Co maszyny parowe mówią nam o czarnych dziurach? (Carnot, 1824, Hawking 1974)

Termodynamika jest dziedziną zdumiewającą. Wyprowadzone z niej zależności pojawiają się w najróżniejszych dziedzinach fizyki. Pokażemy tu mały przykład: rozumowanie Sadiego Carnota dotyczące sprawności maszyn parowych i pewien eksperyment myślowy zaproponowany przez Roberta Gerocha w 1971 r., który doprowadził do odkrycia niezerowej temperatury czarnych dziur. Pracowało nad tym zagadnieniem kilku uczonych, najważniejszy wkład wnieśli Jacob Beckenstein i Stephen Hawking. Ten ostatni końcową formułę uznał za tak ważną, że pragnął, by mu ją wyryto na nagrobku. Odkrycie to oznaczało, że czarne dziury nie są zupełnie czarne, wysyłają bowiem promieniowanie cieplne i kiedyś, po bardzo długim czasie, wyparują.

Angielski napis: Tu spoczywa to, co było śmiertelne w Stephenie Hawkingu. Słowa powtarzają po angielsku to, co wyryto kiedyś na nagrobku Isaaca Newtona nieopodal: Hic depositum est quod mortale fuit Isaaci Newtoni.

Zaczniemy od Carnota. Sadi, był synem Lazare’a Carnota, generała-matematyka, polityka i organizatora, dzięki któremu armia rewolucyjna odnosiła sukcesy i który później służył Napoleonowi Bonaparte, póki ten nie zdradził ideałów rewolucji dla osobistej władzy. Lazare Carnot napisał znany podręcznik mechaniki maszyn. Jego syn, Sadi, absolwent École Polytechnique, także został inżynierem wojskowym. Nie mógł raczej liczyć na karierę we Francji w czasach restauracji monarchii Burbonów, zajmował więc jakieś niewiele znaczące stanowiska w Sztabie Generalnym i rozwijał się intelektualnie. Mając 27 lat, w 1824 roku opublikował niewielką książeczkę Réflexions sur la Puissance Motrice du Feu (Rozważania o sile poruszającej ognia). Nie została ona doceniona przez współczesnych, a kilka lat później Carnot zmarł na cholerę. Pracę Carnota odkryło dopiero następne pokolenie fizyków, w tym William Thomson, późniejszy lord Kelvin.

Carnot rozumiał, jak ogromną rolę odgrywają maszyny parowe: w jego czasach znajdowały one wciąż nowe zastosowania, zwłaszcza Anglia korzystała na rozpowszechnieniu nowych technologii, bez nich nie byłoby Imperium Brytyjskiego. Toteż Carnot spróbował zbudować naukową teorię wydajności maszyn cieplnych. Posługiwał się zresztą teorią cieplika, nieznana była bowiem jeszcze zasada zachowania energii, lecz rozumowania Carnota można było łatwo zmodyfikować, tak też poniżej zrobimy. Odkrycie Carnota jest równoważne temu, co później stało się II zasadą termodynamiki

Rozumiano oczywiście, że nie może istnieć maszyna, która wiecznie będzie się poruszać: perpetuum mobile. Paryska Akademia nauk w roku 1775 uchwaliła, że zaprzestaje analizowania nadsyłanych wciąż rozwiązań problemu podwojenia sześcianu, kwadratury koła i trysekcji kąta, a także wynalazków umożliwiających wieczny ruch bez napędu z zewnątrz. Problemy geometryczne znane były od starożytności i coraz bardziej się przekonywano, że są nierozwiązalne jako konstrukcje za pomocą liniału i cyrkla. Maszyny parowe (oraz wszelkie silniki cieplne, a także zwierzęta) zamieniają ciepło na pracę. Z dzisiejszego punktu widzenia rzec można, iż zamieniają nieuporządkowany ruch cząsteczek i atomów na uporządkowany ruch tłoka. Tutaj także obowiązuje pewien zakaz: nie można zamienić bez strat ciepła na energię mechaniczną. Czasem mówi się, że niemożliwe jest perpetuum mobile drugiego rodzaju, czyli urządzenie, które pobierałoby ciepło wyłącznie z jednego źródła, a następnie zamieniało je w całości na pracę. Jest to istota II zasady termodynamiki. Gdyby możliwe było np. pobranie z oceanów światowych ilości ciepła odpowiadającej zmianie temperatury o 1 K i zamiana go w całości na pracę, uzyskalibyśmy około 1025 J, czyli mniej więcej sto tysięcy razy więcej, niż roczna produkcja energii elektrycznej na świecie w 2013 roku. Zasada zachowania energii byłaby przy tym spełniona, naruszałoby to jedynie II zasadę termodynamiki.

Carnot podszedł do zagadnienia w duchu kartezjańskim i matematycznym. Pominął wszelkie szczegóły konstrukcyjne, sprowadzając maszynę parową do takiego działania cyklicznego, w którym pobieramy najpierw pewną ilość ciepła Q w wyższej temperaturze, a następnie oddajemy mniejszą ilość ciepła q w temperaturze niższej.

Konieczne są tu obiekty o dwóch różnych temperaturach: źródło ciepła i chłodnica. Intuicyjnie jasne jest, że gdy ciepło przepływa wprost z ciała o wyższej temperaturze do ciała o niższej temperaturze, to tracimy możliwość wykonania użytecznej pracy – mamy do czynienia z procesem nieodwracalnym. Maszyna cieplna o największej wydajności, to taka, w której ciepło przepływa zawsze między ciałami o praktycznie tej samej temperaturze: wystarczy wówczas nieznacznie zmienić jedną z temperatur, by odwrócić kierunek przepływu ciepła. W przypadku silnika cieplnego najpierw należy mu dostarczyć ciepła w sytuacji, gdy substancja robocza (np. para wodna) ma temperaturę nieznacznie mniejszą od temperatury źródła ciepła T_1, następnie wykonuje ona pracę, a potem oddaje pewną ilość ciepła do chłodnicy, przy czym substancja robocza powinna mieć temperaturę nieznacznie tylko wyższą niż T_2. Łatwo wyobrazić sobie odwrócenie takiego cyklu, nasza maszyna pracowałaby wówczas jak lodówka.

Carnot udowodnił, że maszyna odwracalna nie może mieć mniejszej wydajności niż nieodwracalna. Gdyby tak było, moglibyśmy obie maszyny sprząc ze sobą: pierwszą w kierunku normalnym, a drugą działającą odwrotnie (lodówka) i jeszcze uzyskalibyśmy pewną dodatkową pracę zewnętrzną.

Widać z obrazka, że takie urządzenie (niebieski prostokąt) wykonuje cykl, w którym zamienia na pracę ciepło pobrane z chłodnicy, a to jest niemożliwe. Musi więc zachodzić nierówność W\le W', a więc także i wydajność silnika cieplnego

\eta=\dfrac{W}{Q}\le\dfrac{W'}{Q}=\eta_{odwr}.

Ponieważ dwie maszyny odwracalne pracujące między danymi temperaturami muszą spełnić takie nierówności w obie strony, więc muszą mieć jednakową wydajność. Wydajność maszyny odwracalnej jest wyłącznie funkcją obu temperatur. Sprawność takiej maszyny odwracalnej jest granicą teoretyczną wydajności maszyn rzeczywistych i równa jest

\eta_{odwr}=\dfrac{W'}{Q}=1-\dfrac{q'}{Q}=1-\dfrac{T_2}{T_1}.

Ostatnia równość jest zarazem definicją skali temperatur absolutnych. Wprowadził ją Thomson w 1848 roku. Jego oraz Rudolfa Clausiusa uważa się za odkrywców II zasady termodynamiki, odkryli oni na nowo fakty znane Carnotowi, a także rozwinęli tę dziedzinę. II zasadę można sformułować także w ten sposób, że całkowita suma entropii świata rośnie.

Przenosimy się teraz o 150 lat w przód. Wiadomo, że zasady termodynamiki mają zastosowanie powszechne, niezależnie od tego, z jakim obszarem zjawisk mamy do czynienia: elektromagnetyzm, reakcje chemiczne, grawitacja – fizyka nie jest zbiorem niezależnych poddziedzin, lecz spójną całością. W latach szęśćdziesiątych ubiegłego wieku fizycy zrozumieli, że we wszechświecie powinny w pewnych warunkach tworzyć się czarne dziury. Jedną z najważniejszych postaci w tej nowej astrofizyce był John Wheeler, autor określenia „czarne dziury“ i mentor całej plejady wybitnych relatywistów. Jego doktorantem był Ja’akow Beckenstein. Kiedyś Wheeler w niezobowiązującej pogawędce zauważył, że zawsze czuje się jak przestępca, kiedy stawia filiżankę gorącej herbaty obok filiżanki mrożonej herbaty i pozwala im wyrównać temperatury.

Moja zbrodnia zostawia ślad aż po kres czasu i nie ma sposobu, by ją zatrzeć albo odwrócić. Wystarczy jednak, by w pobliżu przepływała akurat jakaś czarna dziura i żebym wrzucił do niej gorącą herbatę i tę mrożoną, a dowody mojej zbrodni zostałyby zatarte na zawsze.

Należy przy tym wyobrazić sobie Johna Wheelera, ubranego w nienaganny garnitur, konserwatystę z przekonań, który rzeczywiście mógłby odczuwać moralny dyskomfort z powodu beztroskiego powiększania entropii świata. Oczywiście treść fizyczna tej wypowiedzi była jak najbardziej serio: znikanie różnych obiektów za horyzontem zdarzeń sprawia, że z bilansu entropii wszechświata znika to, co wpadło do dziury. W ten sposób II zasada termodynamiki traci ważność, bo nie możemy sporządzić pełnego bilansu entropii świata. Wiadomo było, że czarne dziury zacierają jakikolwiek ślad tego, co do nich wpada i jedynym śladem jest zmiana masy, momentu pędu i ładunku dziury. Czy obiekty tak proste mogą być obdarzone entropią, która jest miarą liczby mikrostanów danego obiektu? Wiadomo było dzięki Stephenowi Hawkingowi, że pole powierzchni horyzontu czarnej dziury zawsze rośnie, przypominając pod tym względem entropię. Ale tylko przypominając – nikt bowiem nie chciał uwierzyć, że dziury naprawdę mają entropię. Gdyby miały, powinny też mieć niezerową temperaturę, a każdy obiekt o niezerowej temperaturze wysyła promieniowanie cieplne. Tymczasem dziura ma jedynie pochłaniać cząstki i promieniowanie. 

Robert Geroch przedstawił tę sytuację za pomocą silnika cieplnego. Wyglądałoby to jakoś tak:

Rysunek Louisa Fulgoniego

Napełniamy pudło promieniowaniem o pewnej temperaturze T z dala od dziury tak, że energia promieniowania równa się E. Pudło ma masę m=E/c^2. Następnie powoli opuszczamy na lince nasze pudło. Opuszczaniu masy w polu grawitacyjnym towarzyszy wykonanie pewnej pracy i np. wygenerowanie prądu zasilającego żarówkę, jak na rysunku. Jeśli opuścimy pudło aż do horyzontu zdarzeń, jego energia całkowita stanie się równa zero (jakby do energii spoczynkowej mc^2 doszła energia potencjalna grawitacji równa -mc^2).  Znaczy to, że całą energię E udało nam się zamienić na pracę. Otwieramy teraz pudło, pozwalając promieniowaniu wpaść do dziury i podnosimy z powrotem puste, lekkie pudło. Cykl się zamyka. Stworzyliśmy idealny silnik cieplny.

Jacob Beckenstein, analizując sytuacje takie jak powyższa, pierwszy zasugerował, że czarna dziura powinna mieć entropię i ustalił, jaki wzór powinien ją opisywać. Był wtedy młodym uczonym tuż po doktoracie i musiał wytrzymać ciśnienie zmasowanej krytyki uznanych ekspertów, w tym Stephena Hawkinga. W końcu to Hawking rozstrzygnął problem, wykazując, ku własnemu zdumieniu, że czarne dziury promieniują i obliczył stosowną temperaturę. Praca ta powstała na gruncie kwantowej teorii pola, rozszerzając jej zastosowanie na zakrzywioną czasoprzestrzeń. 

Silnik Gerocha nie ma stuprocentowej sprawności. Jeśli promieniowanie ma temperaturę T, to samo pudło musi mieć rozmiar przynajmniej typowej długości fali L. Najniższe możliwe położenie pudła osiągniemy, gdy jego dolna ścianka dotknie horyzontu zdarzeń. Środek masy pudła znajduje się wtedy na pewnej wysokości L/2 i energia całkowita pudła równa się mgL/2 (g jest natężeniem pola grawitacyjnego na powierzchni horyzontu). 

Toteż praca uzyskana podczas opuszczania pudła równa jest

W=mc^2-mg\dfrac{L}{2},

a sprawność maszyny wynosi

\eta=\dfrac{W}{mc^2}=1-\dfrac{gL}{2c^2}.

Typową długość fali odpowiadającą temperaturze T możemy znaleźć jako warunek równości energii cieplnej k_{B}T (k_B jest stałą Boltzmanna – czyli w zasadzie przelicznikiem energii na temperaturę i odwrotnie) i energii fotonu (jest to też treść tzw. prawa Wiena dla promieniowania cieplnego):

k_{B}T=\dfrac{\hbar c}{L}.

Sprawność silnika przyjmuje więc postać

\eta=1-\dfrac{g\hbar }{2ck_B T}\equiv 1-\dfrac{T_{BH}}{T}.

Z porównania otrzymujemy oszacowanie temperatury Hawkinga

T_{BH}=\dfrac{g\hbar}{2k_B c}.

Oczywiście niezbyt przejmowaliśmy się stałymi liczbowymi, toteż nie należy się spodziewać, że wynik ten będzie dokładny. Wartość dokładna okazuje się mniejsza o czynnik \pi:

T_{BH}=\dfrac{g\hbar}{2\pi k_B c}.

William Unruh udowodnił, że jeśli poruszamy się z przyspieszeniem g w pustej przestrzeni, to zaobserwujemy w naszym układzie odniesienia promieniowanie o takiej temperaturze jak we wzorze Hawkinga. Jest to tzw. efekt Unruh. Zgodnie z zasadą równoważności pole grawitacyjne i przyspieszenie są lokalnie równoważne.

Temperatura Hawkinga w przypadku czarnych dziur o masach astrofizycznych jest skrajnie mała i zdecydowanie poza zasięgiem obserwacji. Osiągnięciem Hawkinga było pokazanie, że i w tym przypadku obowiązuje II zasada termodynamiki. Fakt, że czarna dziura promieniuje, i to tym silniej, im mniejszą ma masę, oznacza, że po bardzo długim czasie czarne dziury wyparują i wszechświat wypełniony będzie samym promieniowaniem. Taki kres wszechświata, według ulubionej hipotezy Rogera Penrose’a, byłby możliwym początkiem następnego wszechświata. 

Żeby otrzymać temperaturę w postaci z nagrobka w Westminster Abbey, należy wstawić za g wartość 

g=\dfrac{GM}{r_S^2},

gdzie r_S to promień Schwarzschilda:

r_S=\dfrac{2GM}{c^2},

a G\, M oznaczają odpowiednio stałą grawitacyjną i masę dziury. Wzór opisujący g jest (przypadkowo) taki sam jak w teorii klasycznej dla grawitacji na powierzchni kuli o promieniu r_S

O temperaturze Hawkinga pisałem już wcześniej.

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google

Komentujesz korzystając z konta Google. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Połączenie z %s