Oscylacje neutrin, Nagroda Nobla 2015

Tegoroczną Nagrodę Nobla z fizyki otrzymają dwaj badacze: Kanadyjczyk, Arthur B. McDonald, oraz Japończyk, Takaaki Kajita, „za odkrycie oscylacji neutrin, co dowodzi, iż neutrina mają masę”. W latach 1998-2002 przedstawili oni niezależne wyniki eksperymentalne na rzecz oscylacji neutrin. Kajita był szefem międzynarodowego projektu Super-Kamiokande, McDonald szefem innego wielkiego projektu, Sudbury Neutrino Observatory. To coraz częstsza sytuacja, że ważne odkrycia dokonywane są przez wielkie zespoły badaczy, dysponujące złożoną aparaturą. Nagroda Nobla może być podzielona maksymalnie między trzech uczonych, więc w takich sytuacjach otrzymują ją kierownicy projektów. Jest to zapewne niesprawiedliwe, lecz nieuniknione: Alfred Nobel nie wyobrażał sobie, jak ogromne przedsięwzięcia naukowe będzie się przeprowadzać sto lat po jego śmierci. W Projekcie Super-Kamiokande wykorzystywano zbiornik zawierający 10 000 ton wody, umieszczony 1000 m pod ziemią w kopalni Mozumi. SNO wykorzystywało 1000 ton ciężkiej wody, także głęboko pod ziemią, w dawnej kopalni. Neutrina oddziałują tak słabo z pozostałymi rodzajami cząstek, że potrzebne były owe gigantyczne ilości wody, aby móc w ogóle zaobserwować jakieś ich oddziaływania. Dla neutrin Słońce czy Ziemia są praktycznie przezroczyste. Cząstki te biorą udział jedynie w oddziaływaniach słabych oraz, tak jak wszystkie cząstki, w grawitacyjnych. Inaczej mówiąc, nie biorą udziału w oddziaływaniach silnych (jak kwarki) ani elektromagnetycznych (jak wszystkie cząstki naładowane). Przez długie lata sądzono także, iż masa neutrin równa jest zeru. Oznaczałoby to, że nie istnieje spoczywające neutrino, podobnie jak nie ma spoczywającego fotonu: foton porusza się z prędkością światła w każdym układzie odniesienia  i nie sposób go dogonić.

Na czym polegają oscylacje neutrin?

W mechanice kwantowej cząstka może znajdować się w stanie swoistego zawieszenia, które nazywa się superpozycją (czyli po prostu złożeniem). Przypomina to powiedzmy czyjś stan umysłu, kiedy osobnik waha się, czy np. iść do kina, czy też nie iść. W przypadku neutrin może to być alternatywa dotycząca tożsamości: jesteś neutrinem elektronowym albo neutrinem mionowym. Naprawdę istnieje jeszcze trzeci ich rodzaj: neutrina taonowe, ale chcemy tylko pokazać, jak zachodzą oscylacje, więc pominiemy ten fakt. Stan neutrina możemy zapisać jako pewien wektor w dwuwymiarowej przestrzeni (neutrino elektronowe-neutrino mionowe). Interesuje nas tylko to rozróżnienie, zakładamy, że inne parametry są takie same w obu przypadkach. Mamy więc dwie wykluczające się możliwości: albo neutrino elektronowe, albo neutrino mionowe. Matematycznie superpozycję możemy przedstawić jako sumę dwóch prostopadłych wektorów. Sytuację przedstawia rysunek.

neutrinos0

Wektor stanu neutrina |\psi\rangle jest równy

|\psi \rangle=a |\nu_e\rangle + b |\nu_{\mu}.\rangle

Symbole |\nu_e\rangle,|\nu_\mu\rangle oznaczają jednostkowe wektory w naszej przestrzeni stanów. Jeśli chcemy się dowiedzieć, czy nasze neutrino jest elektronowe, czy mionowe, musimy przeprowadzić pomiar. W mechanice kwantowej, dopóki nie mierzymy jakieś wielkości, dopóty układ może przebywać w superpozycji stanów, czyli w naszym przypadku nie być ani takim, ani takim neutrinem. Kiedy pomiar zostanie przeprowadzony, prawdopodobieństwo, że neutrino okaże się elektronowe jest równe |a|^2, a prawdopodobieństwo, że okaże się mionowe, równe jest |b|^2. Możliwe są zatem dwa różne wyniki. Jeśli są to wszystkie wyniki, to suma obu tych prawdopodobieństw musi być równa 1. Mechanika kwantowa zakłada, że Bóg gra w kości, z czym nie potrafił się pogodzić Albert Einstein.

Można sobie wyobrazić inne układy wykluczających się pytań. Matematycznie odpowiadałoby to innemu wyborowi układu współrzędnych. Mógłby on być np. obrócony o pewien kąt \theta, jak na rysunku poniżej.

neutrinos

Wektor |\psi\rangle możemy zapisać za pomocą nowej pary wektorów jednostkowych |\nu_1\rangle,|\nu_2\rangle:

|\psi \rangle=a |\nu_e\rangle + b |\nu_{\mu}\rangle=a' |\nu_1\rangle + b' |\nu_2\rangle.

Ponieważ długość wektora nie zmienia się, gdy wyrazimy ją w nowych współrzędnych, więc

|a|^2+|b|^2=|a'|^2+|b'|^2=1.

Zatem na pytanie: „Czy jesteś w stanie |\nu_1\rangle, czy|\nu_1\rangle?” uzyskujemy wykluczające się odpowiedzi, a suma prawdopodobieństw nadal jest równa 1. Nietrudno też zapisać związki między wektorami niebieskimi i czerwonymi na rysunku.

|\nu_{e} \rangle=\cos\theta |\nu_1\rangle - \sin\theta |\nu_2\rangle \mbox{(*)}

|\nu_{1} \rangle=\cos\theta |\nu_e\rangle + \sin\theta |\nu_{\mu}\rangle \mbox{(**)}

|\nu_{2} \rangle=-\sin\theta |\nu_e\rangle + \cos\theta |\nu_{\mu}\rangle\mbox{(**)}

Z matematycznego punktu widzenia wybór układu współrzędnych jest obojętny. Fizycznie jednak pewne pary wektorów mają wyróżnione znaczenie. Po pierwsze, kiedy neutrino powstaje, to zawsze jako elektronowe albo mionowe (wciąż pomijamy taonowe, żeby nie komplikować opisu). Po drugie, mamy wyróżniony układ współrzędnych związany z określoną wartością energii. W przypadku neutrin oba te układy są obrócone względem siebie o pewien kąt \theta, którego pochodzenia nikt nie zna. Tak po prostu jest, zapewne jest to parametr, który ustalił się zaraz po Wielkim Wybuchu i nie da się go teoretycznie obliczyć.

W przypadku neutrin stanami o określonej energii, a także masie spoczynkowej, byłyby więc stany |\nu_1\rangle oraz |\nu_2\rangle (pod warunkiem, że prawidłowo dobierzemy kąt \theta). Znaczy to, że określoną wartość masy mają nie neutrino elektronowe i mionowe, lecz pewne ich kombinacje. Wiemy też, że oba stany |\nu_1\rangle oraz |\nu_2\rangle mają różną wartość masy/energii spoczynkowej.

Stan o określonej wartości energii zachowuje się bardzo prosto z upływem czasu: jego wektor jest mnożony przez pewną liczbę:

|\nu_{1}, t \rangle=\lambda_1(t)|\nu_{1}, 0 \rangle

|\nu_{2}, t \rangle=\lambda_2(t)|\nu_{2}, 0 \rangle.

Wyobraźmy teraz sobie, że w chwili t=0 powstało neutrino elektronowe. Jego stan można zapisać, korzystając z (*) jako

|\nu_{e} \rangle=\cos\theta |\nu_1\rangle - \sin\theta |\nu_2\rangle.

Po czasie t zmienią się tylko współczynniki:

|\nu_{e} \rangle=\lambda_1(t)\cos\theta |\nu_1\rangle -\lambda_2(t)\sin\theta |\nu_2\rangle.

Korzystając z (**) możemy z powrotem wyrazić ten stan przez „czerwone” wektory |\nu_e\rangle,|\nu_\mu\rangle. Wypiszmy tylko współczynnik przy |\nu_\mu\rangle. Jest on równy

(\lambda_1(t)-\lambda_2(t))\sin\theta\cos\theta.

Kwadrat modułu tego wyrażenia będzie prawdopodobieństwem, że startując od neutrina elektronowego, otrzymamy w chwili t neutrino mionowe:

P(\nu_e \rightarrow \nu_{\mu}, t)=|\lambda_1(t)-\lambda_2(t)|^2 \sin^2\theta\cos^2\theta.

Aby prawdopodobieństwo to było różne od zera, a więc aby nasze neutrino zmieniało tożsamość z czasem kąt \theta musi być różny od całkowitej wielokrotności \frac{\pi}{2}, a ponadto oba czynniki czasowe powinny się różnić. Czynniki czasowe muszą być i są tu liczbami zespolonymi. Wszystko, co było powiedziane wyżej, nadal pozostaje słuszne także dla liczb zespolonych. Kąt \theta jest nadal rzeczywisty. Przypomnijmy, że liczby zespolone to pary liczb rzeczywistych, zapisywane jako z=a+bi. Stosują się do nich zwykłe zasady algebry przy dodawaniu i mnożeniu, należy jedynie pamiętać, że i^2=-1:

(x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i,

(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2+iy_1x_2+x_1iy_2+i^2 y_1y_2=

=(x_1 x_2-y_1 y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i

Kwadratem modułu liczby z=x+iy jest nieujemna liczba |z|^2=x^2+y^2. Kwadraty modułów są prawdopodobieństwami, więc nie grozi nam, że prawdopodobieństwa będą ujemne albo zespolone. Dla spoczywającej cząstki o energii E czynnik \lambda(t) jest równy:

\lambda(t)=\cos(\frac{Et}{\hbar})-i\sin(\frac{Et}{\hbar}),

gdzie \hbar jest stałą Plancka. Moduł czynnika \lambda(t) jest stale równy 1 na mocy jedynki trygonometrycznej, ale proporcje części rzeczywistej i urojonej oscylują. Gdy odejmiemy dwa takie czynniki odpowiadające dwóm różnym energiom oraz obliczymy kwadrat modułu, otrzymamy wynik:

|\lambda_1(t)-\lambda_2(t)|^2=4\sin^2(\frac{(E_1-E_2)t}{2\hbar}).

Ostatecznie prawdopodobieństwo przemiany neutrina elektronowego w mionowe po czasie t będzie równe

P(\nu_e \rightarrow \nu_{\mu}, t)=\sin^2(2\theta)\sin^2(\frac{(E_1-E_2)t}{2\hbar}).

Otrzymujemy więc zależne od czasu oscylacje prawdopodobieństwa: w pewnych chwilach prawdopodobieństwo zmiany neutrina elektronowego w mionowe jest równe \sin^2 2\theta, potem znowu spada do zera. Wygląda to mniej więcej tak:

neutrina2

W doświadczeniach mierzy się nie zależność od czasu, lecz od drogi przebywanej przez neutrina. Poruszają się one niemal z prędkością światła i okresowo zmieniają tożsamość (zmieniają tzw. zapach, który nie ma nic wspólnego z zapachem, ale nazywa się tak dla odróżnienia od koloru, który też nie ma nic wspólnego z kolorem). Fakt, że zjawisko to w ogóle zachodzi, świadczy o różnicach energii między neutrinami o tym samym pędzie, a to oznacza, że ich masy spoczynkowe się różnią. Ponieważ ich masy spoczynkowe się różnią, wiec nie mogą być równe zeru dla wszystkich trzech neutrin. Bezpośrednio ich mas nie udało się dotąd wyznaczyć. Tak, jak w naszym uproszczonym przykładzie, stany o określonych energiach i masach są kombinacjami różnych zapachów.

Oscylacje są więc przykładem działania superpozycji stanów, zaskakujące okazało się to, że pojawia się tu różnica energii. Dla trzech neutrin mamy trzy różne kąty, ich wartości znane są tylko z eksperymentu. Nie wiadomo, czemu są akurat takie.

Uwaga:

Czynnik \lambda(t) najprościej zapisuje się oczywiście w postaci wykładniczej, korzystając ze wzoru Eulera:

\lambda(t)=\exp(-\frac{iEt}{\hbar}).

Wynika on z równania Schrödingera, które dla stanów o określonej energii ma bardzo proste rozwiązanie. Warto zauważyć, że gdyby \lambda(t) nie było liczbą zespoloną, lecz rzeczywistą, oscylacje w ogóle by nie wystąpiły.

Można tę całą sytuację zapisać jako pewne drzewo możliwości, podobne do tego, co rysuje się w probabilistyce. Wyglądałoby to tak.

neutrinos_treeZaczynamy od neutrina elektronowego, może ono stać się stanem nr 1 albo nr 2, następnie mamy upływ czasu, a na końcu dokonujemy pomiaru, który daje nam w wyniku neutrino elektronowe albo mionowe. Z każdą gałęzią drzewa skojarzony jest pewien czynnik: amplituda prawdopodobieństwa (którą łatwo odczytać ze wzorów (*) i (**) powyżej). Czynniki te należy wymnożyć wzdłuż interesującego nas fragmentu drzewa, a następnie wyniki dodać do siebie. Przekształcenie neutrina elektronowego w mionowe może odbyć się poprzez stan nr 1, mamy wtedy łączną amplitudę prawdopodobieństwa:

A_1=\cos\theta e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}}\sin\theta

Może też przemiana taka odbyć się poprzez stan nr 2:

A_2=-\sin\theta e^{-\frac{iE_2 t}{\hbar}}\cos\theta

Obie możliwości się wykluczają, więc ich amplitudy dodajemy:

A=A_1+A_2=\sin\theta\cos\theta(e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}}-e^{-\frac{iE_2 t}{\hbar}})

Prawdopodobieństwo równe jest kwadratowi modułu amplitudy:

P(\nu_e \rightarrow \nu_{\mu}, t)=|A|^2.

Otrzymujemy wynik jw. Procedura taka różni się od techniki drzew w rachunku prawdopodobieństwa tym, że wykonujemy działania mnożenia i dodawania na amplitudach prawdopodobieństwa, a dopiero na koniec obliczamy kwadrat modułu, czyli prawdopodobieństwo. Najważniejszym elementem jest dodawanie amplitud, ponieważ jest to dodawanie liczb zespolonych, które mają dwie składowe, mogą pojawiać się efekty interferencyjne.

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s