J.J. Thomson: Jak powstaje fala elektromagnetyczna? (1903)

Pole elektryczne spoczywającego ładunku zachowuje się tak, jak linie prędkości cieczy (nieściśliwej). Oznacza to, że linie sił pola biegną radialnie z ładunku punktowego i każdą zamkniętą powierzchnię otaczającą nasz ładunek przecina tyle samo linii sił. Strumień pola elektrycznego jest taki sam przez każdą powierzchnię zamkniętą (taka sama objętość cieczy przepływa w jednostce czasu przez każdą powierzchnię: ciecz nie gromadzi się ani nigdzie nie ucieka, np. w czwarty wymiar, ile wpłynęło przez jedną powierzchnię, tyle musi wypłynąć przez drugą).

maxwell fluid

Zatem natężenie pola E razy pole powierzchni sferycznej o promieniu r jest stałe:

E4\pi r^2=\dfrac{q}{\varepsilon_0}\Rightarrow E=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \mbox{(*)}.

Inaczej mówiąc, kwadrat odległości w prawie Coulomba bierze się stąd, że pole powierzchni sfery rośnie jak r^2. W równaniach tych q oznacza ładunek, \varepsilon_0 stałą informującą o wielkości sił elektrycznych, jest to tzw. przenikalność próżni i jest stałą fizyczną. Najczęściej jednak mamy do czynienia nie z polami elektrostatycznymi, lecz z falami elektromagnetycznymi: dzięki tym falom widzimy na ekranie ten tekst, dzięki tym falom możemy rozmawiać przez komórkę albo obserwować wszechświat, można śmiało stwierdzić, że większość naszej jednostkowej i cywilizacyjnej wiedzy zdobyliśmy dzięki falom elektromagnetycznym.

Spójrzmy nieco inaczej na rysunek wyżej. Gdyby punkt w środku oznaczał Słońce (albo jakąś inną gwiazdę, albo dowolne źródło o symetrii kulistej), a linie były promieniami światła, to przez każdą powierzchnię zamkniętą w jednostce czasu powinna przechodzić taka sama ilość energii, inaczej mówiąc: moc przepływająca przez każdą powierzchnię byłaby taka sama – wszechświat jest dość pusty i praktycznie cała energia przepływa dalej (gdybyśmy zresztą wyobrazili sobie planetę między dwiema powłokami, to po pierwsze byłaby ona malutka w porównaniu do gwiazdy, a więc pochłaniałaby niewiele mocy, a poza tym wysyłałaby tyle watów, ile pochłania – inaczej planeta gwałtownie stygłaby albo się ogrzewała.) Równanie zapisane wyżej można by powtórzyć z niewielkimi zmianami: jeśli I to moc na jednostkę powierzchni (W/m2), czyli natężenie promieniowania gwiazdy, to możemy napisać:

I4\pi r^2=P\Rightarrow I=\dfrac{P}{4\pi r^2}.

P jest mocą gwiazdy [W], czyli ilością energii wysyłanej przez nią w jednostce czasu. Zatem natężenie fali powinno maleć jak 1/r^2, ponieważ pole powierzchni sfery rośnie jak r^2. Natężenie fali jest dla wszystkich rodzajów fal, nie tylko elektromagnetycznych, proporcjonalne do kwadratu amplitudy. Mamy zatem

I\sim E^2\sim \dfrac{1}{r^2}\Rightarrow E\sim \dfrac{1}{r}.

Pole elektryczne fali powinno być odwrotnie proporcjonalne do odległości od źródła, a nie do jej kwadratu, jak w przypadku statycznym (*). Możemy teraz zrozumieć, czemu pole elektrostatyczne trudniej zaobserwować: maleje ono bowiem z odległością szybciej niż pole fali elektromagnetycznej. Jest i drugi powód: atomy zawierają tyle samo ładunku ujemnego co dodatniego i w efekcie pola elektrostatyczne niemal się równoważą – niemal, bo ładunki dodatnie (jądra) są średnio biorąc w innym miejscu niż ujemne (elektrony), wypadkowe pole maleje w rezultacie jeszcze szybciej, z sześcianem odległości. Siły elektrostatyczne są bardzo istotne dla wiązań atomów, czyli na niewielkich odległościach.

Jak można z pola spoczywającego ładunku otrzymać pole fali elektromagnetycznej? Zacznijmy od jednostek. Skoro dla pola statycznego E maleje jak 1/r^2, to aby otrzymać zależność 1/r, musimy we wzorze (*) znaleźć dodatkowy czynnik w mianowniku o wymiarze długości (m). Pole fali elektromagnetycznej związane jest z ruchem przyspieszonym ładunku, logicznie jest przypuścić, że powinno być proporcjonalne do jego przyspieszenia a (m/s2). Mamy więc w liczniku metry podzielone przez sekundy do kwadratu. A chcielibyśmy mieć same metry, i w mianowniku. Możemy wykorzystać w tym miejscu drugą stałą fizyczną elektromagnetyzmu, tzn. prędkość światła c (pierwsza to \varepsilon_0). Jeśli przyspieszenie podzielimy przez c^2, dostaniemy taki wymiar, jak potrzeba:

\left[\dfrac{a}{c^2}\right]=\dfrac{m/s^2}{m^2/s^2}=\dfrac{1}{m}.

W wyniku tego zgadywania, zwanego uczenie analizą wymiarową, możemy przypuszczać, że pole elektryczne fali wytwarzanej przez ładunek q powinno mieć postać:

E=\dfrac{qa}{4\pi\varepsilon_0 c^2 r}f(\theta).

Włączyliśmy tu jakąś nieznaną funkcję kąta miedzy przyspieszeniem a promieniem wodzącym. Kąty są bezwymiarowe, więc nie zmienia to naszych wniosków. Zobaczymy, jak można zrozumieć mechanizm wytwarzania fali i ostatni wzór. Rozumowanie poniżej pochodzi od J.J. Thomsona, który w roku 1903 miał wykłady w Yale, gdzie je przedstawił wśród wielu innych rozważań. Fale elektromagnetyczne znane były od kilku dziesięcioleci, wkład Thomsona jest tu czysto dydaktyczny (Główną jego naukową zasługą było odkrycie elektronu, za które otrzymał Nagrodę Nobla w 1906 roku.) Rozumowanie to było zresztą wielokrotnie powtarzane przez autorów podręczników, m.in. w kursie berkeleyowskim, znanym i w Polsce.

Punktem wyjścia jest fakt, że pole elektryczne ładunku poruszającego się jednostajnie wygląda w każdej chwili tak samo jak pole ładunku spoczywającego (*) – chcąc zmierzyć pole w danym punkcie i w danej chwili, musimy wstawić do tego wzoru odległość miedzy punktem a ładunkiem obliczoną właśnie w owej chwili. Zakładamy tu, że prędkość jest niewielka w porównaniu z prędkością światła, jest to założenie do uniknięcia, choć sam Thomson niezbyt dobrze rozumiał ten punkt – było to jeszcze przed teorią względności. W każdym razie w większości przypadków, oprócz akceleratorów cząstek albo kosmicznych katastrof, założenie to jest spełnione.

Impuls typu fali elektromagnetycznej uzyskamy, gdy nasz ładunek zmieni prędkość. Wyobraźmy sobie np., że w pewnej chwili t=0 ładunek zaczął hamować. Oczywiście nie mógł stanąć w miejscu, przez pewien krótki czas \tau poruszał się z przyspieszeniem, a potem już był nieruchomy. Jak powinny wyglądać linie sił w chwili T\gg \tau? Wiemy, że informacja nie może przenosić się szybciej niż c, zatem na zewnątrz sfery o promieniu cT=OR nic jeszcze nie wiadomo, że ładunek się zatrzymał i linie sił zbiegają do punktu O’, w którym powinien się on znaleźć, gdyby nadal poruszał się jednostajnie. W pobliżu ładunku, w odległościach mniejszych niż c(T-\tau)=OP, już wiadomo, że ładunek jest nieruchomy: linie sił zbiegają się w punkcie O. Linie sił pola elektrycznego muszą być ciągłe, nie mogą się zaczynać ani kończyć w punkcie przestrzeni, gdzie nie ma ładunku. Łącząc obraz sprzed hamowania i po hamowaniu uzyskamy co następuje:

electricitymatte00thombw

(Linia sił OPP’Q, oryginalny rysunek z wykładów Thomsona, Electricity and Matter, New Haven 1912)

purcell

(Linia sił to ABCD, ta sama sytuacja w podręczniku Purcella i Morina z roku 2013)

Na pierwszym rysunku nie zaznaczono drogi hamowania, na drugim jest ona zaznaczona, ale tak, że widać, iż jest znacznie krótsza niż droga v_0 T. Do pola radialnego doszło pole skierowane poprzecznie, prostopadle do promienia wodzącego. Właśnie to pole poprzeczne zmienia się jak 1/r. Nie wiem, czy dziś łatwiej się uczyć niż przed wiekiem, z pewnością lepsze są rysunki i liczniejsze źródła wiedzy. Trzymając się oznaczeń drugiego rysunku, widzimy, że stosunek pola poprzecznego E_{\theta} do radialnego E_r równy jest

\dfrac{E_{\theta}}{E_{r}}=\dfrac{v_0 T\sin\theta}{c\tau}=\dfrac{v_0}{\tau}\dfrac{cT}{c^2}\sin\theta=a\dfrac{r}{c^2}\sin\theta.

Widzimy, że wraz z rosnącą odległością stosunek obu składowych pola jest coraz większy: daleko od źródła zostaje jedynie pole poprzeczne. Wstawiając za E_{r} wzór (*), otrzymamy pole promieniowania.

E=\dfrac{qa\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 c^2 r}.

Jak widać, f(\theta)=\sin\theta. Ostatnia zależność oznacza, że tylko przyspieszenie ładunku prostopadłe do promienia wodzącego jest źródłem fali. Jeśli patrzymy na poruszający się ładunek i nie widzimy ruchu (bo porusza się on wzdłuż linii widzenia), nie ma promieniowania. Wyrażenie dla E_{\theta} słuszne jest dla dowolnego ruchu nierelatywistycznego. W antenach ładunki oscylują, zatem przyspieszenie zmienia się okresowo, a tym samym zgodnie z naszym wzorem zmienia się okresowo także pole elektryczne. Mamy rozchodzącą się falę elektromagnetyczną. Nie zajmowaliśmy się tu polem magnetycznym, które jest proporcjonalne do pola elektrycznego i prostopadłe do niego, a także do kierunku rozchodzenia się fali.

Uwaga nt. kątów: Natężenie fali elektromagnetycznej będzie zawierało kwadrat pola, a więc \sin^2\theta. Oczywiście, jeśli źródło złożone jest z wielu ładunków, których przyspieszenia rozmieszczone są przypadkowo i izotropowo (jak w przypadku gwiazdy), wypadkowa energia będzie niezależna od kierunku, zostanie tylko zależność od odległości.

Uwaga nt. stałych: Czasem używa się innej pary stałych: \varepsilon_0 oraz \mu_0. Zachodzi zależność:

\mu_0=\dfrac{1}{\varepsilon_0 c^2}.

Reklamy

James Clerk Maxwell: O liniach sił Faradaya (1855-1856)

Jesienią 1855 roku dwudziestoczteroletni Szkot został wybrany na członka (Fellow) Trinity College, w tym samym mniej więcej wieku co niegdyś Isaac Newton. Kolegium nie wymagało już przyjęcia święceń, choć pobożny Maxwell pewnie nie odrzucałby z góry takiej możliwości (Newton, także pobożny, ale nieortodoksyjny, wykręcił się specjalną dyspensą królewską). Maxwell miał talent matematyczny, należał do wychowanków sławnego tutora Williama Hopkinsa, znanego z kształcenia tzw. wranglers – studentów wyróżniających się na końcowych egzaminach z tego przedmiotu. Hopkins miał ich na koncie dwie setki, zarabiał zresztą w ten sposób całkiem spore pieniądze. Do jego uczniów należeli Arthur Cayley, lord Kelvin, George Gabriel Stokes, a także w roku 1854 Edward Routh jako Senior Wrangler i Maxwell jako Second Wrangler. Ten ostatni zdążył już zająć się w sposób twórczy kilkoma tematami z dziedziny fizyki oraz fizyki matematycznej, teraz próbował swych sił na polu elektryczności i magnetyzmu.
Na przełomie lat 1855 i 1856 Maxwell ogłosił pracę O liniach sił Faradaya. Nawiązywał w niej do badań eksperymentalnych Michaela Faradaya, bodaj największego eksperymentatora w historii fizyki. Prosty chłopak, oddany jako czternastolatek do terminu u introligatora, sam zdobył wykształcenie naukowe i zaczynając od pomocnika w laboratorium, doszedł do pozycji wyroczni w kwestiach eksperymentalnych. W roku 1855 zjawiska elektryczne i magnetyczne znane były całkiem dobrze, brakowało jednak wciąż zadowalającej teorii, która obejmowałaby ich całość. Próbowano sprawdzonego wcześniej podejścia za pomocą oddziaływania na odległość. A więc ładunki elektryczne oraz bieguny magnetyczne przyciągają się albo odpychają, a siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Prawo takie sprawdził eksperymentalnie Charles Augustin Coulomb jeszcze w poprzednim wieku. Także prądy elektryczne oddziałują ze sobą na odległość, choć prawo w tym przypadku okazało się dość skomplikowane, ponieważ uwzględniać musiało kierunki obu prądów. Faraday odkrył, że zmienne pole magnetyczne generuje prąd – to zjawisko indukcji elektromagnetycznej wykorzystywane jest np. w elektrowniach, trudno wyobrazić sobie naszą cywilizację bez wszelkiego rodzaju generatorów prądu.
Idea oddziaływania na odległość była niezbyt chętnie akceptowanym spadkiem po Isaacu Newtonie. Jego prawo powszechnego ciążenia mówi o przyciąganiu na odległość odwrotnie proporcjonalnym do kwadratu odległości. Jak jakieś ciało może działać tam, gdzie go nie ma? Czemu siła maleje jak kwadrat odległości, a nie jakaś inna jej potęga? Nie znano odpowiedzi na pierwsze pytanie, co do drugiego istniały pewne wskazówki, Układ Słoneczny, jaki znamy wymaga takiego właśnie prawa z wykładnikiem równym dwa. Można więc było podejrzewać, że odpowiadało on zamiarom Stwórcy. Do czasów Maxwella nie dowiedziano się niczego nowego na temat grawitacji, uczeni, nie mogąc odpowiedzieć na te pytania, przestali je zadawać i zajęli się, jak to zawsze bywa, kwestiami rokującymi szybszą odpowiedź.
Faraday, geniusz eksperymentu, nie miał wyrafinowanego wykształcenia matematycznego. Starał się więc wizualizować obserwowane zjawiska. Przykładem były linie sił pola magnetycznego z jednej z jego prac.

faraday29_1-x

Na lewym rysunku mamy linie sił bieguna magnetycznego, na drugim dwóch różnych biegunów magnetycznych. Są to wyniki eksperymentu: na papierze rozsypywane były opiłki żelaza, a później obraz ten utrwalano za pomocą kleju. Czym były linie sił? Maxwell definiował je jako linie wskazujące w każdym punkcie kierunek siły działającej na biegun magnetyczny (albo ładunek w przypadku elektrycznym). Dalej skupimy się na polu elektrycznym, ponieważ istnieją pojedyncze ładunki elektryczne i jest to nieco łatwiejsze do omówienia. Podobne rozumowania stosują się także do przypadku magnetycznego, trzeba tylko pamiętać, że nie istnieją osobne bieguny magnetyczne. Nb. szukano wielokrotnie cząstek elementarnych, które byłyby takimi biegunami, tzw. monopoli magnetycznych, czasami nawet komunikowano o ich odkryciu, ale żadne z tych doniesień się nie potwierdziło.

y

x

Te same linie sił obliczone dla przypadku pojedynczego ładunku oraz pary przeciwnych ładunków. Linie przerywane są wszędzie prostopadłe (ortogonalne) do linii sił i odpowiadają stałemu potencjałowi.

Maxwell zwrócił uwagę, że linie sił pola tworzą taki sam obraz jak linie przepływu idealnej nieściśliwej cieczy. Moglibyśmy sobie wyobrazić, że te linie sił to w istocie rurki cieczy. W rurce takiej iloczyn szybkości przepływu oraz pola przekroju jest stały. Tam, gdzie przekrój jest mniejszy, ciecz płynie szybciej. Gdyby prędkość była odpowiednikiem natężenia pola, należałoby sobie wyobrażać rurkę jako węższą tam, gdzie pole jest silniejsze, i odwrotnie.

maxwell tube

Pole elektryczne wokół ładunku punktowego składałoby się ze stożkowych rurek o wierzchołku w ładunku. Pole przekroju rośnie jak kwadrat promienia, natomiast prędkość przepływu (a także pole elektryczne) maleje w takim samym stosunku – co zgodne jest z obserwacjami.

maxwell1

maxwell fluid

Ładunek punktowy odpowiada więc źródłu naszej dziwnej cieczy. Z tego punktu, niczym z wywierzyska, wypływa nieściśliwa ciecz na wszystkie strony. Całkowita objętość tej cieczy przepływająca przez powłokę sferyczną nie zależy od promienia powłoki:

v\sim \dfrac{1}{r^2}\Rightarrow vS\sim \dfrac{1}{r^2}4\pi r^2=4\pi=const

Przez każdą powierzchnię sferyczną przepływa tyle samo cieczy w ciągu sekundy. W przeciwnym wypadku ciecz musiałaby się gdzieś gromadzić albo wypływać po drodze między dwiema takimi tymi powierzchniami otaczającymi źródło. Nie musimy wcale ograniczać się do powierzchni kulistych: przez każdą powierzchnię zamkniętą otaczającą źródło w jednostce czasu przepłynie taka sama objętość cieczy.

Oczywiście Maxwell nie twierdził, że pole elektryczne jest przepływem jakiejś tajemniczej cieczy. Podkreślał jedynie analogię czysto matematyczną. W przypadku elektrycznym wielkość „przepływu” nazywamy strumieniem pola elektrycznego przez daną powierzchnię zamkniętą. Okazuje się, że ów strumień \Phi jest równy (w jednostkach SI):

\Phi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}4\pi r^2=\dfrac{q}{\varepsilon_0}.

Ładunek wewnątrz powierzchni oznaczamy przez q. Znów kształt powierzchni jest obojętny. Prawo to, zwane prawem Gaussa, pozostaje słuszne także dla przypadku większej liczby ładunków. Wypadkowa prędkość przepływu w danym punkcie jest wówczas sumą osobnych prędkości. Podobnie z natężeniem pola elektrycznego: jest ono wektorową sumą pól wytwarzanych przez każdy z ładunków. Ładunki ujemne są „ujemnymi” źródłami, czyli takimi miejscami, w których nasza ciecz ucieka w jakieś matematyczne zaświaty. Prawo Gaussa w wersji elektrycznej stwierdza, że strumień przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do algebraicznej sumy ładunków wewnątrz powierzchni.

Prawo Gaussa jest przydatne, pozwala bowiem obliczać pole elektryczne w niektórych sytuacjach, gdy układ jest symetryczny. Możemy np. stosować je do dowolnego kulistosymetrycznego rozkładu ładunków. Można je także przenieść na grawitację: wówczas polem jest przyspieszenie grawitacyjne a strumień jest zawsze ujemny i proporcjonalny do masy (*). Samo prawo Gaussa jednak nie wystarczy: na przepływy owej fikcyjnej cieczy należy jeszcze nałożyć dodatkowy warunek bezwirowości (w przypadku statycznym).

Dlaczego obraz nieściśliwej cieczy lepszy był od tradycyjnego oddziaływania na odległość? Pozwalał wyjaśnić obserwowane linie sił i sprowadzał zagadnienie do lokalnego: ciecz zachowuje się tak, a nie inaczej, tylko wskutek popychania przez inne jej części. Wszystkie zjawiska są więc lokalne. W gruncie rzeczy w takim podejściu nie potrzebujemy wcale sił działających na odległość. Wystarczą pola i ich lokalne zachowanie. Punkt widzenia tego rodzaju miał wielką przyszłość. Koncentrując się na lokalnych równaniach opisujących elektryczność i magnetyzm Maxwell odniósł sukces, budując najważniejszą teorię XIX stulecia. Stało się to jednak znacznie później, na razie była tylko pewna analogia matematyczna, ilustracja pojęć wprowadzonych przez Faradaya.

Charakterystyczna jest reakcja samego Faradaya, człowieka niezwykle skromnego. Sześćdziesięciopięcioletni luminarz nauki pisze do badacza młodszego o dwa pokolenia: „Z początku byłem nieomal przerażony, widząc tak wielką siłę matematyczną zastosowaną do tego przedmiotu, potem jednak zdumiało mnie, jak dobrze przedmiot zniósł to wszystko”.

(*) W szczególności prawo Gaussa pozwala natychmiast rozwiązać problem przyciągania przez kulę (w obu przypadkach: grawitacji oraz elektryczności). Jeśli rozkład ładunku ma symetrię kulistą, to możemy do niego zastosować prawo Gaussa tak, jak do punktowego ładunku w środku kuli. Przeprowadzając doświadczenia na zewnątrz kuli, będziemy obserwowali pole elektryczne takie, jak gdyby nasza kula ściągnięta była do punktu środkowego (z zachowaniem wartości ładunku). Dlatego np. kula ziemska przyciąga tak, jak punktowa masa w środku Ziemi. Wiemy, że nasza planeta w pierwszym przybliżeniu rzeczywiście składa się z koncentrycznych warstw kulistych. Nie musimy przy tym wiedzieć, jaka jest gęstość i grubość różnych warstw, ważna jest tylko całkowita masa Ziemi.

James Clerk Maxwell i prędkości cząsteczek gazu (1859)

Brytyjskie Towarzystwo Krzewienia Nauk (BAAS) zebrało się na swój doroczny zjazd we wrześniu w Aberdeen. To niewielkie miasto miało wówczas dwa uniwersytety i wybudowało w ciągu roku wielką salę koncertową na 2400 słuchaczy, choć i tak wszyscy chętni ledwie mogli się pomieścić. Uczonych zaszczycił obecnością królewski małżonek, książę Albert, który wygłosił przemówienie i przez cztery godziny wizytował jedną z uczelni. Nauka stanowiła mocną stronę imperium brytyjskiego, naród kupców i żeglarzy kolekcjonował osobliwe przedmioty i rośliny, badał czaszki prehistorycznych ludzi z Nepalu, interesował się polem magnetycznym i skałami z odległych części globu, rozwijał konstrukcję parowców, pracował nad projektem kabla telegraficznego przez Atlantyk – pierwszy taki kabel położono rok wcześniej, lecz po kilku tygodniach przestał działać. Za kilka lat miała nastąpić następna próba, tym razem zakończona powodzeniem.

BA150_rdax_800x491

Na zjeździe trzy komunikaty przedstawił młody profesor z miejscowego Marischal College, James Clerk Maxwell. Dwudziestoośmioletni Szkot, absolwent Trinity College w Cambridge, napisał już kilka wielce obiecujących prac: na temat pola elektromagnetycznego, pierścieni Saturna i widzenia barwnego. Do elektromagnetyzmu miał niebawem wrócić, tworząc jednolitą teorię zjawisk elektrycznych, magnetycznych i optycznych (co stało się największym osiągnięciem w fizyce od dwustu lat, od czasów Isaaca Newtona). Kilkuletnia, rozbudowana w szczegółach, praca nad pierścieniami Saturna doprowadziła go do wniosku, że nie mogą one być zbudowane z materii stałej ani ciekłej, muszą być zbiorowiskiem niewielkich fragmentów krążących niezależnie wokół planety (co się potwierdziło: są to bryłki lodu o rozmiarach zawartych najczęściej w przedziale od centymetra do 10 m). Za pracę nad pierścieniami Saturna otrzymał Nagrodę Adamsa, nazwaną na cześć brytyjskiego współodkrywcy Neptuna. Maxwell pasjonował się też eksperymentami dotyczącymi widzenia barwnego, rozwijając idee Thomasa Younga i Hermanna von Helmholtza. Jego koło barw pozwalało ilościowo porównywać wrażenia barwne wytworzone przez zmieszanie trzech barw podstawowych: czerwieni, zieleni i błękitu. Nasuwało to myśl o fotografii barwnej: wystarczy bowiem sfotografować obraz w trzech barwach i później te trzy obrazy odpowiednio zmieszać.

My zajmiemy się tu pracą dotyczącą teorii kinetycznej gazów. Jest to niezwykle prosty model, który dość precyzyjnie opisuje zachowanie rzeczywistych gazów. Przyjmuje się w nim, że cząsteczki zderzają się sprężyście ze sobą oraz ze ściankami naczynia, poruszając się między zderzeniami prostoliniowo. Jak przedstawił to Maxwell na zjeździe w Aberdeen: cząsteczki powietrza poruszają się średnio z prędkością 1500 stóp na sekundę, przebywają między zderzeniami średnią drogę 1/447000 cala, co oznacza, że ulegają 8 077 200 000 zderzeniom w ciągu sekundy. Można śmiało przypuszczać, że Maxwell pragnął tymi liczbami zaintrygować słuchaczy (przedstawił też na zjeździe badania nad kolorami oraz model pierścieni Saturna – a więc mówił o rzeczach mogących zainteresować nie tylko ekspertów). Profesor musiał wywrzeć korzystne wrażenie, rok później przeniósł się bowiem do Londynu.

Maxwell pierwszy zadał pytanie: jaki jest rozkład statystyczny prędkości cząsteczek w gazie. Podał też prawidłową odpowiedź, zwaną dziś rozkładem Maxwella. Inspiracją były rozważania Adolphe’a Queteleta, jednego z pionierów statystyki w naukach społecznych i biologii. Szkocki uczony przeczytał długą recenzję pracy Queteleta w „Edinburgh Review”. Niepodpisany artykuł był autorstwa sir Johna Herschela i zawierał m.in. takie rozumowanie:

Przypuśćmy, że upuszczamy z dużej wysokości kulkę, pragnąc, by upadła ona w oznaczonym punkcie. Kulka spada i jej odchylenie od tego punktu stanowi błąd, a prawdopodobieństwo tego błędu jest pewną nieznaną funkcją kwadratu błędu, tzn. sumy kwadratów odchyleń w dwóch prostopadłych kierunkach. Ponieważ prawdopodobieństwo danego odchylenia zależy tylko od jego wartości, a nie od kierunku, więc prawdopodobieństwa obu odchyleń w prostopadłych kierunkach muszą być opisane tą samą funkcją ich kwadratów. Ponieważ także odchylenie w dowolnym kierunku jest równoważne odpowiednim odchyleniom w dwu prostopadłych kierunkach, które zdarzyły się jednocześnie i są od siebie niezależne – jest więc zdarzeniem, na które składają się dwa niezależne zdarzenia, zatem jego prawdopodobieństwo będzie równe iloczynowi tamtych oddzielnych prawdopodobieństw. Na podstawie tego warunku określić można postać nieznanej funkcji: takiej, że iloczyn dwóch owych funkcji dla dwóch argumentów równy jest tej samej funkcji od sumy obu argumentów. Ale w każdej książce z algebry wykazuje się, że własność taką posiada funkcja wykładnicza, i tylko ona. Jest to więc funkcja kwadratu błędu wyrażająca prawdopodobieństwo jego popełnienia.

W zapisie algebraicznym rozumowanie to sprowadza się do równości

f(x^2+y^2)=f(x^2)f(y^2) \Rightarrow f(x^2)=\exp(-\alpha x^2),

gdzie \alpha jest parametrem. Nasz wynik znany był wtedy jako funkcja błędu, dziś nazywany jest rozkładem normalnym – uzasadnieniem tej nazwy jest jego niezwykle częste występowanie w wielu sytuacjach: nie tylko błędy pomiaru, ale także mnóstwo innych wielkości wykazuje rozkład tego typu o charakterystycznym kształcie krzywej dzwonowej.

normal67

 

Wykres ze strony http://www.regentsprep.org/regents/math/algtrig/ats2/normallesson.htm. Jednostką na osi x jest 1/\sqrt{2\alpha}, odchylenie standardowe.

James Clerk Maxwell zastosował bardzo podobne rozumowanie do prędkości cząstek gazu. Jeśli potraktujemy składowe prędkości w prostopadłych kierunkach jako trzy zmienne v_x, v_y, v_z, to ich rozkłady prawdopodobieństwa powinny być opisane tą samą funkcją:

f(v_x^2+v_y^2+v_z^2)=f(v_x^2)f(v_y^2)f(v_z^2) \Rightarrow f(v^2_x)=\exp(-\alpha v_x^2),

gdzie \alpha jest pewnym parametrem. Maxwell pokazał też w swej pracy, że ów parametr zależy od masy cząsteczek m oraz temperatury T. Dziś zapisujemy to następująco:

\alpha=\dfrac{m}{2kT},

gdzie k to stała Boltzmanna. Znając rozkład prawdopodobieństwa dla składowych prędkości, można łatwo znaleźć postać rozkładu dla samej prędkości, korzystając z tego, że v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2. Rozkład prawdopodobieństwa przyjmuje postać:

p(v)=v^2\exp({-\alpha v^2}). \mbox{ (*)}

Zwykle ten wynik nazywamy rozkładem Maxwella. Pokazuje on, że w gazie występują wszystkie możliwe wartości prędkości, choć z różnym prawdopodobieństwem. Rozkład ten pozwala zrozumieć np., czemu w atmosferze jest mało lekkich pierwiastków, jak wodór – lżejsze atomy szybciej się poruszają i łatwiej jest im uciec w przestrzeń kosmiczną (a zawsze pewien niewielki ułamek cząsteczek ma dużą prędkość, jest to tzw. ogon rozkładu Maxwella).

MaxwellBoltzmann-en

https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell–Boltzmann_distribution#/media/File:MaxwellBoltzmann-en.svg

W późniejszym okresie Maxwell wrócił do wyprowadzenia tego rozkładu i uzyskał je z nieco solidniejszych założeń, które sprowadzały się do przyjęcia, iż wektory prędkości cząsteczek gazu nie są ze sobą skorelowane – co także nie jest założeniem oczywistym (tzw. chaos molekularny). To drugie podejście Maxwella otworzyło drogę do pracy Ludwiga Boltzmanna, wielkiego fizyka, który zajmował się głównie teorią gazów, rozszerzając ją stopniowo do fizyki statystycznej.

(*) Warunek v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2 to równanie sfery w przestrzeni v_x, v_y, v_z. Na sferze takiej prędkość jest stała. Szukając prawdopodobieństwa dla wąskiego przedziału prędkości (v,v+dv), musimy uwzględnić fakt, że objętość cienkiej powłoki między dwoma sferami równa się 4\pi v^2 dv – stąd dodatkowe v^2 w rozkładzie Maxwella. Nasze wszystkie rozkłady są nieunormowane, należy też, ściśle biorąc, rozważać zawsze niewielkie przedziały, a nie konkretne wartości, nie chciałem jednak zaciemniać prostych koncepcji, które tu się pojawiają.

Einstein i jednolita teoria pola: zmarnowane trzydzieści lat?

W roku 1915 Einstein przedstawił ostateczną wersję równań pola grawitacyjnego. No, może prawie ostateczną, bo niebawem dopisał jeszcze do nich człon kosmologiczny – z czysto matematycznego punktu widzenia wyraz ten może się tam znaleźć, choć nie musi, z fizycznego punktu widzenia nie było wówczas powodu, by to zrobić (dzięki stałej kosmologicznej mógł zbudować wszechświat, w którym przestrzeń trójwymiarowa nie ma brzegu, odpadał więc problem warunków brzegowych, jego motywy były matematyczno-filozoficzne, znane już wtedy obserwacje Sliphera nie zgadzały się z tym modelem). Taki powód istnieje dziś: obserwacje wskazują, że ekspansja wszechświata przyspiesza i człon kosmologiczny opisuje ten fakt (mówimy dziś o ciemnej energii, ale to tylko nowa nazwa dla starej wielkości).

Droga Einsteina do teorii grawitacji, którą nazywał ogólną teorią względności (OTW, dla odróżnienia od szczególnej STW z roku 1905), była wielce zagmatwana, pełna błędów i fałszywych objawień. Jednak ostateczny wynik – równania pola – są praktycznie jedyne możliwe. Zamiast pola grawitacyjnego mamy w OTW wielkość zwaną tensorem metrycznym, jest to dziesięć funkcji współrzędnych i czasu. Znając je, możemy analizować stosunki przestrzenne i czasowe w danej sytuacji fizycznej, obliczać tory cząstek itp. Mamy 10 równań dla tych 10 funkcji, przy czym tylko sześć równań jest niezależnych, bo układ współrzędnych można sobie dość dowolnie wybierać i matematyka nie może tego za nas rozstrzygać. Równania te nie mogą być inne (z dokładnością do członu kosmologicznego). Sama matematyka narzuca ich postać. Einstein nie wiedział o tym przed odkryciem, dopiero po fakcie zorientował się, że w gruncie rzeczy nie miał wielkiego wyboru. Jego droga była tak zagmatwana, ponieważ nie znał dostatecznie głęboko matematyki, którą się posługiwał. Nie on jeden zresztą: David Hilbert czy Felix Klein, wielcy matematycy z Getyngi, też nad nim nie górowali w owym czasie (choć Hilbert próbował się z nim ścigać i przegrał). Geometria różniczkowa, czyli dział matematyki zajmujący się zakrzywionymi przestrzeniami, zaczęła się szybciej rozwijać w następstwie teorii Einsteina, przedtem była to ezoteryczna dziedzina dla kilku wtajemniczonych, jak np. Tullio Levi Civita, z którym Einstein lubił korespondować podczas I wojny światowej, prosił nawet, by Włoch pisał do niego w ojczystym języku, bo przypominało mu to młodość, gdy często bywał we Włoszech u rodziców.

einstein_smalldynamiclead_dynamic_lead_slide

Einstein wypisujący na tablicy równania OTW w próżni: R_{ik}=0.

OTW rozwiązywała problem, którego prawie nikt nie stawiał. Owszem, przypuszczano, że stara teoria grawitacji Newtona musi zostać zmodyfikowana. W XIX wieku James Clerk Maxwell połączył całą naukę o elektryczności, magnetyzmie i optyce w jedną teorię. Było to wielkie osiągnięcie i jest nim do dziś: najróżniejsi specjaliści: od energetyki, prądnic, silników elektrycznych, łączności radiowej, kuchenek mikrofalowych, radarów, optyki, światłowodów, elektroniki itd. uczą się swego fachu startując z czterech równań Maxwella. Ogromny obszar zjawisk daje się zrozumieć w jednolity sposób. Jest to nie tylko eleganckie matematycznie, lecz także nadzwyczaj skuteczne w praktyce. Dlatego się mówi, że nie ma nic bardziej praktycznego niż porządna teoria. Otóż po Maxwellu podejrzewano, że także grawitacja powinna zostać zmodyfikowana, że np. pole grawitacyjne nie powinno rozchodzić się momentalnie, lecz ze skończoną prędkością – gdyby Księżyc znikł w danej chwili, to wody oceanów powinny to odczuć z opóźnieniem około sekundy. Ogólnie jednak biorąc, stara teoria Newtona radziła sobie świetnie, astronomowie potrafili z niezwykłą precyzją obliczać ruchy ciał niebieskich, astronomia stała się synonimem precyzyjnej nauki ścisłej aż nudnej w tym przywiązaniu do drobnych efektów, których nikt nie zauważa. Za czasów Einsteina OTW była piękną teorią zjawisk bardzo trudno mierzalnych. Grawitacja jest najsłabszym ze znanych oddziaływań i dlatego trudnym do badań w laboratorium czy bliskim kosmosie. W sumie OTW nie jest bynajmniej nauką o drobnych efektach, choć okazało się to już w bliższych nam czasach, gdy zaczęto obserwować ekstremalne zjawiska w kosmosie i badać czarne dziury.

Einstein zbudował więc grawitacyjny odpowiednik teorii Maxwella. Kiedy w roku 1919 okazało się, że OTW znajduje potwierdzenie w obserwacjach, stał się z jakiegoś kaprysu zbiorowej wyobraźni pierwszym naukowym celebrytą, może tylko Stephen Hawking cieszy się podobną, lecz zapewne mniejszą sławą. Fizycy w tamtych latach zajmowali się głównie zjawiskami atomowymi i kwantowymi. Czynił to także i Einstein, choć jego punkt widzenia różnił się zasadniczo od tego, co wypracowali Bohr, Born, Heisenberg, Dirac i inni twórcy mechaniki kwantowej. Tamtych interesowały przede wszystkim zjawiska atomowe: widma, zachowanie linii widmowych w polu elektrycznym albo magnetycznym, moment magnetyczny atomów itd. Einstein myślał raczej na poziomie ogólnym: pragnął połączyć swoją teorię grawitacji z elektrodynamiką Maxwella. Połączyć w sposób nietrywialny, bo można po prostu złożyć obie teorie „mechanicznie” w jedną. Nie było żadnych eksperymentów, które wskazywałyby, że pole elektromagnetyczne oraz grawitacyjne mają ze sobą cokolwiek wspólnego. Do dziś zresztą nie ma takich danych eksperymentalnych. Einstein sądził, że skoro brak eksperymentów, to tym gorzej dla faktów: on poszuka syntezy obu teorii i tak. Pozostawała mu jedynie droga matematyczna. Można przypuszczać, że wielkie wrażenie zrobił na nim fakt, iż OTW jest określona jednoznacznie przez ogólne założenia matematyczne i fizyczne, bez szczegółowego zagłębiania się w eksperymentalną kuchnię. Gdyby wiedział o tym przed rokiem 1915, znacznie szybciej znalazłby równania OTW.

Einsteina właściwie nie interesowała fizyka, tzn. rozwiązywanie kolejnych szczegółowych problemów. Oczywiście, lubił od czasu do czasu pokazać, jak się to robi, ale konkretne zagadnienia były dla niego przykładami czegoś bardziej ogólnego. Zawsze spoza drzew widział las i właściwie tylko las go naprawdę interesował. Psychiczną przykrość sprawiał mu brak logicznej spójności, dlatego sytuacja, gdy mamy w fizyce kilka różnych teorii, które niewiele ze sobą mają wspólnego, wydawała mu się zupełnie nieznośna. Natura jest jednolita i my powinniśmy zbudować jednolitą jej teorię. Lubił przywoływać Spinozę z jego bezwzględnie obowiązującą przyczynowością, sam był postacią w jakiś sposób siedemnastowieczną – to w epoce Kartezjusza, Spinozy i Leibniza tak mocno wierzono w racjonalny ład świata. Pogląd, że ze zjawiskiem fizycznym mamy do czynienia dopiero wtedy, gdy dokonamy jego pomiaru (takie było stanowisko Bohra), dla Einsteina było naigrawaniem się z racjonalnej wiary, nieomal świętokradztwem. Wszechświat rządzi się swoimi prawami, Księżyc istnieje także wtedy, gdy nikt na niego nie patrzy, a mysz nie zmienia swym spojrzeniem stanu wszechświata. Element subiektywności wprowadzony przez mechanikę kwantową był dla niego nie do przyjęcia. Dlatego mechanikę kwantową traktował jak szczególnie udaną teorię fenomenologiczną, tj. opisującą doświadczenia, ale bez ambicji dotarcia głębiej. Uważał, że prawidłowości statystyczne to nie nauka, lecz w najlepszym razie wstęp do nauki. Kiedy już poznamy te prawidłowości, to należy starać się zrozumieć, skąd się biorą.

Sądził, że musi istnieć teoria bardziej podstawowa, w ramach której wyjaśni się, z jakich cząstek zbudowany jest świat, a nawet czym jest cząstka. Według niego nie powinno być dwóch elementów teorii: cząstek (np. elektronów) oraz pól przez te cząstki wytwarzanych. Wszystko powinno być opisywane jako pola, cząstka to po prostu zlokalizowany obszar szczególnie silnego pola (coś w rodzaju solitonu – ale Einstein nie znał jeszcze tego pojęcia). Miał też nadzieję, że ruch owych cząstek także będzie wynikał z równań pola. OTW jest nieliniowa: suma dwóch rozwiązań nie jest w niej rozwiązaniem. W teoriach nieliniowych dwa ruchome „zgrubienia” pola będą jakoś ze sobą oddziaływać. W ten sposób spodziewał się zrozumieć zjawiska kwantowe. Z jego punktu widzenia trzeba było tylko znaleźć dobry punkt wyjścia. Jednolita teoria pola miała być połączeniem OTW i elektrodynamiki w nietrywialny matematycznie sposób.

Zaczął nad nią pracować niemal od razu po stworzeniu OTW, a w latach dwudziestych zaczął już publikować na ten temat. Sięgał po różne środki, pracowali z nim coraz to inni asystenci, cel pozostawał wciąż niezmienny. Co parę lat Einstein przekonany był, że najnowsza wersja równań jest właśnie tym, czego szuka. Potem zaczynał dostrzegać trudności, wreszcie zarzucał dane podejście. Jak to wyglądało, opisuje Ernst Gabor Straus, który pracował z Einsteinem w latach 1944-1948. Straus został później wybitnym matematykiem, opublikował 21 prac z Paulem Erdösem (co jest swego rodzaju tytułem szlacheckim) i zajmował się wieloma dziedzinami matematyki. Straus zapisywał różne charakterystyczne wypowiedzi Einsteina. „Do naszej pracy konieczne są dwie rzeczy: niezmordowana wytrwałość i gotowość, aby wyrzucić to, na co się poświęciło wiele czasu i pracy”. Sam był dwukrotnie świadkiem takiej sytuacji, za każdym razem Einstein na drugi dzień przychodził i jakby nigdy nic zaczynali pracę od nowa, stosując zupełnie inne podejście.

Einstein pracował nad jednolitą teorią pola aż do śmierci w roku 1955. Kiedy zaczynał, uchodził za największego fizyka świata, wszyscy czekali na jego kolejne prace, kończył jako zupełny outsider, dinozaur z innej epoki. Trzydzieści lat bez wyników. Byłoby to tragiczne, gdyby sam Einstein traktował swą pracę w sposób, by tak rzec romantyczny i ambicjonalny. Nie wierzył on jednak w rzeczy powstające tylko z ambicji. Niewiele znaczyły dla niego różne wyróżnienia. Kiedy dostał Medal Maksa Plancka schował go i nawet nie otworzył pudełeczka, żeby go obejrzeć. Potrafił całymi latami z jednakową koncentracją robić swoje, nie oglądając się na kolegów. Zaczynał działalność naukową jako urzędnik Biura Patentowego i przez wiele lat fizyka była dla niego zajęciem niezwiązanym z zarabianiem pieniędzy. Uważał nawet, że taka sytuacja jest przejrzystsza, bo inaczej człowiek żyje pod presją uzyskiwania wyników, a wyniki przychodzą albo nie. Nie należy drążyć deski w najcieńszym miejscu tylko dlatego, że tak jest najłatwiej.

Starzejący się uczeni często popadają w naukowe dziwactwa. Praca Einsteina nad jednolitą teorią pola nie całkiem pasuje do tego schematu, była raczej konsekwencją jego poglądów niż aberracją. Uczony nie odszedł od zmysłów, potrafił się uczyć (jeśli tylko chciał), nie przestał być twórczy ani nie zapomniał, jak się uprawia naukę.

Z dzisiejszego punktu widzenia jednolita teoria pola była zapewne pomyłką. Fizyka rozwinęła się zupełnie inaczej: najpierw cofnęła się do epoki sprzed teorii względności szczególnej (STW). Równanie Schrödingera z roku 1926 jest nierelatywistyczne. Potem stopniowo nauczono się łączyć STW z mechaniką kwantową – wynikiem jest kwantowa teoria pola. Einstein świadomie ją ignorował, choć za jego życia, mniej więcej w okresie asystentury Strausa, powstała elektrodynamika kwantowa. Już po śmierci Einsteina zbudowano jej uogólnienie – teorię oddziaływań elektrosłabych (tę od bozonu Higgsa). Ostatecznie mamy dziś nie do końca satysfakcjonujący, lecz zgodny z doświadczeniem, Model Standardowy cząstek. Zawiera on mnóstwo parametrów eksperymentalnych i oparty jest na kwantowej teorii pola. Mamy więc połączenie STW i fizyki kwantowej. I mamy też spory impas, ponieważ od czterdziestu lat nie udało się znaleźć teorii bardziej zadowalającej teoretycznie oraz zgodnej z eksperymentem. Może ulepszony LHC pozwoli uzyskać istotnie nowe dane eksperymentalne.

Natomiast OTW nie udało się połączyć z żadną teorią kwantową aż do dziś, mimo różnych cząstkowych osiągnięć. Chyba nikt nie stara się już kontynuować programu jednolitej teorii pola w sensie Einsteina: tzn. zbudowania wspólnej niekwantowej teorii oddziaływań. Wydaje się, że Einstein zaczął nie od tej strony, bo OTW jest marnym punktem wyjścia do badania zjawisk atomowych.

Niepowodzenie Einsteina trzeba widzieć na tle całości. Nauka wbrew pozorom jest bardziej historią niepowodzeń niż sukcesów, tzn. niepowodzenia są chlebem powszednim, sukcesy – świętem. Dzisiejsza fizyka fundamentalna, sześćdziesiąt lat po śmierci Einsteina, wygląda raczej na zagubioną. Ogromny program superstrun, angażujący od paru dziesiątków lat najzdolniejszych teoretyków świata z Edwardem Wittenem na czele (indeks Hirscha 150 i nadal rośnie), ugrzązł zdaje się na dobre, w każdym razie wymierne korzyści przyniósł do tej pory raczej matematyce niż fizyce. Uczeni pracujący w tej dziedzinie powtórzyli podobny błąd co Einstein: dali się uwieść matematyce i wylądowali w tzw. krajobrazie superstrun, w którym udowodnić można wszystko i niczego nie można przewidzieć.

Einstein miał oczywiście nadzieję, że któregoś dnia okaże się, iż w sprawie jednolitej teorii słuszność jest po jego stronie. Z biegiem lat ta nadzieja odsuwała się w coraz dalszą przyszłość. Bardzo niewielu uczonych tak głęboko utożsamiało się z tym, co robi i w co wierzy. Nauka nie była dla niego pracą, lecz sposobem realizacji powołania. Ta sama ścisła przyczynowość, która obowiązywała w jego fizyce, kształtowała także jego wyobrażenia o miejscu człowieka w świecie. Einstein wypowiadał się nieraz, że gdyby wiedział, iż ma umrzeć w ciągu godziny, to wcale by się tym nie przejął, gdyż wierzy w porządek świata, w którym człowiek jest tylko małą cząstką całości, a osobowość czymś w rodzaju złudzenia optycznego. Można mu wierzyć, bo potem rzeczywiście żył z wyrokiem śmierci. Ostatnie siedem lat życia przeżył z dużym zdiagnozowanym tętniakiem aorty brzusznej – nie można było wówczas zrobić operacji, uczony wiedział, że pewnego dnia tętniak pęknie. Kiedy to się stało, nie pozwolił się dręczyć lekarzom, sądził, że lepiej umrzeć, skoro nadszedł czas. Spokojnie porozmawiał z pasierbicą Margot, z synem Hansem Albertem, próbował nawet kontynuować jakieś zaczęte rachunki. Uprzednio zadbał, aby po śmierci jego ciało spalono, a prochy rozrzucono w nieznanym miejscu. Za coś w złym guście uważał pielgrzymki do grobów sławnych ludzi. Piękny przykład, że można obejść się bez magii i bez samozwańczych przedstawicieli Boga na ziemi nawet w obliczu śmierci.

Nie czuł się pokonany ani przegrany. Dwa tygodnie przed śmiercią rozmawiał z nim na różne tematy historyk nauki I.B. Cohen. Wspomina on: „Ogromny kontrast zachodził między jego cichą mową a dudniącym śmiechem. Lubił żartować, za każdym razem, gdy powiedział coś, co mu się podobało, albo usłyszał coś, co do niego przemówiło, wybuchał grzmiącym śmiechem, który odbijał się od ścian”. Jego śmiech wspominało wielu ludzi, którzy go znali. Hedwig Born, żona Maksa, po długich latach niewidzenia pisała do niego: „Chciałabym móc usłyszeć jeszcze raz twój potężny śmiech”.

Einstein_laughing

Student Einstein, profesor Weber i diamenty (1906)

Albert Einstein miał trudności z dostaniem się na studia. Po pierwsze nie miał matury: gimnazjum w Monachium porzucił – nie podobała mu się sztywna atmosfera, a i on niezbyt się podobał nauczycielom. „ …Kiedy tak siedzisz w tylnej ławce i się uśmiechasz, to sama twoja obecność podważa mój autorytet wobec reszty uczniów” – oświadczył mu jeden z profesorów. Po drugie należało zdać egzaminy wstępne z wielu przedmiotów: historii politycznej, historii literatury, biologii, chemii, języków i rysunku. Einstein, wybitny z fizyki i matematyki, miał braki w niektórych innych przedmiotach. Zdawał na politechnikę w Zurychu, ETH (która nie wymagała świadectwa maturalnego) i oblał. Poradzono mu, aby poszedł jeszcze na rok do szkoły. Miał czas: skończył dopiero 16 lat. Za drugim razem go przyjęto. Były to w zasadzie studia nauczycielskie, po których otrzymywało się tytuł uprawniający do uczenia w szkole średniej.

Na politechnice zetknął się z profesorem Heinrichem Weberem, który prowadził wiele kursów i laboratoriów. Einstein z początku wyrażał się o Weberze w samych superlatywach, profesor także cenił zdolnego studenta. Po jakimś jednak czasie ich stosunki mocno się ochłodziły. Einstein przestał chodzić na wykłady, odkąd stwierdził, że niczego nowego się nie uczy – Weber za zbyt nowomodną uznawał np. teorię elektromagnetyzmu Maxwella, liczącą sobie ponad dwadzieścia lat. W dodatku student Einstein w pracowni chciał przeprowadzać wszystkie eksperymenty po swojemu, co prowadziło do konfliktów. Na domiar złego tytułował profesora: Herr Weber zamiast obowiązkowego Professor Weber. Toteż z pracy dyplomowej otrzymał zaledwie 4,5 (w skali do sześciu) i była to najsłabsza z jego ocen. Z takim dyplomem miał niewielkie szanse na zostanie na uczelni. Nigdy chyba Weberowi nie darował, bo wspominał go zawsze źle, co u Einsteina było raczej rzadkie. Prawdopodobnie profesor nie mógł wybaczyć studentowi, że ten śmie być od niego inteligentniejszy – zjawisko znane nie tylko w Zurychu z roku 1900.

Weberowi więc zawdzięczamy ten urzekający biografów obrazek: oto urzędnik Biura Patentowego w Bernie publikuje w 1905 roku przełomowe odkrycia z fizyki, których dokonał po godzinach pracy (osiem godzin, sześć dni w tygodniu). Oprócz teorii względności, będącej niemal w całości jego dziełem, Einstein zajmuje się w tym czasie wieloma zagadnieniami, wystarczyłoby ich na dorobek bardzo wybitnego uczonego (zresztą nagrodę Nobla dostał właśnie za te „inne” prace, teoria względności wydawała się bowiem kontrowersyjna).

W roku 1906 ukazuje się przełomowa praca Einsteina na temat ciepła właściwego kryształów, która do dziś stanowi rozdział podręczników. W pracy tej raz jeszcze skrzyżowały się losy profesora Webera i młodego doktora Einsteina.

Ciepło właściwe to ciepło potrzebne, aby ogrzać ustaloną ilość substancji o jeden stopień. Wiadomo było, że wiele kryształów ma takie same ciepło właściwe, jeśli tylko przeliczymy je na mol substancji. Prawidłowość ta została od nazwisk odkrywców nazwana prawem Dulonga-Petita. Ciepło molowe równe jest 3R=5,96 cal/mol·K (takich jednostek używał Einstein na wykresie poniżej). Stała R jest to stała gazowa, znana ze szkoły. Prawidłowość tę można wyjaśnić teoretycznie, jeśli przyjąć, że atomy w krysztale drgają wokół położeń równowagi. Gdy dostarczamy kryształowi energię (a więc go ogrzewamy), drgania stają się coraz intensywniejsze. Przy pewnej wielkości tych drgań kryształ się zdestabilizuje i ciało się stopi.Każdy atom stanowi więc oscylator powiązany z sąsiednimi atomami: jak układ mas połączonych sprężynami. Fizyka klasyczna (tzw. zasada ekwipartycji energii) przewiduje taką jak trzeba wartość ciepła właściwego. Tę elegancką zgodność teorii z eksperymentem popsuły (jak zwykle) dalsze eksperymenty. Okazało się, że niektóre kryształy, np. diament, mają ciepło właściwe dużo mniejsze niż 6 cal/mol·K. W latach siedemdziesiątych wieku XIX zagadnieniem tym zajmował się Heinrich Weber, wówczas asystent Hermanna von Helmholtza w Berlinie. Ciepło właściwe diamentu, a także niektórych innych ciał stałych wyraźnie maleje wraz z temperaturą. Jak się wydaje, także i tego faktu Einstein nie dowiedział się od Webera.

Niewielu fizyków zdawało sobie sprawę, jak bardzo ambarasujący są te wyniki eksperymentalne. Chodziło nie o jakąś anomalię budowy niektórych kryształów, lecz o kwestię zupełnie fundamentalną. Fizyka klasyczna, przedkwantowa, nie potrafi tego zjawiska wyjaśnić. W roku 1906 nie było też żadnej fizyki kwantowej ani poczucia, że jest ona do czegoś potrzebna. Kilka lat wcześniej Max Planck w innym zagadnieniu (promieniowania termicznego) przyjął założenie, że drgające ładunki emitujące promieniowanie nie mogą mieć dowolnej energii, lecz tylko pewien ich ciąg – energia jest skwantowana. Było to jednak inne zagadnienie, niemające wiele wspólnego z drganiami atomów w krysztale diamentu oprócz tego, że w obu przypadkach chodziło o drgania. Einstein przyjął, że drgania atomów w krysztale diamentu są skwantowane: tzn. atom taki nie może drgać z dowolną amplitudą, dozwolone są jedynie pewne skokowe jej wartości. To tak jakby wahadło mogło mieć tylko pewien skwantowany ciąg amplitud. Brzmi to cokolwiek szaleńczo, ale okazało się prawdą. Jeśli przyjmiemy, że energia drgań atomu może być równa tylko n\varepsilon, gdzie n jest liczbą naturalną (od zera począwszy), a \varepsilon pewną stałą energią charakterystyczną dla kryształów diamentu, to można wyjaśnić, czemu ciepło właściwe maleje z temperaturą. Przy wysokich temperaturach skok energii o \varepsilon staje się niezauważalny i wracamy do klasycznego wyniku.(*)

annalen_1906

Obliczenia Einsteina zostały na wykresie zestawione z wynikami uzyskanymi przez Webera. Einstein wykorzystał dane z powszechnie znanych tablic, nic nie wskazuje, aby przy tej okazji zwrócił się osobiście do Webera. Temperatura jest podana jako ułamek pewnej temperatury charakterystycznej dla diamentu i równej 1300 K. Ciepło właściwe wyrażone jest w kaloriach i dąży do wartości bliskiej 6 przy wysokich temperaturach. Wyjątkowość diamentu polega jedynie na tym, że owa charakterystyczna temperatura jest stosunkowo wysoka, nie potrzeba więc pomiarów w bardzo niskich temperaturach, aby wykryć odchylenia od prawa Dulonga-Petita.

Praca Einsteina na temat drgań w kryształach jest świetnym przykładem czegoś, co Arthur Koestler nazywał „sleepwalking”: chodzeniem przez sen. Twórcy teorii kwantowej: Planck, Einstein, Bohr poruszali się jak somnabulicy chodzący po dachu, którzy jakimś cudem nie robią sobie krzywdy i docierają szczęśliwie do nieznanego celu. Einstein miał dużo szczęścia w przypadku tej pracy: dane dla innych kryształów i ogólnie dla niskich temperatur nie potwierdzają jego zbyt uproszczonego modelu (choć niezbędne poprawki są czysto techniczne, chodzi o tzw. model Debye’a). Miał jednak rację co do zasady: drgania są skwantowane i w niskich temperaturach przejawia się to w cieple właściwym. Miał też rację przewidując, że ciepło właściwe powinno dążyć do zera, gdy temperatura dąży do zera bezwzględnego. Jego wyniki wykorzystał W. Nernst, formułując III zasadę termodynamiki.

(*)

Pokażemy, jak obliczyć ciepło właściwe kryształu. Korzystamy z podstawowego prawa fizyki statystycznej, że prawdopodobieństwo znalezienia układu w stanie o energii E_n jest równe

p_n=\dfrac{\exp(-E_n/kT)}{Z}.

Z jest tu pewną stałą zależną od temperatury, ale nie od energii E_n; k to stała Boltzmanna, T – temperatura. Z warunku unormowania prawdopodobieństw (suma wszystkich prawdopodobieństw musi być równa 1) otrzymujemy

Z=\exp(-E_1/kT)+\exp(-E_2/kT)+\ldots

W naszym przypadku średnią energię drgającego atomu możemy zapisać jako

E=p_1 E_1+p_2 E_2+\ldots=\dfrac{\varepsilon\exp(-\varepsilon/kT)+2\varepsilon\exp(-2\varepsilon/kT)+\ldots}{\exp(-\varepsilon/kT)+\exp(-2\varepsilon/kT)+\ldots}.

Jest to w zasadzie średnia ważona z energii, w której wagami są eksponenty. Musimy wysumować dwa szeregi: w liczniku i w mianowniku. Prostszy jest ten w mianowniku, oznaczając x=\exp(-\varepsilon/kT) otrzymujemy dla mianownika

Z=1+x+x^2+\ldots=\dfrac{1}{1-x}.

Jest to suma szeregu geometrycznego. Sumę w liczniku możemy uzyskać albo różniczkując ostatnią równość po x, albo zauważając, że można ją zapisać jako

x+2x^2+3x^3+\ldots=
=(x+x^2+x^3+x^4+\ldots)+(x^2+x^3+x^4+\ldots)+(x^3+x^4+\ldots)+\ldots=
=xZ+x^2 Z +x^2 Z+\ldots=x(1+x+x^2+\ldots)Z=xZ^2.

Ostatecznie więc dostajemy energię średnią drgającego atomu równą

E=\dfrac{\varepsilon}{\exp\frac{\varepsilon}{kT}-1}

Ciepło właściwe przedstawione na wykresie to pochodna tej funkcji po temperaturze.

Czy ludzie epoki wiktoriańskiej byli od nas inteligentniejsi?

Niezwykle długie panowanie królowej Wiktorii: od 1837 do 1901 roku było wyjątkowe także z powodu niezwykłego postępu, jaki się w tym czasie dokonał. To prawda, że Anglia miała do dyspozycji zasoby całego swego imperium, ale była też krajem, który umiał z nich korzystać, przodował w przemyśle, handlu, wynalazkach, organizacji państwa, jak też w naukach podstawowych. Jeśli chodzi o naukę, wystarczy wyliczyć największe osiągnięcia naukowe stulecia: James Clerk Maxwell stworzył jednolitą teorię elektryczności, magnetyzmu i optyki, James Joule i William Thomson (późn. lord Kelvin) mieli wielki wkład w powstanie termodynamiki, a Charles Darwin przekształcił biologię z bezładnej opowieści o cudach stworzenia w spójną narrację dotyczącą dziejów życia na Ziemi. Były to czasy, gdy życie gentlemana było zdecydowanie komfortowe, ale także szerokie masy mogły wreszcie utrzymać się przyzwoicie ze swej pracy, nie głodując. W Anglii już od dawna nie było analfabetów, dużą popularnością cieszyły się popularne wykłady i książki naukowe (w Polsce międzywojennej wciąż około 20% ludności nie znało liter, a nauka nie była popularna właściwie nigdy).

Francis Galton był kuzynem Charlesa Darwina, mieli wspólnego przodka w osobie Erasmusa Darwina, wizjonera ewolucjonizmu. Galton, który sam był cudownym dzieckiem w wieku sześciu lat czytającym Shakespeare’a dla przyjemności, gdy chciał odpocząć od poważniejszych lektur, interesował się dziedziczeniem inteligencji i przeprowadził badania empiryczne czasu reakcji. Współcześni psychologowie uważają, że czas reakcji człowieka jest miarą sprawności jego aparatu poznawczego, jednym słowem, gdy potocznie mówimy, że ktoś jest bystry i rozumiemy przez to szybsze przetwarzanie danych w umyśle, nie jesteśmy daleko od istoty inteligencji. Współcześni badacze porównali dane Galtona dotyczące czasu reakcji z danymi uzyskiwanymi później. Wyniki nie są niestety korzystne dla współczesnego społeczeństwa.

1-s2.0-S0160289613000470-gr1

Czas reakcji w milisekundach. Wykres z pracy: Woodley, M.A., et al.,Were the Victorians cleverer than us? The decline in general intelligence estimated from a meta-analysis of the slowing of simple reaction time, „Intelligence” (2013), http://dx.doi.org/10.1016/j.intell.2013.04.006

Oczywiście można dyskutować nad statystyką i metodologią tej pracy, zainteresowani mogą sami się jej przyjrzeć. Załóżmy jednak, że wyniki są prawdziwe. Jest możliwe, że taka jest właśnie cena cywilizacyjnego postępu: szerszy dostęp do medycyny, kalorycznej żywności i higieny owocuje większym przyrostem naturalnym, także czy może przede wszystkim wśród osób o mniejszych zdolnościach poznawczych.

W ten sposób postęp cywilizacyjny, budowany przez stosunkowo nielicznych, byłby wykorzystywany przez innych, którzy wyłącznie go konsumują. Pomyślmy np. o imigracji. Każdy bogaty kraj zalewany jest falą imigracji i jedynie niewielką jej część stanowią ludzie, którzy chcą się rozwijać i mają autentyczne aspiracje, jak powiedzmy Chińczycy w USA. Polityczna poprawność każe uciekać od tematów tego rodzaju, jednak ludzie nie są równi i nic na to nie poradzimy, podobnie jak nie każda praca naukowa jest tyle samo warta, a nie każdy profesor jest wybitnym uczonym. (Nie znaczy to jednak, że ludzie nie powinni być równi wobec prawa – to zupełnie inna sprawa – albo że nie trzeba tworzyć im równych szans, nie opowiadam się tu za żadną dyskryminacją, nie jestem zwolennikiem wybranej rasy ani wybranego narodu!).

Wyniki tego badania są ciekawe także dlatego, że przeczą naszemu odruchowemu przekonaniu o postępie. A przecież kiedy się chwilę zastanowić, nie wszystko i nie zawsze zmienia się na lepsze. Np. wykształcenie Polaków bardzo się poprawiło, jeśli mierzyć je liczbą wydanych dyplomów, a pogorszyło się, jeśli mierzyć je liczbą czytanych książek (filmiki czy memy w internecie nie nauczą nas intelektualnego wysiłku, pokonywania trudności, książki dla umysłu są tym co siłownia czy sport dla mięśni). Nie chcę przez to powiedzieć, że dzisiejsi Polacy są mniej inteligentni, chodzi mi tylko o to, żeby uświadamiać sobie ukryte założenia w naszym myśleniu. To jedna z najtrudniejszych kwestii w życiu umysłowym i naukowym. Wiele razy w historii ludzie nie wyciągali wniosków z tego, co mieli przed nosem, tylko dlatego, że stały im na drodze jakieś niewidzialne przeszkody. Wielkość wybitnych uczonych, powiedzmy Galileusza czy Einsteina, polegała w znacznej mierze na umiejętności uwalniania się od takich oczywistych założeń. Galileusz znał cały zestaw argumentów przeciwko ruchowi Ziemi i wykazał, że można je wszystkie skutecznie rozbroić i że ruch Ziemi nie oznacza żadnej katastrofy dla jej mieszkańców. Einstein potrafił zakwestionować coś tak oczywistego jak wspólny dla wszystkich absolutny czas.