Ugięcie światła gwiazd w pobliżu Słońca (Praga 1911-Berlin 1915, z Zurychem po drodze)

W Pradze Einstein wrócił po kilkuletniej przerwie do problemu grawitacji. Pierwszą pracą opublikowaną w Pradze było obliczenie kąta odchylenia promienia światła przechodzącego w pobliżu Słońca. Przewidywana wartość wynosiła 0,87 sekundy kątowej i można było mieć nadzieję, że astronomowie będą potrafil zmierzyć ten niewielki kąt. Rozważania Einsteina nad polem grawitacyjnym w teorii względności znalazłyby wówczas oparcie w obserwacjach.
Czemu światło w polu grawitacyjnym miałoby się odchylać? Odpowiedź na to pytanie była łatwa aż do początku wieku XIX. Uważano bowiem wtedy za Newtonem, iż światło jest strumieniem cząstek o wielkiej prędkości. Byłoby więc naturalne, że cząstki owe są przyciągane przez Słońce, tak samo jak każdy inny rodzaj materii. Wielkość takiego ugięcia obliczyli Johann Georg von Soldner (1804), a przed nim Henry Cavendish (ok. 1784, niepublikowane), w którego papierach znaleziono ścisły wzór na odchylenie cząstki poruszającej się po orbicie hiperbolicznej. Promienie biegnące przy krawędzi Słońca powinny odchylać się o 0,87 sekundy kątowej. Jak obliczyć wielkość Newtonowską odchylenia, pokazuję tutaj.

Jednak od początku XIX wieku światło uważano za falę i nie było widać żadnego konkretnego powodu, by grawitacja zakłócała bieg takich fal. A ponieważ kąt 0”,87 jest bardzo niewielki, więc nie próbowano nawet sprawdzić obserwacyjnie, czy efekt ten istnieje. Praca Soldnera została całkowicie zapomniana.

Punktem wyjścia Alberta Einsteina była zasada równoważności, spostrzeżenie, które uważał później za najszczęśliwszą myśl swego życia. Chodziło o związek pola grawitacyjnego z przyspieszeniem. Jeśli znajdziemy się w statku kosmicznym, który nie ma włączonych silników, doznajemy stanu nieważkości: wewnątrz naszego statku grawitacja jest „wyłączona”. Dokonując obserwacji w kabinie takiego statku, zauważymy, że obowiązuje w nim I zasada dynamiki: ciała, na które nie działają żadne siły, poruszają się ruchem jednostajnym i prostoliniowym. Inaczej mówiąc, układ odniesienia związany ze statkiem kosmicznym jest układem inercjalnym. Teoria względności sformułowana przez Einsteina w roku 1905 dotyczyła właśnie takich układów odniesienia. Zasada równoważności mówi także, że kiedy włączymy silniki naszego statku kosmicznego i zaczniemy poruszać się z przyspieszeniem, astronauta odczuje to jako „włączenie” pola grawitacyjnego. Promień światła biegnący prostoliniowo w układzie inercjalnym, w układzie przyspieszonym będzie się zakrzywiał. A ponieważ układ przyspieszony jest fizycznie równoważny polu grawitacyjnemu, więc należy oczekiwać, że w polu grawitacyjnym promień światła ulegnie zakrzywieniu.

Lokalne zakrzywienie promienia będzie zresztą dokładnie takie, jakby światło było newtonowską cząstką w polu grawitacyjnym. Można do niego zastosować wzór opisujący zwykły rzut paraboliczny (*). Einstein w roku 1911 zastosował zasadę równoważności w połączeniu z geometrią euklidesową, ponieważ aż do listopada 1915 roku nie zdawał sobie sprawy, że w zagadnieniu tym ważne okaże się także zakrzywienie 3-przestrzeni.

W przypadku fali zmiana kierunku wiąże się ze zmianą prędkości rozchodzenia. Einstein musiał więc przyjąć, że zasada stałości prędkości światła w próżni – jeden z fundamentów szczególnej teorii względności – nie obowiązuje w sposób absolutnie ścisły. Prędkość światła miała się nieco zmieniać zależnie od położenia w polu grawitacyjnym. Zależność była następująca:

tzn. na wysokości prędkość światła jest nieco większa. Wielkość jest to potencjał pola grawitacyjnego – wielkość, która pomnożona przez masę cząstki daje jej energię potencjalną (w polu o przyspieszeniu grawitacyjnym energia potencjalna równa jest ). Naruszając przyjętą wcześniej przez siebie samego zasadę stałości prędkości światła, Einstein wykazywał się odwagą, której nie brakowało mu także i później, nie był nigdy niewolniczo przywiązany do własnych pomysłów. W tym przypadku pakował się w kłopoty, które dopiero stopniowo sobie uświadamiał. Szczególna teoria względności była zbyt ważna, by ją poświęcać. Intuicja mówiła mu jednak, że także zasada równoważności powinna być słuszna. Zgodnie z nią, światło wysłane do góry w polu grawitacyjnym powinno mieć w punkcie odbioru częstość mniejszą niż w punkcie wysłania. Częstość to liczba okresów w jednej sekundzie, a więc jedna sekunda na górze zawiera mniej okresów fali niż na dole. Sekunda jest więc na górze krótsza, a odmierzany takimi sekundami czas płynie szybciej. Mamy tu do czynienia z dwoma rodzajami czasu.

Pierwszym jest czas własny mierzony np. za pomocą zegara atomowego, czyli częstości jakiejś określonej linii widmowej. Światło biegnące z dołu do góry w polu grawitacyjnym będzie miało tak mierzoną częstość mniejszą u góry niż miało w chwili wysłania na dole.

Drugim rodzajem czasu jest współrzędna czasowa. Jeśli pole grawitacyjne jest statyczne, to odstępy czasu mierzone współrzędną czasową (za pomocą czasu współrzędnościowego, jak się czasem mówi) między jednakowymi sygnałami (cząstkami) wysyłanymi w punkcie i odbieranymi w punkcie powinny być jednakowe. Kiedy popatrzymy na wykres czasoprzestrzenny (poniżej), stanie się jasne dlaczego. W sytuacji statycznej linia świata cząstki nie powinna zależeć od tego, w jakiem momencie zostanie ona wysłana, bo fizyka nie zależy od czasu. mamy więc taką samą krzywą przesuniętą jedynie w czasie (współrzędnościowym). Takie liczenie czasu ma sens, jeśli chcemy porównywać, co dzieje się w różnych punktach.

Z rysunku widać, że okres (i częstość) światła mierzony czasem współrzędnościowym będzie taki sam na każdej wysokości. Aby pogodzić te dwa sposoby liczenia czasu, musimy przyjąć, że odstęp czasu własnego odpowiadający danemu jest na wysokości równy

Pole grawitacyjne zmienia więc przelicznik jednego czasu na drugi. Czas współrzędnościowy związany jest z globalną sytuacją, umożliwia nam porównania miedzy różnymi punktami, nie mierzymy go bezpośrednio. Czas własny natomiast to będzie zawsze czas mierzony w danym punkcie za pomocą standardowego zegara. Prędkość światła wyrażona w czasie własnym jest zawsze równa i tego nie zmienia żadne pole grawitacyjne. Natomiast prędkość światła wyrażona za pomocą współrzędnej czasowej może zmieniać się od punktu do punktu i tak należy rozumieć wzór wyżej opisujący zmiany prędkości światła.

W pierwszej pracy wysłanej z Pragi odchylenie promienia świetlnego obliczone jest na podstawie zasady Huyghensa: każdy punkt czoła fali jest źródłem nowej fali kulistej, a obwiednia tych wszystkich fal kulistych staje się nowym czołem fali. Skoro prędkość fali zależy od położenia, jej czoło musi zmienić kierunek.

Można na efekt ten patrzeć jak na skutek przyciągania grawitacyjnego, ale Einstein zapoczątkował tu nowe podejście: prędkość światła się zmienia, bo zmienia się przelicznik czasu globalnego (umożliwiającego porównania) na lokalny (który mierzymy obserwując zjawiska w pewnym miejscu). Inaczej mówiąc, światło biegnie nadal po krzywej najkrótszego czasu, ale przestrzeń stała się czymś w rodzaju ośrodka o zmiennym współczynniku załamania. Odchylenie od prostoliniowości toru jest więc podobne do tego, co obserwuje się w zjawiskach takich jak miraże w rozgrzanym powietrzu nad drogą (albo pustynią).

Przewidywany efekt był niewielki, ale można było mieć nadzieję na jego wykrycie podczas zaćmienia Słońca (gdy widać gwiazdy blisko tarczy naszej gwiazdy). Tak się rzeczywiście stało, ale dopiero w roku 1919. Wcześniej Einstein zbudował, zburzył i zbudował na nowo swoją teorię grawitacji, czyli ogólną teorię względności. Okazało się przy okazji, że w Pradze widział sprawy zbyt prosto. Nawet w przypadku stosunkowo słabego pola grawitacyjnego Słońca należy bowiem uwzględnić także zakrzywienie przestrzeni. Matematycznie wygląda to następująco. Dla dwóch zdarzeń w czasoprzestrzeni Minkowskiego (szczególna teoria względności) odległych o , kwadrat odległości ma postać

Oznacza to m.in., że dla zdarzeń, które można połączyć sygnałem świetlnym , a to z kolei pociąga za sobą równość

Jest to po prostu twierdzenie Pitagorasa dla składowych prędkości światła, jej wartość zawsze równa się -pewnej stałej fizycznej. Podejście praskie oznaczało, że kwadrat odległości czasoprzestrzennej ma postać:

gdzie jest potencjałem grawitacyjnym, czyli uogólnieniem z wyrażeń wyżej. Teraz kwadrat prędkości światła jest równy

a sama prędkość

Przyjmujemy tutaj, że , co znaczy, że pole grawitacyjne nie jest bardzo silne. Co się zmieniło w ostatecznej, berlińskiej, wersji teorii Einsteina? Odległość czasoprzestrzenna przybrała postać:

Czynnik, który pojawił się przed współrzędnymi przestrzennymi, daje zakrzywienie 3-przestrzeni. Jeśli teraz obliczymy prędkość światła (tak jak wyżej z warunku ), dostaniemy wartość

Dodatkowa dwójka w liczniku daje dwukrotnie większy efekt zakrzywienia toru światła, co Einstein skonstatował ze sporym zdziwieniem. Tę właśnie podwojoną wartość (1,74 sekundy kątowej przy tarczy Słońca) zmierzył w roku 1919 Arthur Eddington. Nowa teoria nie tylko zupełnie inaczej opisywała świat (zamiast siły grawitacji inna geometria czasoprzestrzeni), ale też przewidywała inny wynik obserwacyjny. Okazało się to bardzo ważne dla akceptacji nowej teorii, zapoczątkowało też ogromną sławę uczonego, która w jakiś sposób trwa po dziś dzień.

Więcej o Einsteinowskiej teorii grawitacji.

(*) Jak zwrócili uwagę Jürgen Ehlers i Wolfgang Rindler (General Relativity and Gravitation, 29, No. 4 (1997), 519-529.