Masa krytyczna uranu 235: Jakow Borysowicz Zeldowicz i Robert Serber

Naturalny początek tej historii rozgrywa się w Mińsku na Białorusi. W XIX wieku miasto należało do strefy osiedlenia dla Żydów w cesarstwie rosyjskim. Napływali tam m.in. Żydzi wygnani z Petersburga i Moskwy, nie wolno im było mieszkać ani we wsiach, ani w dużych miastach, jak Kijów czy Odessa. Tu i ówdzie powtarzały się pogromy (to rosyjskie słowo stało się z czasem międzynarodowe). Wielu emigrowało, inni trwali. Jednym z emigrantów z Mińska do Stanów Zjednoczonych był Melville Feynman, handlowiec wysoko ceniący wykształcenie: jego dzieci Richard i Joan oboje zostali naukowcami. Richard Feynman jako młody geniusz trafił do Projektu Manhattan w Los Alamos. Kilka lat starszy od Richarda Jakow Zeldowicz urodził się w Mińsku. Jego rodzice, prawnik i tłumaczka, przeprowadzili się do Petersburga i Jakow tam rozpoczął swoją świetną karierę naukową. W jeszcze większym stopniu niż Feynman był samoukiem: nigdy nie skończył studiów. Był podobnie uniwersalny, znał się niemal na wszystkim, należał do najwybitniejszych fizyków rosyjskich, a nie brakowało tam znakomitych ludzi. Nie był tak sławny jak Richard Feynman, ponieważ większość swego twórczego życia pracował w tajnych projektach związanych z bronią jądrową. Dopiero koło pięćdziesiątki, na swoistej emeryturze, zajął się astrofizyką i kosmologią, wnosząc do nich istotny wkład. Zdążył wychować wybitnych uczniów, jak Igor Novikov i Rashid Sunyaev. Słynne telefony Zeldowicza do współpracowników i naukowych znajomych o szóstej rano oraz wielostronicowe listy z rozważaniami naukowymi wspomina wielu uczonych. Stephen Hawking po rozmowach z Zeldowiczem w Moskwie zaczął się zastanawiać nad promieniowaniem czarnych dziur. Novikov zapamiętał swoje pierwsze zetknięcie z Zeldowiczem i niesamowite wrażenie, jakie wywarł na nim starszy uczony, który z miejsca rozumiał wszystko, o czym mu się mówiło. Jego zdolność uczenia się nowych rzeczy zadziwiała. Opowiadał, jak ciekawie jest wejść w nową dziedzinę nauki: trzeba tylko nauczyć się 10% tego, co na dany temat wiadomo, i można zacząć własną pracę. Pracując ciężko, dość szybko osiąga się poziom, przy którym rozumie się 90% prac z danej dziedziny – wtedy należy ją zostawić, bo zrozumienie pozostałych 10% wymaga wielu lat.

Zeldowicz napisał kiedyś nieformalny podręcznik matematyki wyższej dla uczniów i początkujących studentów. Książka wywołała burzę i ataki ze strony matematyków z powodu braku ścisłości. Podejście Zeldowicza było jednak inżynierskie, praktyczne, przypominające rzeczowy stosunek Feynmana do matematyki. Obaj pozostawieni na bezludnej wyspie potrafiliby odtworzyć znaczną część wiedzy matematycznej ludzkości. Niżej przedstawimy prościutkie rozumowania Zeldowicza pozwalające oszacować masę krytyczną uranu. On sam bardzo cenił proste rozważania, które mogą stanowić wstęp do bardziej rozbudowanych teorii i przybliżeń, lubił fizykę uprawianą na odwrocie koperty. W części drugiej pokażemy, jak to samo obliczenie przeprowadzone zostało w wykładach Serbera, stanowiących wstępną informację dla członków Projektu Manhattan. Odtajnione wykłady znaleźć można w sieci jako The Los Alamos Primer.

Wyobraźmy sobie dużą bryłę uranu 235. Biegnący w niej neutron o prędkości $v$ prędzej czy później trafi w jakieś jądro uranu. Pole powierzchni jądra to pole powierzchni koła o promieniu $r_0\approx 10^{-12}\mbox{ cm}$ . Tylko pewien ułamek zderzeń kończy się rozszczepieniem, oznaczmy go przez $\alpha$ . Z punktu widzenia rozszczepienia jądro uranu ma więc pole przekroju

$\sigma=\alpha \pi r_0^2\approx 1,6\cdot 10^{-24}\mbox{ cm}^2,$

gdzie przyjęto $\alpha=\frac{1}{2}$ . W krótkim czasie $dt$ neutron przebiegnie drogę $v dt$ i może zderzyć się z jądrami znajdującymi się w objętości walca $\sigma v dt$ . Jeśli oznaczymy przez $N$ liczbę jąder uranu na jednostkę objętości, średnia liczba zderzeń z jądrami w czasie $dt$ równa będzie $N\sigma v dt$ . Załóżmy, że w naszej bryle znajduje się $n$ neutronów, po każdym rozszczepieniu przybywa $\nu$ neutronów, a ubywa jeden neutron pochłonięty przez jądro. Liczba aktów rozszczepienia w krótkim czasie jest więc równa

$dn=(\nu-1)N\sigma v n dt\Rightarrow \dfrac{dn}{dt}=\dfrac{\nu-1}{\tau}n, \mbox{ gdzie } \dfrac{1}{\tau}=N\sigma v.$

Oznacza to, że liczba neutronów rośnie wykładniczo:

$n(t)=n_0\exp{\dfrac{(\nu-1)t}{\tau}},$

jeśli tylko $\nu>1$ , co jest warunkiem reakcji łańcuchowej: powstaje więcej neutronów, te zaś wywołują jeszcze więcej rozpadów itd.

Typowa prędkość neutronów w rozszczepieniu równa jest $v\approx 2\cdot 10^{9} \mbox{cm/s}$ , liczba jąder na jednostkę objętości równa jest $N=4\cdot 10^{22}\mbox{ cm}^{-3}$ (Łatwo obliczyć tę wielkość, znając gęstość uranu, która równa jest $18 \mbox{g/cm}^3$ oraz liczbę Avogadro: 235 g uranu to $6\cdot 10^{23}$ atomów). Liczba tworzących się neutronów równa jest średnio $\nu=2,5$ . Otrzymujemy więc

$\dfrac{\tau}{\nu-1}=5\cdot 10^{-9}\mbox{ s}.$

Oznacza to bardzo gwałtowny wzrost liczby neutronów i aktów rozszczepienia, w ciągu $1\mu s=10^{-6} s$ jest to wzrost o czynnik $10^{88}$ , a ponieważ nawet 1 tona uranu to mniej niż $10^{28}$ jąder, więc nawet zaczynając od jednego neutronu, rozszczepienie objęłoby tę objętość uranu w czasie poniżej mikrosekundy. Jest to wybuch.

Zakładaliśmy, że nasz blok uranu jest duży, to znaczy każdy uwolniony neutron prędzej czy później natrafia na jakieś jądro i inicjuje rozszczepienie. Gdy nasza objętość jest mniejsza, musimy wziąć pod uwagę ucieczkę neutronów na zewnątrz. Ucieczka ta będzie zachodzić przez powierzchnię, więc najlepiej, gdy nasza bryła ma najmniejsze pole powierzchni przy danej objętości – znaczy to, że musi ona być kulista. W czasie $dt$ uciekną neutrony z warstwy o grubości $v dt$ przy powierzchni. Założymy też, że wszystkie neutrony (w liczbie $n$ ) rozłożone są równomiernie w objętości kuli o promieniu $r$ . Wówczas zmiana liczby neutronów w czasie $dt$ równa jest

$dn=-\dfrac{n}{\frac{4}{3}\pi r^3}\cdot v dt \cdot 4\pi r^2=-n \dfrac{3v}{r} dt\Rightarrow \dfrac{dn}{dt}=-\dfrac{3kv}{r}n.$

W ostatnim równaniu wprowadziliśmy pewien czynnik poprawkowy $k<1$ związany z tym, że nie wszystkie neutrony z warstwy przypowierzchniowej mają prędkości na zewnątrz, a także z tym, że zapewne gęstość neutronów przy powierzchni będzie mniejsza niż w głębi. Ucieczka neutronów prowadzi do wykładniczego zaniku ich liczby. Przy uwzględnieniu obu rozważanych wyżej czynników: mnożenia się oraz ucieczki, otrzymujemy równanie

$\dfrac{dn}{dt}=\left(\dfrac{\nu-1}{\tau}-\dfrac{3kv}{r}\right) n.$

Gdy znak wyrażenia w nawiasie jest dodatni, otrzymujemy wybuch. Wartość graniczna promienia określa masę krytyczną:

$R=\dfrac{3kv\tau}{\nu-1}\equiv \dfrac{3k\lambda}{\nu-1}.$

Ostatnia równość definiuje drogę swobodną neutronów $\lambda=v\tau$ . Promień kuli krytycznej jest więc równy $k\cdot 30\mbox{ cm}$ . Ponieważ $k\approx 0,3$ , więc $R\approx 9 \mbox{cm}$ , co odpowiada masie około 50 kg.

Zobaczmy, jak tę samą sytuację opisał Robert Serber. Wprowadzamy koncentrację neutronów $P$ zależną od czasu i położenia w próbce. Równanie ciągłości, czyli warunek zachowania liczby neutronów, należy zmodyfikować tak, by uwzględniał tworzenie się nowych neutronów w rozszczepieniu. Załóżmy najpierw, że $P$ zależy jedynie od współrzędnej $x$ .

Rozpatrując objętość materiału o jednostkowym polu powierzchni przekroju i grubości $dx$ , możemy zapisać:

$\dfrac{\partial P}{\partial t}dx=P\dfrac{\nu-1}{\tau}dx-[j_x(x+dx)-j_x(x)],$

gdzie $j_x$ jest strumieniem cząstek w kierunku $x$ . (Sens tego równania jest czysto buchalteryjny: przyrost liczby neutronów w zakreślonym obszarze wynika albo stąd, że one tam powstały, albo stąd, że wpłynęły z lewej bądź z prawej strony). Dzieląc obie strony przez $dx$ , otrzymujemy

$\dfrac{\partial P}{\partial t}=\dfrac{\nu-1}{\tau}P-\dfrac{\partial j_x}{\partial x}.$

Zakładając następnie, że cząstki dyfundują z obszarów o większej gęstości do obszarów o mniejszej gęstości w zwykły sposób (prawo Ficka), mamy

$j_x=-D\dfrac{\partial P}{\partial x }.$

Stała $D$ to stała dyfuzji. Możemy też zapisać równanie ciągłości zwięźlej w postaci:

$\dfrac{\partial P}{\partial t}=\dfrac{\nu-1}{\tau} P+D \dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}.$

Dla zmian we wszystkich kierunkach ostatnie równanie powinno być uogólnione w oczywisty sposób:

$\dfrac{\partial P}{\partial t}=\dfrac{\nu-1}{\tau} P+D \left( \dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2 P}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 P}{\partial z^2}\right).$

Wyrażenie w nawiasie to laplasjan, otrzymaliśmy równanie dyfuzji w obecności źródeł cząstek: u nas takim źródłem są neutrony już istniejące w danej objętości materiału. Optymalnym kształtem jest nadal kula uranu, wówczas rozkład gęstości neutronów powinien zależeć jedynie od odległości od jej środka $\varrho$ . Jeśli przyjąć, że funkcja $P$ jest ma postać

$P(\varrho, t)=\exp{\dfrac{\nu'}{\tau}}f(\varrho),$

gdzie znak parametru $\nu'$ przesądza o tym, czy mamy do czynienia z wybuchem, czy z wykładniczym zanikaniem neutronów. Równanie dyfuzji przybiera postać

$\Delta f+\dfrac{\nu-1-\nu'}{D\tau}f=0.$

Najprostsze rozwiązanie sferycznie symetryczne otrzymamy, korzystając z równości

$\Delta \left(\dfrac{\sin k\varrho }{\varrho } \right)=-k^2 \dfrac{\sin k\varrho }{\varrho}.\mbox{(*)}$

Nasze równanie sprowadza się wtedy do równania algebraicznego

$-k^2+\dfrac{\nu-1-\nu'}{D\tau}=0.$

Aby znaleźć parametr $k$ , musimy nałożyć warunki brzegowe: nasze rozwiązanie ma być skończone, zażądajmy też, aby $f(R)=0=\sin kR$ , tzn. gęstość neutronów na powierzchni kuli ma spadać do zera. Mamy więc w najprostszym przypadku $kR=\pi$ (oczywiście istnieją inne miejsca zerowe funkcji sinus, ale dla nich gęstość neutronów by oscylowała wzdłuż promienia, przyjmujemy, że są one niefizyczne).

Chcąc otrzymać warunek krytyczny, musimy zażądać także, aby $\nu'=0$ , otrzymamy wówczas:

$R^2=\dfrac{\pi^2 D\tau}{\nu-1}.$

Możemy porównać oba warunki, pamiętając, że $D=\frac{1}{3}\lambda v$ , promień krytyczny przybierze postać

$R=\dfrac{\pi\lambda}{\sqrt{3(\nu-1)}}.$

Nasza teoria zakłada zbyt gwałtowny spadek gęstości neutronów przy powierzchni, w dokładniejszych rozważaniach należałoby to poprawić. Zgromadzenie masy krytycznej materiału rozszczepialnego nie rozwiązuje problemu bomby atomowej, jest jedynie informacją o rzędzie wielkości. W praktyce okazuje się, że w trakcie gwałtownego wybuchu objętość materiału rośnie, a z nią rośnie także droga swobodna neutronów. W rezultacie nie jest łatwo wykorzystać całą energię materiału rozszczepialnego. Bomba, która spadła na Hiroszimę, wykorzystała energię rozszczepienia zaledwie 1 kg uranu 235, potem reakcja się spontanicznie zatrzymała.

(*) Laplasjan dla symetrii sferycznej można zapisać jako

$\Delta f=\dfrac{1}{\varrho}\dfrac{\partial^2(\varrho f)}{\partial \varrho^2},$

Łatwo sprawdzić, że funkcje $\varrho f=\sin k \varrho$ oraz $\varrho f=\cos k\varrho$ przechodzą na same siebie pod działaniem laplasjanu (są funkcjami własnymi laplasjanu). Tylko pierwsza z nich jest skończona wewnątrz kuli.