Od zasady najdłuższego czasu do równań Maxwella III

W poprzednich dwóch częściach rozpatrzyliśmy zasadę wariacyjną dla cząstki w polu, które okazało się elektromagnetyczne (przy okazji otrzymaliśmy siłę Lorentza) oraz zasadę wariacyjną dla pola elektromagnetycznego. Skoro zaszło się tak daleko, warto może pokazać jeszcze kilka prostych konsekwencji tego, co uzyskaliśmy. Dwa równania Maxwella (prawo Gaussa i prawo Ampère’a) mają u nas postać:

\partial^{\mu}F_{\mu\nu}=\mu_0 j_{\nu},\mbox{(1)}

gdzie j_{\nu}=(c\rho,-\vec{j}) jest czterowektorem gęstości ładunku oraz gęstości prądu; nie wprowadzaliśmy ich poprzednio, ponieważ ominęliśmy obliczenie wariacji lagranżianu oddziaływania pola z cząstkami, wyraz taki ma postać -\int j^{\mu}A_{\mu} d^{4}x. Jasne jest, że muszą pojawić się jakieś źródła: ładunki i prądy.

Dwa pozostałe równania Maxwella (prawo Faradaya oraz magnetyczny odpowiednik prawa Gaussa) wyglądają następująco:

\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\partial_{\rho}F_{\mu\nu}+\partial_{\nu}F_{\rho\mu}=0.\mbox{(2)}

Z równości tej otrzymujemy cztery równania skalarne, gdy trzy wskaźniki są różne. Jednak samo równanie jest prawdziwe dla dowolnego zestawu wskaźników, przy powtarzających się dostajemy tożsamościowo zero, np.

\partial_{0}F_{01}+\partial_{1}F_{00}+\partial_{0}F_{10}=0,

gdyż wyraz środkowy równy jest zeru, a dwa skrajne mają przeciwne znaki (bo F_{\mu\nu}=-F_{\nu\mu}).

Pokażemy trzy krótkie wnioski z równań zapisanych w tej postaci:

  1. Równania Maxwella w próżni sprowadzają się do równania falowego, a to znaczy, że pole elektromagnetyczne może wędrować w przestrzeni jako fala.
  2. Możemy zapisać te równania za pomocą czteropotencjału A_{\mu}.
  3. Spełniona jest zasada zachowania ładunku.

Ad 1 Obliczmy pochodną \partial^{\mu} z naszego równania (2):

\partial^{\mu}\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\partial^{\mu}\partial_{\rho}F_{\mu\nu}+\partial^{\mu}\partial_{\nu}F_{\rho\mu}=0.

Należy to sobie wyobrażać jako wzięcie pochodnej, a następnie wysumowanie po powtarzającym się wskaźniku. Dwa ostatnie wyrazy są w próżni równe zeru na mocy równania (1). Wyraz pierwszy to

\partial^{\mu}\partial_{\mu}=\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}\equiv \square.

Taki operator nazywa się dalambercjanem (od Jeana Le Ronda d’Alemberta, który zajmował się jeszcze w XVIII wieku równaniem falowym) przez analogię do laplasjanu. Otrzymany wynik można więc krótko zapisać:

\square F_{\mu\nu}=0.

A więc teoria przewiduje fale w próżni.

Ad 2 Tensor pola wyraża się przez czteropotencjał następująco:

F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}.

Wartości pola elektromagnetycznego otrzymujemy przez różniczkowanie, więc jasne jest, iż wybór czteropotencjału nie jest jednoznaczny. Równanie (2) zapisane za pomocą czteropotencjału daje tożsamościowo zero:

\partial_{\mu}(\partial_{\nu}A_{\rho}-\partial_{\rho} A_{\nu})+\partial_{\rho}(\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu})+ \partial_{\nu}(\partial_{\rho}A_{\mu}-\partial_{\mu}A_{\rho})=0.

Łatwo zauważyć, że mamy pary wyrazów różniących się tylko znakiem (kolejność różniczkowania wolno zawsze zmienić). W bardziej rozbudowanej matematycznie teorii jest to tzw. tożsamość Bianchiego (od matematyka włoskiego z przełomu XIX i XX wieku, pierwszy zresztą tę tożsamość zapisał Ricci-Curbastro, a potem odkrywana była jeszcze wiele razy na nowo). Wstawiając potencjał do równania (1), otrzymujemy

\partial^{\mu}(\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu})=\square A_{\nu}-\partial_{\nu}(\partial^{\mu}A_{\mu})=\mu_{0}j_{\nu}.

Ostatnie równanie można uprościć, korzystając ze swobody cechowania. Możemy bowiem zażądać, żeby ostatni wyraz w nawiasie po lewej stronie był równy zeru. Ograniczamy w ten sposób dowolność wyboru czteropotencjału. Warunek ten nazywa się cechowaniem Lorenza (od duńskiego uczonego Ludwiga Lorenza, którego nie należy mylić z Holendrem Hendrikiem Lorentzem od transformacji Lorentza). Jeśli go nałożymy, to nasz czteropotencjał spełnia niejednorodne równanie falowe:

\square A_{\mu}=\mu_{0}j_{\mu}.

Tam gdzie nie ma ładunków ani prądów, otrzymujemy równanie falowe dla czteropotencjału. W tej formie równania Maxwella wyglądają więc następująco:

\begin{cases} \square A_{\mu}=\mu_{0}j_{\mu}\\ \partial^{\mu}A_{\mu}=0.\end{cases}

W tej postaci mamy tylko jedno równanie na czterowektor plus warunek cechowania. Czyli w istocie pole elektromagnetyczne nie potrzebuje sześciu składowych (po trzy dla pola elektrycznego i magnetycznego), wystarczą cztery, a nawet nieco mniej, ze względu na warunek cechowania, który ogranicza możliwości.

Ad 3 Ostatni punkt: zasada zachowania ładunku. Wynika ona z równania (1), gdy weźmiemy jego pochodną:

\partial^{\nu}\partial^{\mu}F_{\mu\nu}=0=\mu_{0} (\partial^{\nu}j_{\nu}).

Pierwsza równość pochodzi stąd, że pochodne możemy przestawiać bez zmiany znaku, natomiast tensor F_{\mu\nu} jest antysymetryczny. Tak przy okazji, nazywa się często F_{\mu\nu} tensorem Faradaya, oczywiście Michael Faraday nie miał pojęcia o tensorach, odkrył jednak, że zmienne pole magnetyczne generuje pole elektryczne. Ostatnie wyrażenie to uogólnienie dywergencji na cztery wymiary:

\dfrac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\vec{j}=0.

Ostatnie równanie znaczy tyle, że jeśli w danym punkcie prąd wypływa, to gęstość ładunku musi odpowiednio maleć. Ładunek jest zachowany, i to lokalnie: aby wypłynął z danej objętości, musi przeciąć powierzchnię, która tę objętość ogranicza. Jeśli był, a teraz go nie ma, to znaczy, że musiał przejść przez granicę.

Równania Maxwella zapisane jak wyżej nie tylko wyglądają prościej, ale wskazują jawnie, że teoria jest relatywistycznie kowariantna, tzn. zgodna z teorią względności. To nie koniec zalet takiego podejścia: okazuje się, że w teorii grawitacji Einsteina postać równań Maxwella jest właściwie taka sama.

Reklamy

Od nacjonalizmu do idiotyzmu: duch francuski i fizyka niemiecka (1915, 1936)

Ponieważ przybliża się chwila, gdy nasze niestrudzone władze powołają wreszcie do życia Narodowy Instytut Fizyki im. Antoniego od Wielu Wybuchów, więc warto może przypomnieć chlubne przykłady z przeszłości. Złudne jest bowiem mniemanie, że dziedziny takie, jak matematyka albo fizyka nie mają charakteru narodowego. Otóż mają i dlatego tak ważne jest promowanie autentycznie polskiej fizyki. A jakaż to będzie radość dla dziatek naszych najmilszych, gdy w programie szkół po Koperniku będzie od razu Maria Skłodowska-Curie, wypadną zaś te wszystkie Newtony, Ohmy, Hertze i Einsteiny. Wszak żarówkę wynalazł Łodygin, nie jakiś Edison. A była przecież i lampa naftowa Łukasiewicza, i elektryczne świece Jabłoczkowa. My, Słowianie (czyli w zasadzie Polacy), daliśmy światu tyle, tylko on o tym nic nie wie. Kto zaś będzie negował nasze osiągnięcia, ten skazany być może na 3 lata naszej szkoły i nawet wśród pingwinów dopadnie go karząca ręka prawa i sprawiedliwości.

Pierwszy przykład pięknej myśli narodowej w naukach ścisłych znajdujemy u Pierre’a Duhema. Wybitny specjalista od termodynamiki, najbardziej znany jest jako filozof i historyk nauki. Wprowadził on rozróżnienie umysłów naukowych na typ angielski i francuski. Miało się ono wywodzić z tego, co Blaise Pascal określał jako zmysł życiowy (esprit de finesse) oraz zmysł geometryczny (esprit de géométrie). W nauce mielibyśmy uczonych, którzy tworzą różne modele, trzymając się danych doświadczalnych, nawet gdy wprowadza to pewien zamęt pojęciowy; drudzy to budowniczowie prostych teorii, koncentrujący się na ich konsekwencjach. Przykładem typu angielskiego miał być Michael Faraday, francuskiego – Isaac Newton. Rozróżnienie nie miało więc charakteru nacjonalnego, lecz analityczny. Duhem nie lubił brytyjskiej szkoły posługującej się pojęciem pola elektromagnetycznego i mocno atakował Jamesa Clerka Maxwella z pozycji filozoficznych. Oczywiście, żadna filozofia nie mogła na dłuższą metę zaszkodzić osiągnięciom Maxwella, filozofowie mówią swoje, a nauka idzie dalej, nawet bez ich pozwolenia.

Gdy wybuchła pierwsza wojna światowa, czyli wielka wojna (nikt jeszcze nie wiedział, że będzie następna), Duhem, za stary, aby iść na front, zaczął pisać i nauczać o niemieckiej nauce. Co pochlebnego można było powiedzieć o nauce wrogów? Duhem nie zamierzał ich chwalić, wprowadził i omówił pojęcie umysłu typu niemieckiego. Nauka niemiecka była formalistyczna, polegająca na wywodach logicznych nawet tam, gdzie to nie ma większego sensu. „Niemiec jest pracowity, skrupulatny, zdyscyplinowany i podporządkowany”. To geometra, brak mu subtelności. Przykładem Bernhard Riemann, twórca abstrakcyjnego ujęcia geometrii nieeuklidesowej. „Doktryna Riemanna jest ścisłą algebrą, gdyż wszystkie twierdzenia, jakie się w niej formułuje, są bardzo precyzyjnie wydedukowane z przyjętych postulatów; zaspokaja to zmysł geometryczny. Nie jest jednak prawdziwą geometrią, gdyż, wprowadzając swoje postulaty, wcale nie zatroszczyła się, aby wnioski z nich zgadzały się w każdym punkcie z osądami wyprowadzonymi z doświadczenia, które składają się na nasze intuicje dotyczące przestrzeni; w ten sposób przeczy ona zdrowemu rozsądkowi”. Był luty roku 1915, w listopadzie Albert Einstein zapisał równania pola grawitacyjnego w swej teorii. Od kilku lat ci, którzy śledzili rozwój fizyki, wiedzieli, że właśnie geometria riemannowska jest językiem matematycznym nowej teorii. Inaczej mówiąc: owa formalistyczna geometria, rzekomo ignorująca nasze pojęcie przestrzeni, okazała się nauką o fizycznej czasoprzestrzeni, jak najbardziej konkretną, podlegającą pomiarom. Duhem nie śledził zapewne grawitacyjnych prac Einsteina, ponieważ już wcześniejsza szczególna teoria względności nie zyskała w jego oczach aprobaty. Sądził, iż nie istnieje graniczna prędkość w przyrodzie, gdyż można sobie zawsze wyobrazić przebycie określonej drogi w dowolnie krótkim czasie, nawet gdy praktycznie nie potrafimy tego zrealizować. Przyjęcie zasady względności Einsteina, Minkowskiego i Lauego sprawia, że prędkość ponadświetlna staje się sprzecznością logiczną – twierdzi Duhem. „To, iż zasada względności dezorganizuje wszelkie intuicje wynikające ze zdrowego rozsądku, nie wywołuje u fizyków niemieckich żadnych wątpliwości. Przyjęcie jej oznacza siłą rzeczy obalenie wszystkich doktryn dotyczących przestrzeni, czasu, ruchu, wszystkich teorii mechaniki i fizyki; w tak wielkiej dewastacji nie ma niczego, co by nie mogło się podobać myśli germańskiej. Na terenie, który zostanie oczyszczony z dawnych poglądów, geometryczny zmysł Niemców pozwoli im całym sercem oddać się dziełu zbudowania na nowo całej fizyki, której fundamentem stanie się zasada względności”. Widzimy więc na tych przykładach, jak bardzo niefrancuska, a tym samym przykra dla zrównoważonego umysłu, była niemiecka nauka Einsteina.

Mamy drugi jeszcze przykład, jak wolna myśl narodowa kształtować może zdrową etnicznie fizykę. Autorem naszym jest Philipp Lenard, laureat Nagrody Nobla z fizyki eksperymentalnej, człowiek mimo to zgorzkniały i upatrujący odrodzenia nauki aryjskiej w wyzwoleniu się od wpływów żydowskich. Zdaniem Lenarda fizyka stworzona została niemal wyłącznie przez Aryjczyków: Francuzów w jego opowieści nie było, Anglicy, Szkoci i Skandynawowie to praktycznie Niemcy. Niemcami byli też wielcy eksperymentatorzy, jak Heinrich Hertz, odkrywca fal elektromagnetycznych, u którego Lenard pracował kiedyś jako asystent. Hertz nie był jednak „czystej krwi”: jego ojciec, prawnik i senator hanzeatyckiego miasta Hamburga, był Żydem przechrzczonym na luteranizm. Miało to złowieszcze, zdaniem Lenarda, następstwa, gdyż w ostatnich latach życia Hertz zajmował się zasadami mechaniki. W pracy tej „silnie wyszedł na jaw duch żydowski, który w jego wcześniejszych owocnych pracach pozostawał w ukryciu”. W 1936 roku ukazało się czterotomowe dzieło Philippa Lenarda, zatytułowane Deutsche Physik. Był to podręcznik zawierający zdrową pod względem narodowym część fizyki, a nie – jakby ktoś złośliwy mógł pomyśleć – to, co z fizyki zrozumiał Lenard. We wstępie do swego wiekopomnego dzieła skromny jego autor zwracał się do czytelnika: „«Fizyka niemiecka?» – zapytacie. Mógłbym równie dobrze powiedzieć fizyka aryjska albo fizyka ludzi typu nordyckiego, fizyka badaczy rzeczywistości, poszukiwaczy prawdy, fizyka tych, którzy stworzyli badania naukowe. «Nauka jest międzynarodowa i zawsze taka pozostanie» – zaczniecie protestować. (…) W rzeczywistości tak samo, jak wszystko, co tworzy człowiek, również nauka zdeterminowana jest przez rasę albo krew. (…) Należy powiedzieć tu nieco o «fizyce» narodu żydowskiego, ponieważ stoi ona w jaskrawym przeciwieństwie do fizyki niemieckiej (…) fizyka żydowska dopiero niedawno poddana została wyważonej ocenie publicznej. Pod koniec wojny, kiedy Żydzi w Niemczech zaczęli dominować i narzucać ton, wezbrała niczym powódź i ujawniły się jej wszystkie cechy. Znalazła szybko gorliwych zwolenników wśród wielu autorów krwi innej niż żydowska albo nie czysto żydowska”. Oczywiście, przykładem fizyki żydowskiej par excellence musiał być Albert Einstein, jego teorie „kompletnie zgrały się w zetknięciu z rzeczywistością. Najwyraźniej nie były nawet w zamierzeniu prawdziwe. Żyd pozbawiony jest całkowicie zrozumienia prawdy innej niż tylko powierzchowna zgodność z rzeczywistością, [prawdy], która nie zależy od ludzkiej myśli. (…) Zdumiewające jest, że prawda czy rzeczywistość nie wydają się Żydowi czymś szczególnym bądź różnym od nieprawdy, lecz są one równoważne jednej z wielu możliwych opcji teoretycznych”.

Lenard nie mógł przeboleć, że powstaje nowa fizyka, tworzona m.in. przez Einsteina, a popierana ku jego niezadowoleniu przez Maksa Plancka czy Maksa Lauego, późn. von Laue – niewątpliwych etnicznych Niemców. Poglądy wygłaszane przez Lenarda, choć sformułowane prymitywniej, są w istocie zbliżone do zarzutów Duhema. Dla obu teoria względności sprzeczna była ze zdrowym rozsądkiem, była wykwitem zbyt dużej skłonności do abstrakcji oderwanej od rzeczywistości, przerośniętym esprit de géométrie. Duhem widział w tym cechę niemiecką, Lenard natomiast żydowską.

„«Ja cierpię» – Lepiej tak powiedzieć, niż powiedzieć: «Ten krajobraz jest brzydki»” (Simone Weil).

James Clerk Maxwell: O liniach sił Faradaya (1855-1856)

Jesienią 1855 roku dwudziestoczteroletni Szkot został wybrany na członka (Fellow) Trinity College, w tym samym mniej więcej wieku co niegdyś Isaac Newton. Kolegium nie wymagało już przyjęcia święceń, choć pobożny Maxwell pewnie nie odrzucałby z góry takiej możliwości (Newton, także pobożny, ale nieortodoksyjny, wykręcił się specjalną dyspensą królewską). Maxwell miał talent matematyczny, należał do wychowanków sławnego tutora Williama Hopkinsa, znanego z kształcenia tzw. wranglers – studentów wyróżniających się na końcowych egzaminach z tego przedmiotu. Hopkins miał ich na koncie dwie setki, zarabiał zresztą w ten sposób całkiem spore pieniądze. Do jego uczniów należeli Arthur Cayley, lord Kelvin, George Gabriel Stokes, a także w roku 1854 Edward Routh jako Senior Wrangler i Maxwell jako Second Wrangler. Ten ostatni zdążył już zająć się w sposób twórczy kilkoma tematami z dziedziny fizyki oraz fizyki matematycznej, teraz próbował swych sił na polu elektryczności i magnetyzmu.
Na przełomie lat 1855 i 1856 Maxwell ogłosił pracę O liniach sił Faradaya. Nawiązywał w niej do badań eksperymentalnych Michaela Faradaya, bodaj największego eksperymentatora w historii fizyki. Prosty chłopak, oddany jako czternastolatek do terminu u introligatora, sam zdobył wykształcenie naukowe i zaczynając od pomocnika w laboratorium, doszedł do pozycji wyroczni w kwestiach eksperymentalnych. W roku 1855 zjawiska elektryczne i magnetyczne znane były całkiem dobrze, brakowało jednak wciąż zadowalającej teorii, która obejmowałaby ich całość. Próbowano sprawdzonego wcześniej podejścia za pomocą oddziaływania na odległość. A więc ładunki elektryczne oraz bieguny magnetyczne przyciągają się albo odpychają, a siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Prawo takie sprawdził eksperymentalnie Charles Augustin Coulomb jeszcze w poprzednim wieku. Także prądy elektryczne oddziałują ze sobą na odległość, choć prawo w tym przypadku okazało się dość skomplikowane, ponieważ uwzględniać musiało kierunki obu prądów. Faraday odkrył, że zmienne pole magnetyczne generuje prąd – to zjawisko indukcji elektromagnetycznej wykorzystywane jest np. w elektrowniach, trudno wyobrazić sobie naszą cywilizację bez wszelkiego rodzaju generatorów prądu.
Idea oddziaływania na odległość była niezbyt chętnie akceptowanym spadkiem po Isaacu Newtonie. Jego prawo powszechnego ciążenia mówi o przyciąganiu na odległość odwrotnie proporcjonalnym do kwadratu odległości. Jak jakieś ciało może działać tam, gdzie go nie ma? Czemu siła maleje jak kwadrat odległości, a nie jakaś inna jej potęga? Nie znano odpowiedzi na pierwsze pytanie, co do drugiego istniały pewne wskazówki, Układ Słoneczny, jaki znamy wymaga takiego właśnie prawa z wykładnikiem równym dwa. Można więc było podejrzewać, że odpowiadało on zamiarom Stwórcy. Do czasów Maxwella nie dowiedziano się niczego nowego na temat grawitacji, uczeni, nie mogąc odpowiedzieć na te pytania, przestali je zadawać i zajęli się, jak to zawsze bywa, kwestiami rokującymi szybszą odpowiedź.
Faraday, geniusz eksperymentu, nie miał wyrafinowanego wykształcenia matematycznego. Starał się więc wizualizować obserwowane zjawiska. Przykładem były linie sił pola magnetycznego z jednej z jego prac.

faraday29_1-x

Na lewym rysunku mamy linie sił bieguna magnetycznego, na drugim dwóch różnych biegunów magnetycznych. Są to wyniki eksperymentu: na papierze rozsypywane były opiłki żelaza, a później obraz ten utrwalano za pomocą kleju. Czym były linie sił? Maxwell definiował je jako linie wskazujące w każdym punkcie kierunek siły działającej na biegun magnetyczny (albo ładunek w przypadku elektrycznym). Dalej skupimy się na polu elektrycznym, ponieważ istnieją pojedyncze ładunki elektryczne i jest to nieco łatwiejsze do omówienia. Podobne rozumowania stosują się także do przypadku magnetycznego, trzeba tylko pamiętać, że nie istnieją osobne bieguny magnetyczne. Nb. szukano wielokrotnie cząstek elementarnych, które byłyby takimi biegunami, tzw. monopoli magnetycznych, czasami nawet komunikowano o ich odkryciu, ale żadne z tych doniesień się nie potwierdziło.

y

x

Te same linie sił obliczone dla przypadku pojedynczego ładunku oraz pary przeciwnych ładunków. Linie przerywane są wszędzie prostopadłe (ortogonalne) do linii sił i odpowiadają stałemu potencjałowi.

Maxwell zwrócił uwagę, że linie sił pola tworzą taki sam obraz jak linie przepływu idealnej nieściśliwej cieczy. Moglibyśmy sobie wyobrazić, że te linie sił to w istocie rurki cieczy. W rurce takiej iloczyn szybkości przepływu oraz pola przekroju jest stały. Tam, gdzie przekrój jest mniejszy, ciecz płynie szybciej. Gdyby prędkość była odpowiednikiem natężenia pola, należałoby sobie wyobrażać rurkę jako węższą tam, gdzie pole jest silniejsze, i odwrotnie.

maxwell tube

Pole elektryczne wokół ładunku punktowego składałoby się ze stożkowych rurek o wierzchołku w ładunku. Pole przekroju rośnie jak kwadrat promienia, natomiast prędkość przepływu (a także pole elektryczne) maleje w takim samym stosunku – co zgodne jest z obserwacjami.

maxwell1

maxwell fluid

Ładunek punktowy odpowiada więc źródłu naszej dziwnej cieczy. Z tego punktu, niczym z wywierzyska, wypływa nieściśliwa ciecz na wszystkie strony. Całkowita objętość tej cieczy przepływająca przez powłokę sferyczną nie zależy od promienia powłoki:

v\sim \dfrac{1}{r^2}\Rightarrow vS\sim \dfrac{1}{r^2}4\pi r^2=4\pi=const

Przez każdą powierzchnię sferyczną przepływa tyle samo cieczy w ciągu sekundy. W przeciwnym wypadku ciecz musiałaby się gdzieś gromadzić albo wypływać po drodze między dwiema takimi tymi powierzchniami otaczającymi źródło. Nie musimy wcale ograniczać się do powierzchni kulistych: przez każdą powierzchnię zamkniętą otaczającą źródło w jednostce czasu przepłynie taka sama objętość cieczy.

Oczywiście Maxwell nie twierdził, że pole elektryczne jest przepływem jakiejś tajemniczej cieczy. Podkreślał jedynie analogię czysto matematyczną. W przypadku elektrycznym wielkość „przepływu” nazywamy strumieniem pola elektrycznego przez daną powierzchnię zamkniętą. Okazuje się, że ów strumień \Phi jest równy (w jednostkach SI):

\Phi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}4\pi r^2=\dfrac{q}{\varepsilon_0}.

Ładunek wewnątrz powierzchni oznaczamy przez q. Znów kształt powierzchni jest obojętny. Prawo to, zwane prawem Gaussa, pozostaje słuszne także dla przypadku większej liczby ładunków. Wypadkowa prędkość przepływu w danym punkcie jest wówczas sumą osobnych prędkości. Podobnie z natężeniem pola elektrycznego: jest ono wektorową sumą pól wytwarzanych przez każdy z ładunków. Ładunki ujemne są „ujemnymi” źródłami, czyli takimi miejscami, w których nasza ciecz ucieka w jakieś matematyczne zaświaty. Prawo Gaussa w wersji elektrycznej stwierdza, że strumień przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do algebraicznej sumy ładunków wewnątrz powierzchni.

Prawo Gaussa jest przydatne, pozwala bowiem obliczać pole elektryczne w niektórych sytuacjach, gdy układ jest symetryczny. Możemy np. stosować je do dowolnego kulistosymetrycznego rozkładu ładunków. Można je także przenieść na grawitację: wówczas polem jest przyspieszenie grawitacyjne a strumień jest zawsze ujemny i proporcjonalny do masy (*). Samo prawo Gaussa jednak nie wystarczy: na przepływy owej fikcyjnej cieczy należy jeszcze nałożyć dodatkowy warunek bezwirowości (w przypadku statycznym).

Dlaczego obraz nieściśliwej cieczy lepszy był od tradycyjnego oddziaływania na odległość? Pozwalał wyjaśnić obserwowane linie sił i sprowadzał zagadnienie do lokalnego: ciecz zachowuje się tak, a nie inaczej, tylko wskutek popychania przez inne jej części. Wszystkie zjawiska są więc lokalne. W gruncie rzeczy w takim podejściu nie potrzebujemy wcale sił działających na odległość. Wystarczą pola i ich lokalne zachowanie. Punkt widzenia tego rodzaju miał wielką przyszłość. Koncentrując się na lokalnych równaniach opisujących elektryczność i magnetyzm Maxwell odniósł sukces, budując najważniejszą teorię XIX stulecia. Stało się to jednak znacznie później, na razie była tylko pewna analogia matematyczna, ilustracja pojęć wprowadzonych przez Faradaya.

Charakterystyczna jest reakcja samego Faradaya, człowieka niezwykle skromnego. Sześćdziesięciopięcioletni luminarz nauki pisze do badacza młodszego o dwa pokolenia: „Z początku byłem nieomal przerażony, widząc tak wielką siłę matematyczną zastosowaną do tego przedmiotu, potem jednak zdumiało mnie, jak dobrze przedmiot zniósł to wszystko”.

(*) W szczególności prawo Gaussa pozwala natychmiast rozwiązać problem przyciągania przez kulę (w obu przypadkach: grawitacji oraz elektryczności). Jeśli rozkład ładunku ma symetrię kulistą, to możemy do niego zastosować prawo Gaussa tak, jak do punktowego ładunku w środku kuli. Przeprowadzając doświadczenia na zewnątrz kuli, będziemy obserwowali pole elektryczne takie, jak gdyby nasza kula ściągnięta była do punktu środkowego (z zachowaniem wartości ładunku). Dlatego np. kula ziemska przyciąga tak, jak punktowa masa w środku Ziemi. Wiemy, że nasza planeta w pierwszym przybliżeniu rzeczywiście składa się z koncentrycznych warstw kulistych. Nie musimy przy tym wiedzieć, jaka jest gęstość i grubość różnych warstw, ważna jest tylko całkowita masa Ziemi.