Jak długo spadał Lucyfer?

Nie tylko Wielki Wybuch głosi chwałę Pana. Także i obecność szatanów, co wszędzie są czynni. Najlepszym dowodem ich siły jest dzisiejsze radosne zgromadzenie na Stadionie Narodowym w stolicy naszego kraju. Ojciec John Bashobora oraz arcypasterz Pragi wraz z setkami duchownych wypędzać tam będą diabły na oczach 40 000 wiernych (bilety po 60 zł). Może i tym razem o. Bashobora kogoś wskrzesi, co mu się już nieraz zdarzało. Z całą pewnością uzdrowi wielu, dzięki czemu poprawią się finanse NFZ.

W środku świata przebywa Lucyfer, dlatego świat nasz zwiemy diablocentrycznym. Jaki był jednak fizyczny sposób, by strącić tam Księcia Tego Świata? Ciężkość. Wyobraźmy sobie tunel przewiercony przez Ziemię na wskroś. Gdyby wrzucić doń Lucyfera, to jak długo bestia by spadał? I czy zatrzymałby się w środku Ziemi, czy też przeleciał dalej, aż na antypody? Zdania były tu podzielone. Bartolomeus Amicus SJ, rówieśnik Galileusza, sądził, że kamień wrzucony do takiego tunelu doleci do środka Ziemi i świata, gdzie się zatrzyma. Pogląd ten był wypowiadany i wcześniej, stąd zapewne u Dantego w Boskiej Komedii mamy obraz Lucyfera zarytego w środku świata, z trzema paszczami, w każdej po jednym słynnym zdrajcy. Inaczej uważał Nicole Oresme, zwolennik impetusu. Jego zdaniem kamień (albo Lucyfer) w środku Ziemi osiągnie największy impetus, dzięki czemu przeleci dalej aż do antypodów. I będzie tak sobie oscylować, aż mu się impetus całkiem wyczerpie. Ostatecznie zalegnie Lucyfer w środku Ziemi, lecz po iluś zabawnych oscylacjach.

Fizyka Newtona pozwala obliczyć, jak długo spadałby Lucyfer do środka Ziemi. Rozpatrzymy dwa skrajne przypadki: gdyby Ziemia wypełniona była materią jednorodnej gęstości oraz gdyby jej cała masa skupiona była w punkcie centralnym. Prawda zawiera się gdzieś pośrodku: gęstość rośnie ku centrum Ziemi, lecz stopniowo, nie skokowo, jak w drugim przypadku.

Przypadek jednorodnej Ziemi

Przyspieszenie grawitacyjne naszego Lucyfera w odległości r od środka Ziemi byłoby równe

g(r)=\dfrac{Gm(r)}{r^2},

gdzie m(r) to masa małej kuli o promieniu r. Przyjmujemy, że gęstość materii ziemskiej jest wszędzie taka sama, masa jest więc proporcjonalna do objętości i przyspieszenie grawitacyjne będzie ostatecznie proporcjonalne do r:

g(r)=\dfrac{GMr)}{R^3}=\dfrac{g}{R}r \Rightarrow T=2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}.

Przez G, M, R oznaczyliśmy odpowiednio stałą grawitacji oraz masę i promień Ziemi; g to przyspieszenie ziemskie na powierzchni Ziemi. Przyspieszenie Lucyfera jest więc proporcjonalne do odległości i równanie to jest takie samo jak dla wahadła matematycznego, promień Ziemi odgrywa tu rolę długości. Zatem będzie nasz Lucyfer oscylował z okresem opisanym wzorem dla wahadła matematycznego. Do środka Ziemi będzie to ćwierć oscylacji, co zajmie niecałe dwadzieścia jeden minut.

Przypadek całej masy skupionej w centrum

W tym przypadku przyspieszenie ziemskie rośnie w miarę zbliżania się do środka:

g(r)=\dfrac{GM}{r^2},

Czas spadku znaleźć można, tak jak zrobił to Newton, wyobrażając sobie najpierw ruch po elipsie o długości dużej półosi a=\frac{1}{2}R. Jeśli elipsę tę będziemy stopniowo spłaszczać (zachowując długość dużej półosi) okres się nie zmieni (III prawo Keplera). Ognisko elipsy będzie się przybliżać do jej wierzchołka. Czas spadku będzie połową okresu obiegu takiej elipsy.

Korzystając z III prawa Keplera mamy

T^2=\dfrac{4\pi^2 a^3}{GM}\Rightarrow T=2\pi\sqrt{\dfrac{R3}{8GM}}=\pi\sqrt{\dfrac{R}{2g}}.

Połowa tego okresu jest szukanym czasem, a więc w tej wersji Lucyfer będzie spadał niecałe piętnaście minut.

Dla rzeczywistej zależności m(r) dla Ziemi przyspieszenie ziemskie najpierw nieco rośnie w głąb planety, a potem zaczyna spadać mniej więcej liniowo, kiedy znajdziemy się w żelazowo-niklowym jądrze.

Rozważania średniowiecznych filozofów w rodzaju takiego hipotetycznego kamienia w hipotetycznym tunelu przez Ziemię przyczyniały się do zrozumienia zagadnień ruchu i grawitacji, były to ówczesne Gedankenexperimente. Oresme w XIV wieku miał jednak nowocześniejszą teorię niż Amicus w XVII. Pojęcie impetus, choć dalekie jeszcze od dzisiejszego pędu, miało przed sobą przyszłość. Samo jednak wyostrzanie pojęć jest na nic, dopóki nic nie można obliczyć, przynajmniej w fizyce.

Reklamy

7 myśli nt. „Jak długo spadał Lucyfer?

  1. Pomijając opory ruchu i ew. zamianę na ciepło, czy spadające ciało oscylowałyby wiecznie? Pamietam, że kiedyś na fizyce musiałem wykazać oscylację. A właściwie udowodnić co się wydarzy. Tylko nie pamietam jak długo ta oscylacja trwała.

    Polubienie

    • Jeśli nie ma procesów zamieniających energię mechaniczną na ciepło, powinno oscylować wiecznie. Dokładnie tak samo jak idealne wahadło w próżni. Opór ośrodka, tarcie itp. sprawiają zazwyczaj, że energia mechaniczna maleje z czasem. To tak jak z satelitą Ziemi: wysoki satelita może krążyć wiecznie, niski hamowany jest oporem atmosfery, co sprawia, że po linii spiralnej zniża się i w końcu spala w atmosferze.

      Nie widzę tu miejsca na efekty kwantowe, obiekt (Lucyfer) jest makroskopowy. Ogólna teoria względności w miejsce Newtonowskiej grawitacji wprowadza tę zmianę, że powinny przy tych oscylacjach powstawać fale grawitacyjne i w ten sposób energia byłaby, bardzo powoli, wypromieniowywana na zewnątrz. Dwie czarne dziury krążące wokół wspólnego środka masy w końcu się zlewają właśnie z tego powodu – takie fale grawitacyjne zaobserwował eksperyment LIGO.

      Polubienie

      • Czy są kwantowe procesy, które miałyby wpływ na taki ruch? Skoro obiekt ma masę to pewnie np. oddziaływanie z polem Higgsa mogłoby wpływać. Ja rozumiem, że siły byłyby tak znikome, że jakiekolwiek zmiany mogłybyć zauważalne w czasie np. dłuższym od wieku wszechświata. W naszej skali są pewnie niemierzalne, więc pomijalne. Ale to może jednak nie wiecznie?

        Polubienie

  2. Wg Dantego spadł do Piekła. Galileusz badał dokładnie te sprawę próbując wykazać, jak duże jest ono. Przewodniczący Akademii Florenckiej senator Baccio Valori poprosił Galileusza o próbę rozstrzygnięcia: gdzie się znajduje, jaki ma kształt i wymiar Piekło Dantego? Przy okazji badań (bardzo poważnych) Galileusz odkrył prawo skalowania (proporcje przy zmniejszaniu lub powiększaniu np. rozmiarów człowieka nie będą zachowane).
    Zadziwiające jest to, jak dzieło literackie stało się wykładnią rzeczywistości. Mam wrażenie, że Boska Komedia stała się jeszcze przed Galileuszem czymś w rodzaju biuletynu National Geographic tamtych czasów…

    Polubienie

    • Zgadza się. Dziewiąty krąg Piekła u Dantego jest właśnie w środku Ziemi. Dlatego świat chrześcijański jest diablocentryczny (określenie Lovejoya). Przykład spadającego Lucyfera był używany przez komentatorów Dantego, jak i kaznodziejów. Boska Komedia jest zgodna z ówczesną wiedzą i była traktowana bardzo serio w XIV wieku i później.

      Polubienie

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj / Zmień )

Connecting to %s