Leonhard Euler i problem bazylejski (1735)

Ścisłe sumowanie szeregów nieskończonych ma często coś z magii. Takim szeregiem słynnym w XVII wieku był szereg Leibniza:

\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots.

Problem bazylejski polegał na znalezieniu sumy szeregu

\zeta(2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\ldots.

Oznaczyliśmy tę sumę \zeta(2), można bowiem rozważać także sumy odwrotności innych potęg liczb naturalnych. Wiadomo, że przy wartościach wykładnika s>1 szereg jest zbieżny. Tak określona funkcja to zeta Riemanna, funkcja, którą wprowadził już Euler, lecz stała się sławna dużo później i jest jedną z najważniejszych funkcji w matematyce. W roku 1735 dwudziestoośmioletni Leonhard Euler, profesor matematyki z Bazylei, pracujący w Sankt Petersburgu, udowodnił, że

\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}.

Niedługo później podał wyrażenia dla wartości \zeta(2n) przy całkowitych dodatnich wartościach n. Był to przełomowy moment w karierze młodego matematyka, który szybko uznany został za najwybitniejszego nie tylko w swoim pokoleniu i w swojej epoce, lecz jednego z najbardziej twórczych uczonych w całej historii matematyki i fizyki.

Odkrycie było przełomowe, ponieważ wynik jest elegancki i do pewnego stopnia zaskakujący. Piszę – do pewnego stopnia – gdyż można by się go spodziewać jako czegoś w rodzaju kwadratu szeregu Leibniza. Suma odwrotności kwadratów liczb nieparzystych wystarczy, by znaleźć \zeta(2):

\zeta(2)=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\ldots+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots\right),

a więc mamy

\frac{3}{4}\zeta(2)=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\ldots.

Rzeczywiście, istnieje dowód korzystający z szeregu Leibniza (por. np. M. Aigner, G.M. Ziegler, Proofs from the Book), lecz jest znacznie późniejszy.

Problem bazylejski okazał się za trudny dla Jakoba i Johanna Bernoullich, braci i dwóch najważniejszychych matematyków wywodzących się z tego miasta. Euler był o pokolenie młodszy, przyjaźnił się z synami Johanna, Danielem i Nicolasem II. Leonhard jako student filozofii i teologii  uczęszczał na sobotnie lekcje matematyki do Johanna, podczas których mógł prosić o wyjaśnienie trudnych miejsc z czytanych samodzielnie dzieł matematycznych. Łatwo wpadający w gniew Johann nie był zapewne idealnym pedagogiem, ale dla kogoś takiego jak Euler, któremu nie trzeba było objaśniać zbyt wiele, była to nauka bezcenna – bezpośrednio u najwybitniejszego żyjącego mistrza analizy matematycznej. W Sankt Petersburgu Euler mieszkał początkowo u Daniela Bernoulliego, przyjaźnił się też z Christianem Goldbachem (tym od hipotezy Goldbacha w teorii liczb). Wkrótce Euler usamodzielnił się życiowo i naukowo i nie potrzebował mentorów, choć jak wszyscy uczeni epoki chętnie korespondował z innymi matematykami.

Pierwszą trudnością w rozwiązaniu problemu bazylejskiego było znalezienie wartości liczbowej wyniku. Bezpośrednie sumowanie szeregu bez komputera jest niewykonalne. Toteż jedną z pierwszych prac Eulera poświęconych temu problemowi było znalezienie szeregu, który jest szybciej zbieżny.

W pracy tej z 1731 roku (E20) Euler rozważa następujący szereg funkcyjny:

{\displaystyle {\rm Li_2}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}=-\int_{0}^{x}\frac{\ln(1-t)}{t}dt.}

Funkcję tę nazywamy dziś dilogarytmem, jest ona oczywistym uogólnieniem naszego wyjściowego problemu. Mamy równość {\displaystyle {\rm Li_2}(1)=\zeta(2)}. Dla dowolnego x\in [0,1] zachodzi tożsamość

{\displaystyle {\rm Li_2}(1)={\rm Li_2}(1-x)+{\rm Li_2}(x)+\ln x\ln (1-x).}

Wystarczy teraz wziąć x=\frac{1}{2} i otrzymujemy szybko zbieżny szereg

CodeCogsEqn

Jest to dokładnie wartość \pi^2/6. Euler zwraca uwagę, że aby uzyskać tę dokładność z prostego sumowania odwrotności kwadratów, należałoby dodać ponad tysiąc wyrazów. 

W roku 1735 w pracy E47 Euler obliczył wartość \zeta(2) jeszcze dokładniej za pomocą odkrytego przez siebie wzoru (dziś zwanego wzorem Eulera-Maclaurina). Metoda jest subtelna i bardzo ogólna. Sumę wartości funkcji możemy w niej zastąpić całką oznaczoną z tej funkcji plus nieskończenie wiele wyrazów poprawkowych związanych z kolejnymi pochodnymi:

{\displaystyle \sum_{n=a+1}^{b} f(n)=\int_{a}^{b} F(t) dt+\frac{f(b)-f(a)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f'(b)-f'(a)}{2!}-\frac{1}{30}\frac{f''(b)-f''(a)}{3!}+\frac{1}{42}\frac{f'''(b)-f'''(a)}{4!}+\ldots. }

Współczynniki po prawej stronie mają postać B_n/n!, gdzie B_n są to liczby Bernoulliego, nazwane tak przez Eulera, gdyż pojawiły się po raz pierwszy w wyrażeniach dla sumy n-tych potęg kolejnych liczb naturalnych rozpatrywanych przez Jakoba Bernoulliego. Możemy bez trudu zastosować ten wzór dla funkcji f(x)=1/x^2 i sumowania do nieskończoności. Euler otrzymuje

{\displaystyle \sum_{n=a}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\int_{a}^{\infty} \frac{dt}{t^2}+\frac{1}{2a^2}-\frac{1}{3a^3}-\frac{1}{30a^5}+\frac{1}{42a^7}+\ldots+\frac{7}{6a^15}.}

Biorąc a=10, otrzymuje sumę 1,549767731166540, a dodając do niej wyrazy z powyższego wyrażenia:

\zeta(2)=1,64493406684822643647.

Wszystkie cyfry dziesiętne są tutaj dokładne. Stosowanie tej metody zawiera jednak istotną subtelność: szereg różnic pochodnych nie jest zbieżny, liczby Bernoulliego rosną coraz szybciej dla dużych indeksów i metodę należy stosować z wyczuciem. Jeśli weźmiemy niezby małe a oraz nie za dużo wyrazów z pochodnymi, otrzymamy wartościowy wynik. Euler zdawał sobie z tego sprawę. Stosując różne metody, mógł sprawdzić ich słuszność, jego matematyka była w znacznej mierze eksperymentalna, ówczesna analiza nie dysponowała ścisłymi dowodami, jakie pojawiły się w XIX wieku. Warto może dodać, że najdokładniejsze liczbowo wyniki fizyki, uzyskiwane w kwantowej teorii pola, też obliczane są za pomocą szeregów podobnego typu. Wiadomo, że nie są one zbieżne, lecz przy niewielu wyrazach sumowanych dokładność może być zdumiewająca: kilkanaście cyfr znaczących. Praca Eulera nie była więc jedynie sztuką dla sztuki, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka.

Nie wiemy, czy powyższa analiza numeryczna poprzedzała dowód, że \zeta(2)=\pi^2/6. Niewątpliwie wzmacniała prawdopodobieństwo, że wynik jest prawidłowy. Podejrzewam, że Euler najpierw znał wynik liczbowy, a następnie szukał potwierdzenia innymi metodami. Zastosowanym w roku 1735 (E41) podejściem było spojrzenie na funkcję sinus jak na wielomian. Gdyby rzeczywiście sinus zachowywał się jak wielomian, powinien być równy

\sin x=x\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)\ldots,

ponieważ jego miejsca zerowe to x= n\pi, gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą.  Wszystkie pierwiastki są pojedyncze. Mielibyśmy wówczas

\frac{\sin x}{x}=\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\ldots.

Korzystając z rozwinięcia funkcji sinus w szereg Maclaurina mamy też

\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+\ldots,.

Gdyby w iloczynie nieskończonym przemnożyć wyrazy, otrzymalibyśmy początek rozwinięcia

\frac{\sin x}{x}=1-\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\ldots\right)\frac{x^2}{\pi^2}+\ldots

Z porównania wyrazów przy x^2 można od razu otrzymać wynik. Wyprowadzenie Eulera szybko stało się sławne, choć było też krytykowane jako ryzykowne. Dowód, iż sinus można w istocie przedstawić jako taki iloczyn nieskończony, przekraczał możliwości ówczesnej analizy. Korzystając z tego rozwinięcia można także znaleźć funkcje zeta dla parzystych argumentów, choć analiza staje się nieprzejrzysta.

Problem bazylejski pozostawił niedosyt także u Eulera, który wracał do niego kilkakrotnie. W roku 1743 podał bardzo zwyczajne wyprowadzenie wartości \zeta(2). Zaczynamy od rozwinięcia w szereg funkcji arcus sinus:

{\displaystyle t=\sin t+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1\cdot 3 \cdot \ldots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot \ldots (2n)}\;\frac{\sin^{2n+1}t}{2n+1}.}

Następnie całkujemy obie strony w granicach od 0 do \pi/2. Mamy

{\displaystyle I_{2n+1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n+1} t dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n-1} t (1-\cos^2 t) dt=I_{2n-1}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\sin^{2n-1} t \cos t]\cos t dt. }

Ostatnią całkę obliczamy przez części: \int v'u dt=vu-\int vu' dt w odpowiednich granicach. Wyrazy w nawiasie kwadratowym to v'=(\frac{1}{2n}\sin^{2n} t)', natomiast u=\sin t, w ten sposób \frac{2n+1}{2n}I_{2n+1}=I_{2n-1}. Ostatecznie

{\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n+1} t dt=\frac{2\cdot 4\cdot \ldots (2n)}{1\cdot 3 \cdot \ldots (2n+1)}}

Wracając do wyjściowego wyrażenia, dostajemy

{\displaystyle \frac{\pi^2}{8}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\dfrac{3}{4}\zeta(2).}

 

Wykorzystaną wyżej tożsamość dla dilogarytmów można wykazać rozbijając całkę po przedziale (0,1) na dwie całki po przedziałach (0,1-x) oraz (1-x,1). W tej drugiej zamieniamy zmienną 1-x=u i całkujemy przez części.

Liczby Bernoulliego. Dla naturalnego n \ge 2 definiujemy liczby Bernoulliego związkiem rekurencyjnym

(B+1)^n=B^{n},

który należy rozumieć w ten sposób, że wykładniki potęg B traktujemy jako indeksy. Razem z wartością B_0=1 związek ten określa ciąg liczb Bernoulliego. Stosując taki sam zapis wielomiany Bernoulliego B_n(x) (przy n\ge1) określamy następująco:

B_n(x)=(B+x)^n.

W zwykłym zapisie: 

{\displaystyle B_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} B_{n-k} x^{k}. }

Wielomiany te począwszy od drugiego spełniają warunki

B_n(0)=B_n(1)=B_n \;\mbox{ oraz } B'_{n}(x)=nB_{n-1}(x).

Wzór Eulera-Maclaurina otrzymujemy w sposób rekurencyjny, całkując przez części:

{\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}B'_1(x)f(x)dx=B_1(x)f(x)\left.\right|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}B_1(x)f'(x)dx.}

Następnie po prawej stronie zastępujemy B_1(x) przez B'_2(x) i znowu całkujemy przez części. Euler stosował tę procedurę ad infinitum, dziś raczej zatrzymujemy się na skończonej liczbie takich operacji i uzyskujemy wzór na resztę. Por. np. E. Hairer, G. Wanner, Analysis by Its History, Springer 2008.

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google

Komentujesz korzystając z konta Google. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Połączenie z %s