Dante Alighieri i 3-sfera

Zaczniemy od Dantego. Jak Rembrandt czy Michał Anioł, jest Dante jednym z tych artystów, których pamiętamy z imienia. W XIV wieku, gdy opisał swą podróż po zaświatach, kosmologia spleciona była ściśle z teologią. Arystotelesowski system sfer (wywodzący się od Eudoksosa) został schrystianizowany przez Tomasza z Akwinu. Świat z boskiego zwierzęcia, które porusza się samo, stał się areną dramatu moralnego. U Dantego dokładnie w środku Ziemi znajduje się głowa upadłego Lucyfera. Humanista Antonio Manetti przedstawił je w roku 1506 następująco:

• 

  Mamy tu przy okazji hierarchię grzechów, a więc od góry: rozpusta, łakomstwo, chciwość, gniew i zniechęcenie we wspólnym kręgu piekielnym, przemoc (nie zmieściły się na rysunku: herezja, oszustwo i zdrada)

Młody Galileusz wygłosił w Accademia Fiorentina dwa wykłady, poświęcone topografii dantejskiego piekła. Wykłady te pomyślane były jako sposób kultywowania „czystej mowy toskańskiej”, co należało do celów działalności Akademii. W grę wchodził także patriotyzm: młody uczony bronił poglądów swego rodaka, Antonia Manettiego, przed niezasłużoną krytyką Alessandra Velutella z Lukki. Piekło bowiem, jak wiadomo, znajduje się dokładnie pod Jerozolimą i ma kształt stożka o kącie rozwarcia 60º i wierzchołku w środku Ziemi. Poszczególne jego kręgi tworzą coś w rodzaju amfiteatru – infernal teatro – na którego samym dole znajduje się Lucyfer, a w jego trzech paszczach trzej najwięksi zdrajcy:
Judasz oraz Brutus i Kasjusz, organizatorzy zamachu na Juliusza Cezara.

Galileusz, podobnie jak jego poprzednicy, starał się wyczytać z tekstu Dantego matematyczne szczegóły. Fragment opisu Lucyfera w Pieśni XXIV można było potraktować jako proporcję.

Cesarz, władnący nad krainą nędzy,
Z lodu wysterczał do połowy łona,
A olbrzym ze mną porówna się prędzej
Niż z olbrzymami jego dwa ramiona.

Wynika stąd, że wzrost Dantego ma się do wzrostu olbrzyma tak, jak wzrost olbrzyma do długości ramion Lucyfera. Wzrost Dantego znamy: wynosił on 3 braccia. Potrzebny jest jeszcze wzrost olbrzyma. Informację tę daje Pieśń XXXI:

Jako Piotrowa szyszka, tej wielkości
Była ogromna głowa wielkoluda.

Chodziło o szyszkę z brązu znajdującą się w Rzymie i mającą wielkość 5½ braccia, taką samą wielkość ma zatem głowa olbrzyma. Ponieważ wysokość człowieka równa jest ośmiu rozmiarom głowy, więc wysokość olbrzyma równa jest 44 braccia. Korzystając z tej wielkości obliczamy wielkość ramienia Lucyfera: będzie ona równa 645 braccia. Wzrost człowieka jest trzykrotnie większy niż długość ramienia, stosując tę proporcję otrzymujemy 1935 braccia. Jako prawdziwy humanista, młody uczony także do olbrzyma i Lucyfera przykłada ludzką miarę; po latach udowodni, że proporcje ciała muszą zmieniać się z rozmiarami każdego stworzenia, inaczej kości nie wytrzymałyby ciężaru. Po uwzględnieniu uwagi poety, że Lucyfer jest jeszcze nieco większy („olbrzym ze mną porówna się prędzej…”), dostajemy na wzrost Lucyfera okrągło 2000 braccia. W podobny sposób oblicza Galileusz inne wielkości charakteryzujące Dantejskie Piekło.

Jak traktować tego typu rozważania? Zapewne podobnie jak dzisiejsze doktoraty: nie wszystko musi być tu prawdą, chodzi raczej o pewne ćwiczenie formalne, w którym startując z określonych założeń, adept stara się wykazać swobodą w posługiwaniu się metodami naukowymi: tym razem warsztatem humanisty z matematyczną ogładą. W dużo mniejszym stopniu chodziło zapewne o samo Piekło, choć bowiem Dante miał status wizjonera, to Boska Komedia nie była nigdy oficjalnym stanowiskiem Kościoła. W samo istnienie Piekła, gdzieś pod ziemią, wierzono chyba dość
powszechnie i zapewne wierzyć w nie mógł także młody Galileusz. Nie zetknął się jeszcze z kopernikanizmem i nie zdążył przemyśleć zagadnień kosmologii. W dojrzałym wieku uzna argument o centralnym miejscu Piekła we wszechświecie za śmiechu warty.

Ziemia i jej na ogół nieszczęśni mieszkańcy była w środku, lecz moralnie najniżej. Doskonalsze, bo zbudowane z niezniszczalnego tworzywa – eteru – były sfery planetarne. Doskonalszy także, bo kołowy, był ich ruch. Całość przedstawił Peter Apian, już po śmierci Kopernika, na znanym drzeworycie.

Jest to wersja wszechświata przeznaczona dla filozofów i poetów, astronomowie korzystali z innej. Ponad siódmą sferą Saturna mamy ósmą zawierającą gwiazdy, a także dziewiątą, kryształową, oraz dziesiątą: Primum Mobile. Owa dziesiąta (u Dantego – dziewiąta) sfera wprawiała w ruch wszystko poniżej, a poruszała się siłą intelektualnej miłości do Boga, który oczywiście u Arystotelesa znaczył zupełnie co innego niż u Dantego.

Świat jest więc skończony, a nawet zdaje się mieć brzeg, poza który wychynąć nie można. Otóż w XXVIII Pieśni Raju Dante dociera do owej największej sfery i opisuje nam to, co zobaczył i co objaśnia mu niezawodna przewodniczka, Beatrycze (w życiu ziemskim była mężatką, a on miał czworo dzieci z żoną, w zaświatach jednak stosunki ich przybrały inny obrót). Spoglądając, wydawałoby się z brzegu wszechświata, widzi Dante cały nowy świat wirujący wokół centralnego boskiego ognia. Jest tam też dziewięć sfer, ale zamieszkałych przez istoty wyższe, całą hierarchię anielską.

Poeta znajduje się gdzieś w punkcie P.

Interpretatorzy mieli zazwyczaj kłopot z tym drugim światem. Tymczasem z matematycznego punktu widzenia oba te kuliste światy mogłyby być połówkami 3-sfery, czyli sfery trójwymiarowej, . Sferę taką stanowił świat Einsteina, pierwszy nowoczesny model kosmologiczny. Przestrzeń ma ograniczoną objętość, lecz nie ma brzegu, podobnie jak powierzchnia kuli. Przyjrzyjmy się temu bliżej.

Kula (jednostkowa) to zbiór punktów leżących bliżej niż 1 od pewnego punktu środkowego. W jednym wymiarze to po prostu odcinek otwarty . Jego brzeg, czyli 0-sferę stanowią dwa punkty . W dwóch wymiarach kula to wnętrze koła, jej brzeg to 1-sfera , czyli okrąg.

Zauważmy, że okrąg stanowią punkty spełniające równanie . Możemy okrąg uważać za złożony z dwóch części: dodatniej () i ujemnej (). Każdą z tych części możemy w sposób ciągły i wzajemnie jednoznaczny zrzutować na kulę , czyli odcinek:  gdzie . Aby uzyskać cały okrąg (1-sferę), musimy dodać jeszcze dwa brakujące punkty , czyli 0-sferę.

Można zatem 1-sferę uważać za sumę dwóch oddzielnych egzemplarzy oraz 0-sfery. Taki podział daje się też przeprowadzić dla 2-sfery.

Każą z dwóch półsfer: dodatnią i ujemną można zrzutować w sposób ciągły i wzajemnie jednoznaczny na kulę . Jeśli dodamy do tego 1-sferę , otrzymamy całą 2-sferę, czyli brzeg kuli . W przypadku 3-sfery, czyli brzegu kuli czterowymiarowej nie możemy sporządzić wprawdzie rysunku, ale postępowanie da się łatwo uogólnić. 3-sfera jest zbiorem punktów w przestrzeni czterowymiarowej spełniających równanie , skąd . Możemy więc każdemu punktowi przypisać dokładnie dwa punkty na 3-sferze:

Otrzymamy w ten sposób dwie połsfery , które należy jeszcze uzupełnić o sferę „równikową” . Przecinając sferę rozmaitymi płaszczyznami począwszy od „bieguna północnego” (x,y,z,1), otrzymywać bedziemy coraz większe 2-sfery odgrywające rolę równoleżników. Największą 2-sferą jest równik: przecięcie płaszczyzną , następnie dla ujemnych wartości przecięcia będą 2-sferami o coraz mniejszym promieniu aż zbiegną się w „biegun południowy”. 

Dante znajdując się w punkcie równika 3-sfery miał więc przed sobą dwie połówki owej 3-sfery, z których każda równoważna jest kuli – inaczej mówiąc miał przed oczami dwa zbiory koncentrycznych 2-sfer: środek jednej stanowiła Ziemia, a dokładniej Lucyfer, środek drugiej – Bóg widziany jako gorejący świetlisty punkt. Można 3-sferę przedstawić jako złożenie dwóch (np. jednakowych, ale różnych) kul, w których odpowiadające sobie, „tak samo położone” punkty brzegu zostały utożsamione. Idąc więc od Ziemi, w punkcie P znajdujemy się na wspólnym brzegu obu kul i podziwiać możemy oba światy. Poeta wykazał się tu znakomitą intuicją topologiczną. Całość tej konstrukcji, 3-sfera, nie ma brzegu, tak jak świat Dantego.

Wykorzystałem artykuł Marka Petersona Dante and 3-sphere, „American Journal of Physics”, t. 47(12), (1979), s. 1031-1035.