James Clerk Maxwell: O liniach sił Faradaya (1855-1856)

Jesienią 1855 roku dwudziestoczteroletni Szkot został wybrany na członka (Fellow) Trinity College, w tym samym mniej więcej wieku co niegdyś Isaac Newton. Kolegium nie wymagało już przyjęcia święceń, choć pobożny Maxwell pewnie nie odrzucałby z góry takiej możliwości (Newton, także pobożny, ale nieortodoksyjny, wykręcił się specjalną dyspensą królewską). Maxwell miał talent matematyczny, należał do wychowanków sławnego tutora Williama Hopkinsa, znanego z kształcenia tzw. wranglers – studentów wyróżniających się na końcowych egzaminach z tego przedmiotu. Hopkins miał ich na koncie dwie setki, zarabiał zresztą w ten sposób całkiem spore pieniądze. Do jego uczniów należeli Arthur Cayley, lord Kelvin, George Gabriel Stokes, a także w roku 1854 Edward Routh jako Senior Wrangler i Maxwell jako Second Wrangler. Ten ostatni zdążył już zająć się w sposób twórczy kilkoma tematami z dziedziny fizyki oraz fizyki matematycznej, teraz próbował swych sił na polu elektryczności i magnetyzmu.
Na przełomie lat 1855 i 1856 Maxwell ogłosił pracę O liniach sił Faradaya. Nawiązywał w niej do badań eksperymentalnych Michaela Faradaya, bodaj największego eksperymentatora w historii fizyki. Prosty chłopak, oddany jako czternastolatek do terminu u introligatora, sam zdobył wykształcenie naukowe i zaczynając od pomocnika w laboratorium, doszedł do pozycji wyroczni w kwestiach eksperymentalnych. W roku 1855 zjawiska elektryczne i magnetyczne znane były całkiem dobrze, brakowało jednak wciąż zadowalającej teorii, która obejmowałaby ich całość. Próbowano sprawdzonego wcześniej podejścia za pomocą oddziaływania na odległość. A więc ładunki elektryczne oraz bieguny magnetyczne przyciągają się albo odpychają, a siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Prawo takie sprawdził eksperymentalnie Charles Augustin Coulomb jeszcze w poprzednim wieku. Także prądy elektryczne oddziałują ze sobą na odległość, choć prawo w tym przypadku okazało się dość skomplikowane, ponieważ uwzględniać musiało kierunki obu prądów. Faraday odkrył, że zmienne pole magnetyczne generuje prąd – to zjawisko indukcji elektromagnetycznej wykorzystywane jest np. w elektrowniach, trudno wyobrazić sobie naszą cywilizację bez wszelkiego rodzaju generatorów prądu.
Idea oddziaływania na odległość była niezbyt chętnie akceptowanym spadkiem po Isaacu Newtonie. Jego prawo powszechnego ciążenia mówi o przyciąganiu na odległość odwrotnie proporcjonalnym do kwadratu odległości. Jak jakieś ciało może działać tam, gdzie go nie ma? Czemu siła maleje jak kwadrat odległości, a nie jakaś inna jej potęga? Nie znano odpowiedzi na pierwsze pytanie, co do drugiego istniały pewne wskazówki, Układ Słoneczny, jaki znamy wymaga takiego właśnie prawa z wykładnikiem równym dwa. Można więc było podejrzewać, że odpowiadało on zamiarom Stwórcy. Do czasów Maxwella nie dowiedziano się niczego nowego na temat grawitacji, uczeni, nie mogąc odpowiedzieć na te pytania, przestali je zadawać i zajęli się, jak to zawsze bywa, kwestiami rokującymi szybszą odpowiedź.
Faraday, geniusz eksperymentu, nie miał wyrafinowanego wykształcenia matematycznego. Starał się więc wizualizować obserwowane zjawiska. Przykładem były linie sił pola magnetycznego z jednej z jego prac.

faraday29_1-x

Na lewym rysunku mamy linie sił bieguna magnetycznego, na drugim dwóch różnych biegunów magnetycznych. Są to wyniki eksperymentu: na papierze rozsypywane były opiłki żelaza, a później obraz ten utrwalano za pomocą kleju. Czym były linie sił? Maxwell definiował je jako linie wskazujące w każdym punkcie kierunek siły działającej na biegun magnetyczny (albo ładunek w przypadku elektrycznym). Dalej skupimy się na polu elektrycznym, ponieważ istnieją pojedyncze ładunki elektryczne i jest to nieco łatwiejsze do omówienia. Podobne rozumowania stosują się także do przypadku magnetycznego, trzeba tylko pamiętać, że nie istnieją osobne bieguny magnetyczne. Nb. szukano wielokrotnie cząstek elementarnych, które byłyby takimi biegunami, tzw. monopoli magnetycznych, czasami nawet komunikowano o ich odkryciu, ale żadne z tych doniesień się nie potwierdziło.

y

x

Te same linie sił obliczone dla przypadku pojedynczego ładunku oraz pary przeciwnych ładunków. Linie przerywane są wszędzie prostopadłe (ortogonalne) do linii sił i odpowiadają stałemu potencjałowi.

Maxwell zwrócił uwagę, że linie sił pola tworzą taki sam obraz jak linie przepływu idealnej nieściśliwej cieczy. Moglibyśmy sobie wyobrazić, że te linie sił to w istocie rurki cieczy. W rurce takiej iloczyn szybkości przepływu oraz pola przekroju jest stały. Tam, gdzie przekrój jest mniejszy, ciecz płynie szybciej. Gdyby prędkość była odpowiednikiem natężenia pola, należałoby sobie wyobrażać rurkę jako węższą tam, gdzie pole jest silniejsze, i odwrotnie.

maxwell tube

Pole elektryczne wokół ładunku punktowego składałoby się ze stożkowych rurek o wierzchołku w ładunku. Pole przekroju rośnie jak kwadrat promienia, natomiast prędkość przepływu (a także pole elektryczne) maleje w takim samym stosunku – co zgodne jest z obserwacjami.

maxwell1

maxwell fluid

Ładunek punktowy odpowiada więc źródłu naszej dziwnej cieczy. Z tego punktu, niczym z wywierzyska, wypływa nieściśliwa ciecz na wszystkie strony. Całkowita objętość tej cieczy przepływająca przez powłokę sferyczną nie zależy od promienia powłoki:

v\sim \dfrac{1}{r^2}\Rightarrow vS\sim \dfrac{1}{r^2}4\pi r^2=4\pi=const

Przez każdą powierzchnię sferyczną przepływa tyle samo cieczy w ciągu sekundy. W przeciwnym wypadku ciecz musiałaby się gdzieś gromadzić albo wypływać po drodze między dwiema takimi tymi powierzchniami otaczającymi źródło. Nie musimy wcale ograniczać się do powierzchni kulistych: przez każdą powierzchnię zamkniętą otaczającą źródło w jednostce czasu przepłynie taka sama objętość cieczy.

Oczywiście Maxwell nie twierdził, że pole elektryczne jest przepływem jakiejś tajemniczej cieczy. Podkreślał jedynie analogię czysto matematyczną. W przypadku elektrycznym wielkość „przepływu” nazywamy strumieniem pola elektrycznego przez daną powierzchnię zamkniętą. Okazuje się, że ów strumień \Phi jest równy (w jednostkach SI):

\Phi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}4\pi r^2=\dfrac{q}{\varepsilon_0}.

Ładunek wewnątrz powierzchni oznaczamy przez q. Znów kształt powierzchni jest obojętny. Prawo to, zwane prawem Gaussa, pozostaje słuszne także dla przypadku większej liczby ładunków. Wypadkowa prędkość przepływu w danym punkcie jest wówczas sumą osobnych prędkości. Podobnie z natężeniem pola elektrycznego: jest ono wektorową sumą pól wytwarzanych przez każdy z ładunków. Ładunki ujemne są „ujemnymi” źródłami, czyli takimi miejscami, w których nasza ciecz ucieka w jakieś matematyczne zaświaty. Prawo Gaussa w wersji elektrycznej stwierdza, że strumień przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do algebraicznej sumy ładunków wewnątrz powierzchni.

Prawo Gaussa jest przydatne, pozwala bowiem obliczać pole elektryczne w niektórych sytuacjach, gdy układ jest symetryczny. Możemy np. stosować je do dowolnego kulistosymetrycznego rozkładu ładunków. Można je także przenieść na grawitację: wówczas polem jest przyspieszenie grawitacyjne a strumień jest zawsze ujemny i proporcjonalny do masy (*). Samo prawo Gaussa jednak nie wystarczy: na przepływy owej fikcyjnej cieczy należy jeszcze nałożyć dodatkowy warunek bezwirowości (w przypadku statycznym).

Dlaczego obraz nieściśliwej cieczy lepszy był od tradycyjnego oddziaływania na odległość? Pozwalał wyjaśnić obserwowane linie sił i sprowadzał zagadnienie do lokalnego: ciecz zachowuje się tak, a nie inaczej, tylko wskutek popychania przez inne jej części. Wszystkie zjawiska są więc lokalne. W gruncie rzeczy w takim podejściu nie potrzebujemy wcale sił działających na odległość. Wystarczą pola i ich lokalne zachowanie. Punkt widzenia tego rodzaju miał wielką przyszłość. Koncentrując się na lokalnych równaniach opisujących elektryczność i magnetyzm Maxwell odniósł sukces, budując najważniejszą teorię XIX stulecia. Stało się to jednak znacznie później, na razie była tylko pewna analogia matematyczna, ilustracja pojęć wprowadzonych przez Faradaya.

Charakterystyczna jest reakcja samego Faradaya, człowieka niezwykle skromnego. Sześćdziesięciopięcioletni luminarz nauki pisze do badacza młodszego o dwa pokolenia: „Z początku byłem nieomal przerażony, widząc tak wielką siłę matematyczną zastosowaną do tego przedmiotu, potem jednak zdumiało mnie, jak dobrze przedmiot zniósł to wszystko”.

(*) W szczególności prawo Gaussa pozwala natychmiast rozwiązać problem przyciągania przez kulę (w obu przypadkach: grawitacji oraz elektryczności). Jeśli rozkład ładunku ma symetrię kulistą, to możemy do niego zastosować prawo Gaussa tak, jak do punktowego ładunku w środku kuli. Przeprowadzając doświadczenia na zewnątrz kuli, będziemy obserwowali pole elektryczne takie, jak gdyby nasza kula ściągnięta była do punktu środkowego (z zachowaniem wartości ładunku). Dlatego np. kula ziemska przyciąga tak, jak punktowa masa w środku Ziemi. Wiemy, że nasza planeta w pierwszym przybliżeniu rzeczywiście składa się z koncentrycznych warstw kulistych. Nie musimy przy tym wiedzieć, jaka jest gęstość i grubość różnych warstw, ważna jest tylko całkowita masa Ziemi.

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s