Od zasady najdłuższego czasu do równań Maxwella (I)

Uczeni tacy, jak Albert Einstein, wywierają wpływ znacznie większy, niż by to wynikało z ich konkretnych osiągnięć. Jest to przypadek gdy całość (wkład do nauki) jest znacznie większa niż suma oddzielnych części (tzn. poszczególnych prac). Jednym ze skutków pracy Einsteina nad teorią względności stało się podkreślanie roli rozmaitych symetrii. Dziś właśnie od symetrii zaczyna się najczęściej formułowanie teorii. Praw fizyki oczywiście nie można wyprowadzić, mają one charakter postulatów. Można jednak pokazać często, dlaczego są one takie a nie inne. Kto zna wyrażenie na siłę w polu elektromagnetycznym oraz równania Maxwella, ten zastanawiał się może, dlaczego wyglądają one właśnie tak. Okazuje się, że jeśli żądamy, aby nasza teoria była relatywistyczna, to nie mamy zbyt wiele wyboru. Symetria w znacznym stopniu narzuca postać równań elektromagnetyzmu.

Zanim przejdziemy do przypadków bardziej skomplikowanych, rozważmy ruch cząstki w mechanice Newtona. Można opisać go, podając postać lagranżianu i korzystając następnie z zasady najmniejszego działania. Jaką postać powinien mieć lagranżian dla cząstki swobodnej, która z niczym nie oddziałuje? Lagranżian jest funkcją położenia i prędkości, czyli ogólnie biorąc, musi mieć postać

{\cal L}={\cal L}(x, y, z, v_x, v_y, v_z).

Działanie S możemy obliczyć dla każdego ruchu cząstki miedzy dwoma punktami. Uczenie mówiąc, działanie jest funkcjonałem (czyli funkcją funkcji) ruchu. Jeśli wybierzemy określoną krzywą i sposób jej przebiegania (kiedy wolniej, kiedy szybciej itd.), to działanie jest określone i dane całką:

{\displaystyle S=\int_{t_1}^{t_2}{\cal L}\, dt.}

W przypadku cząstki swobodnej lagranżian nie powinien zależeć od jej położenia, bo przestrzeń jest wszędzie taka sama. Nie powinien też zależeć od czasu, bo powtórzenie jutro takiego ruchu jak dziś powinno niczego nie zmieniać z fizycznego punktu widzenia. Także obrót układu współrzędnych nie powinien nic zmieniać, bo cząstka porusza się tak, jak się porusza, a nasz układ współrzędnych jest naszą sprawą i nie powinien wpływać na fizyczny ruch. Wynika z tego, że lagranżianem powinien być funkcją kwadratu prędkości v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2, ponieważ jest to wielkość, która się nie zmienia przy obrotach układu współrzędnych. Najprostszym takim lagranżianem będzie

{\cal L}=\dfrac{mv^2}{2}.

Wielkość m/2 to pewna stała, tutaj właściwie dowolna, wybraliśmy jej oznaczenie tak, aby zgadzało się z definicją masy. Zasada najmniejszego działania sprowadzi się w tym przypadku do stałości pędu: tak powinno być, skoro lagranżian nie zależy od położenia.

Zastanówmy się teraz, jak powinien wyglądać lagranżian swobodnej cząstki w szczególnej teorii względności. Kto czytał o Hermannie Minkowskim i czasoprzestrzeni, ten łatwo zgadnie, że tym razem lagranżian powinien być związany z interwałem czasoprzestrzennym. Dla dwóch bliskich zdarzeń wzdłuż ruchu cząstki interwał przyjmie następującą postać:

c^2\Delta \tau^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2.

Interwał czasoprzestrzenny jest odstępem czasu, jaki zmierzyłby zegar poruszający się z cząstką, inaczej mówiąc, jest odstępem czasu własnego. Nie zmienia się on przy obrotach układu współrzędnych oraz przy transformacjach Lorentza. Jak widzieliśmy poprzednio przy okazji paradoksu bliźniąt, najdłuższy czas odpowiada ruchowi prostoliniowemu. Zatem dla naszej cząstki działanie postaci

\boxed{{\displaystyle S=-mc^2\int_{\tau_1}^{\tau_2}\, d\tau,}}

ma wbudowane prawidłowe związki przestrzeni i czasu zachodzące w teorii względności (czyli w naszym świecie). Zasada najmniejszego działania stała się teraz zasadą najdłuższego czasu własnego (kto siedzi w miejscu, starzeje się najszybciej, spoczynek i ruch jednostajny prostoliniowy są teraz równoważne). Stałą wybraliśmy tak, żeby całość miała prawidłowy wymiar (działanie to energia razy czas). Cząstka swobodna powinna mieć stały pęd. Analogicznie jak w mechanice Newtona, możemy zapisać działanie za pomocą lagranżianu:

{\displaystyle S=-mc^2\int_{t_1}^{t_2}\, \sqrt{1-v^2/c^2}dt.}

Łatwo się przekonać, że składowe pędu są teraz równe

p_i=\dfrac{\partial {\cal L}}{\partial v_i}=\dfrac{mv_i}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}},

gdzie wskaźniki i=1,2,3 numerują trzy osie współrzędnych kartezjańskich. Możemy też pokazać, że nasza teoria cząstki swobodnej sprowadza się do Newtonowskiej, gdy prędkość jest znacznie mniejsza od prędkości światła. Zastępując pierwiastek kwadratowy jego przybliżoną wartością, otrzymujemy

{\cal L}\approx -mc^2 \left(1-\dfrac{v^2}{2c^2}\right)=-mc^2+\dfrac{mv^2}{2},

pierwsza wielkość po prawej stronie jest stała, więc nie odgrywa roli przy szukaniu minimum, druga to dokładnie Newtonowska energia kinetyczna albo jak kto woli lagranżian cząstki swobodnej.

„So far, so good” – jak powiedział kiedyś John von Neumann, w środku wykładu o teorii komputerów w Princeton. Solomon Lefschetz, który słuchał tego wystąpienia, dodał głośno: „And so trivial”. Jak dotąd mamy świetną teorię cząstki swobodnej, prawdziwa fizyka zaczyna się jednak wtedy, gdy mamy oddziaływania. Następnym krokiem jest cząstka w polu zewnętrznym. Potem należałoby zapisać jeszcze ogólniejsze działanie dla układu cząstek i pól w czasoprzestrzeni. Można wówczas otrzymać równania ruchu cząstek w zadanym polu oraz równania pola wynikające z ruchu cząstek.

Najpierw więc pole zewnętrzne. W mechanice Newtonowskiej należy od lagranżianu cząstki swobodnej odjąć energię potencjalną:

{\displaystyle S=\int_{t_1}^{t_2}\left(\dfrac{mv^2}{2}-e\varphi(x,y,z,t) \right)\, dt.}

Zapisaliśmy energię potencjalną w postaci pewnej stałej e („ładunku”) razy wartość pola. Gdybyśmy powtórzyli ten sam zabieg w przypadku relatywistycznym, nasze działanie przestałoby być niezależne od układu współrzędnych, ponieważ teraz czas nie płynie już tak samo dla wszystkich. Potrzebujemy wyrażenia, które nie będzie się zmieniać nie tylko przy obrotach, ale także przy transformacjach Lorentza. Znamy jedno takie wyrażenie: c^2 t^2-x^2-y^2-z^2. Można je potraktować jako coś w rodzaju kwadratu długości czterowymiarowego wektora o składowych

x^{\mu}=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z),

gdzie \mu=0,1,2,3. Jest to prototypowy czterowektor, uogólnienie wektora na czasoprzestrzeń. Wygodnie jest wprowadzić jeszcze drugi zestaw współrzędnych czterowektora, pisany z indeksem na dole:

x_{\mu}=(ct,-x,-y,-z).

Można za ich pomocą zapisać interwał czasoprzestrzenny w prostszej postaci jako następujące wyrażenie:

x_{0}x^{0}+x_1x^1+x_2x^2+x_3x^3\equiv x_{\mu}x^{\mu},

ten sam wskaźnik powtarzający się dwa razy oznacza sumowanie. Jest to tzw. konwencja sumacyjna Einsteina, on sam żartował, że to jego największe odkrycie matematyczne. Z pewnością upraszcza to zapis. Oczywiście, istnieją także inne czterowektory. Możemy np. podzielić przyrosty czterech zmiennych wzdłuż linii świata cząstki \Delta x^{\mu} przez odstęp czasu własnego (który się nie zmienia przy zmianie układu współrzędnych):

p^{\mu}=mu^{\mu}\equiv m\dfrac{dx^{\mu}}{d\tau}.

Musi to być także czterowektor. Jego składowe są równe:

p^{\mu}=\left(\dfrac{mc}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}, \dfrac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\right)=\left(\dfrac{E}{c},\vec{p}\right).

Jest to czterowektor pędu-energii. Jego kwadrat równa się

p_{\mu}p^{\mu}=\dfrac{E^2}{c^2}-\vec{p}^2=m^2c^2.

Kwadrat ten jest w każdym układzie współrzędnych taki sam. Najprostszym dodatkiem do działania dla cząstki swobodnej będzie następujące wyrażenie:

\boxed{\displaystyle{S_{int}=-e\int A_{\mu}u^{\mu} d\tau.}}

Zamiast potencjału całkowanego po czasie mamy tu cztery składowe pewnego pola A_{\mu} mnożone przez odpowiednie prędkości uogólnione u^{\mu}. Jest to uogólnienie iloczynu skalarnego na przypadek czterowymiarowy: wyrażenie podcałkowe jest skalarem, czyli nie zmienia się przy zmianie układu współrzędnych. Wariacja tego działania bierze się stąd, że inny ruch cząstki napotyka po drodze inne wartości pola A_{\mu} oraz stąd, że zmienia się prędkość:

{\displaystyle \delta S_{int}=-e\int \delta A_{\mu} \dfrac{dx^{\mu}}{d\tau}d\tau-e\int A_{\mu}\delta\left(\dfrac{dx^{\mu}}{d\tau}\right)d\tau.}

Po przekształceniach dostaniemy dla całości działania

{\displaystyle \delta S=\int\left(\dfrac{dp_{\mu}}{d\tau}-eF_{\mu \nu}\dfrac{dx^{\nu}}{d\tau}\right)\delta x^{\mu}d\tau,}

gdzie wprowadziliśmy oznaczenie:

F_{\mu\nu}\equiv \dfrac{\partial A_{\nu}}{\partial x^{\mu}}-\dfrac{\partial A_{\mu}}{\partial x^{\nu}}.

Ponieważ wariacja jest dowolna, więc znikać muszą wyrażenia w nawiasie, otrzymujemy w ten sposób następujący układ równań:

\boxed{\dfrac{dp_{\mu}}{d\tau}=eF_{\mu\nu}u^{\nu}.}

Ci, którzy uczyli się o potencjale skalarnym i wektorowym w elektrodynamice, zauważą, że sześć wielkości F_{\mu\nu} powinno mieć coś wspólnego z natężeniami pól elektromagnetycznych. Przyporządkowanie wygląda następująco:

F_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c\\-E_x/c & 0 & -B_z & B_y\\  -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_x/c & -B_y & B_x & 0\end{pmatrix}.

Można pokazać, że równania te są równoważne wyrażeniu na siłę Lorentza:

\dfrac{d\vec{p}}{dt}=e(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}).

Podsumowując: startując z zasady najmniejszego działania w wersji relatywistycznej, jako najprostsze możliwe pole zewnętrzne otrzymujemy sześcioskładnikowe pole elektromagnetyczne, które działa na cząstkę siłą Lorentza. Teoria względności prowadzi, można powiedzieć, niemal nieuchronnie do pól elektrycznych i magnetycznych. W drugiej części zobaczymy jeszcze, jak wyglądają równania dla sześciu składowych pola, czyli równania Maxwella.

 

 

Reklamy

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Connecting to %s