Augustin Fresnel: piękna matematyka dyfrakcji (1818)

Stanisław Lem stwierdził kiedyś: „Nikt nic nie czyta, a jeśli czyta, to nic nie rozumie, a jeśli nawet rozumie, to nic nie pamięta”. Zjawisko to zresztą stare jak świat, w gruncie rzeczy różne informacje przypominają elementy puzzli: bez nich nie da się złożyć obrazka, ale one same nie wystarczą, bo trzeba jeszcze je odpowiednio dopasować. Każdy, kto się czegoś uczył, zauważył pewnie, że jeśli uda nam się coś dobrze zrozumieć, stworzyć pewną logiczną strukturę z tego, czego się uczyliśmy, to trudno to potem zapomnieć. Łatwo się zapomina fragmenty, które nigdy nam do niczego nie pasowały albo pasowały dość luźno.

Historycy mają skłonność sądzić, że jeśli X czytał albo choć posiadał w bibliotece tekst Y, to znaczy, że Y wpłynął na X. Często zresztą X sam nie wie, czy Y na niego wpłynął. Na uniwersytecie w Getyndze, będącym matematycznym centrum Niemiec, sto lat temu mówiło się o „nostryfikacji” idei czy pomysłów. Znane nawet było pojęcie „samonostryfikacji”, gdy ktoś wpadał na pomysł kiedyś już przez niego samego opublikowany. Einstein latem roku 1915 wygłosił tam cykl wykładów o swej teorii grawitacji, sądząc, że jest zakończona. Jesienią zauważył, że równania pola grawitacyjnego powinny być inne i zaczął nad nimi gorączkowo pracować, tym intensywniej, że w Getyndze David Hilbert zajął się tym samym tematem – groziła więc Einsteinowi „nostryfikacja” ze strony jednego z najlepszych matematyków tamtych czasów. Ostatecznie to Einstein pierwszy zapisał prawidłowe równania teorii grawitacji, można powiedzieć, że wszystko się skończyło szczęśliwie, bo włożył wiele trudu w zbudowanie tej teorii i należała mu się taka finałowa satysfakcja.

Augustin Fresnel był z zawodu inżynierem drogowym, nadzorował rozmaite budowy na prowincji. Może nie zająłby się poważniej fizyką, która go interesowała, lecz o której nie wiedział zbyt wiele, gdyby nie Napoleon. Wielki cesarz powrócił właśnie z zesłania na Elbie i próbował odbudować imperium, co jak wiemy skończyło się bitwą pod Waterloo. Fresnel jako polityczny przeciwnik cesarstwa stracił posadę i miał dużo wolnego czasu, który spędzał w rodzinnej wiosce matki, Mathieu w regionie Calvados, pod nadzorem policji. Z pomocą miejscowego kowala zbudował przyrządy do obserwacji optycznych, kropla miodu służyła mu za soczewkę. Znał matematykę. Czytał trochę Thomasa Younga, ale że nie znał angielskiego, niezbyt chyba wiele od niego zaczerpnął. Nie będziemy dociekać, ile dokładnie wziął od Younga, w każdym razie posunął się znacznie dalej niż angielski przyrodnik, tworząc matematyczną teorię światła jako fal i sprawdzając ją za pomocą świetnych eksperymentów. Kilka lat później został przyjęty do paryskiej Akademii Nauk. Słabowity przez całe życie, zmarł na gruźlicę w 1827 roku, niedługo po swoich trzydziestych dziewiątych urodzinach – żył więc tak samo długo jak Chopin, Słowacki i Riemann, którzy cierpieli na tę chorobę.

fresnel-1

W roku 1818 Fresnel przedstawił matematycznie prawidłową teorię ugięcia światła na nieprzezroczystej półpłaszczyźnie. Podstawą tej teorii jest zasada Huygensa: każdy punkt czoła fali traktujemy jak nowe źródło fal, które rozchodzą się we wszystkich kierunkach. W punkcie obserwacji, np. w jakimś punkcie ekranu, sumują się drgania przychodzące od każdego punktu fali. Łatwo opisać, jak to będzie wyglądać, gdy mamy tylko dwie fale dochodzące do danego punktu. Obserwujemy wówczas sumę drgań (wtedy nie wiedziano, co tam właściwie drga, my dziś wiemy, że są to pola elektryczne oraz magnetyczne).

fresnelDrganie można przedstawić jako rzut obracającego się wektora o pewnej długości. Na rysunku wektory te obracają się przeciwnie do wskazówek zegara z prędkością kątową

\omega=\dfrac{2\pi}{T},

gdzie T jest okresem fali (i drgania w danym punkcie), \omega nazywa się częstością kołową. Złożenie dwóch drgań o takiej samej częstości będzie sumowaniem dwóch obracających się wektorów. Ponieważ oba obracają się tak samo, możemy obrazek unieruchomić i dodawać te wektory tak, jak się dodaje wektory – według reguły równoległoboku albo (dolny rysunek) rysując je jeden za drugim. Wynik będzie taki sam, ale tą drugą techniką możemy dodać tyle wektorów, ile zechcemy.

Widzimy, że wynik dodawania zależy tylko od różnicy fazy \varphi między dwoma drganiami.

Rozpatrzmy teraz falę płaską padającą na nieprzezroczystą półpłaszczyznę AB, punkty B, D, E i C współtworzą czoło fali biegnącej z lewej strony z dalekiego źródła. Możemy odpowiadające im drgania zapisać jako strzałki, wszystkie mają tę samą fazę – ustawiliśmy je pionowo.

f30-07_tc_bigRysunek 30.7 z wykładów Feynmana (kto czuje niedosyt, może zajrzeć do podrozdziału 30-6 w t. 1)

Załóżmy, że interesuje nas natężenie światła w pewnym punkcie P. Fala docierająca do tego punktu z E musi przebyć odległość s, nieco większą niż odległość ekranu b:

fresnel1Z trójkąta prostokątnego na rysunku i z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy

(b+\Delta)^2=b^2+2b\Delta+\Delta^2=b^2+h^2.

Różnice odległości \Delta, które mogą być dla nas ważne, są porównywalne z długością fali światła, a więc są znacznie mniejsze niż typowa odległość ekranu, możemy więc pominąć \Delta^2 w porównaniu do 2b\Delta, otrzymujemy wówczas:

\Delta=\dfrac{h^2}{2b}.

Dodając przyczynki od różnych punktów czoła fali, możemy przyjąć, że amplitudy fal cząstkowych są jednakowe: dodajemy więc wektory tej samej długości. Nie możemy natomiast pominąć faz. Różnica fazy między falą z E i falą z D będzie równa

\varphi=2\pi\dfrac{\Delta}{\lambda}=\dfrac{\pi h^2}{b\lambda}\sim h^2.

Zsumowanie nieskończenie wielu fal cząstkowych to obliczenie całki – coś, co Fresnel jako dobry inżynier z początku XIX wieku potrafił. Możemy uzyskać jakościowe wyobrażenie o wyniku, dodając bardzo wiele jednakowych strzałek. Zaczynamy od punktu D leżącego najbliżej punktu obserwacji P. Gdy przesuwamy się wyżej, faza rośnie proporcjonalnie do h^2: w wyniku powstanie spirala zwijająca się od punktu D w prawo i w górę, spirala ta zawija się coraz gęściej wokół pewnego punktu.

f30-08_tc_big(Rysunek 30-8 z wykładów Feynmana)

Podobnie będzie z wektorami z fragmentu BD naszego czoła fali, będzie im odpowiadać fragment spirali od B_P do D. Całkowite drganie odpowiadające punktowi obserwacji P dane będzie wektorem B_{P\infty} na rysunku. Jeśli nasz punkt obserwacji będzie leżał w cieniu, jak Q na rysunku, dodawać będziemy tylko fale cząstkowe od B_Q w górę i nasz wektor wypadkowy będzie miał koniec w punkcie \infty, im dalej w cień, tym bardziej spada natężenie światła. Po jasnej stronie półpłaszczyzny w punkcie R: musimy wystartować w B_{R} na lewym zwoju spirali i zakończyć gdzieś na prawym zwoju, co w rezultacie da wektor w przybliżeniu od lewego centrum spirali do jakiegoś punktu w pobliżu centrum prawego: długość wektora będzie się (niemal) okresowo zmieniać. Kwadrat długości naszego wektora to natężenie światła, czyli to co zwykle rejestrujemy. Obliczony ściśle wynik wygląda następująco:

FresnelFresnel_diffraction_of_straight_edge_density_plotwikimedia commons, autor: Gisling

Oś y wykresu leży na krawędzi szczeliny, na lewo mamy część „zacienioną”, na prawo – „jasną”, oś x wyskalowana jest w jednostkach \sqrt{b\lambda/2} (dla żółtego światła o \lambda=0,6 \mu m i odległości ekranu b=3,3 m będzie to skala w milimetrach. Wahania natężenia widać jako prążki. Tak wygląda granica cienia, jeśli się jej dokładniej przyjrzeć i jeśli fala padająca ma dobrze określoną fazę, np. oświetlamy naszą półpłaszczyznę laserem. Można to zrobić i bez lasera (jak Fresnel w XIX wieku), ale wówczas źródło fal musi być dostatecznie małe.

CornuSpiral1Elegancka spirala, którą otrzymaliśmy wyżej nazywa się spiralą Cornu. Fresnel obliczył całki, które są tu potrzebne, samo przestawienie graficzne jest późniejsze.

Najłatwiej zastosować tutaj wzór Eulera: nasza płaszczyzna jest wówczas płaszczyzną zespoloną, a dodawanie wektorów jest dodawaniem liczb zespolonych. Napiszmy jeszcze wzór na zespoloną sumę drgań S (kwadrat jej modułu to natężenie światła):

S=\int\limits_{-a}^{\infty} e^{i\frac{\pi h^2}{b\lambda}} dh,

a to odległość DB. Część rzeczywista i urojona tej liczby wyraża się przez tzw. całki Fresnela, funkcje wprowadzone do nauki i obliczone po raz pierwszy przez naszego uczonego.

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s