Czy to, co krąży, musi kiedyś spaść? Przypadek atomu i podwójnych obiektów astrofizycznych

Krążenie planet uchodziło od starożytności za kosmiczny miernik czasu. Dlatego właśnie Mikołaj Kopernik zdecydował się na radykalny krok i zamiast układu geocentrycznego wybrał heliocentryczny. Miał przy tym nadzieję, że teraz nie tylko całość kosmicznej konstrukcji nabierze sensu, ale że – i to przede wszystkim – ruchy planet staną się doskonale jednostajne (u Ptolemeusza tak nie było). Okazało się później, że tylko heliocentryzm przetrwał, ruch planet zachodzi po elipsach ze zmienną prędkością.

W 1913 r. Niels Bohr zaproponował planetarny model atomu. W najprostszym przypadku atomu wodoru mielibyśmy jeden elektron krążący po okręgu wokół niewielkiego jądra, dziś zwanego protonem. Dozwolone orbity spełniać miały specjalny warunek zawierający liczbę całkowitą n=1,2,3,\ldots. Wynikało z niego, że pierwsza z tych orbit miała promień r\approx 0,5\cdot 10^{-10} m. Wielkość tę nazywa się promieniem Bohra. W czym leżała rewolucyjność podejścia Bohra? Przyjął on, że krążąc po dozwolonych orbitach, elektron nie promieniuje, dzięki czemu atom jest trwały: elektron może skokowo zmieniać orbitę, ale gdy znajdzie się na najniższej, nie może już bardziej zbliżyć się do protonu i według duńskiego fizyka miał tak krążyć wiecznie, jeśli żadne oddziaływanie go z tego stanu nie wytrąci.

Można obliczyć, co powinno się stać z elektronem według fizyki klasycznej, czyli w tym przypadku elektrodynamiki Maxwella. Elektron krążący wokół protonu jest obracającym się dipolem elektrycznym. Dipol taki promieniuje moc daną  równaniem

P=\dfrac{q_e^2 r^2 \omega^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3}.\mbox{ (*)}

We wzorze tym q_e jest ładunkiem elementarnym, \varepsilon_0 przenikalnością próżni, a c oznacza prędkość światła w próżni.

Wskutek unoszenia energii przez falę elektromagnetyczną elektron krąży po coraz niższych orbitach, zachowując się podobnie do satelity Ziemi, który wchodzi w atmosferę. Nietrudno obliczyć, że elektron spadnie na jądro po czasie równym

\tau=\dfrac{r^3}{4c r_0^2}\approx 1,3\cdot 10^{-11} s.

Zastosowaliśmy tu skrót r_0=\frac{q_e^2}{4\pi\varepsilon_0 mc^2}, wielkość tę nazywamy klasycznym promieniem elektronu (gdyby elektron był kulką tej mniej więcej wielkości, to jego pole elektrostatyczne miałoby energię mc^2, ale możemy to uważać jedynie za wygodny skrót). Częstość krążenia elektronu powinna stopniowo rosnąć w miarę jego zbliżania się do protonu. Znaczy to, że klasycznie rzecz biorąc, elektron promieniuje falę o coraz wyższej częstości, gdyż częstość jego wirowania równa jest częstości emitowanej fali. Mamy więc piękną katastrofę – nie tylko planetarnego atomu, ale w ogóle każdego modelu klasycznego –nie można zbudować modelu atomu, mając do dyspozycji jedynie klasyczną mechanikę Newtona i elektrodynamikę Maxwella. Każdy atom powinien bowiem przez krótką chwilę emitować falę o rosnącej częstości, a potem przestać istnieć jako układ, w którym ładunki ujemne i dodatnie są przestrzennie rozdzielone. Oczywiście, Bohr dobrze o tym wiedział, szukał jednak wyjścia z impasu, w jakim znalazła się fizyka i który został rozwiązany zadowalająco dopiero po kilkunastu latach, gdy stworzono mechanikę kwantową. Jego model był desperacką próbą nowego otwarcia, i pod tym względem spełnił swoją rolę. Ważnym elementem modelu Bohra i późniejszych teorii mikroświata było wprowadzenie nowej stałej fizycznej: stałej Plancka h. Pojawia się ona wszędzie, gdzie mamy do czynienia z mikroświatem (u nas ukryta jest w promieniu Bohra).

Teorię grawitacji Newtona Einstein zastąpił w 1915 r. ogólną teorią względności. Można się było spodziewać, że poruszające się ciała powinny promieniować fale grawitacyjne i w rezultacie tracić energię. W roku 1918 Einstein opublikował pracę, w której obliczył, jaką moc emituje ruchomy układ mas w postaci fal grawitacyjnych. Można więc oczekiwać, że również obiekty astrofizyczne krążące wokół środka masy z czasem będą się zbliżać, a nawet łączyć w większe ciała. W roku 1918 nie było szans na zmierzenie fal grawitacyjnych, sto lat później zaczęły one być jednak rejestrowane. Fale te wysyłane są tuż przed połączeniem się dwóch obiektów – czarnych dziur

Wyobraźmy sobie dwa ciała kosmiczne o jednakowych masach M (dla uproszczenia), krążące wokół wspólnego środka masy w odległości D od siebie. Całkowita moc wypromieniowywana w postaci fal grawitacyjnych równa jest

P=\dfrac{32}{5}\,\dfrac{G}{c^5}\, I^2 \omega^6, \mbox{ (**)}

We wzorze tym G jest stałą grawitacyjną, a I – momentem bezwładności, czyli wielkością mówiącą coś na temat rozkładu mas, \omega jest prędkością kątową. Analogicznie jak w przypadku atomu możemy obliczyć czas życia takiego układu podwójnego. Jest on równy

T=\dfrac{5}{64} \dfrac{R_s}{c} \left(\dfrac{c}{\pi f_0 R_s}\right)^{\frac{8}{3}}.

Wyraziliśmy tu czas przez wielkość promienia Schwarzschilda R_s\equiv \frac{2GM}{c^2} dla każdego z obiektów oraz częstość fali grawitacyjnej emitowanej w chwili początkowej f_0. Wzór ten możemy stosować, dopóki mamy do czynienia z dwoma wyraźnie rozgraniczonymi ciałami, najlepiej punktowymi (we wszechświecie najbliżej tego ideału są czarne dziury oraz gwiazdy neutronowe). Częstość fali grawitacyjnej jest dwa razy większa niż częstość krążenia ciał. Wynika to stąd, że po połowie okresu kwadraty współrzędnych wracają do tych samych wartości, czyli z punktu widzenia momentu bezwładności wracamy do punktu wyjścia. Gdyby dwie gwiazdy o masie Słońca krążyły w odległości takiej, jak dzisiejsza odległość Ziemia-Słońce, czas życia takiego układu byłby równy T=4\cdot10^{17} lat, czyli niezmiernie długo w porównaniu z wiekiem wszechświata 14\cdot 10^{10} lat. Widać jednak ze wzoru, że gdy częstość krążenia f_0 będzie znaczna, czas życia będzie znacznie krótszy i wtedy możliwe będzie doczekanie chwili, gdy oba ciała złączą się w jedną czarną dziurę. Eksperyment LIGO zmierzył kilka przypadków takiego właśnie łączenia się dwóch obiektów.

Widzimy tu falę o rosnącej częstości. W chwili t=0,35 s częstość f_0=42 Hz, w chwili t=0,43 s częstość ucieka w górę – jest to słynne „ćwierknięcie” – chirp. Zatem od f_0 do nieskończoności upływa czas T=0,08 s. Wstawiając taki czas oraz wartość f_0, wyznaczyć możemy promień Schwarzschilda, a stąd masę naszych obiektów. Jest ona równa około 40,6 mas Słońca. Obliczyliśmy to przy upraszczającym założeniu, że obie kosmiczne masy są jednakowe. Można wykonać dokładniejsze obliczenia bez tego założenia.

Najwyższa częstość równa jest około 300 Hz. Przyjmując, że obie czarne dziury zetknęły się wówczas swoimi horyzontami, można wyznaczyć sumę mas obu dziur z III prawa Keplera. Okazuje się ona równa 76 mas Słońca, a więc w zgodzie z tym, co powiedzieliśmy wyżej.

Z fizycznego punktu widzenia najciekawsze zjawiska zachodzą, gdy dziury zlewają się w jedną i potem nowopowstała dziura drga jeszcze przez chwilę. Modelowanie tej fazy możliwe jest wyrafinowanymi metodami numerycznymi.

(*) Zobaczmy, od czego zależy moc emitowana przez obracający się dipol złożony z dwóch ładunków elementarnych q_e odległych o r. Pole elektromagnetyczne będzie proporcjonalne do iloczynu q_e r (momentu dipolowego). Zatem natężenie fali musi być proporcjonalne do kwadratu tego iloczynu. Powinna też zależeć od prędkości kątowej \omega. Łatwo sprawdzić, że z wielkości (q_er)^2, \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, \omega oraz c można zbudować tylko następujące wyrażenie dające moc w watach:

P=\dfrac{(q_e r)^2 \omega^2}{4\pi\varepsilon_0 c^3}.

Dokładne rozważania dają jeszcze współczynnik liczbowy \frac{2}{3}. Łatwo sprawdzić, że w ruchu orbitalnym całkowita energia elektronu równa jest

E=-\dfrac{1}{2}\,\dfrac{q_e^2}{4\pi\varepsilon_{0} r}.

Dalej traktujemy r jako funkcję czasu. Różniczkując wyrażenie na energię, otrzymamy szybkość zmiany energii, która musi być równa wypromieniowywanej mocy. Całkując otrzymane równanie, otrzymamy wynik postaci r(t)^3=r(0)^3-4r_0^2 ct – trzecia potęga odległości maleje liniowo. Stąd łatwo znaleźć czas życia.

(**) Podobne postępowanie da się zastosować do pary krążących wokół środka mas ciał niebieskich. Natężenie fali emitowanej przez ten układ będzie zależeć od momentu bezwładności:

I=M\dfrac{D^2}{4}+M\dfrac{D^2}{4}=\dfrac{MD^2}{2},

gdzie M oznacza masy, D jest odległością obu mas od siebie (obie są więc odległe o D/2 od środka masy układu). Moc będzie zatem proporcjonalna do kwadratu momentu bezwładności. Będzie także zależeć od prędkości kątowej, stałej grawitacyjnej G oraz prędkości światła. Łatwo sprawdzić, że wielkości te dadzą moc, jeśli wyrażenie będzie następujące:

P=\dfrac{G}{c^5}I^2\,\omega^6.

Współczynnik liczbowy \frac{32}{5} wynika ze szczegółowych obliczeń. Analogicznie jak w poprzednim przypadku możemy zapisać energię w postaci

E=-\dfrac{1}{2}\,\dfrac{GM^2}{D}.

Zupełnie podobnie otrzymuje się równanie różniczkowe dla D(t). Teraz D^4 maleje liniowo z czasem. Korzystając z III prawa Keplera, możemy zamiast D obliczyć okres obiegu oraz częstość f.

Reklamy

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google

Komentujesz korzystając z konta Google. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Połączenie z %s