Adolphe Quetelet, krzywa dzwonowa i statystyczny człowiek (1835)

Był z wykształcenia matematykiem, z temperamentu organizatorem, lecz do historii przeszedł głównie dzięki swej niepohamowanej namiętności do stosowania metod statystycznych. Pragnął stworzyć statystyczną naukę o człowieku, opartą na rozmaitych szczegółowych spisach dotyczących narodzin, rozwoju, zdolności, karalności, chorób i zgonów ludnosci różnych obszarów czy grup. Jego dwutomowe dzieło z roku 1835 zatytułowane Sur l’homme et le développement de ses facultés, ou Essai de physique sociale („O człowieku i rozwoju jego zdolności, czyli zarys fizyki społecznej”) stało się szybko klasyczne. Quetelet wprowadził pojęcie statystycznego czy też przeciętnego człowieka (l’homme moyen), wyobrażając sobie, iż istnieje pewien idealny wzór, od którego poszczególni ludzie odchylają się za sprawą wielu różnych przyczyn. Pojęcie rozkładu statystycznego, który mieści całe spektrum badanej cechy, dopiero się kształtowało. Wcześniej  uczeni stosowali rozkłady statystyczne takie, jak rozkład Gaussa, do analizy błędów pomiarowych, gdy wiadomo, że mierzona wielkość przyjmuje pewną określoną wartość, a problemem jest jej ustalenie na podstawie obarczonych błędami pomiarów. Równolegle przebiegał społeczny proces uznania różnic między ludźmi za coś naturalnego, a nawet potrzebnego, nie za błąd w rozwoju czy niedostatek.

Jak to zwykle bywa w przypadku badań pionierskich, wiele wyników zostało potem zrewidowanych, niektóre stwierdzenia rażą dziś naiwnością. W swojej epoce był jednak Quetelet powszechnie uznawany za postać ważną, jego prace czytali uczeni tak różni, jak James Clerk Maxwell (który idee statystyczne zastosował do gazów) i Charles Darwin. Kontynuatorem prac Queteleta stał się kuzyn Darwina Francis Galton (to on ochrzcił rozkład Gaussa mianem rozkładu normalnego).

Znany powszechnie indeks masy ciała BMI (iloraz masy i kwadratu wzrostu) jest wynikiem obserwacji Queteleta, iż objętość ciała człowieka dorosłego nie jest proporcjonalna do sześcianu, lecz raczej do kwadratu wzrostu:

Gdyby człowiek rósł jednakowo we wszystkich wymiarach, ciężar w różnym wieku byłby proporcjonalny do sześcianu wzrostu. Obserwuje się jednak co innego. Wzrost masy jest mniej gwałtowny, z wyjątkiem pierwszego roku po urodzeniu, kiedy rzeczywiście na ogół obserwuje się powyższą proporcję. Potem jednak aż do okresu pokwitania ciężar ciała rośnie mniej więcej jak kwadrat wzrostu. (Sur l’homme, t. 2, s. 52)

Quetelet nie interesował się wszakże różnicami między ludźmi, starał się raczej odnaleźć typ idealny. Wskaźnik BMI zaczął być stosowany dopiero w drugiej połowie wieku XX, gdy problemem medycznym i ubezpieczeniowym w społeczeństwach zachodnich stały się nadwaga i otyłość.

W swym traktacie podał też Quetelet zaskakujący wzór na skłonność do przestępstwa y (mierzoną statystycznie) jako funcję wieku w latach x:

y=(1-\sin x)\,\dfrac{1}{1+2^{18-x}},

gdzie argument funkcji sinus podany jest w gradach: 100 gradów odpowiada kątowi prostemu. Wykres obserwowanej skłonności do przestępstwa wygląda u Qeteleta następująco:

źródło ilustracji: gallica.bnf.fr

Drugi wykres z płaskim obszarem szczytowym między trzydziestym a czterdziestym piątym rokiem życia dotyczy zdolności literackich. Wróćmy jeszcze do owej skłonności do przestępstwa.

Zależność Queteleta jest iloczynem dwóch funkcji: malejącej funkcji 1-\sin x w pierwszej ćwiartce (czyli czegoś zbliżonego do paraboli) oraz funkcji logistycznej, która opisuje szybki wzrost w okolicy x=18. Nb. krzywa logistyczna zastosowana została kilka lat później przez Pierre’a François Verhulsta, ucznia Quteleta, do modelowania ograniczonego wzrostu populacji, który zaczyna się wykładniczo (nieograniczone rozmnażanie), lecz osiąga naturalną barierę (np. brak pożywienia). Tutaj, w pracy Queteleta, krzywa logistyczna zdaje sprawę z osiągania dojrzałości przez człowieka, na dobre i złe. Oczywiście, nie powinniśmy zbyt serio traktować tego wzoru. Sam Quetelet w późniejszych latach ograniczał się do opisu danych statystycznych, nie upierając się przy żadnym wyrażeniu.

Wykres skłonności do przestępstw wg płci. Widzimy, że kobiety wkraczają później na ścieżkę kryminalną, lecz dłużej są aktywne.

Trwałym dorobkiem Queteleta okazało się stosowanie krzwej dzwonowej do opisu rozkładu statystycznego. Sam po raz pierwszy zastosował ją do statystyki obwodu w piersiach szkockich rekrutów. Jego dane wyglądały następująco:

Obwód w klatce piersiowej wyrażony jest w calach. Quetelet starał się dopasować do tych danych krzywą Gaussa, lecz w praktyce użył rozkładu dwumianowego z prawdopodobieństwami sukcesu/porażki 1/2 oraz liczbą prób równą 999 (tak, żeby mieć 1000 różnych wyników). Inaczej mówiąc, są to prawdopodobieństwa uzyskania k orłów w 999 rzutach monetą.

Jako uczeń Fouriera i Laplace’a wiedział dobrze, że rozkład dwumianowy dąży przy dużych wartościach liczby prób do rozkładu Gaussa. W ten sposób zaczęła się oszałamiająca kariera krzywej Gaussa w zastosowaniach statystycznych. W latach późniejszych przesadne stosowanie rozkładu Gaussa do wszelkich możliwych danych zaczęto nawet nazywać „quetelizmem” – bo, oczywiście, istnieją też inne rozkłady, choć w wielu sytuacjach właśnie rozkład Gaussa prawidłowo opisuje stan faktyczny.

Czy ludzie epoki wiktoriańskiej byli od nas inteligentniejsi?

Niezwykle długie panowanie królowej Wiktorii: od 1837 do 1901 roku było wyjątkowe także z powodu niezwykłego postępu, jaki się w tym czasie dokonał. To prawda, że Anglia miała do dyspozycji zasoby całego swego imperium, ale była też krajem, który umiał z nich korzystać, przodował w przemyśle, handlu, wynalazkach, organizacji państwa, jak też w naukach podstawowych. Jeśli chodzi o naukę, wystarczy wyliczyć największe osiągnięcia naukowe stulecia: James Clerk Maxwell stworzył jednolitą teorię elektryczności, magnetyzmu i optyki, James Joule i William Thomson (późn. lord Kelvin) mieli wielki wkład w powstanie termodynamiki, a Charles Darwin przekształcił biologię z bezładnej opowieści o cudach stworzenia w spójną narrację dotyczącą dziejów życia na Ziemi. Były to czasy, gdy życie gentlemana było zdecydowanie komfortowe, ale także szerokie masy mogły wreszcie utrzymać się przyzwoicie ze swej pracy, nie głodując. W Anglii już od dawna nie było analfabetów, dużą popularnością cieszyły się popularne wykłady i książki naukowe (w Polsce międzywojennej wciąż około 20% ludności nie znało liter, a nauka nie była popularna właściwie nigdy).

Francis Galton był kuzynem Charlesa Darwina, mieli wspólnego przodka w osobie Erasmusa Darwina, wizjonera ewolucjonizmu. Galton, który sam był cudownym dzieckiem w wieku sześciu lat czytającym Shakespeare’a dla przyjemności, gdy chciał odpocząć od poważniejszych lektur, interesował się dziedziczeniem inteligencji i przeprowadził badania empiryczne czasu reakcji. Współcześni psychologowie uważają, że czas reakcji człowieka jest miarą sprawności jego aparatu poznawczego, jednym słowem, gdy potocznie mówimy, że ktoś jest bystry i rozumiemy przez to szybsze przetwarzanie danych w umyśle, nie jesteśmy daleko od istoty inteligencji. Współcześni badacze porównali dane Galtona dotyczące czasu reakcji z danymi uzyskiwanymi później. Wyniki nie są niestety korzystne dla współczesnego społeczeństwa.

1-s2.0-S0160289613000470-gr1

Czas reakcji w milisekundach. Wykres z pracy: Woodley, M.A., et al.,Were the Victorians cleverer than us? The decline in general intelligence estimated from a meta-analysis of the slowing of simple reaction time, „Intelligence” (2013), http://dx.doi.org/10.1016/j.intell.2013.04.006

Oczywiście można dyskutować nad statystyką i metodologią tej pracy, zainteresowani mogą sami się jej przyjrzeć. Załóżmy jednak, że wyniki są prawdziwe. Jest możliwe, że taka jest właśnie cena cywilizacyjnego postępu: szerszy dostęp do medycyny, kalorycznej żywności i higieny owocuje większym przyrostem naturalnym, także czy może przede wszystkim wśród osób o mniejszych zdolnościach poznawczych.

W ten sposób postęp cywilizacyjny, budowany przez stosunkowo nielicznych, byłby wykorzystywany przez innych, którzy wyłącznie go konsumują. Pomyślmy np. o imigracji. Każdy bogaty kraj zalewany jest falą imigracji i jedynie niewielką jej część stanowią ludzie, którzy chcą się rozwijać i mają autentyczne aspiracje, jak powiedzmy Chińczycy w USA. Polityczna poprawność każe uciekać od tematów tego rodzaju, jednak ludzie nie są równi i nic na to nie poradzimy, podobnie jak nie każda praca naukowa jest tyle samo warta, a nie każdy profesor jest wybitnym uczonym. (Nie znaczy to jednak, że ludzie nie powinni być równi wobec prawa – to zupełnie inna sprawa – albo że nie trzeba tworzyć im równych szans, nie opowiadam się tu za żadną dyskryminacją, nie jestem zwolennikiem wybranej rasy ani wybranego narodu!).

Wyniki tego badania są ciekawe także dlatego, że przeczą naszemu odruchowemu przekonaniu o postępie. A przecież kiedy się chwilę zastanowić, nie wszystko i nie zawsze zmienia się na lepsze. Np. wykształcenie Polaków bardzo się poprawiło, jeśli mierzyć je liczbą wydanych dyplomów, a pogorszyło się, jeśli mierzyć je liczbą czytanych książek (filmiki czy memy w internecie nie nauczą nas intelektualnego wysiłku, pokonywania trudności, książki dla umysłu są tym co siłownia czy sport dla mięśni). Nie chcę przez to powiedzieć, że dzisiejsi Polacy są mniej inteligentni, chodzi mi tylko o to, żeby uświadamiać sobie ukryte założenia w naszym myśleniu. To jedna z najtrudniejszych kwestii w życiu umysłowym i naukowym. Wiele razy w historii ludzie nie wyciągali wniosków z tego, co mieli przed nosem, tylko dlatego, że stały im na drodze jakieś niewidzialne przeszkody. Wielkość wybitnych uczonych, powiedzmy Galileusza czy Einsteina, polegała w znacznej mierze na umiejętności uwalniania się od takich oczywistych założeń. Galileusz znał cały zestaw argumentów przeciwko ruchowi Ziemi i wykazał, że można je wszystkie skutecznie rozbroić i że ruch Ziemi nie oznacza żadnej katastrofy dla jej mieszkańców. Einstein potrafił zakwestionować coś tak oczywistego jak wspólny dla wszystkich absolutny czas.