Problem Keplera: Planety poruszają się po okręgach

Jednym z najważnieszych wątków w historii nauk ścisłych było badanie ruchów planet. Starożytni i Kopernik starali się je przedstawić jako złożenie jednostajnych lub prawie ruchów po okręgach. Doskonała machina kosmosu powinna być swego rodzaju majstersztykiem, czyli działającym dowodem umiejętności Majstra, który ją stworzył. Johannes Kepler włączył do tych rozważań nową, barokową wizję świata i estetykę. W sfery niebieskie wpisane zostały elipsy, a kosmos stał się dynamiczny, dopuszczalne było teraz przyspieszanie i zwalnianie ruchu, geometria pożeniona została z fizyką. Dopiero jednak Isaac Newton podał matematyczne wyjaśnienie fizyki ruchu planet: działa na nie ze strony Słońca siła grawitacji odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Wyjaśnił w ten sposób odkryte przez Keplera prawidłowości za pomocą siły, która w tajemniczy sposób oddziaływała poprzez próżnię. Można powiedzieć, że dalszy rozwój fizyki to dzieje przyzwyczajania się do prawa ciążenia Newtona. Okazało się one niezwykle precyzyjne i płodne, dopiero w 1915 r. Albert Einstein zaproponował lepszą, to znaczy bliższą obserwacjom teorię grawitacji.

Także spora część matematyki po Newtonie dotyczyła mechaniki niebios, czyli rozmaitych ruchów pod wpływem siły ciążenia. Problemem Keplera nazywają matematycy zagadnienie ruchu wokół nieruchomego centrum pod działaniem siły odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu odległości. Jest to zerowe przybliżenie dla Układu Słonecznego: gdy pominiemy siły grawitacji pomiędzy planetami i innymi małymi ciałami tego Układu. Przyspieszenie planety \vec{a} jest równe

\vec{a}=-\dfrac{\vec{r}}{r^3},

gdzie \vec{r} jest zależnym od czasu położeniem i pominęliśmy nieistotne dla matematyka stałe. Oczywiście rozwiązania tego równania są doskonale znane. Jak się jednak okazuje, wciąż można coś nowego na ich temat powiedzieć. Korzystamy tu z pracy Jespera Göranssona z roku 2015, na którą zwrócił uwagę John Baez. Rzecz jest tym bardziej interesująca przez to, że Göransson nie jest chyba akademickim uczonym, lecz amatorem w ściśle etymologicznym znaczeniu słowa, czyli miłośnikiem (nie mylić z amatorszczyzną, którą można spotkać bez trudu i na uczelniach).

Rozwiązaniami problemu Keplera są ruchy po elipsach, parabolach bądź hiperbolach – zależnie od znaku całkowitej energii E (v jest prędkością cząstki):

E=\dfrac{v^2}{2}-\dfrac{1}{r}.

Zajmiemy się poniżej przypadkiem eliptycznym, gdy energia jest ujemna. Zamiast opisywać zależność położenia od czasu t wprowadzimy nową zmienną u, która spełnia równanie

\dfrac{dt}{du}=r.

Wszystkie orbity elipityczne mają u nas okres 2\pi, zarówno gdy używamy czasu t, jak i przy użyciu „czasu” u. Gdy planeta jest bliżej centrum u biegnie szybciej. Możemy ruch planety opisać podając czterowymiarowy wektor (t,\vec{r}). Oznaczmy prędkości mierzone wzgledem nowego czasu primami. Równanie energii przybiera postać

(x')^2+(y')^2+(z')^2+(t'-1)^2=1.

Koniec wektora czterowymiarowej prędkości (t',\vec{r'}) leży na sferze S^3 o środku (1,0,0,0). Narysowaliśmy sferę S^2, pomijając zmienną z'. Okazuje się, że możliwe ruchy naszego punktu są kołami wielkimi w S^3, tzn. kołami o promieniu 1. Koła wielkie są najkrótszymi drogami łączącymi punkty na sferze, z tego powodu wybierają je samoloty na długich trasach – dlatego np. lecąc z Londynu do Seattle, przelatujemy nad Grenlandią. Kiedy się spojrzy na globus, widać, że to ma sens. A więc wszystkie ruchy w problemie Keplera odpowiadają kołom wielkim w przestrzeni prędkości i odbywają się ze stałą jednostkową prędkością. Inaczej mówiąc, „czas” u jest kątem mierzonym ze środka sfery. Narysowaliśmy jedno z takich kół wielkich, nachylone pod kątem \alpha do równika. Gdy kąt \alpha=0, planeta zakreśli okrąg w płaszczyźnie xy. Gdy kąt \alpha=\frac{\pi}{2}, planeta będzie się poruszać wzdłuż osi x, to także jeden z możliwych ruchów: spadanie wprost na centrum. Mówiliśmy o obrotach w płaszczyźnie ty. W czterowymiarowej przestrzeni mamy sześć możliwych płaszczyzn i dowolny obrót czterowymiarowy przeprowadza koło wielkie w jakieś inne koło wielkie. Ruchy planety mają więc symetrię czterowymiarowej grupy obrotów SO(4). Możemy więc powiedzieć, że planeta zawsze porusza się jednostajnie po okręgu na sferze S^3, a elipsy, które obserwujemy, wynikają z rzutowania czterowymiarowej czasoprzestrzeni na przestrzeń trójwymiarową. Wektor prędkości (x',y',z') zakreśla elipsę wynikającą wprost z rzutowania.

Łatwo pokazać, że położenia planety leżą na elipsie o mimośrodzie e związanym z kątem \alpha związkiem

e=\sin\alpha.

Ta elipsa jest przesunięta o e tak, że początek układu (centrum siły, Słońce) jest w jej ognisku.

„Nowy czas” u jest w istocie znaną od czasów Keplera anomalią mimośrodową.

Jest to szczególna konstrukcja: gdy planeta P zakreśla elipsę, to punkt P', jej swoisty cień, zakreśla okrąg jednostkowy. Kąt u związany jest z fizycznym czasem t równaniem Keplera:

t=u-e\sin u.

Odległość planety od Słońca dana jest prostym równaniem oscylacyjnym:

r=1-e\cos u.

Fakt ten odkrył kiedyś Kepler podczas swej „wojny z Marsem”. Göransson pokazał też analogiczne konstrukcje dla energii dodatniej i zerowej. W pierwszym przypadku ruch odbywa się po hiperboloidzie z metryką Minkowskiego (grupą symetrii jest grupa Lorentza), w drugim po paraboloidzie (grupą symetrii są izometrie euklidesowe).