest dokładnie dwa razy za mały! Należało bowiem uwzględnić zakrzywienie przestrzeni (zwykłej, trójwymiarowej). Ostatecznie pomiary wykonano w roku 1919, a Einstein zdobył tym światowy rozgłos, żył potem długo i dość szczęśliwie.

1919nyt_head

 

(*) Newtonowską wartość kąta ugięcia można obliczyć za pomocą całki (nudne) albo pamiętając, że w ruchu ciała niebieskiego orbita jest jedną z krzywych stożkowych: elipsą, parabolą albo hiperbolą (to nasz przypadek), lecz koniec wektora prędkości we wszystkich trzech sytuacjach zakreśla łuk okręgu. Można powiedzieć, że w przestrzeni prędkości wszystkie ciała niebieskie krążą po okręgach.

Moment pędu J cząstki o jednostkowej masie przemnożony przez krótki czas \Delta t równy jest

J\Delta t=|\vec{r}\times\vec{v}\Delta t|=|\vec{r}\times\vec{r'}|=r^2 \Delta \theta,

einstein_moment

w ostatniej równości zastąpiliśmy sinus kąta wartością tego kąta. Wynika stąd, że

\Delta t=\dfrac{r^2}{J}\Delta \theta.

Z definicji przyspieszenia mamy:

\Delta \vec{v}=\vec{a}\Delta t=-\dfrac{GM}{r^2}\hat{r}\dfrac{r^2}{J}\Delta\theta=-\dfrac{GM}{J}\hat{r}\Delta\theta.

Oznaczyliśmy przez \hat{r} jednostkowy wektor zwrócony od Słońca, minus informuje, że cząstka jest przyciągana (Nb. można to samo rozumowanie zastosować do rozpraszania Rutherforda). Ostatnia równość oznacza, że dla równych kątów \Delta\theta przyrosty prędkości są takie same co do wartości i obracają się razem z \hat{r}. Wektor prędkości zatacza łuk okręgu.

einstein_elipsa

W przypadku hiperbolicznego toru nie otrzymuje się całego okręgu.

einstein_bending1

Z rysunku widać, że

\dfrac{\varphi}{2}\approx \dfrac{h}{c}=\dfrac{GM}{Jc}=\dfrac{GM}{rc^2}.

W naszym przypadku prędkość jest praktycznie cały czas równa c, możemy więc uważać, iż J=rc.

Naprawdę fakt, że koniec wektora prędkości zatacza okrąg, czyli że hodograf jest okręgiem, wystarczy również do wykazania, iż tor ruchu musi być krzywą stożkową. To drobne, choć ciekawe odkrycie (mówię o hodografie) zawdzięczamy Williamowi Rowanowi Hamiltonowi, temu od kwaternionów.

Henry Cavendish: serce jak lód, głowa i ręce wirtuoza (1797-1798)

Zdarzają się ludzie, którzy nie przepadają za bliskością innych. Nie wiadomo, co z takimi zrobić – nie dają się wciągnąć do rozrywek i zabaw ludzkiego stada, unikają nawet miłości, nie mówiąc już o różnych grach społecznych w rodzaju: „popatrz, ile posiadam”, „popatrz, jaki jestem ważny i zewsząd okazały” itd. Piękny obraz takiego człowieka dał Claude Sautet w filmie Serce jak lód. Być może wzorował się do jakiegoś stopnia na postaci Maurice’a Ravela, któremu różni „badacze owadzich nogów” do dziś nie potrafili przekonująco przypisać żadnego życia uczuciowego.

„Nasze praktyczne, realne życie jest, mianowicie, nudne i mdłe, o ile nie targają nim namiętności, jeśli zaś one wkraczają, staje się niebawem bolesne; szczęśliwi są zatem ci tylko, którym przypada w udziale jakaś nadwyżka intelektu ponad tę miarę, jakiej wymaga służenie woli. W ten sposób bowiem wiodą prócz życia realnego ponadto jeszcze życie intelektualne, które bez bólu daje im stale ciekawe zajęcie i rozrywkę”. To oczywiście Arthur Schopenhauer, wielki filozof i nie mniejszy mizantrop (Aforyzmy o mądrości życia, przeł. J. Garewicz).

Uczeni powinni służyć ludzkości, pomnażać wiedzę ku powszechnemu zadowoleniu oraz własnej sławie – w końcu na jaką inną nieśmiertelność może liczyć człowiek rozumny? Co jednak myśleć o kimś, kto wyrzeka się zwyczajnego życia, nie szuka bliskości, więzów uczuciowych, nie dąży nawet do sławy? Henry Cavendish, najstarszy syn lorda Charlesa Cavendisha, starał się w życiu nie zajmować niczym oprócz nauki eksperymentalnej. Zainteresowania naukowe, podobnie jak majątek i członkostwo w Towarzystwie Królewskim odziedziczył po ojcu. Charles był tylko pełnym zapału amatorem, Henry natomiast okazał się uczonym wyjątkowo utalentowanym i pomysłowym. Nieśmiałość, a może słabe rozeznanie w wartości własnych prac, sprawiły, że nie opublikował wszystkich swoich dokonań. W 1772 roku zmierzył siły oddziaływania między ładunkami. Kilkanaście lat później podobne doświadczenia przeprowadził Charles Augustin Coulomb. Ponieważ tylko Coulomb ogłosił swoje wyniki, ładunek mierzymy dziś w kulombach, a nie w kawendiszach.

Cavendish_Henry_signature

Matka odumarła go bardzo wcześnie, unikał potem kobiet, krępowała go nawet ich obecność. Większą część życia spędził przy ojcu, żyjąc dość skromnie jak na syna lorda. Gdy ojciec umarł, a Henry był już po pięćdziesiątce, nic się nie zmieniło, oprócz tego, że teraz to on musiał decydować o wszystkim. Ubierał się zawsze skromnie i wedle mody sprzed dwóch pokoleń. Rzadko przyjmował gości i podejmował ich zawsze tym samym: podawano udziec barani i nic ponadto. Sam bywał tylko na spotkaniach uczonych z Towarzystwa Królewskiego, a w poniedziałki przez piętnaście lat jadał kolację w innym, nieformalnym zgromadzeniu uczonych, zwanym Monday Club. Nie znaczy to, że rozmawiał tam z kolegami. Odzywał się rzadko i mało, choć zwykle z sensem i precyzyjnie. Wystąpienia takie sprawiały mu widoczną trudność: peszył się, mamrotał. Miał przy tym piskliwy głos, co jeszcze bardziej wzmagało jego nieśmiałość. Nie mógł znieść pochwał i uciekał, gdy ktoś próbował zawrzeć z nim znajomość, zaczynając od komplementów i pochlebstw.

Charakter Cavendisha sprawiał kłopot biografom. Nie miał poglądów politycznych. Wolny był od snobizmu rodowego, podpisywał się samym imieniem i nazwiskiem, choć obaj jego dziadkowie byli książętami, a ród należał do najstarszych w kraju. Nie wyznawał żadnej religii. Doświadczenia prowadził nawet w niedziele – dzień czczony w Anglii jako święty przez wszystkie bodaj konkurujące tam ze sobą wyznania chrześcijańskie. Gdy umierał, wolał być sam, odesłał nawet lokaja. Nie wezwał też żadnego duchownego. Za życia nie interesował się zbytnio swoim majątkiem, głównym problemem było raczej znalezienie uczciwego stewarda, który miał nim zarządzać. A było czym: zostawił po sobie 700 000 funtów (ówczesny funt to 100-10 000 dzisiejszych funtów, zależnie od sposobu liczenia). Słabo orientował się w wartości pieniądza. Gdy proszono go, aby jakoś pomógł człowiekowi w finansowych tarapatach, zapytał, co mógłby zrobić. Gdy zasugerowano jakieś niewielkie wsparcie finansowe, Cavendish spytał, czy może to być czek na 10 000 funtów. Chodziło o Niemca, Heidingera, który zaczął prowadzić bibliotekę Cavendisha (dostępną na równych prawach także innym uczonym, właściciel wypisywał skrupulatnie rewersy, gdy coś wypożyczał). Ogólnie biorąc, Cavendish nie budził wszakże sympatii, nawet gdy wspierał potrzebujących. Mówiono, że jest suchy, pedantyczny, niewrażliwy na piękno, patrzący na krajobraz okiem geodety. Nie było w nim nic sentymentalnego, romantycznego ani też rycerskiego, o ile nie liczyć epizodu, kiedy to na przechadzce przyszedł z pomocą jakiejś kobiecie zaatakowanej przez rozwścieczoną krowę.

Jego praca naukowa była bezsprzecznie najwyższej próby. Towarzystwo Królewskie było swoistą kuźnią demokracji: na równych prawach współpracowali tam arystokrata Cavendish, syn cieśli okrętowego James Watt i syn rzemieślnika zajmującego się wykańczaniem tkanin Joseph Priestley (może zresztą dlatego, że społeczeństwo angielskie najwcześniej zarzuciło feudalne myślenie, nie doszło tam do rewolucji w rodzaju francuskiej). Cavendish, Priestley i Watt prowadzili niemal równocześnie ważne doświadczenia na temat powstawania wody z wodoru i tlenu. Watt rozniecił nawet spór o pierwszeństwo odkrycia, jak się zdaje, Cavendish zbytnio się tą kwestią nie przejmował. Sytuację wyjaśnił zresztą Francuz, Antoine Lavosier, który dowiódł, że wodę można rozłożyć na składowe pierwiastki – nie jest więc ona substancją prostą i nieredukowalną (Cavendish traktował ten proces powstawania w ramach koncepcji flogistonu, skazanej już wtedy na naukową śmierć).

Cavendish stwierdził też, że gdy pięć części zdeflogisotonowanego powietrza (czyli tlenu) zmieszać z trzema częściami zwykłego powietrza i przymusić do reakcji za pomocą wyładowań elektrycznych, niemal całe powietrze znika (tworzy się kwas azotawy). Zostawała jednak część: „nie więcej niż 1/120”, która nie zamieniała się w kwas. Precyzja Cavendisha okazała się tu niezwykle ważna: pod koniec XIX wieku zainteresował się tymi wynikami William Ramsay, a także lord Rayleigh, o którym pisaliśmy – niereagująca część okazała się nowym, chemicznie obojętnym gazem, który nazwano argon.

Najważniejsze okazały się chyba doświadczenia Cavendisha, pozwalające wyznaczyć średnią gęstość naszej planety. Wedle jego pomiarów gęstość Ziemi równa jest 5,45 g/cm3 – błąd wyniósł jedynie 1%. Chodziło o zmierzenie przyciągania grawitacyjnego w warunkach laboratoryjnych.

Teoria powszechnego ciążenia Newtona była śmiałym uogólnieniem danych astronomicznych. Postulowała, że ta sama siła, którą na Ziemi nazywamy ciężarem, działa także we wszechświecie. Była trudna do przyjęcia m.in. dlatego, że przecież nie obserwujemy, aby dwie masy się przyciągały – siły te są zbyt małe. Próbowano je wprawdzie w XVIII wieku szacować badając przyciąganie dużych mas skalnych. W ich pobliżu zawieszony ciężarek (tzw. pion) powinien odchylać się od kierunku pionowego w sensie geometrycznym (czyli przedłużenia promienia Ziemi w punkcie obserwacji). Jak można to stwierdzić? Można wykonać pomiary astronomiczne wysokości (kątowej) tych samych gwiazd z dwóch miejsc: na południe i na północ od jakiejś góry. Kwadrant służący do pomiaru wysokości nad horyzontem ustawiamy korzystając z pionu. Ponieważ kierunki pionu w obu miejscach powinny się różnić, różnić się też będą nasze wyniki. Pierwszy raz pomiary takie wykonali Bouguer i La Condamine podczas wyprawy do Peru w celu zmierzenia kształtu Ziemi (pisałem o tym zagadnieniu: niemal cały rozgłos przypadł Maupertuis, który wcześniej przedstawił wyniki). Metoda taka miała jednak tę wadę, że trudno porządnie obliczyć masę jakiejkolwiek góry.

Od sierpnia 1797 do maja następnego roku przeprowadził Cavendish serię pomiarów siły grawitacji. Idea pochodziła od wielebnego Johna Michella, który planował takie doświadczenie, ale nie zdążył go wykonać przed śmiercią. Jego przyrządy trafiły do wielebnego Francisa Johna Hyde’a Wollastone’a, profesora w Cambridge, który nie miał warunków do przeprowadzenia eksperymentu, przekazał więc urządzenia Cavendishowi. W rzeczywistości Cavendish bardzo udoskonalił różne szczegóły i tylko dzięki temu osiągnął sukces. Główną częścią aparatury był drążek z parą ołowianych kul o średnicy 5 cm; drążek zawieszony był na cienkim drucie. Układ taki, gdy obrócić nieco drążek, wykonywał powolne drgania skrętne. Wyznaczając okres drgań, można było określić czułość tego układu na parę sił skręcających. Jeśli następnie zbliżyć do tej wagi skręceń inną parę dużych kul ołowianych (każda o masie 158 kg), położenie równowagi układu nieco się przesuwa. Cavendish mierzył odchylenia układu z drugiego pokoju za pomocą dwóch lunet. Chodziło o to, że układ pomiarowy był niezwykle czuły na wszelkie zakłócenia w rodzaju zmian temperatury, prądów powietrza czy drgań podłoża i dlatego, lepiej było, gdy był odizolowany od zewnętrznych wpływów. Uczony wyznaczał położenie równowagi obserwując starannie wahania układu i wyznaczając maksymalne wychylenia.

07861996_0062

Waga skręceń: lg – drut, hh – zawieszenie małych kul, L – lunety do obserwacji ruchu układu..

07861996_0063

Widok z góry: ww oraz w’w’ – duże kule obracające nieco położenie równowagi wagi skręceń.

To piękne i precyzyjne doświadczenie wyraża też chyba w jakimś stopniu osobowość Henry’go Cavendisha: ta ustawiana z delikatnością i uwagą aparatura, drgania w pustym pokoju, idealny obserwator na zewnątrz, dostrzegający wszystko, kontrolujący wszystko: pierwszy człowiek, który zobaczył na własne oczy, jak przyciągają się masy.