Jak gęsta może być materia? Białe karły, Stoner i Chandrasekhar (1930-1931)

31 lipca 1930 roku z Mumbaju odpłynął parowiec „Lloyd Triestino”. Wśród pasażerów znajdował się dziewiętnastoletni Subrahmanyan Chandrasekhar, udający się do Anglii stypendysta rządu indyjskiego. Zdążył on opublikować już pierwszą pracę na temat statystyk kwantowych, dwa lata wcześniej dowiedział się od przebywającego gościnnie w Indiach Arnolda Sommerfelda, że całej fizyki mikroświata należy nauczyć się na nowo i wszystkie podręczniki sprzed kilku lat są już nieaktualne. Zaczął więc z zapałem czytać artykuły dotyczące mechaniki kwantowej i pierwszą swą pracę wysłał do Anglii do Ralpha Fowlera z Cambridge. Wiedział o nim tylko tyle, że uczony ten zaproponował kwantowe wyjaśnienie problemu tzw. białych karłów – niewielkich gwiazd zbudowanych z niezwykle gęstej materii nawet 100 000 razy gęstszej od wody. Astronomowie, którzy uzyskiwali tak wysokie szacowania gęstości, nie potrafili zrazu w nie uwierzyć, sądząc, że w obliczenia musiał wkraść się jakiś niezidentyfikowany błąd. W astronomii dość często się zdarza, że trzeba rewidować dotychczasowe założenia i wyniki. Podczas podróży Chandrasekhar unikał balów i wieczorków organizowanych na statku, był zresztą wegetarianinem i nie brał do ust wielu podawanych potraw. Pracował. Jego obliczenia wskazywały, że białe karły nie mogą być zbyt masywne, gdyż nie będą stabilne. Wynik ten stał w sprzeczności z dotychczasową wiedzą i Chandrasekhar miał stoczyć trudną wieloletnią walkę o uznanie prawdziwości jego obliczeń. Białe karły są ostatnim stadium ewolucji gwiazd i nie mogą być bardziej masywne niż 1,4 masy Słońca. Co w takim razie dzieje się z gwiazdami pięcio-, dziesięcio- i dwudziestokrotnie bardziej masywnymi? Czy jest możliwe, że pozbywają się one w jakiś sposób niemal całej swej masy, aby osiągnąć w końcu stadium białego karła? Jeśli tak, to czy może się to odbywać w długim czasie w sposób spokojny, czy też należy spodziewać się eksplozji? Wynik Chandrasekhara miał przełomowe znaczenie, bo wskazywał, że grawitacja może stać się siłą, która dosłownie kruszy materię. O jego wadze świadczy fakt, iż pół wieku później za tę pracę indyjski uczony otrzymał Nagrodę Nobla. Spędził długie i twórcze życie naukowe, stając się jednym z najbardziej znanych astrofizyków dwudziestego wieku, a jednak właśnie to młodzieńcze osiągnięcie wydawało się godne uhonorowania najważniejszą nagrodą.

W Londynie pierwszą książką, którą kupił Chandrasekhar, były Principles of Quantum Mechanics, fundamentalne, pomnikowe dzieło dwudziestoośmioletniego Paula Diraca, który zdążył już stać się klasykiem tej młodej dziedziny. W istocie były to lata zupełnie wyjątkowe w dziejach fizyki: niemal każda nowa praca miała szanse przejść do historii. Odkrywano bowiem kolejne zastosowania nowego formalizmu: w fizyce, w chemii, w astrofizyce. Zasady wprowadzone dla wyjaśnienia zjawisk atomowych okazały się w zasadniczym zrębie słuszne także w fizyce jąder atomowych, cząstek elementarnych, pozwalały też zrozumieć, jak przebiegają zjawiska we wszechświecie: od źródeł energii gwiazd, przez ich budowę oraz rodzaje wysyłanego promieniowania. Był to okres pionierski, gdy wyznaczano dopiero granice nowego terytorium i wciąż przesuwały się one dalej. Coś takiego zdarza się niezwykle rzadko, a w życiu uczonego najwyżej raz. Chandrasekhar znalazł się też w znakomitym miejscu: Trinity College w Cambridge, gdzie pracowali Fowler i jego niedawny doktorant Dirac, a także Arthur Stanley Eddington, astrofizyk, autor książki The Internal Constitution of the Stars, którą starannie przestudiował i z której korzystał podczas pracy na statku.

Na czym polegał problem białych karłów? W dostępnych nam eksperymentalnie warunkach materii nie można zbyt mocno ścisnąć. Atomy zachowują się bowiem jak sztywne kulki i nawet pod wielkim ciśnieniem gęstość ciał stałych niemal się nie zmniejsza się, ledwie przekraczając – w przypadku najcięższych metali – dwudziestokrotność gęstości wody. Większą gęstość – ponad sto gęstości wody – osiąga materia blisko centrum Słońca. Składa się ona głównie z produktów jonizacji wodoru: protonów i elektronów o bardzo wysokiej temperaturze. Mimo tak wielkich gęstości plazmę tę wciąż można traktować jak gaz doskonały. Przeskok do gęstości milion razy większych od gęstości wody nie wydawał się fizycznie możliwy bez temperatur sięgających miliony stopni, powierzchnia białego karła świeciła w zakresie widzialnym jak gwiazda, musiała więc mieć temperaturę liczoną w tysiącach stopni.

Kwantowe wyjaśnienie zaproponował Ralph Fowler, pod którego patronatem, lecz zupełnie samodzielnie, pracował Paul Dirac. Elektrony są, jak dziś mówimy, fermionami, tzn. podlegają szczególnemu ograniczeniu: w jednym stanie kwantowym może znajdować się jeden elektron (a jeśli ignorujemy stany spinowe, to dwa różniące się rzutem spinu). Właśnie Paul Dirac obok Enrico Fermiego pierwszy zaproponował kwantowomechaniczny opis takich cząstek (nazwa fermiony, a nie np. dirakiony, nie ma głębszego uzasadnienia historycznego, a prawdopodobnie jedynie fonetyczne). Samą zasadę jeden stan – jeden elektron zaproponował zresztą nieco wcześniej Wolfgang Pauli, jeszcze jeden z dwudziestoparolatków wywracających wtedy fizykę do góry nogami. Zasada ta wyjaśnia sposób zapełniania się powłok i podpowłok w atomach. Fowler wyobraził sobie, że biały karzeł cały jest jedną wielką cząsteczką, w której elektrony tworzą coś w rodzaju gazu. Było to pierwsze zastosowanie tej idei, nieco później Arnold Sommerfeld zastosował ją do elektronów w metalach.

W atomie stan określają liczby kwantowe. W przypadku elektronów zamkniętych w gwieździe niczym w pudle skwantowane są ich wartości pędu. Dozwolone wartości tworzą sieć punktów kratowych w przestrzeni pędu (bez początku, ponieważ pęd całkowity równy zeru jest zabroniony przez zasadę nieoznaczoności). Rysunek przedstawia takie  pudło w 2D. Elektrony będą stopniowo zapełniać dozwolone stany aż do pewnej maksymalnej wartości pędu p_F, zwanej pędem Fermiego.

Jest to tzw. zdegenerowany gaz elektronowy. W pierwszym przybliżeniu można ograniczyć się do temperatury zerowej, ponieważ energia elektronów w tej sytuacji wynika nie z wysokiej temperatury, ale stąd, że wszystkie niższe stany energetyczne są zajęte. Objętość komórki w przestrzeni pędów przypadająca na dwa elektrony o różnym spinie równa jest

\Delta p_x\Delta p_y\Delta p_z=\dfrac{h^3}{V},

gdzie h jest stałą Plancka, a V objętością gwiazdy/pudła z elektronami. Widzimy, że gdy objętość pudła maleje, komórki w przestrzeni pędu rosną i przy tej samej liczbie elektronów pęd Fermiego wzrośnie. Oznacza to, że wraz z gęstością gwiazdy rośnie energia kinetyczna elektronów (równa \frac{mv^2}{2}=\frac{p^2}{2m}). Gwiazda utrzymywana jest siłami grawitacyjnymi. Energia grawitacyjna kuli o masie M i promieniu R równa jest

E_p=-\alpha \dfrac{GM^2}{R},

gdzie \alpha jest współczynnikiem zależnym od rozkładu gęstości i równym \frac{3}{5} dla kuli jednorodnej. Grawitacja jest siłą przyciągającą, więc energia rośnie tu, gdy zwiększa się promień: gdyby działała jedynie grawitacja, materia skurczyłaby się do punktu. Można znaleźć punkt równowagi, gdy suma energii kinetycznej elektronów oraz energii potencjalnej grawitacji jest najmniejsza. Promień gwiazdy jest wówczas równy

R\approx 1,15 a_B \lambda \dfrac{1}{N_n^{1/3}},

gdzie a_B=0,5\cdot 10^{-10} m jest promieniem Bohra, \lambda=1,25\cdot 10^{36} to stosunek sił elektrostatycznych do sił grawitacyjnych między protonami, a N_n jest łączną liczbą nukleonów w gwieździe. Widzimy, że im większa gwiazda, tym mniejszy promień, a więc gęstość gwiazdy rośnie jak kwadrat masy, co jest zachowaniem dość osobliwym. Promień obliczony z powyższego wzoru okazuje się dla gwiazdy o masie Słońca tego samego rzędu co promień Ziemi: a więc ogromna masa Słońca skupiłaby się w objętości zbliżonej do Ziemi. Znaczy to, że materia gwiazdy osiąga ogromne gęstości. Rzeczywiste gęstości są jeszcze większe, niż sądzono w latach trzydziestych i przekraczają milion gęstości wody. Gaz elektronowy pozwalał też objaśnić, czemu biały karzeł nie skurczy się już więcej: w istocie temperatura ma niewielki wpływ na konfigurację elektronów i struktura taka jest stabilna nawet w zerze absolutnym.

Praca Fowlera uchodzi za najwybitniejszą pozycję w jego dorobku: była w zasadzie rzuceniem idei, ale idei znakomitej, podjętej potem nie tylko w astrofizyce, ale i w fizyce ciała stałego. Jedna tak płodna idea i jeden doktorant tej klasy co Dirac, to zdecydowanie wystarczy na spełnioną karierę naukową.

Obliczenia takie, jak zarysowane powyżej, wykonał Edmund Stoner w 1929 roku. Interesowało go pytanie, czy istnieje maksymalna gęstość materii? Stoner także należał do ludzi Cambridge, jednak jego doktorat był eksperymentalny i nie odebrał on matematycznego wykształcenia, które zawsze było mocną stroną tamtejszych absolwentów. Mimo to zajął się teorią i to z powodzeniem. Jego praca The distribution of electrons among atomic energy levels z 1924 roku zainspirowała Wolfganga Pauliego do sformułowania słynnej zasady wykluczania. W reakcji na artykuł Stonera mało znany fizyk Wilhelm Anderson, pracujący w Tartu w Estonii, zwrócił uwagę, że przy dużych gęstościach, duży będzie pęd Fermiego i nie można używać newtonowskiego wyrażenia na energię kinetyczną (\frac{1}{2}mv^2), lecz należy zastosować wyrażenie relatywistyczne

E=\sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2}\approx pc.

W przypadku skrajnie relatywistycznym obowiązuje przybliżenie zapisane powyżej. Okazuje się, że teraz nie dla każdej masy istnieje rozwiązanie i biały karzeł musi mieć masę nieprzekraczającą pewnej wartości granicznej. Anderson wyznaczył tę granicę, choć jego praca nie była całkowicie poprawna. Stoner w następnym artykule uwzględnił relatywistyczne wyrażenie na energię elektronów i prawidłowo wyznaczył maksymalną liczbę nukleonów, a więc i masę białego karła:

N_n =0,77 \left(\dfrac{c\hbar}{Gm_n^2}\right)^{\frac{3}{2}} \sim \left(\dfrac{m_{P}}{m_n}\right)^3.

Po prawej stronie wyraziliśmy tę wielkość przez masę Plancka m_P: jest to kombinacja trzech fundamentalnych stałych fizycznych – stałej Plancka, prędkości światła i stałej grawitacyjnej. Maksymalna masa zwana jest granicą Chandrasekhara i po uwzględnieniu współczynników liczbowych równa jest 1,4 masy Słońca. Przyjmujemy, że na każdy elektron przypadają dwa nukleony.

Zależność promienia białego karła od masy (https://en.wikipedia.org/wiki/Chandrasekhar_limit)

Naszkicowane przez nas podejście zakłada minimalizację energii w jednorodnym gazie elektronowym. Tak właśnie obliczył to Stoner. Subrahmanyan Chandrasekhar wybrał podejście bardziej szczegółowe, w którym analizuje się warunki równowagi w gwieździe. Jego pierwsza praca, pisana podczas podróży do Anglii, była tylko krótkim zarysem, szczegółowe rozwinięcie podał w następnych latach. Prowadzi ono do podobnych wniosków, nieco różniących się liczbowo. Czemu więc granica ta związana została w historii jedynie z nazwiskiem Chandrasekhara? Jak się zdaje, Edmund Stoner nie walczył zbytnio o priorytet. Być może tematyka astrofizyczna nie była mu tak bliska jak Chandrasekharowi, stopniowo zajął się bowiem fizyką ciała stałego.

Także Lew Landau otrzymał graniczną wartość masy w bardzo eleganckiej krótkiej pracy z 1931 roku. Jednak graniczna wartość masy wydawała mu się wnioskiem absurdalnym. Pisał: „Ponieważ w rzeczywistości masy takie spokojnie sobie istnieją jako gwiazdy, nie wykazując żadnych takich absurdalnych tendencji, musimy wywnioskować, że wszystkie gwiazdy o masie przekraczającej 1,5 masy Słońca zawierają z pewnością obszary, w których prawa mechaniki kwantowej (a więc także statystyki kwantowej) są naruszone” (Neutron Stars, Black Holes and Binary X-Ray Sources, ed. H. Gursky, R. Ruffini, D. Reidel 1975, s. 272). Musimy zdawać sobie sprawę, że zarówno teoria względności, jak i mechanika kwantowa były względnie nowymi dziedzinami i nie było jasne, czy nie pojawią się nowe idee, które zmienią zasadniczo punkt widzenia. Dopiero z perspektywy dziesięcioleci widać, że zarówno teoria względności, jak i fizyka kwantowa zostały w fizyce na dobre i są niezmiernie odporne na wszelkie „poprawianie” – to dlatego trudno jest w fizyce o nowe pomysły, muszą one bowiem stanowić uogólnienie tego, co już znamy, a co zostało bardzo dokładnie przetestowane teoretycznie i przede wszystkim eksperymentalnie.

Chandrasekhar bardzo zaciekle bronił wniosku o maksymalnej masie białego karła. Arthur Eddington – podobnie jak Landau – uważał go za absurd. W ciągu kilku lat spór między Eddingtonem, uznanym autorytetem, a młodym uczonym z Indii stał się na tyle gorący, że Chandrasekhar nie mógł pozostać w Trinity College i wyjechał do Stanów Zjednoczonych.

Rację miał Chandrasekhar (i Stoner). Gwiazdy o dużych masach nie mogą stać się białymi karłami. Mogą zostać gwiazdami neutronowymi, w których materia ma gęstość zbliżoną do materii jądrowej. Znów jednak pojawia się graniczna wartość masy, powyżej której niemożliwe jest stabilne istnienie gwiazdy neutronowej. Przy dużych masach grawitacja zwycięża i jedyną możliwością staje się utworzenie czarnej dziury. Granica Chandrasekhara była pierwszą wskazówką, że struktura materii nie jest odporna na grawitacyjne zapadanie się. Być może zaakceptowanie tej sytuacji było trudne także dlatego, że intuicyjnie chcemy wierzyć w stabilny świat, dający nam metafizyczne i psychologiczne oparcie. Dlatego kłopoty miał Galileusz, z tego samego powodu zwalczano teorię ewolucji, a także niechętnie uznano teorię Wielkiego Wybuchu. Uświadomienie sobie, że zamieszkujemy narażony na rozmaite kataklizmy kawałek skalnej skorupy pływający w ciekłym podłożu i krążący po niezbyt stabilnej orbicie w zmieniającym się ciągle i katastroficznym wszechświecie, nie poprawia, by tak rzec, filozoficznego samopoczucia.

Reklamy

1 komentarz do “Jak gęsta może być materia? Białe karły, Stoner i Chandrasekhar (1930-1931)

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Połączenie z %s