Richarda Feynmana droga do równania Schrödingera (1941)

Jeszcze w trakcie swoich studiów pierwszego stopnia w MIT (ukończył je w 1939 r.) Feynman dowiedział się o trudnościach elektrodynamiki kwantowej. Teoria taka była niezbędna do opisania oddziaływań przy większych energiach: kiedy mogą tworzyć się albo anihilować pary elektron-pozyton. Obliczenia prowadziły jednak do całek rozbieżnych, teoria wymagała nowego podejścia.

W swoim wykładzie noblowskim Richard Feynman opowiada o kilku ideach, które starał się rozwijać w trakcie swoich dalszych studiów w Princeton (na egzaminach wstępnych z fizyki uzyskał tam komplet punktów, co zdarzyło się po raz pierwszy). W roku 1942 r uzyskał doktorat pod kierunkiem Johna Archibalda Wheelera i niebawem zaczął pracę w Projekcie Manhattan.

Jednym z pomysłów Feynmana było nowe sformułowanie mechaniki kwantowej. Poszukiwał podejścia, w którym można by opisać, co dzieje się z cząstkami w czasoprzestrzeni. Chodziło mu o teorię relatywistyczną, w której opis taki wydaje się naturalny. Należało się spodziewać, że zamiast hamiltonianu pojawi się tu lagranżian cząstek (sformułowanie Lagrange’a mechaniki daje się łatwo zapisać w postaci jawnie kowariantnej, w której zgodność z teorią względności jest punktem wyjścia, a nie dodatkowym założeniem). Na początek udało mu się sformułować w nowy sposób „starą” mechanikę kwantową, która liczyła wprawdzie dopiero piętnaście lat, lecz dla młodego człowieka była to już prehistoria. Właśnie to sformułowanie znalazło się w doktoracie.

Punktem wyjścia była rozmowa z Herbertem Jehle w „Nassau Inn” w Princeton któregoś wieczoru. Jehle, Niemiec, syn generała, był kwakrem i pacyfistą, wyemigrował z nazistowskiej ojczyzny, pracował w Brukseli, w końcu trafił do obozu internowania w Gurs w Pirenejach w republice Vichy, skąd trafił do Stanów Zjednoczonych. Jehle znał pewną pracę Paula Diraca, w której pojawiał się lagranżian. Nazajutrz wybrali się obaj do biblioteki, aby odszukać tę pracę z 1933 roku. Była ona opublikowana w dość nieprawdopodobnym miejscu, bo w rosyjskim czasopiśmie „Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion”.

Dirac pisze, jak znaleźć funkcję falową w chwili późniejszej t+\varepsilon z funkcji falowej w chwili t, korzystając z zasady Huygensa:

\psi(x,t+\varepsilon)={\displaystyle \int G(x,y)\psi(y,t)dy}.

Funkcja G(x,y) jest dziś zwana propagatorem cząstki. Funkcja falowa w późniejszym czasie jest więc sumą funkcji falowych w czasie wcześniejszym wziętą z odpowiednimi wagami – wagi te opisuje propagator. Angielski uczony stwierdził też, że propagator dla krótkich czasów „odpowiada” (corresponds to) wyrażeniu

e^{iL \varepsilon /\hbar},

gdzie L jest lagranżianem, \hbar – stałą Plancka. W wykładniku mamy tu działanie dla bardzo krótkiego czasu \varepsilon. Feynman spróbował natychmiast ustalić, co oznacza owa odpowiedniość. Jeśli wziąć dwa punkty x i y, to średnia prędkość cząstki powinna się równać

v=\frac{x-y}{\varepsilon},

a energia potencjalna powinna być także jakąś wartością średnią:

V=V(\frac{x+y}{2}).

Lagranżian to różnica energii kinetycznej i potencjalnej, a więc wyrażenie wykładnicze Diraca jest równe:

\exp\left(\frac{im(x-y)^2}{2\hbar\varepsilon}-\frac{i}{\hbar}V(\frac{x+y}{2})\varepsilon\right).

Dla niewielkich \varepsilon pierwszy składnik wykładnika będzie gwałtownie oscylował, drugi natomiast staje się coraz mniejszy i może być zastąpiony przybliżeniem liniowym. Oznaczając x-y=\xi i przyjmując, że „odpowiada” u Diraca znaczy „jest proporcjonalny”, mielibyśmy

\psi(x,t+\varepsilon) =A(\varepsilon) {\displaystyle \int \exp\left(\dfrac{im\xi^2}{2\varepsilon\hbar}\right)\left\{ 1-\dfrac{i\varepsilon}{\hbar}V(x-{\xi}/{2})\right\}\psi(x-\xi)d\xi}.

Ponieważ pierwszy czynnik pod całką gwałtownie oscyluje, więc możemy funkcję falową pod całką przybliżyć jej rozwinięciem Taylora wokół x:

\psi(x-\xi)\approx \psi(x)-\xi \dfrac{\partial \psi}{\partial x}+\dfrac{\xi^2}{2}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}.

Także energię potencjalną możemy zamienić jej wartością w punkcie x. Całki po prawej stronie dają się w tym przybliżeniu bez trudu obliczyć i otrzymujemy:

\psi(x,t+\varepsilon)=\psi(x,t)-\dfrac{i\varepsilon }{\hbar}V(x)\psi(x,t)+\dfrac{i\hbar \varepsilon}{2m}\,\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}.

Możemy to równanie przekształcić do postaci

i\hbar \dfrac{\psi(x,t+\varepsilon)-\psi(x,t)}{\varepsilon}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi(x,t),

co w granicy \varepsilon\rightarrow 0 przechodzi w równanie Schrödingera.

Jak opowiada Feynman, obliczenie to wykonał od razu w obecności Jehlego, który pilnie notował kolejne kroki.
Był to punkt wyjścia do całek Feynmana po trajektoriach (albo po historiach cząstki – jak nazwał to John Wheeler). Wyobraźmy sobie bowiem, że dany przedział czasu (0,T) dzielimy na N+1 podprzedziałów o długości \varepsilon każdy.

Propagator cząstki przyjmuje postać:

G(x,y)=A^{N+1}{\displaystyle \int\ldots\int \exp(\frac{i\varepsilon}{\hbar}(L(y,x_1)+L(x_1,x_2)+\ldots+L(x_N,x))dx_1\ldots dx_N}\mbox{(*)}.

Jeśli wyobrazimy sobie, że N\rightarrow\infty, to wykładnik w funkcji wykładniczej będzie dążył do całki działania pomnożonej przez czynnik i/\hbar:

\dfrac{i}{\hbar}S={\displaystyle \frac{i}{\hbar}\int_0^T L\left(x,\frac{dx}{dt}\right)dt}.

Mamy więc procedurę obliczania wartości G(x,y) za pomocą sumy po różnych możliwych trajektoriach. G można zinterpretować fizycznie: kwadrat modułu tej zespolonej wartości jest prawdopodobieństwem, że cząstka z punktu czasoprzestrzeni (y,0) przemieści się do punktu (x,T). Po drodze „próbuje” ona niejako wszelkich możliwych trajektorii i każda z nich daje wkład proporcjonalny do wartości działania:

G(x,T|y,0) \sim {\displaystyle \sum_{trajektorie}e^{iS[trajektoria]/\hbar}}.

Zapisujemy to następująco:

G(x,T|y,0)= {\displaystyle \int e^{iS[x(t)]/\hbar}{\mathcal D}[x(t)]}.

Całka Feynmana jest w istocie granicą wyrażeń (*) i w celu obliczenia jej wartości musimy wracać do tej definicji. Okazuje się jednak, że sformułowanie to pozwala nie tylko spojrzeć inaczej na znaną fizykę, ale także umożliwia konkretne numeryczne obliczenia metodą Monte Carlo. Pozwala też łatwo zrozumieć, czemu przechodząc od fizyki kwantowej do klasycznej, otrzymujemy zasadę najmniejszego działania.

Wartości potrzebnych całek wynikają ze znanego wzoru:

{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} }.

Jest on słuszny także dla czysto urojonych wartości \alpha. Różniczkowanie tego wzoru po \alpha generuje nam także całkę \int x^2 e^{-\alpha x^2} dx. Stała A równa jest

A=\sqrt{\dfrac{m}{2\pi i\hbar \varepsilon}}.

Kiedyś napiszę może trochę więcej na temat obliczania całek przez Feynmana, nieprzypadkowo zajmował się on w Los Alamos nadzorowaniem praktycznych obliczeń numerycznych – jak mało kto potrafił bowiem szybko obliczyć niemal wszystko, co daje się obliczyć metodami klasycznej analizy.

 

Reklamy

Paul Painlevé, Einstein i czarne dziury (1921-1922)

Dzieje rodziny Paula Painlevé’go mogłyby posłużyć jakiemuś nowemu Balzacowi: dawni winogrodnicy, bednarze i kamieniarze, w pokoleniu dziadków zajęli się drukarstwem i litografią, przyszły ojciec uczonego z drukarza-litografa przeobraził się w przedsiębiorcę, producenta farby drukarskiej. Paul uczył się w renomowanych liceach paryskich Saint-Louis i Louis-le-Grand, a studiował matematykę w prestiżowej École normale supérieure, będącej znakomitym wstępem zarówno do kariery naukowej, jak politycznej. (Jej absolwenci zdobyli trzynaście Nagród Nobla, dziesięć Medali Fieldsa i dwie Nagrody Abela). Painlevé uzupełniał wykształcenie matematyczne w Getyndze u Hermanna Schwarza i Feliksa Kleina. W roku 1900, będąc jeszcze przed czterdziestką został członkiem Akademii Nauk, co naszej rodaczce Marii Skłodowskiej-Curie nie udało się nigdy, pomimo dwóch Nagród Nobla. Francuskie elity naukowe były mocno konserwatywne i nie każdy mógł zostać do nich dopuszczony. Painlevé interesował się także lotnictwem: teoretycznie – obliczając siłę nośną oraz praktycznie – odbywając w roku 1908 z Wilburem Wrightem ponadgodzinny lot na wysokości 10 m, przebyli 55 km i szczęśliwie wylądowali, był to ówczesny rekord. Alma Mahler wspomina, że Painlevé należał do entuzjastów symfonii Gustava Mahlera i jeździł specjalnie w różne miejsca, aby ich wysłuchać. Razem z generałem Georges’em Picquartem grywali je podobno na fortepianie w aranżacjach na cztery ręce. Wyciągi fortepianowe dzieł symfonicznych czy oper były dość popularne w czasach, gdy muzyki można było słuchać jedynie na żywo, a fortepiany lub pianina stały w niemal każdym mieszczańskim domu. Z Picquartem łączyły Painlevé’go poglądy w sprawie Dreyfusa, to właśnie Picquart udowodnił, że nie Alfred Dreyfus, lecz Ferdinand Esterhazy był szpiegiem w armii francuskiej. Przez kraj przetoczyła się wcześniej zajadła kampania antysemicka, wysokie dowództwo armii nie chciało przyznać się do błędu i Dreyfus został zrehabilitowany przeszło dziesięć lat po degradacji i uwięzieniu na Diabelskiej Wyspie. W 1910 r. Painlevé został socjalistycznym deputowanym do parlamentu. Od tej pory zajmował się czynnie polityką, bywał ministrem, przewodniczącym Izby Deputowanych, a nawet premierem. W 1921 roku zaczął zabiegać o wizytę Einsteina w Paryżu, niewątpliwie pragnąc w ten sposób zbliżyć oba narody po krwawej wojnie. W następnym roku Einstein rzeczywiście przyjął zaproszenie i przyjechał, o czym pisałem.

Painlevé interesował się nie tylko aspektem politycznym, zajął się bliżej teorią względności, z czego wynikło kilka prac oraz ożywione dyskusje z Einsteinem w Paryżu. Matematyk odkrył nowy sposób opisu pola grawitacyjnego wokół masy punktowej, z czego wyciągnął dość radykalne wnioski, osłabiające w jego mniemaniu, teorię względności. Einstein, nie zgadzając się z tymi wnioskami, nie potrafił wtedy udzielić bardziej konkretnej odpowiedzi. Dyskusje te miały także pewne praktyczne następstwa. Otóż szwedzki okulista, ale i matematyk, Allvar Gullstrand także odkrył ową metrykę Gullstranda-Painlevé’go, jak to się dziś nazywa. I uznał, podobnie, jak Painlevé, że teoria względności nie daje jednoznacznych przewidywań. Oznaczałoby to, że światowa sensacja wokół teorii względności po odkryciu ugięcia światła gwiazd w pobliżu tarczy słonecznej była mocno na wyrost. Gullstrand opiniował prace Einsteina dla Komitetu Noblowskiego i w roku 1921 nagrody nie przyznano. Einstein był najpoważniejszym kandydatem, ale Gullstrand podważał wartość jego prac. W końcu Nagrodę przyznano Einsteinowi dopiero w roku 1922 (za poprzedni rok), a więc po długim bardzo namyśle. W dodatku uznano, że bezpieczniej będzie zostawić na boku kwestię teorii względności, toteż przyznano Nagrodę za wyjaśnienie zjawiska fotoelektrycznego – w tym przypadku nie było wątpliwości, że przewidywania Einsteina zostały wyraźnie potwierdzone eksperymentalnie. Painlevé wyrażał swą krytykę o tyle bardziej dyplomatycznie, że uznawał zarazem wartość poznawczą podejścia Einsteina i zestawiał go z Lagrange’em. Obaj jednak, zarówno Francuz, jak Szwed, mieli spore zastrzeżenia.

Opiszę, na czym polegały zastrzeżenia Painlevé’go i co odpowiadał mu Einstein (na ile to dziś wiadomo). W drugiej części opiszę metrykę Gullstranda-Painlevé’go i jej konsekwencje: czarną dziurę. Uczeni pomiędzy rokiem 1915 a latami pięćdziesiątymi XX stulecia wiele razy natykali się na zagadnienie czarnych dziur i na rozmaite sposoby cofali się przed ich uznaniem, błędnie interpretując swoje równania. Pokazuje to, że interpretacja formalizmu matematycznego była tu niesłychanie trudnym problemem, znacznie poważniejszym niż formalne przekształcenia, które w różnych wersjach wykonywało wielu uczonych.

Ogólna teoria względności ma tę własność, że możemy używać w zasadzie niemal dowolnych czterech współrzędnych dla opisania miejsca i czasu. Same współrzędne nie muszą nic oznaczać z fizycznego punktu widzenia, tę samą sytuację można więc opisywać na różne sposoby. Często nie widać, że owe różne opisy dotyczą w istocie tej samej sytuacji. Tak było w przypadku metryki Gullstranda-Painlevé’go.

Czasoprzestrzeń wokół punktowej masy m w teorii Einsteina opisana jest metryką Schwarzschilda:

ds^2=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2-\dfrac{dr^2}{1-\dfrac{r_S}{r}}-r^2 d\varphi^2.

Stała r_S jest promieniem Schwarzschilda (dziś: promieniem horyzontu czarnej dziury). Painlevé i niezależnie od niego Gullstrand odkryli, że można tę samą sytuację opisać także za pomocą innej metryki:

ds^2=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2+2\sqrt{\dfrac{r_S}{r}}dr dt-dr^2-r^2 d\varphi^2.

W obu przypadkach zapisałem metrykę tylko w płaszczyźnie równikowej, żeby mniej pisać (mamy wtedy jedynie zmienne t, r,\varphi). Painlevé podał także inne możliwe postaci owej metryki, sugerując, że dowodzi to, iż teoria Einsteina jest w istocie pusta, można bowiem wyciągnąć z niej rozmaite wnioski dla tej samej sytuacji fizycznej. Np. w pierwszej metryce przestrzeń trójwymiarowa nie jest euklidesowa, a w drugiej jest. Ergo wnioski Einsteina dotyczące światła w polu grawitacyjnym Słońca oraz ruchu Merkurego są nieuzasadnione. Podobnie rozumował Gullstrand, słuchany uważnie przez Komitet Noblowski.

Painlevé uznał, że wyciąganie z postaci metryki wniosków fizycznych to „czysta fikcja”. Zakomunikował to na posiedzeniu paryskiej Akademii Nauk i uprzejmie doniósł o tym listownie Einsteinowi. Na co Einstein, członek berlińskiej Akademii Nauk, równie uprzejmie oznajmił, że „metryczna interpretacja ds^2 nie jest żadną «pure imagination», lecz samym sednem teorii (der innerste Kern)” [Einstein Papers, t. 12, s. 369]. Podkreślał też, że same współrzędne nie znaczą nic, trzeba z nich dopiero wyciągnąć wnioski fizyczne nt. czasu i odległości.

Pewne zbliżenie stanowisk nastąpiło podczas dyskusji w Paryżu, choć Painlevé pisał już mniej bojowo, wkrótce zresztą wrócił do polityki. Paul Langevin podsumował to, mówiąc, że byłoby lepiej, gdyby Painlevé przeczytał o teorii względności, zanim wystąpił ze swą krytyką, a nie dopiero później. Tak to w akademiach bywa: ludzie dostają się do nich dzięki dawnym osiągnięciom, a nie stanowi to żadnej gwarancji, że dobrze rozumieją nowości naukowe. W dodatku akademie (przynajmniej wtedy) drukowały wszystko, co ich członkowie uznali za ciekawe. Dyskusja w paryskiej Akademii Nauk na temat teorii względności w latach 1921-1922 nie stała na zbyt wysokim poziomie. Akademicy byli na ogół niechętni Einsteinowi. Na propozycję, aby go przyjąć na członka-korespondenta, jeden z szacownych uczonych zareagował stwierdzeniem, że trudno wyróżniać w ten sposób człowieka, który „zniszczył mechanikę”.

Podczas wizyty Einsteina matematyk Jacques Hadamard zapytał o kwestię osobliwości metryki Schwarzschilda dla r=r_S. Niemiecki uczony przekonywał, a nawet poparł pewnymi rachunkami, które przeprowadził z dnia na dzień, że taka „katastrofa Hadamarda” nie może się zdarzyć w rzeczywistości, ponieważ zanim skoncentruje się materię pod promieniem Schwarzschilda, to wcześniej ciśnienie wewnątrz takiej gwiazdy stanie się nieskończone. Nie miał w tej kwestii racji, ale także później starał się dowodzić, że czarne dziury są niemożliwe. Einstein martwił się o spójność własnej teorii, ale wyrażał też dość powszechne stanowisko, Arthur Eddington, największy specjalista od budowy wnętrza gwiazd, twierdził, że z pewnością musi istnieć prawo fizyczne zabraniające takiego upakowania materii.

Jak można spojrzeć na tę dyskusję z perspektywy czasu, mając po swej stronie „łaskę późnego urodzenia”? Na wątpliwości Hadamarda (jak najbardziej uzasadnione) odpowiada metryka Painlevé’ego. Wystarczy spojrzeć, że nic się tam nie dzieje przy r=r_S (także jej wyznacznik jest różny od zera). Zatem w innych współrzędnych osobliwości tu nie ma i Einstein nie musiał się męczyć żadnymi rachunkami. Katastrofa Hadamarda jest osobliwością konkretnych współrzędnych Schwarzschilda, to coś w rodzaju „osobliwości” współrzędnych geograficznych na biegunie ziemskim, gdzie zbiegają się wszystkie południki. Wiemy jednak, że nic się tam złego nie dzieje z Ziemią.

W dodatku metryka Painlevé’go ze znakiem minus przed pierwiastkiem też stanowi rozwiązanie równań Einsteina. Nietrudno zobaczyć, co wtedy otrzymamy dla światła, tzn. gdy ds^2=0. Załóżmy dodatkowo, że promień świetlny biegnie radialnie, tzn. d\varphi=0. Dostajemy

0=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2 -2\sqrt{\dfrac{r_S}{r}} dr dt-dr^2.

Dzieląc obie strony przez dt^2, dostajemy równanie kwadratowe dla prędkości radialnej. Jego rozwiązania dane są wyrażeniem:

\dfrac{dr}{dt}=\pm 1 -\sqrt{\dfrac{r_s}{r}}.

Równanie to opisuje dwa skrajne promienie świetlne: spadający na centrum i oddalający się od centrum. Gdy r>r_S jeden z nich zbliża się do centrum, drugi oddala. Kiedy jednak przekroczymy punkt „katastrofy Hadamarda” i r<r_S oba promienie zbliżają się ku centrum. Znaczy to, że nawet promień świetlny nie może się wydostać poza obszar r<r_S, czyli spod horyzontu czarnej dziury.

Przejście do współrzędnych Painlevé’go nie zmienia współrzędnej r, lecz jedynie czas. Jest on teraz mierzony jako czas własny cząstek spadających z nieskończoności na centrum. Są to współrzędne padającego deszczu, jak nazywają to Edwin F. Taylor i John Archibald Wheeler (*) w swej książce Exploring Black Holes.

 

 

(Na rysunku odległości i czasy wyskalowane są w promieniach Schwarzschilda)

Gdy cząstka mija horyzont, jej stożek przyszłości zaczyna być zwrócony ku wnętrzu, a to znaczy, że niebawem spadnie na centralną osobliwość. Drugi znak we współrzędnych Painlevé’go odpowiadałby wznoszeniu się z centrum do nieskończoności. Prawa grawitacji nie mówią nic na temat kierunku czasu: zawsze możliwy jest ruch przeciwny. Jak się zdaje, tylko współrzędne związane ze spadaniem mają jakiś sens fizyczny. W 1922 r. nie miał o tym wszystkim pojęcia ani Paul Painlevé, ani Albert Einstein.

(*) John Wheeler był autorem określenia „czarna dziura”.

Richard Phillips Feynman, sumy po historiach (1942)

Feynman, legenda fizyki XX wieku, jest w Polsce znany prawie wyłącznie wśród fizyków, choć może dzięki wydaniu różnych jego popularnych tekstów sytuacja nieco się poprawiła. Marek Kac, sam świetny matematyk, pisał o zwykłych i niezwykłych geniuszach:

Istnieją dwa rodzaje geniuszów, „zwykli” i „magicy”. Każdy z nas mógłby być równie dobry jak zwykły geniusz, gdyby tylko był wiele razy lepszy niż jest. W jego sposobie myślenia nie kryje się żadna tajemnica. Gdy już zrozumiemy, co zrobił, czujemy pewność, że sami moglibyśmy zrobić to samo. Co innego z magikami. Oni istnieją, jeśli wolno mi użyć matematycznego żargonu, w ortogonalnym dopełnieniu naszego świata. Ich sposób myślenia jest właściwie całkowicie niezrozumiały. Nawet gdy już rozumiemy ich wyniki, sposób, w jaki do nich doszli, wciąż pozostaje niepojęty. Rzadko, a raczej nigdy nie miewają uczniów, ponieważ nie można ich naśladować i z pewnością każdy bystry młody człowiek byłby głęboko sfrustrowany, usiłując poradzić sobie z tajemniczymi drogami myśli magika. Richard Feynman jest magikiem największego kalibru [Enigmas of Chance, 1985; przeł. P. Amsterdamski].

Syn żydowskiego emigranta z Białorusi, wychowany w Nowym Jorku, był ucieleśnieniem mitu Ameryki, kraju, w którym można osiągnąć wszystko to, co gdzie indziej niedostępne. Ojciec nie był bogaty ani wykształcony, ale bardzo cenił wykształcenie, zwłaszcza wiedzę praktyczną, która może się do czegoś przydać. Podobne nieco podejście miał Richard Feynman, jako chłopiec interesował się wszelkimi urządzeniami technicznymi, stał się ekspertem od naprawy radioodbiorników, łączył w tym zdrowy rozsądek z umiejętnością obserwacji i kojarzenia faktów. Tych samych talentów używał potem w Los Alamos, aby dla zabawy otwierać cudze szafy pancerne na szyfr. W okresie szkolnym jego zeszyty matematyczne zawierały przydatne wzory i formuły, jakby ich właściciel miał pewnego dnia znaleźć się na wyspie bezludnej i musiał odtworzyć całą wiedzę. Dzięki takiemu podejściu po latach Feynman zakładał się, że w ciągu minuty obliczy w pamięci wartość dowolnego niedługiego wyrażenia, wartość funkcji albo całkę oznaczoną z dokładnością 10% i rzadko komu udawało się go zagiąć. W Programie Manhattan zajmował się właśnie obliczeniami: organizował pracę zespołu ludzi z elektrycznymi arytmometrami, aby jak najefektywniej wykonać potrzebne symulacje numeryczne. Był też świetnym rozmówcą na tematy fizyczne, Niels Bohr, już wtedy legendarny i niemłody, wzywał specjalnie Feynmana, aby mieć przed kim wyłożyć to, co ma do powiedzenia. Można było mieć pewność, że jeśli Feynman zauważy jakąś lukę, natychmiast głośno o tym powie, nie krępując się bynajmniej wielkością swego rozmówcy.

Zanim trafił do Projektu Manhattan, studiował w MIT, a potem skończył studia drugiego stopnia i doktorat w Princeton. Niezbyt go zresztą chcieli w Princeton, ponieważ był Żydem, uważano, że w nauce jest już zbyt wielu Żydów i trudno dla nich potem znaleźć posadę. Były to lata trzydzieste, Amerykanie zmienili potem swoje nastawienie, zresztą antysemityzm nie był tam nigdy większym problemem. W Rosji okazał się trwalszy niż wszystkie systemy polityczne: przetrwał carat, komunizm i jeszcze w latach osiemdziesiątych ubiegłego wieku nie dopuszczano Żydów na studia matematyczne na Uniwersytecie Moskiewskim – obowiązywał ich szczególnie trudny egzamin, na którym udawało się oblać np. kogoś takiego, jak Edward Frenkel. Te zadania dla Żydów zostały zresztą opublikowane, z pewnością łatwiej było zdać do Cambridge.

Opiekunem doktoratu Feynmana był John Archibald Wheeler, wtedy młody profesor, który dojrzewał długo, ale z czasem wyrósł na wielką postać fizyki światowej. Zastanawiali się obaj nad różnymi dość zwariowanymi teoriami, jeden z takich pomysłów stał się doktoratem Feynmana. Było to nowe podejście do mechaniki kwantowej. Wtedy praca ta ukazała się w przeglądowym piśmie „Reviews of Modern Physics”, bo była długa i wydawało się, że do niczego nowego nie prowadzi. Dziś formalizm Feynmana stał się jedną z powszechnie stosowanych metod fizyki kwantowej.

Wyobraźmy sobie, że z punktu A do punktu B w określonym czasie ma dotrzeć jakaś cząstka. Z klasycznego punktu widzenia może się to przy zadanych siłach odbyć na tylko jeden sposób, jest określony tor i cząstka musi się po nim poruszać z określoną prędkością w każdej chwili. Inaczej jest w mechanice kwantowej. Jest ona teorią posługującą się prawdopodobieństwami, więc niemal wszystko jest w niej możliwe, choć dla wielu zdarzeń prawdopodobieństwo jest tak małe, że praktycznie są one niemożliwe. Aby znaleźć prawdopodobieństwo przebycia naszej cząstki z punktu A do punktu B w określonym czasie, musimy w mechanice kwantowej rozpatrzyć wiele możliwych torów i różnych rozkładów prędkości. Np. takie jak na rysunku.

paths1

Oczywiście, jeśli te narysowane, to i nieskończenie wiele innych. Każda z możliwych dróg dotarcia cząstki od A do B jest jej historią. Każdej z tych historii przypisać można pewną wielkość, tzw. amplitudę prawdopodobieństwa: jest to liczba zespolona albo, co na jedno wychodzi, wektor na płaszczyźnie. Chcąc otrzymać amplitudę prawdopodobieństwa dla naszej cząstki biegnącej od A do B, musimy dodać do siebie wszystkie amplitudy odpowiadające różnym historiom. To jest suma po historiach. Amplitudy dodajemy tak, jak się dodaje wektory na płaszczyźnie (tak się właśnie dodaje liczby zespolone). Powstaje problem dodawania nieskończenie wielu wektorów, ale to kwestia techniczna, którą nie będziemy się martwić. Kiedy już mamy wektor wypadkowy, mierzymy jego długość: kwadrat długości jest prawdopodobieństwem, że nasza cząstka przebiegnie od A do B w zadanym czasie.

Na pierwszy rzut oka wydaje się to dość szalone: rozpatrujemy bowiem mnóstwo historii, które nie mają nic wspólnego z klasycznym torem i jedną historią, tą „prawdziwą” w świecie klasycznym. Jak z takiego galimatiasu może wyłonić się zachowanie cząstek, jakie znamy z życia codziennego? Piłka futbolowa nie leci przecież do bramki po wszystkich drogach jednocześnie.

Okazuje się, że dość łatwo zauważyć, na czym polega zachowanie „klasyczne” i czym różni się do „kwantowego”. Rozpatrzmy fotony biegnące od źródła S do punktu z detektorem P. Po drodze nasze fotony odbijają się od zwierciadła. Klasycznie powinny biec po drodze SGP, która jest tak dobrana, że kąt padania i kąt odbicia są równe. A co z pozostałymi drogami? Dla uproszczenia bierzemy tylko drogi złożone z dwóch prostych odcinków, ale teraz dopuszczamy, żeby odbicie nastąpiło w którymkolwiek z punktów od A do M.

path2

Rysunek z książki Feynmana QED osobliwa teoria światła i materii, Warszawa 1985. Gorąco ją polecam każdemu, kto chce się dowiedzieć, jak fizyka objaśnia świat.

Okazuje się, że dla każdej z tych historii naszego fotonu amplitudy prawdopodobieństwa mają mniej więcej równe długości, lecz różne kierunki. Kąt każdego z tych wektorów (z jakimś jednym określonym kierunkiem np. osi Ox) jest proporcjonalny do czasu potrzebnego na przebycie danej drogi z prędkością światła. Gdy wykreślimy czas przelotu w funkcji położenia punktu odbicia fotonu, dostaniemy wykres jak na rysunku. Najkrótszy czas odpowiada punktowi G, czyli klasycznej drodze. Już starożytni zauważyli, że światło wybiera najkrótszą drogę, skoro nie może przebiec wprost od A do B, to spośród wszystkich punktów odbicia wybierze punkt G – dla niego droga jest najkrótsza i spełnione jest zarazem prawo odbicia, co łatwo wykazać. Widzimy więc, co wyróżnia drogę klasyczną fotonu: najkrótszy czas. Wracając do sumowania po historiach: musimy dodać strzałki odpowiadające różnym drogom. Dodawanie wielu wektorów najwygodniej wykonuje się w ten sposób, że na końcu pierwszego umieszczamy początek drugiego, na końcu drugiego początek trzeciego itd. – ustawiamy je w „pociąg”. Kierunki naszych strzałek odpowiadające różnym drogom narysowane są pod wykresem czasów. Gdy dodamy strzałki do siebie, zauważalny wkład otrzymamy tylko od obszaru w okolicy punktu G, ponieważ blisko minimum wszystkie czasy są zbliżone – jesteśmy na dnie doliny. Skoro czasy są zbliżone, to znaczy że kierunki strzałek są także zbliżone. W ten sposób powstaje fragment naszego „pociągu” odpowiadający punktom E, F, G, H, I na środku wykresu. Punkty daleko od minimum leżą wysoko na zboczu doliny, więc kierunki wektorów będą się szybko zmieniać. Odpowiada temu kręcenie się w kółko, którego wynik jest bliski zeru. Tak jest w lewym i w prawym końcu naszego wykresu. A więc do wypadkowej amplitudy prawdopodobieństwa wnoszą swój wkład także różne „dziwne” historie, ale najważniejsze będą te bliskie klasycznej. Można w ten sposób nie tylko zrozumieć, jak z obrazu sumy po historiach wynika fizyka klasyczna, ale także można obliczać stosowne poprawki do klasycznych zachowań, uwzględniając te historie, które wnoszą największy wkład do wyniku.

Wszystko to można przenieść na sytuację dowolnej cząstki, niekoniecznie fotonu, jedyna różnica polega na tym, że mniej osób wie, że piłka futbolowa biegnąc po swoim torze także realizuje pewną zasadę minimum, mówimy wówczas o pewnej specjalnej wielkości, zwanej działaniem. Tor klasyczny odpowiada najmniejszemu działaniu.

Więcej o kwantowym dodawaniu strzałek