Eudoksos i jego hippopede: początki greckiej astronomii matematycznej (pierwsza poł. IV w. p.n.e.)

Urodzony w Knidos, w Azji Mniejszej (dzisiejsza Turcja), Eudoksos syn Aischinesa był lekarzem, astronomem, geometrą i prawodawcą we własnym mieście – zestaw umiejętności zbliżony do tych, z których niemal dwa tysiące lat później słynął, choć w innych proporcjach, także Mikołaj Kopernik. Spośród wszystkich rozrzuconych po Śródziemnomorzu kolonii greckich w polityce, sztuce, filozofii nadal przodowały Ateny, które jednak wchodziły w fazę zmierzchu po złotym wieku. Na zewnątrz murów miejskich Platon, uczeń Sokratesa, założył swoją słynną Akademię. Jednym z jego uczniów był Eudoksos. Pisze Diogenes Laertios:

Kiedy miał bowiem dwadzieścia trzy lata i żył w trudnych warunkach materialnych, znęcony sławą sokratyków udał się do Aten wraz z lekarzem Teomedontem, na którego utrzymaniu pozostawał (a jak twierdzili niektórzy był jego kochankiem). Gdy wylądowali w Pireusie, zamieszkał tam i co dzień udawał się do Aten, gdzie słuchał wykładów sofistów, po czym wracał do swego mieszkania. Po upływie dwóch miesięcy wrócił do ojczyzny… (przeł. B. Kupis)

Był to początek licznych podróży Eudoksosa: spędził jakiś czas w Egipcie, w Kyzikos, na Sycylii, a także na dworze Mauzolosa (to na jego cześć wzniesiono pierwsze Mauzoleum) i znowu w Atenach. Był wybitnym matematykiem, jego teoria proporcji pozwoliła w sposób ścisły włączyć do matematyki liczby niewymierne, wskazuje się nieraz na jej podobieństwo z pracami Richarda Dedekinda i Karla Weierstrassa w drugiej połowie XIX wieku, kiedy także stanął przed matematykami problem umocnienia podstaw ich dyscypliny. Wiele wyników Eudoksosa trafiło później do Elementów Euklidesa.

Nas interesuje tutaj jedno konkretne odkrycie, a właściwie pewien błyskotliwy pomysł geometryczny Eudoksosa. Pamiętajmy, jesteśmy w IV w. p.n.e., nieznana jest jeszcze spora część geometrii, obserwacje astronomiczne rzadko bywają ścisłe, nie ma zresztą dokładnych zegarów, co w astronomii jest konieczne. Znamy natomiast wygląd nocnego nieba, znają go wszyscy. Wiemy, że gwiazdy krążą wokół obserwatora w rytmie doby gwiazdowej (nieco krótszej niż słoneczna). Łatwo to wyjaśnić: przymocowane są do sztywnej sfery, która wiruje w rytmie dobowym wokół Ziemi. Nietrudno też wyjaśnić roczny ruch Słońca na niebie: najwyraźniej okrąża ono w ciągu roku koło nachylone względem równika sfery niebieskiej. Punkt O to Ziemia, mała w porównaniu z kosmosem.

Podobny krok można uczynić i dla planet. Pojawia się tu wszakże komplikacja: otóż zazwyczaj poruszają się one z zachodu na wschód względem gwiazd, lecz od czasu do czasu zawracają na jakiś czas i w efekcie zakreślają na niebie pętlę albo zygzak.

Eudoksos wpadł na pomysł, jak taki ruch wsteczny, jak nazywają go astronomowie, dodać do „zwykłego” ruchu prostego. Potrzebne są dwie dodatkowe sfery poruszające się z taką samą prędkością kątową, lecz niemal przeciwnie. Tzn. gdyby osie obrotu obu tych sfer się pokrywały, oba obroty znosiłyby się wzajemnie. Gdy jednak osie te będą nachylone do siebie pod pewnym kątem, punkt na sferze – nasza planeta – zakreśli leżącą ósemkę, znak podobny do \infty. Mamy więc pewien ruch średni plus zakreślanie ósemki, którą starożytni nazywali hippopede – pęta końskie. Pętlę tego rodzaju zakładano koniom, aby nie oddaliły się samowolnie z miejsca parkowania.

Jako znakomity matematyk Eudoksos z pewnością potrafił udowodnić, że hippopede jest przecięciem sfery z wewnętrznie do niej stycznym walcem.

Możemy śmiało uznać, że tak narodziła się astronomia matematyczna, jak też i matematyczna fizyka, bo z czasem metody matematyki przeniknęły także do badań ziemskiej rzeczywistości. Eudoksos zainspirowany był naukami Platona, który sądził, że geometria ujmuje pewną rzeczywistość idealną, dostępną umysłowi i doskonalszą niż ta zmysłowa. Nie znamy reakcji Platona na pomysł Eudoksosa, znamy jednak reakcję jego ucznia Arystotelesa. Uznał on, że należy włączyć osiągnięcia Eudoksosa do wizji świata. Postąpił trochę tak, jak współczesny filozof, który zastanawia się nad sensem Wielkiego Wybuchu albo Standardowego Modelu Cząstek. Tę filozoficzną wersję modelu Eudoksosa znamy wszyscy jako zestaw koncentrycznych sfer: obraz panujący przez następne dwa tysiące lat.

 

Rysunek z Cosmographii Petera Apiana z XVI wieku, a więc książki współczesnej Kopernikowi. Tutaj można obejrzeć większe obrazki. W średniowieczu dodano do tego obrazka dodatkowe sfery: wody firmamentu ponad gwiazdami (zgodnie z Biblią, gdzie wody znajdowały się ponad niebem, aby mógł padać deszcz), a także zlokalizowano niebo teologiczne jako obszar na zewnątrz fizycznych sfer (Arystoteles sądził, że cały kosmos jest kulą i nie ma sensu mówić o obszarze na zewnątrz). U Apiana mamy: „Niebo empirejskie, siedzibę Boga oraz wszystkich zbawionych”.

W samej astronomii żywot hippopede i modelu kosmosu złożonego z koncentrycznych sfer był znacznie krótszy. Mimo całej błyskotliwości, hippopede nie wystarcza do opisania tego, co widzimy. Np. Mars jest wyraźnie znacznie jaśniejszy podczas ruchu wstecznego niż podczas ruchu prostego, co sugeruje zmiany odległości od Ziemi. Ponadto tory planet nie powtarzają się, więc nieuchronnie należy ten model skomplikować. Zrobili to Apoloniusz i Ptolemeusz. Najtrwalsza okazała się jednak idea matematycznego objaśnienia wszechświata. W tym sensie dzisiejsi badacze tacy, jak Roger Penrose czy Stephen Hawking, a wcześniej Johannes Kepler czy Isaac Newton, są kontynuatorami idei Eudoksosa, że za pomocą matematyki zrozumieć można wszechświat.

Na koniec przyjrzymy się geometrii modelu. Planeta obraca się najpierw o kąt \alpha od A do P_1 wokół osi z_1, a potem o taki sam kąt wokół osi z od P_1 do P.

Zrzutujmy ten ruch na płaszczyznę xy.

Otrzymujemy następującą sytuację: Okrąg, po którym porusza się P_1 zrzutowany na płaszczyznę xy jest elipsą. Punkt P'_1 możemy skonstruować jako rzut punktu P_0 na większym okręgu prostopadle do osi x na tę elipsę.  Trójkąt QP_1'P_0 jest prostokątny i obrót o kąt \alpha wokół osi z przeprowadza go w trójkąt RP'A. Punkt P' leży więc na okręgu przechodzącym przez punkty R,P',A, a kąt P'HA jest jako kąt środkowy równy 2\alpha. Ponieważ P' jest rzutem P na płaszczyznę xy, więc P leży na powierzchni bocznej walca o promieniu HA. Punkt P leży też oczywiście na sferze.

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google

Komentujesz korzystając z konta Google. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Połączenie z %s