Christiaan Huygens: idealny pomiar czasu i zegar wahadłowy (1673)

Huygens był najwybitniejszym uczonym epoki przed Newtonem. Miał tego pecha, że urodził się w złym momencie: za późno albo za wcześnie na przełomowe odkrycia. Te wcześniejsze należały do Galileusza, późniejsze – do Newtona. Coś jednak zostało. M.in. to Huygens pierwszy obliczył przyspieszenie odśrodkowe, zbadał prawa zderzeń sprężystych, wysunął ideę, że światło jest falą oraz odkrył prawdziwy kształt pierścieni Saturna i wyjaśnił, czemu widać je pod różnym kątem w różnych latach.

640px-Huygens_Systema_Saturnium

To żadne odkrycie – wystarczy spojrzeć w teleskop, powie ktoś. No tak, ale Huygens sam sobie zbudował teleskop, który umożliwił te obserwacje. Poprzednie teleskopy nie pozwalały rozstrzygnąć, co właściwie znajduje się wokół Saturna.

Głównie jednak był fizykiem matematycznym. Od czasu Galileusza wiadomo było, że wahadło może służyć do pomiaru czasu, ale pierwsze zegary wahadłowe skonstruował według wskazówek Huygensa zegarmistrz Salomon Coster.

_small

Zegar Costera z roku 1657 i książka Huygensa z roku 1673 (w książce opisał fakty znane mu od lat, stąd ta różnica dat). Muzeum Boerhaave w Lejdzie.

Aż do początków XX wieku były to najdokładniejsze zegary. Także zrozumienie matematyki wahadła zawdzięczamy Huygensowi. Spróbujemy to opisać.

Galileusz sądził, że wahadło ma stały okres zależny od długości, może więc służyć do pomiaru czasu. Sprawa nie jest jednak taka prosta. Spróbujemy opisać ją z dzisiejszego punktu widzenia, a potem przedstawimy obliczenie okresu dla wahadła idealnego – ten drugi rachunek będzie w duchu Huygensa, ale w bardziej dla nas zrozumiałych oznaczeniach. Znowu pojawi się magiczna krzywa XVII wieku – cykloida, o ktorej już pisaliśmy.

Simple_harmonic_oscillator

(Źródło: Oleg Aleksandrov)

Zaczniemy od innego układu: masy na sprężynie. Jeśli wychylić taką masę z położenia równowagi, zacznie poruszać się ruchem drgającym. Jest to przykład oscylatora harmonicznego, układu niezmiernie w fizyce ważnego: wszelkie zegary, nawet te atomowe, zawierają jakiś oscylator, za pomocą oscylatorów opisuje się drgania atomów w kryształach, a także pole elektromagnetyczne. Przyjrzyjmy się masie na sprężynie. Gdy wychylimy ją o {x} z położenia równowagi, siła wypadkowa działająca na naszą masę będzie równa {F=-kx}, gdzie {k} jest pewną stałą opisującą sztywność sprężyny. Co taka siła oznacza? Ano tyle, że siła skierowana jest przeciwnie do wychylenia. Im dalej wychylimy sprężynę, tym większa będzie siła {F} przywracająca równowagę. Ponieważ siła to masa {m} razy przyspieszenie {a}, możemy napisać,

\displaystyle ma=-kx \mbox{ albo inaczej: } a=-\left(\frac{k}{m}\right) x. \mbox{ \hspace{1cm} (1)}

Z matematycznego punktu widzenia równanie to opisuje wszystko, co możemy powiedzieć o ruchu masy na sprężynie (czyli oscylatora). Wyobraźmy sobie, że znaleźliśmy jakieś rozwiązanie tego równania {x=f(t)}. Intuicyjnie jasne jest, że powinno ono być okresowe. Co się stanie, jeśli rozpatrzymy nowy ruch {x=2f(t)}? W każdej chwili wychylenie naszej masy jest dwa razy większe niż poprzednio. Zatem prędkość będzie dwa razy większa niż poprzednio. A także przyspieszenie. Czyli lewa i prawa strona równania (1) są dwa razy większe, równanie jest więc nadal spełnione. Okres w pierwszym i drugim przypadku będzie taki sam: wystarczy pomyśleć o powrotach do położenia równowagi, jeśli dla jakiegoś {T} mamy {f(T)=0}, to także {2f(T)=0}. Uklad taki jak masa na sprężynie ma taki sam okres, bez względu na to, czy wychylimy go na początku mocniej, czy słabiej. Matematycy mówią, że jest to układ liniowy.

pendulum

Przejdźmy teraz do przypadku wahadła. Na początek zauważmy, że wahadło nie potrzebuje sznurka, wystarczy, że jakaś masa (np. koralik nawleczony na drut) ślizga się wzdłuż odpowiednio wygiętego drutu. Rolę długości wahadła pełni promień łuku. Przyspieszenie grawitacyjne wzdłuż drutu równe jest {g\sin\gamma} (dokładnie tyle samo otrzymuje się w podręcznikach fizyki dla masy na równi pochyłej). Dostajemy więc równanie

\displaystyle a=-g\sin\gamma.

Kąt {\gamma} możemy wyrazić przez odległość od najniższego punktu {x} oraz długość wahadła {l}, otrzymujemy

\displaystyle a=-g\sin\frac{x}{l}.

Teraz równanie nie jest liniowe, bo jeśli {x=f(t)} jest jego rozwiązaniem, to {x=2f(t)} już nie, ponieważ {\sin 2\alpha\neq2\sin\alpha}. Oznacza to, że okres wahadła zależy od amplitudy drgań. Dlaczego w takim razie Galileusz był taki dumny z odkrycia, że okres drgań nie zależy od amplitudy? Chodzi o to, że dla niewielkich kątów można sinus zastąpić kątem (w radianach):

\displaystyle a=-g\sin\frac{x}{l}\approx -\left(\frac{g}{l}\right) x.

Pomijając sens wielkości w nawiasie (co dla matematyka jest nieistotne), dostajemy znowu równanie (1). Zatem przy niewielkich wychyleniach wahadło zachowuje się jak układ liniowy, tzn. jego okres nie zależy od amplitudy drgań. Inaczej mówiąc, nadaje się ono na element zliczający czas, ponieważ zawsze drga z takim samym okresem.

Nasuwa się naturalne pytanie: jak zmienić kształt krzywej, żeby okres nie zależał od amplitudy? Odpowiedź jest bardzo prosta: musi to być taka krzywa, żeby długość łuku {x} (mierzona od najniższego położenia) była proporcjonalna do sinusa kąta {\gamma}. Niech np. {x=4r\sin\gamma} (gdzie {r} jest pewną stałą), otrzymujemy wówczas:

\displaystyle a=-g\sin\gamma=-\left(\frac{g}{4r}\right)x.

A więc znowu dostajemy równanie (1) i okres nie zależy od wielkości drgań. Łatwo wykazać, że krzywą, która spełnia taki warunek jest cykloida; szczegóły poniżej w (*).

Oznacza to, że z każdego punktu cykloidy punkt zjeżdża w jednakowym czasie. Mówiąc z grecka, cykloida to tautochrona (a także brachistochrona)

Huygens nie odkrył tego faktu w taki właśnie sposób, jego rozumowania były dość zawiłe, potem je udoskonalił, ale i tak dla nas ówczesny sposób zapisywania wszystkiego przez proporcje geometryczne jest wysoce nieprzejrzysty.

Obliczymy jeszcze czas wznoszenia się ciała po łuku cykloidy (będzie on oczywiście równy czasowi ześlizgiwania się). Tym razem jest to uwspółcześniona wersja rozumowania Huygensa. Załóżmy, że w najniższym punkcie prędkość ciała równa jest {v_0}. Z geometrii cykloidy wynika, że na wysokości {h} kąt nachylenia {\gamma} spełnia równanie {h=2r\sin^2\gamma} por. (d) niżej. Prędkość ciała na wysokosci {h} spełnia równanie {v^2=v_0^2-2gh}, gdzie {g} jest przyspieszeniem ziemskim. Równanie to wynika np. z zasady zachowania energii: Huygens o tym wiedział, chociaż wtedy to się tak nie nazywało. Rozpatrzmy teraz maleńki kawałek drogi wzdłuż cykloidy {dx}. Czas potrzebny na przebycie tego kawałka drogi to

\displaystyle d\tau=\frac{dx}{v}=\frac{4r\cos\gamma d\gamma}{\sqrt{v_0^2-2gh}}=\frac{4r\cos\gamma d\gamma}{\sqrt{v_0^2-2g\cdot 2r\sin^2\gamma}}. \mbox{ \hspace{2cm}(2)}

W drugiej równości skorzystaliśmy z wyrażenia (a) dla {dx}. Wygląda to dość zawile, ale można zapisane wyrażenie uprościć. Gdyby tak wyrażenie pod pierwiastkiem miało postać: {\sqrt{v_0^2-v_0^2\sin^2\beta }}, moglibyśmy skorzystać z jedynki trygonometrycznej. Spróbujmy to osiągnąć: definiujemy nową zmienną {\beta}, która spełnia równanie:

\displaystyle v_0 \sin\beta=\sqrt{4gr} \sin\gamma .\mbox{\hspace{2cm}(3)}

W najwyższym punkcie toru ciało się zatrzymuje, czyli jego prędkość równa się zeru. Łatwo sprawdzić, że oznacza to, że {\beta} zmienia się w przedziale od {0} (na dnie) do {\frac{1}{2}\pi.} Przyrost sinusa to cosinus razy przyrost zmiennej, por. (b):

\displaystyle d(\sin z)=\cos z dz.

Jeśli zastosujemy to do równania (3) i podstawimy do wyrażenia (2) na czas, stanie się mały cud i uzyskamy:

\displaystyle d\tau=\sqrt{\frac{4r}{g}}d\beta.

Funkcje trygonometryczne znikły, podobnie jak prędkość {v_0}: nic więc nie zależy od prędkości początkowej, a zatem i od wysokości, na jaką ciało się wzniesie – tak być powinno, bo czas ma być niezależny od amplitudy drgań. Sumując wkłady od wszystkich małych elementów cykloidy, otrzymamy czas wypadkowy:

\displaystyle \tau=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{4r}{g}}.

(Suma przyrostów kąta \beta równa się {\frac{1}{2}\pi.}) Okres wahań obejmuje cztery takie cykle, więc okres wahadła cykloidalnego równy jest

\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{4r}{g}}.

Huygens na tym nie skończył, lecz wykazał, że wahadło takie możemy uzyskać w następujący sposób.

pendulum2

Nić wahadła OAP odwija się wzdłuż cykloidalnych „policzków” – w rezultacie koniec wahadła zakreśla cykloidę. Ostatecznie pomysł ten nie przyjął się w praktyce, w zegarach wahadło wychyla się o niewielki kąt.

Krzywe u góry to też cykloidy o tym samym promieniu. Widzimy, że w najniższym punkcie długość wahadła równa się {l=4r}, a więc nasz wzór daje ten sam wynik, co zwykły szkolny wzór na okres wahadła.

(*) Niezbędne rachunki.

cycloid-2

Wyobraźmy sobie koło o promieniu r toczące się od punktu {\pi} do S. Załóżmy, że toczy się ono z prędkością jednego radiana na sekundę, więc po czasie {t} obróciło się o kat {t}. Kąt {\gamma=\angle PSQ=\frac{1}{2} t} jako kąt wpisany. W chwili {t} punkt {S} jest nieruchomy, a punkt {P} obraca się wokół niego z prędkością kątową 1 radiana na sekundę. Wobec tego droga przebyta przez punkt na cykloidzie w krótkim czasie {dt} równa jest

\displaystyle dx= SP \cdot dt=2r\cos\gamma \cdot dt=4r\cos\gamma d\gamma. \mbox{ \hspace{2cm}(a)}

Przyrost {\sin z} to

\displaystyle d(\sin z)=\sin(z+dz)-\sin z=\cos z\sin (dz)+\sin z\cos (dz)-\sin z\approx

\displaystyle \approx\cos z dz, \mbox{ (b)}

ponieważ sinus dla małych kątów możemy zastąpić kątem, a cosinus – jedynką.

Wobec tego z (a) wynika, że

\displaystyle s=4r\sin\gamma . \mbox{\hspace{2cm}(c)}

Patrząc jeszcze raz na rysunek cykloidy, mamy

\displaystyle h=2r-P'Q=2r-SP\cos\gamma=2r- 2r\cos^2\gamma=2r\sin^2\gamma.\mbox{\hspace{2cm}(d)}

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s