Księżycowy test Isaaca Newtona (1670, 1687)

Około roku 1670 Isaac Newton zebrał już sporo przemyśleń na temat mechaniki. Znał III prawo Keplera, podające zależność między wielkością orbity planety, a jej okresem obiegu. Sam nauczył się obliczać, o ile ciało poruszające się po okręgu odchyla się od linii prostej: dzisiaj mówimy o przyspieszeniu dośrodkowym. Łącząc te dwa fakty: III prawo Keplera i przyspieszenie dośrodkowe, wydedukował, że działające na każdą planetę przyspieszenie dośrodkowe maleje odwrotnie proporcjonalnie do odległości od Słońca: planeta znajdująca się dwa razy dalej od Słońca, ma czterokrotnie mniejsze przyspieszenie. Ziemia ma tylko jednego naturalnego satelitę, ale można sobie wyobrazić, że jest ich więcej. Ich orbity także powinny spełniać III prawo Keplera – wiadomo, że np. cztery satelity Jowisza spełniają to prawo. Czyli w każdym przypadku przyspieszenie dośrodkowe maleje jak {\frac{1}{r^2}}, gdzie {r} jest odległością od centralnego ciała. Satelitę Ziemi można by stworzyć, gdybyśmy strzelali z wysokiej góry poziomo z coraz większą prędkością. Wystrzeliwane ciało spadałoby coraz dalej, aż w końcu obiegłoby Ziemię i wróciło do punktu wyjścia: mielibyśmy niskiego satelitę Ziemi (nie przejmujemy się atmosferą, chodzi o eksperyment myślowy). Wyglądałoby to tak.

newtmtn

Rysunek pochodzi z późnej książki Newtona, ale bez wątpienia musiał sobie to wcześniej wyobrazić. Co powoduje zakrzywienie toru naszego wystrzeliwanego ciała? Ciężar. Z tego powodu wszystkie ciała spadają na Ziemię. Wyobrażony niski satelita też podlega działaniu grawitacji, ale ma tak dużą prędkość, że spadając stale, podąża za krzywizną Ziemi i ostatecznie wcale nie spada. Może więc także ciężar powoduje zakrzywianie się orbity Księżyca – tego prawdziwego? Tzn. siła, którą znamy jako ciężar, działa także w kosmosie. Musi ona w takim razie maleć {\frac{1}{r^2}}, bo inaczej nie wyjaśnimy III prawa Keplera, a ono obowiązuje.

Możemy sprawdzić, czy Księżyc spada pod działaniem siły ciężkości. Obliczymy, o ile Księżyc spada w ciągu minuty. Sytuacja wygląda następująco.

moon_test

Księżyc zatacza okrąg o promieniu R. Gdyby nie działała na niego siła ciężkości, uciekłby po stycznej do okręgu. Ale siła ta działa i spada on w stronę Ziemi o {h}. Na rysunku celowo wyolbrzymiliśmy odcinki {x} i {h}. W ciągu minuty Księżyc nie spadnie zbyt daleko. Nietrudno obliczyć, jaką drogę przebędzie Księżyc w ciągu minuty. Jego orbita ma promień równy 60 promieni ziemskich, a więc (użyjemy metrów zamiast stóp paryskich, których używał Newton):

\displaystyle R=60\cdot 6400 \mbox{ km}=3,84\cdot 10^8 \mbox{ m}.

Następną wielkością jest okres obiegu Księżyca, wynosi on

\displaystyle T=27, 32 \mbox{ dni}=3,93\cdot 10^4 \mbox{ minut}

Wobec tego droga przebywana przez Księżyc w ciągu minuty równa jest

\displaystyle x=\frac{2\pi R}{T}\approx 61400\mbox{ m}.

Napisaliśmy {x} zamiast prawdziwej drogi po łuku orbity, ale te dwie wielkości powinny być zbliżone przy tak krótkim czasie. Z twierdzenia Pitagorasa łatwo jest obliczyć {h} (kto ciekaw, szczegóły znajdzie na końcu postu):

\displaystyle h=\frac{x^2}{2R}=4,91 \mbox{ m}.

Warto zwrócić uwagę, jak niewielki jest spadek wywołany ciężarem {h} w porównaniu z samą drogą {x}. Księżyc w istocie bardzo niewiele odchyla się od linii prostej. No dobrze, ale co z tego wszystkiego wynika? Jeśli spadek {h} wywołany jest ciążeniem, to przy powierzchni Ziemi powinniśmy dostać spadek równy {60^2 h}, bo jesteśmy 60 razy bliżej (pamiętajmy, że Księżyc odległy jest o 60 ziemskich promieni). Ile ciało takie spadnie w ciągu jednej sekundy? {60^2} razy mniej, bo droga w ruchu przyspieszonym rośnie jak kwadrat czasu. Ostatecznie oba te czynniki się zniosą i dostajemy wniosek, że przy powierzchni Ziemi ciało powinno spadać w ciągu jednej sekundy o

\displaystyle h=4,91 \mbox{ m}.

To ostatnie stwierdzenie nietrudno sprawdzić: droga w ciągu jednej sekundy przy powierzchni Ziemi to

\displaystyle h=\frac{gt^2}{2}=\frac{9,81}{2}\mbox{ m}\approx 4,91 \mbox{ m}.

Zatem na Księżyc działa znana nam z Ziemi siła ciężkości.

Uwaga 1 Kiedy Newton po raz pierwszy wykonał to porównanie, zamiast stosunku przyspieszeń {60^2=3600} wyszło mu 4325. Uznał, że widocznie cała ta teoria nie bardzo pasuje do faktów. Odłożył ją, znał wiele faktów, które się w coś układały, ale nie do końca. Miał jednak tę cechę, że nigdy niczego nie zapominał. Później zauważył, że kiedy za promień Ziemi wstawić wartość wyznaczoną przez Francuzów, wszystko zaczyna się zgadzać.(Newton nie lubił Francuzów: Bóg wiedział, co robi, oddzielając ich od Anglii cieśniną zwaną English Channel, czyli dla nich kanał La Manche).

Uwaga 2 Używał w pierwszym okresie innych pojęć: zamiast przyspieszenia dośrodkowego – przyspieszenia odśrodkowego, {h} było odstępstwem od okręgu: gdyby nagle przestała działać grawitacja, Księzyc oddaliłby się o {h} od stycznej. Matematycznie to wszystko jedno, mechanikę tego rodzaju zbudował potem Leibniz, ale się nie przyjęła.

Uwaga 3 Newton wrócił do sprawy po latach, wtedy wszystkie fragmenty układanki wskoczyły we właściwe miejsca i napisał w gorączkowej pracy Matematyczne zasady filozofii przyrody (1687).

Uwaga 4 Jest tu pewien matematycznie nieoczywisty punkt. Czy możemy porównywać przyciąganie na powierzchni Ziemi i przyciąganie w odległości Księżyca tak prosto? Chodzi o to, że kiedy jesteśmy daleko od Ziemi, to jest ona dla nas praktycznie punktem. Ale kiedy jesteśmy na jej powierzchni, trudno ją uznać za punktową. Tak się jednak składa, że kula przyciąga tak, jakby jej cała masa skupiona była w geometrycznym środku. Newton potrafił to wykazać dopiero, gdy pracował nad Matematycznymi zasadami.

OBJAŚNIENIE WZORU

Patrząc na rysunek i stosując tw. Pitagorasa otrzymujemy:

\displaystyle h^2=(R+h)^2-R^2=(2R+h)h\approx 2Rh.

Ostatnia, przybliżona równość bierze się stąd, że {2R\gg h.} Tak przy okazji wzór ten daje zasięg horyzontu {x}, gdy wzniesiemy się na wysokość {h} na planecie o promieniu {R}. Możemy sobie wyjaśnić, czy z Rysów można (teoretycznie) zobaczyć Kraków.

Reklamy

Jedna myśl nt. „Księżycowy test Isaaca Newtona (1670, 1687)

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj / Zmień )

Connecting to %s