Temperatura Hawkinga dla Oli

Ola jest biologiem, lecz ponieważ dużo się teraz wszędzie pisze o osiągnięciach Stephena Hawkinga, chciałaby się dowiedzieć, co to takiego promieniowanie Hawkinga. Praca Hawkinga miała takie wielkie znaczenie, ponieważ połączyła obszar klasyczny i kwantowy: teorię grawitacji Einsteina z kwantową teorią pola. Nikomu nie udało się uzyskać pełnej teorii łączącej obie dziedziny, fizyka podstawowa pozostaje rozdwojona, mimo pracy najlepszych uczonych przez ostatnie pół wieku.

Krótko w punktach:

  • Teorie fundamentalne w fizyce wiążą się z konkretnymi stałymi. Szczególna teoria względności wprowadziła prędkość światła jako przelicznik czasu na przestrzeń, jej wyrażenia zawierają więc c. Ogólna teoria względności Einsteina (teoria grawitacji) zawiera jeszcze stałą grawitacji G (tę z prawa powszechnego ciążenia). Z kolei mechanika kwantowa używa stałej Plancka h, jej relatywistyczna wersja, kwantowa teoria pola, używa zarówno h, jak i c. Formalnie można uznać, że zadanie stojące przed fizykami to zbudowanie teorii, która będzie korzystać ze wszystkich wymienionych stałych. Pojawiają się one w wyrażeniu na temperaturę Hawkinga, m.in. dlatego było to ważne osiągnięcie teoretyczne (1974 r.)

 

  • Grawitacja jest siłą przyciągającą: im mniejsze są rozmiary ciała, tym silniej działa (mówimy o ciałach niebieskich utrzymujących się w całości dzięki własnej grawitacji). Teoria grawitacji Einsteina przewiduje, że jeśli masę M uda się zmieścić w obszarze o promieniu mniejszym niż

R=\dfrac{2GM}{c^2},

gdzie G jest stałą grawitacyjną, a c prędkością światła, powstanie czarna dziura, czyli obiekt zbudowany z samej czasoprzestrzeni, otoczony horyzontem zdarzeń: wszystkie linie świata mogą tylko wchodzić do wnętrza, nic nie może z tego obszaru uciec. Promień ten dla Słońca równy jest 3 km, czyli gdyby całą materię Słońca zmieścić w takim małym obszarze, stałoby się ono czarną dziurą. Słońcu to nie grozi, ale masywnym gwiazdom owszem.

Diagram czasoprzestrzenny kolapsu (zapadania) grawitacyjnego (ze strony Johna Nortona, znakomitego źródła popularnej informacji)

  • Osiągnięciem Stephena Hawkinga było pokazanie, że czarne dziury nie są takie czarne – „ain’t so black” – jak to ujął sam odkrywca. Efekt jest czysto kwantowy i związany z tym, że próżnia kwantowa jest bardzo ożywiona i dynamiczna. Tworzą się w niej np. wirtualne pary elektron-pozyton. Jeśli dzieje się to w pobliżu horyzontu zdarzeń, jedna z cząstek może wpaść do dziury, a druga uciec na zewnątrz. Czarna dziura powinna promieniować. Skądinąd wiadomo, że czarną dziurę w pełni można scharakteryzować, podając jej masę, moment pędu i ładunek. Dla nieobracającej się czarnej dziury o zerowym ładunku zostaje tylko jeden parametr: masa. Jeśli czarna dziura ma promieniować, to charakterystyczna długość fali promieniowania powinna być związana z promieniem, bo nie ma innych parametrów o wymiarze długości:

\lambda\sim R=\dfrac{2GM}{c^2}.

Znaczek \sim znaczy tu dla nas: z dokładnością do czynników czysto liczbowych w rodzaju 4\pi itp. Fotony o długości fali \lambda mają energię

E=\dfrac{hc}{\lambda}.

Jest to wzór Plancka-Einsteina: stała h to stała Plancka, jej pojawienie się świadczy zawsze o tym, że mamy do czynienia z fizyką kwantową. Pozostaje przeliczyć typową energię na temperaturę. Związek między nimi daje stała Boltzmanna k_B:

E \sim k_B T.

Łącząc te wyrażenia, dostajemy następujący wzór na temperaturę promieniowania czarnej dziury:

T\sim \dfrac{hc^3}{k_{B}GM}.

Dokładne wyrażenie zawiera jeszcze czynnik 4\pi^2 w mianowniku. Istotne jest, że dziura powinna promieniować, i to jak ciało o temperaturze danej powyższym wyrażeniem. Dla mas spotykanych w astrofizyce promieniowanie to ma skrajnie niską temperaturę i nie ma mowy o jego wykryciu. Taka jest zapewne główna przyczyna, dla której Stephen Hawking nie otrzymał Nagrody Nobla. Fizycy wierzą w samo zjawisko, ale nikt go nie zaobserwował. Wypromieniowywanie energii zmniejsza masę czarnej dziury (E=mc^2!), a więc z czasem każda czarna dziura powinna wyparować. Ponieważ promieniowanie jest tak słabe, więc czas potrzebny do wyparowania jest gigantyczny w porównaniu z wiekiem wszechświata.

  • Skoro czarne dziury mają temperaturę to powinny też mieć entropię (pierwszy mówił o tym Jacob Bekenstein, potem obliczył ją Hawking).

dS=\dfrac{dMc^2}{T}\sim \dfrac{c^3}{G\hbar}RdR,

całkując dostaniemy wyrażenie na entropię:

\dfrac{S}{k_B}\sim \dfrac{A}{l_{P}^2}.

W ostatnim wyrażeniu A jest polem powierzchni horyzontu zdarzeń, a l_{P} to długość Plancka:

l_{P}=\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}}=1,6\cdot 10^{-35}\mbox{ m}.

Znaczy to, że czarna dziura ma jakieś mikrostany kwantowe: ich liczbę opisuje właśnie entropia. Czarne dziury nie są zatem, jak chciałby Einstein (a ściśle mówiąc, jego teoria) prostymi, niezłożonymi strukturami czasoprzestrzennymi, gdyż  mają mnóstwo stanów. Długość Plancka jest kilkadziesiąt rzędów wielkości poniżej skali dostępnej eksperymentom. Entropia wiąże się z informacją, można to symbolicznie pokazać na rysunku:

 

Źródło obrazka

Wygląda tak, jakby na powierzchni czarnej dziury mieściła się informacja o jej mikrostanach. Wynik ten jest dziwny, gdyż zazwyczaj entropia jest proporcjonalna do objętości ciała: entropia dwóch kawałków czegokolwiek jest równa sumie entropii każdego kawałka z osobna. A tu mamy proporcjonalność do pola powierzchni. Czasem w związku z tym mówi się o holografii: tutaj powierzchnia koduje stan układu czasoprzestrzennego, trochę tak, jak hologram dwuwymiarowy może zamknąć informację o przedmiocie w przestrzeni.

Od jakiegoś momentu zacząłem pisać \hbar\equiv h/2\pi, co nie ma znaczenia dla naszych oszacowań.

 

Reklamy

3 komentarze do “Temperatura Hawkinga dla Oli

  1. W tekście jest pewne zbytnie uproszczenie:
    „im mniejsze są rozmiary ciała, tym silniej działa. ” – tylko przy zachowaniu tej samej masy. Ściślej zaś, im mniejsza jest odległość od masy działającej, tym silniejsze jest oddziaływanie, w związku z czym przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni ciała zależy od gęstości jego upakowania wewnątrz sfery o danym promieniu.

    Spotkałem się jeszcze z wyjaśnieniem, że czarna dziura traci masę, gdy na horyzoncie zdarzeń powstanie para cząstek wirtualnych i do środka wpadnie cząstka o ujemnej masie a ta o dodatniej zostanie na zewnątrz.

    Polubienie

    • Wszyscy tak mówią (w rezultacie zmniejsza się masa dziury), ale w gruncie rzeczy liczy się to zupełnie inaczej. W sumie to chodzi o tzw. efekt Unruha: to, co dla obserwatora spadającego do dziury jest próżnią bez cząstek, dla obserwatora utrzymującego się ponad horyzontem zdarzeń jest pełne cząstek i ma temperaturę T>0 i rozkład Plancka. Kiedy się już przyjmie, że to promieniowanie istnieje, nietrudno jest oszacować jego temperaturę i w zasadzie tylko to staram się tu zrobić.

      Polubienie

  2. Można też podać rozumowanie korzystające z zasady nieoznaczoności dla czasu i energii. Wyobraźmy sobie, że wskutek fluktuacji kwantowych powstaje w pobliżu horyzontu foton o energii dodatniej. Układ spadający swobodnie z punktu nad horyzontem ze współrzędną R+a w czasie własnym \tau\sim\sqrt{aM} przekroczy horyzont. Energia fotonu w tym układzie jest z zasady nieoznaczoności równa E\sim \hbar/\tau. Jeśli patrzymy na wszystko z nieskończoności, zaobserwujemy energię fotonu przesunietą dopplerowsko o czynnik \sqrt{a/M}, łącznie otrzymamy E\sim \hbar/M – wysokość z której spadamy a nie wchodzi do wyniku. Szczegóły np. B.F. Schutz, General Relativity (starsze wydanie jest po polsku)

    Polubienie

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google

Komentujesz korzystając z konta Google. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Połączenie z %s