Léon Foucault i jego wahadło (1851)

W wieku 31 lat Léon Foucault był już znanym eksperymentatorem, kawalerem Legii Honorowej: zdążył zajmować się dagerotypią, optyką i wykonał słynne pomiary prędkości światła w powietrzu i w wodzie. Zgodnie z teorią falową prędkość rozchodzenia się światła w wodzie powinna być mniejsza niż w powietrzu (stosunek prędkości w powietrzu i w wodzie to współczynnik załamania wody względem powietrza). Doświadczenia Foucaulta to potwierdziły. Wspólnie z Hyppolyte’em Fizeau, jego wielkim współpracownikiem, a później rywalem, próbowali wykryć ruch Ziemi względem eteru – ośrodka, w którym miały się rozchodzić fale świetlne, tak jak dźwięk rozchodzi się w powietrzu. Gdy wieje wiatr, prędkość dźwięku zmienia się: oba wektory prędkości – powietrza i dźwięku – się dodają. Sądzono, że coś podobnego powinno zachodzić także w przypadku ruchu Ziemi przez eter. Efektu nie udało się jednak wykryć. Dopiero w roku 1905 pewien urzędnik patentowy z Berna zaproponował, aby pojęcie eteru wyrzucić. Prędkość światła (w próżni) mierzona przez różnych obserwatorów zawsze równa się tej samej wartości c. Urzędnik nazywał się Albert Einstein, wówczas nazwisko to nikomu nic nie mówiło.
Léon Foucault wpadł na pomysł, jak można zademonstrować ruch wirowy Ziemi wokół osi za pomocą wahadła. Zauważył, że pręt umieszczony w uchwycie tokarki i wprawiony w ruch drgający, zachowuje stałą płaszczyznę wahań, gdy obracać uchwytem. Wahadło, któremu pozwolimy swobodnie drgać w dowolnym kierunku, powinno obracać się względem Ziemi. Z najprostszą sytuacją mamy do czynienia, gdy wahadło umieścimy na biegunie Ziemi. Wówczas nie będzie ono brało udziału w ruchu dobowym, lecz zachowa stałą orientację względem gwiazd. Wahadło zawieszone w paryskim Panteonie wzbudziło sensację: każdy mógł na własne oczy zobaczyć, że Ziemia wiruje.

pendulum-demo-engraving_web

Zachowanie wahadła Foucaulta dla innych punktów globu ziemskiego nie jest jednak takie proste: płaszczyzna wahań obraca się, wykonując jeden obrót w czasie dłuższym niż doba gwiazdowa (czyli okres obrotu Ziemi wokół osi, równy 23 godziny 56 minut – czas, po którym ta sama gwiazda znajdzie się w tym samym punkcie nieba dla obserwatora na Ziemi). Możemy zachowanie wahadła opisać z punktu widzenia obracającej się Ziemi: wtedy na wahadło w ruchu działa dodatkowa siła, tzw. siła Coriolisa. Sprawia ona np., że wiatry w wyżach barycznych nie wieją wzdłuż linii spadku ciśnienia, lecz skręcają w prawo. Ale możemy też opisać ruch wahadła w układzie nieobracającym się z Ziemią. Czyli wyobrażamy sobie, że Ziemia jest nieruchoma, a my wędrujemy z wahadłem wzdłuż jej równoleżnika. W układzie nieobracającym się nie ma czegoś takiego jak siła Coriolisa, pozostaje tylko grawitacja. Nie ma więc powodu, aby płaszczyzna wahań się obracała. Przyjmijmy, że drgania wahadła zachodzą jedynie w płaszczyźnie horyzontu, czyli płaszczyźnie stycznej do Ziemi w punkcie obserwacji. Przy niewielkich wychyleniach kątowych koniec wahadła niewiele się podnosi, najważniejsze są drgania zachodzące w płaszczyźnie horyzontu. Koniec wahadła zakreśla wtedy odcinek linii prostej. Będziemy oznaczać go strzałką. Strzałka nasza nie powinna zmieniać orientacji, gdy będziemy się przemieszczać wzdłuż linii prostej. No dobrze, ale jak się przemieszczać wzdłuż prostej po powierzchni kuli? Co powinno być odpowiednikiem linii prostej? Jest taki odpowiednik, są nim koła wielkie, tzn. koła o środku w środku Ziemi, a więc np. południki i równik, ale już nie inne równoleżniki. Gdy będziemy z naszym wahadłem poruszać się wzdłuż równika, kierunek strzałki będzie tworzył stale ten sam kąt z naszym kierunkiem ruchu. Inaczej mówiąc, w mieście na równiku nie da się zademonstrować doświadczenia Foucaulta. Koła wielkie są przy okazji także najkrótszymi drogami łączącymi dwa punkty Ziemi – dlatego lecąc samolotem z Europy do Seattle przelatuje się nad Arktyką, choć na większości map najkrótsza wydaje się droga po równoleżniku.

Gdy przemieszczamy się wzdłuż równoleżnika, strzałka oznaczająca płaszczyznę wahań wskazuje ten sam kierunek w płaszczyźnie stycznej, ale zmienia się kierunek linii północ-południe (równoleżnik nie jest linią prostą, bo nie jest kołem wielkim). Na rysunku przeprowadzone są styczne z punktów Ziemi położonych na tym samym równoleżniku. Styczne te przetną się w pewnym punkcie C. Utworzą one pobocznicę stożka. Linie PC i PC’ wskazują północ i leżą w płaszczyźnie horyzontu (dla bliskich sobie punktów P i P’ jest to praktycznie płaszczyzna CPP’). Kierunek wahań się nie zmienia, obraca się natomiast o kąt β kierunek linii wskazującej północ.

fouc1

 

Strzałki w różnych punktach równoleżnika rysujemy na stożku, po czym rozcinamy pobocznicę stożka wzdłuż linii CP i powstaje następujący rysunek.

fouc3_1

Pobocznica po rozwinięciu jest niepełnym wycinkiem koła. Kąty strzałek względem stożka nie zmienią się przy rozwinięciu i „spłaszczeniu” tej powierzchni. Inaczej mówiąc, strzałki wskazują wciąż ten sam kierunek, a obracają się linie PC, P’C, QC. Nietrudno obliczyć kąt środkowy \alpha, wystarczy popatrzeć na rysunek.

fouc4

 

Z trójkąta prostokątnego OCP mamy równość (\varphi to szerokość geograficzna):

\sin\varphi=\dfrac{\mbox{OP}}{\mbox{CP}}.

Wobec tego kąt środkowy w naszym rozwiniętym stożku \alpha jest równy

\alpha=\dfrac{2\pi\cdot\mbox{ OP}}{\mbox{CP}}=2\pi\sin\varphi.

(Kąt to iloraz długości łuku – równej długości naszego równoleżnika i promienia.) Wielkość obrotu płaszczyzny wahań po wykonaniu pełnego obiegu po powierzchni Ziemi nie zależy naprawdę od czasu. Nasze wahadło obróci się o kąt \sin\varphi razy mniejszy od kąta pełnego po pełnym obiegu równoleżnika, a więc po dobie. Inaczej mówiąc, okres obrotu płaszczyzny wahań na szerokości geograficznej \varphi wynosi

T\approx\dfrac{24^{h}}{\sin\varphi}.

Rozumowanie to może się wydawać naciągane, ale w istocie chodzi tu o zasadniczy fakt dotyczący powierzchni Ziemi: jest ona zakrzywiona i dlatego po wykonaniu pętli nasza strzałka ma inny kierunek niż na początku, mimo iż cały czas jest przenoszona w taki sposób, aby jej kierunek się nie nie zmienił.

Gdyby ktoś chciał zajrzeć, korzystałem z prac J. von Bergmann, H. C. von Bergmann, Foucault pendulum through basic geometry, „American Journal of Physics”, t. 75(10), (2007), s. 888-892, W.B. Somerville, The Description of Foucault’s Pendulum, „Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society”, t. 13 (1972), s. 40-62. W zasadzie takie samo wyjaśnienie czynnika \sin\varphi jak w drugiej pracy podali już Henryk Silberstein i Rozalia Nusbaumowa w książce Siły przyrody, Warszawa 1894 (można znaleźć w polskich bibliotekach cyfrowych), nie wiem, czy powtarzali za podręcznikiem Amédée Guillemina, czy należy do nich.

Reklamy

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj / Zmień )

Connecting to %s