Elementy – Euklides (ok. 300 p.npe.)

Myślimy często o starożytnej Grecji jako o cywilizacji, która dała nam filozofię, teatr, poezję, historię, sztukę, logikę, demokrację. Mniej dostrzegane są początki nauk ścisłych, które, wbrew wszelkiemu prawdopodobieństwu, osiągnęły u Greków niezwykle wysoki poziom. Dwa najważniejsze dzieła, Elementy i Almagestpowstały w Aleksandrii, pierwsze na początku świetności miasta, drugie już pod jej koniec. Oddzielone od siebie ponad czterema wiekami, skondensowały w sobie to, co najlepsze w starożytnym dorobku. A bez greckiej geometrii i astronomii nie do pomyślenia byłaby późniejsza nauka islamska, a także praca Mikołaja Kopernika i jego następców prowadząca do rewolucji naukowej XVII wieku.

Tekst Elementów, podzielony na trzynaście ksiąg, obejmuje w sposób systematyczny najważniejsze osiągnięcia matematyki greckiej przed Archimedesem. Napisane około roku 300 p.n.e. dzieło było przez wieki kopiowane zarówno w greckim oryginale, jak i w przekładach na hebrajski, arabski i łacinę, a od 1482 roku zaczęło ukazywać się drukiem w niezliczonych wydaniach książkowych, które liczbą ustępują tylko wydaniom Biblii. Aż do początku XIX wieku znano tekst Euklidesa jedynie w redakcji Teona z Aleksandrii, uczonego z IV w.n.e., ojca Hypatii. W 1808 r. François Peyrard, pierwszy bibliotekarz École Polytechnique w Paryżu, odkrył, iż rękopis Elementów zrabowany z Watykanu przez Napoleona (Vaticanus graecus 190, zwany też P) jest wcześniejszą wersją dzieła. Stała się ona później podstawą definitywnego wydania opracowanego przez duńskiego filologa Johana Ludviga Heiberga.

[Vaticanus graecus 190]

Dzieło Euklidesa nie było pierwszym noszącym ten tytuł, szybko stało się jednak klasyczne, czego pośrednim dowodem jest fakt, że nie zachowały się niemal żadne wcześniejsze teksty matematyczne – w czasach gdy kopiowanie książek było kosztowne i pracochłonne, następowała swoista selekcja naturalna rękopisów, w której te bardziej przydatne wypierały mniej użyteczne. Elementy są najwcześniejszym zachowanym greckim traktatem poświęconym matematyce, ponieważ stanowią one podręcznik, z którego można nauczyć się podstaw matematyki. Stosowane były w tej funkcji nie tylko w starożytności, ale i w czasach późniejszych aż po dziewiętnasty wiek.

Zadziwiająco mało wiemy o autorze tekstu, nawet jego istnienie podawano w wątpliwość, argumentując, że dzieło jest niejednorodne i różne jego księgi wykazują rozmaity stopień dojrzałości. Na ogół sądzi się jednak, że Euklides działał i prawdopodobnie także urodził się w Aleksandrii, mieście niedługo wcześniej założonym przez Aleksandra Wielkiego i przez długie wieki stanowiącym ośrodek nauki i kultury greckiej. Według Proklosa, neoplatończyka z V w.n.e., Euklides żył za panowania Ptolemeusza I i był młodszy niż krąg uczniów Platona, a starszy od Archimedesa i Eratostenesa. Miał być platonikiem i z tego powodu dzieło jego kulminowało konstrukcją i omówieniem pięciu brył platońskich, znanych z Timajosa. Euklidesa nie uważano nigdy za oryginalnego twórcę, sądzono, że zebrał on i usystematyzował osiągniecia poprzedników, w szczególności Eudoksosa i Teajteta. Elementy nie są jednak prostą kompilacją znanego już materiału, lecz próbą zbudowania dedukcyjnego systemu wiedzy matematycznej. Możliwe, że tak jak i w późniejszej historii matematyki, po okresach szybkich postępów następowały okresy systematyzacji i porządkowania wiedzy i Elementy są świadectwem takiego dążenia. Choć odkrycia późniejszych matematyków, takich jak Archimedes, Apoloniusz i Pappus, znacznie wykroczyły poza problematykę Elementów, dzieło to pozostało najszerzej używanym podręcznikiem w historii. Jego znaczenie nie ogranicza się do matematyki: dedukcyjny system wiedzy stał się ideałem wielu późniejszych filozofów i uczonych. W naukach ścisłych aż do dziś uważa się możliwość ustrukturyzowania wykładu na wzór greckiej geometrii za ważny sprawdzian dojrzałości danej dyscypliny. Wprowadzając postulaty, z których następnie wyprowadzamy twierdzenia, osiągamy pojęciową jasność i większą przejrzystość konstrukcji myślowych, musimy bowiem uświadomić sobie jasno przyjęte założenia.

Pamiętać też należy, iż grecka geometria nie była traktowana jako abstrakcyjna gra logiczna, lecz jako teoria wywodząca się z obserwacji dotyczących ciał w przestrzeni, stanowiła więc i nadal stanowi (wraz z nieeklidesowymi rozszerzeniami) podstawę fizyki. Można więc traktować ją jako pierwszą matematyczną teorię fizyczną. Kiedy niedługo później Archimedes w podobny sposób ujmował zasady równowagi ciał, rozszerzał niejako geometrię, tworząc zarazem pierwszą fizykę matematyczną.

Poniżej skoncentrujemy się na przedstawieniu metody postępowania Euklidesa, ograniczając się do tego, co było znane i czytane najszerzej i nie ograniczało się tylko do samej matematyki. Aksjomatyczna konstrukcja wiedzy jest osiągnięciem greckim nie mniejszym niż demokratyczne rządy albo rzeźba. Dzięki Euklidesowi nigdy już nie stracono z oczu, przynajmniej w kręgu śródziemnomorskim, owej metody uzyskiwania zdań niezbitych i pewnych. Jeśli prawdą jest, że (jak ujął to Alfred North Whitehead) filozofia europejska stanowi ciąg przypisów do Platona, to z niemniejszą dozą słuszności powiedzieć można, że nauki ścisłe – fizyka w nie mniejszym stopniu niż matematyka – stanowią rozbudowany komentarz do Elementów Euklidesa.

Każda z ksiąg (albo grup ksiąg) poprzedzona jest definicjami. Księga pierwsza zaczyna się od wymienienia pięciu postulatów geometrii oraz pięciu ogólniejszych prawidłowości odnoszących się do tego, co Euklides nazywa wielkościami – może tu chodzić (jak czytelnik dowiaduje się przy okazji kolejnych twierdzeń) o długość odcinka, wielkość kąta, pole powierzchni czy objętość pewnych brył. Następnie z owych dziesięciu założeń wyprowadzane są kolejne twierdzenia oraz konstrukcje. Księgi I-IV oraz VI, XI-XIII poświęcone są geometrii, sięga V zawiera wykład teorii proporcji Eudoksosa (odgrywały one w matematyce greckiej rolę dzisiejszych liczb rzeczywistych), księgi VII-IX dotyczą arytmetyki, w księdze X dyskutowane są rozmaite rodzaje liczb niewymiernych, zawsze jednak traktowanych jako proporcje długości pewnych odcinków. Ostatnia księga XIII kończy się twierdzeniem, że istnieje dokładnie pięć brył platońskich (sześcian oraz foremne: czworościan, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan).

Podejście Euklidesa niewątpliwie wiele zawdzięcza istniejącej już tradycji matematycznej, a także platońskiemu rozróżnieniu między przedmiotami postrzeganymi przez zmysły a bytami idealnymi: korzystając z rysunków, traktuje je tylko jako pomoc w wyobrażeniu sobie, jak mają się do siebie idealne figury geometryczne. Koncepcję uporządkowania wiedzy, zaczynając od założeń, których prawdziwość przyjmuje się bez dowodu, znaleźć można u Arystotelesa, nie wiadomo jednak, czy występuje tu jakaś bezpośrednia zależność, czy tylko wspólna tradycja filozoficzna. Geometria stała się pierwszą wyspecjalizowaną dziedziną wiedzy, uprawianą nie ze względów praktycznych, lecz dla niej samej. Wysokie mniemanie o pedagogicznych wartościach geometrii żywił Platon, sądząc, że kieruje ona uwagę ku temu, co wieczne i niezmienne. Stobajos przytacza następującą anegdotę:

Ktoś zaczął się uczyć u Euklidesa i kiedy poznał pierwsze twierdzenie, spytał:
– Co mi przyjdzie z tego, żem się tego nauczył?

Na to Euklides zawołał niewolnika i powiedział:

– Daj mu trzy obole, jeśli musi mieć zysk z tego, czego się uczy.

Omówimy bliżej główne linie rozumowania księgi I Elementów. Tekst poprzedzają 23 definicje, np. „Punkt jest tym, co nie ma żadnych części”, „Linia zaś jest długością bez szerokości”, „Równoległe są proste, które będąc na tej samej płaszczyźnie rozciągają się bez kresu w obie strony, ale w żadnej części się nie przetną” (przeł. M. Roszkowski). Linia prosta u Euklidesa jest zawsze skończona, tzn. jest odcinkiem wedle dzisiejszej terminologii. Dzisiejsi matematycy nie definiują wszystkich pojęć danej teorii, część z nich muszą bowiem stanowić pojęcia pierwotne, które przyjmuje się bez definicji, a ich sens ujawnia się dopiero, gdy badamy, w jaki sposób pojęcia występują one w aksjomatach i twierdzeniach.

Pięć postulatów głosi kolejno, że

1. Z każdego punktu do każdego innego można poprowadzić prostą (odcinek).
2. Odcinek można (obustronnie) przedłużać.
3. Z dowolnego środka można zakreślić okrąg przechodzący przez dany punkt.
4. Wszystkie kąty proste są wzajemnie równe.
5. Jeśli prosta przecina dwie inne proste, tworząca dwa kąty wewnętrzne mniejsze (w sumie) od dwóch kątów prostych, to można owe dwie proste przedłużyć tak, aby się przecięły.

Kąt prosty zdefiniowany jest tak, jak to widać na rysunku: gdy oba kąty utworzone przez półprostą o początku leżącym na danej prostej są równe, to kąty są kątami prostymi. Postulat 4 głosi, że dowolne kąty proste są równe, co znaczy tyle, że są przystające – mogą być na siebie nałożone tak, aby ich wierzchołki oraz ramiona się pokrywały (Euklides nie mówi tego wprost).

Pięć aksjomatów ogólnych stwierdza (w redakcji M. Kordosa):
1. Dwie wielkości równe trzeciej są równe.
2. Dodając do równych równe, dostajemy równe.
3. Odejmując od równych równe, dostajemy równe.
4. Wielkości dające się zamienić są równe.
5. Część jest mniejsza od całości.

Aksjomaty te stosowane są do porównania długości, kątów, figur, jak np. trójkąty. Mniejszy oznacza np. w przypadku odcinków, że po ich nałożeniu zostaje jeszcze jakaś niepokryta część większego (całości). Euklides nie posługuje się żadnymi miarami, porównuje tylko wielkości między sobą. Dlatego np. trójkąty są równe, gdy są przystające (można je na siebie nałożyć), ale także, gdy mają np. wspólną podstawę oraz jednakowe wysokości – dziś powiedzielibyśmy, że ich pola powierzchni są równe. Euklides nie myślał o długości jako liczbie, ani o polu prostokąta jako iloczynie długości boków, porównywał co najwyżej między sobą dwie wielkości.

Cały wykład podzielony jest na zagadnienia, które mogą być albo rozwiązaniem problemu konstrukcyjnego, albo twierdzeniem. W księdze I znajduje się 48 zagadnień, twierdzenie I,47 to twierdzenie dziś nazywane tw. Pitagorasa, I,48 to twierdzenie do niego odwrotne. Przyjrzyjmy się postępowaniu Euklidesa. Stosujemy dla przejrzystości nieco uwspółcześnioną terminologię, sformułowania nasze nie są wprawdzie dosłownym przekładem oryginału, ale też i nie odbiegają od niego zbyt daleko.

I,1 Mając dany odcinek AB, skonstruować na nim trójkąt równoboczny.

Konstrukcja sprowadza się do zakreślenia dwóch okręgów (Post. 3), które wyznaczą punkty przecięcia (co jednak nie wynika z aksjomatów Euklidesa, choć jest prawdą). Mając punkt przecięcia C, budujemy dwa odcinki AB oraz BC (Post. 1). Odcinki te są równe, ponieważ równe są odcinkowi AB (Aksj. 1). Trójkąt jest więc równoboczny. Warto zwrócić uwagę na eliminowanie kroków „oczywistych” i zastępowanie ich odwołaniami do postulatów i aksjomatów – w tym leży matematyczna siła Euklidesa, choć w oczach mniej matematycznie nastawionego czytelnika wywołuje to wrażenie (może nadmiernej) pedanterii.

I,2 Mając dany odcinek BC oraz punkt A nie leżący na nim, skonstruować odcinek AE=BC.

Łączymy w tym celu punkty AB (Post. 1) i budujemy trójkąt równoboczny za pomocą I,1. Promieniem BC zakreślamy okrąg o środku B (Post. 3). Przedłużamy następnie odcinek BD (Post. 2) do przecięcia z tym okręgiem H. Następnie promieniem HD zakreślamy okrąg o środku D. Przedłużenie AD (Post. 2) przetnie się z tym okręgiem w punkcie E. Odcinek AE (Post. 1) jest szukanym odcinkiem równym BC. Z aksjomatów ogólnych łatwo wnioskujemy, że odcinki te są równe, tzn. równe są ich długości (promień większego okręgu na rysunku to suma AB i boku trójkąta, odejmując potem bok trójkąta, otrzymujemy naszą tezę).
Warto zauważyć, że konstrukcje Euklidesa wykonywane są za pomocą linijki bez żadnej skali oraz cyrkla, który także nie pozwala przenosić odległości, lecz tylko poprwadzić okrąg z danego środka przez dany punkt (po przeniesieniu cyrkiel „nie pamięta” swego rozwarcia). Dzięki I,2 możemy uwolnić się od tego ograniczenia i odtwarzać odległość dwóch punktów w innym miejscu.

I,4 Dwa trójkąty, których dwa boki oraz zawarty między nimi kąt są równe, są przystające (równe).

Jest to cecha przystawania trójkątów bok-kąt-bok (bkb). Euklides dowodzi tego twierdzenia, nakładając na siebie oba trójkąty. Nie jest to postępowanie oczywiste, jeśli nie uważamy naszych figur za sztywne obiekty, które można przemieszczać bez zmiany kształtu i długości. David Hilbert przyjął w XIX w. to twierdzenie za jeden z aksjomatów w swoim wykładzie geometrii euklidesowej.

I,5 W trójkącie równoramiennym ABC, w którym AB=BC, kąty wewnętrzne przy podstawie są równe.

Przedłużamy ramiona trójkąta o jednakowe odcinki BF=CG. Trójkąty ABG i ACF są przystające na mocy poprzedniego twierdzenia, zatem także kąty ABG oraz ACF są równe. Trójkąty BFC i CGB są przystające na mocy tego samego twierdzenia (kąty BFC i BGC są równe, gdyż oba trójkąty pierwszej pary są przystające). Kąty ABC i BCA można przedstawić jako różnicę odpowiednio równych kątów (np. \sphericalangle ABC=\sphericalangle ABG-\sphericalangle CBG), muszą zatem być równe.
Twierdzenie to zyskało w średniowieczu nazwę Pons asinorum („ośli most”), nie wiadomo, czy z powodu kształtu towarzyszącego mu rysunku, czy też dlatego, że w tym miejscu ujawniał się już podział na tych, którzy rozumieją geometrię i na tych, którzy jej nie rozumieją. Pappus przedstawił prostszy dowód, w którym I,4 stosujemy do trójkątów BAC i CAB: ich boki są parami równe, a kąt przy wierzchołku jest tym samym kątem BAC, zatem oba trójkąty są przystające i kąty przy podstawie są równe. Euklides mógł mieć opory przeciwko takiemu potraktowaniu jednego trójkąta jako dwóch.

I,6 Jeśli kąty przy podstawie trójkąta są równe, to trójkąt jest równoramienny.

Euklides dowodzi tego twierdzenia przez sprowadzenie do niedorzeczności (reductio ad absurdum). Zakładamy, że teza twierdzenia jest fałszywa, a następnie staramy się wykazać, że wynika stąd zaprzeczenie założeń twierdzenia. Jeśli AB\neq AC, to któryś z odcinków jest większy, tzn. ma większą długość. Załóżmy, że AB>AC. Możemy wówczas na odcinku AB odłożyć odcinek AD=AC. Kąt DCB jest zatem mniejszy od kąta ACB. Jednocześnie trójkąt DBC jest równoboczny, a więc kąty DCB i DBC są równe na mocy poprzedniego twierdzenia. Kąt DBC jest tym samym, co kąt ABC, ergo ABC jest mniejszy od ACB wbrew założeniu.

I,9 Skonstruować dwusieczną danego kąta.

Na ramionach kąta odkładamy równe odcinki AD i AE. Następnie na odcinku AD konstruujemy trójkąt równoboczny. Jego trzeci wierzchołek wraz z wierzchołkiem kąta wyznaczają szukaną dwusieczną, co można łatwo udowodnić: kąty ADE i AED są równe jako kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego. W takim razie także kąty ADF i AEF są równe i oba trójkąty ADF i AEF są przystające. Wobec tego kąty DAF i FAE są równe c.n.d.

I,11 Skonstruować prostopadłą do danej prostej w punkcie D.

Wyznaczamy na prostej dwa punkty A i B w równych odległościach od D: AD=DB. Następnie na odcinku AB konstruujemy trójkąt równoboczny. Jego trzeci wierzchołek C wraz z punktem D wyznaczają szukaną prostopadłą. Aby to udowodnić, zauważamy, że trójkąty ADC i BDC są przystające, a zatem kąty CDA i CDB są równe – spełniona jest więc definicja kąta prostego i oba te kąt są równe kątowi prostemu. Tym samym DC jest prostopadła do prostej AB.

I,20 (Nierówność trójkąta) Dwa boki trójkąta razem są dłuższe od trzeciego boku.

Niech będzie dany trójkąt CAB, chcemy dowieść, że odcinki AC wraz z CB są większe od AB. W tym celu na przedłużeniu AC odkładamy odcinek CD=CB. Kąt ABD jest większy od kąta CBD. Ten ostatni równy jest kątowi CDB, czyli ADB. W trójkącie ABD naprzeciwko większego kąta leży większy bok (I, 19; nie przytaczamy dowodu), a zatem AD=AC+CB>AB (stosując współczesny zapis).
Z twierdzenia tego wynika, że długość łamanej łączącej dwa punkty jest zawsze większa niż długość odcinka łączącego te punkty. W konsekwencji, jeśli połączymy oba punkty jakąś krzywą gładką, ale taką że zarówno samą krzywą, jak i jej długość można dowolnie przybliżać za pomocą łamanych, to długość łuku krzywej nie może być mniejsza niż długość odcinka łączącego dane punkty. Inaczej mówiąc, odcinek jest krzywą o najmniejszej długości (przy ustalonych obu końcach). Euklides nie dowodzi takiego twierdzenia, ale było ono znane greckim geometrom.
Dopiero blisko połowy księgi I staje się potrzebny Postulat 5.

I,29 Jeśli prosta EF przecina parę prostych równoległych AB i CD, to kąty naprzemianległe wewnętrzne są równe.

Wykażemy, że kąt AGF równy jest kątowi EHD. Załóżmy, że oba te kąty nie są równe. Niech np. AGF będzie większy od EHD. Ponieważ kąty AGF i BGF dopełniają się do dwóch kątów prostych (I,14; nie przytaczamy dowodu), więc suma kątów BGF i EHD jest mniejsza od dwóch kątów prostych. Z Post. 5 wynika, że proste AB i CD (po ewentualnym przedłużeniu) przetną się, nie są zatem – wbrew założeniu – prostymi równoległymi.
Postulat 5 sformułowany został tak, aby wygodnie się nim było posługiwać do wykazania, że dwie proste nie są równoległe. Nie wydawał się on tak oczywisty jak pozostałe i wzbudzał zawsze rozmaite wątpliwości. Jest on równoważny innemu postulatowi sformułowanemu przez Playfaira: Przez punkt nie leżący na danej prostej można przeprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do danej. Postulat 5 jest także równoważny twierdzeniu o sumie kątów wewnętrznych trójkąta.

I,32 Suma kątów wewnętrznych trójkąta równa jest dwóm kątom prostym.

Wystarczy zauważyć równość zaznaczonych kątów na rysunku (linia przerywana jest równoległa do boku trójkąta).

I,47 (Tw. Pitagorasa) W trójkącie prostokątnym suma kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa kwadratowi zbudowanemu na przeciwprostokątnej.

Zwróćmy uwagę na sformułowanie: należy najpierw skonstruować kwadraty, o których mowa w twierdzeniu, a następnie wykazać, że suma (pól) dwóch mniejszych kwadratów jest równa polu kwadratu największego. Wysokość trójkąta opuszczona z kąta prostego po przedłużeniu dzieli kwadrat na dwa prostokąty. Euklides wykazuje, że dla trójkąta ABΓ oba pola zaznaczone na zielono oraz oba pola zaznaczone na niebiesko są równe.

Dowód Euklidesa korzysta z konstrukcji I,46 kwadratu na danym odcinku oraz linii równoległej do BΔ i ΓE przechodzącej przez dany punkt A (I,31). Wykazuje następnie, że AH jest przedłużeniem AΓ oraz AΘ jest przedłużeniem AB (I,14). Trójkąty ABΔ oraz ZBΓ są przystające na mocy twierdzenia I,4 (bkb). Prostokąt BΛ o podstawie BΔ ma tę samą wysokość co trójkąt ABΔ o tej samej podstawie. Na mocy I,41 prostokąt jest dwa razy większy od trójkąta (to wynik równoważny wzorowi na pole trójkąta, gdy określimy pole prostokąta). Kwadrat BH jest z tego samego powodu dwa razy większy od trójkąta ZBΓ o podstawie ZB. W analogiczny sposób pokazać można, że oba pola zaznaczone na niebiesko są równe, co kończy dowód.

W księdze VI Euklides przytacza inny dowód tw. Pitagorasa, oparty na podobieństwie mniejszych trójkątów na rysunku i trójkąta wyjściowego. Ten drugi dowód znany był prawdopodobnie wcześniej, dowód I,47, pochodzący zapewne od samego Euklidesa, jest bardziej zadowalający matematycznie, gdyż używa mniejszej liczby założeń: w księdze I daleko jeszcze jesteśmy od tak subtelnych konstrukcji jak figury podobne.
Ostatnie twierdzenie tej księgi I,48 jest odwrotne do tw. Pitagorasa: Jeśli spełniony jest warunek pól dla kwadratów zbudowanych na bokach trójkąta, to trójkąt ów jest prostokątny.

Elementy są podręcznikiem i były nim już w chwili powstania. Ścisłość rozumowań Euklidesa stała się wzorem dla przyszłych matematyków. Wybitny matematyk XX wieku André Weil pisał: „ [Elementy] Euklidesa to pierwszy zachowany tekst matematyczny, w którym pojęcie dowodu utożsamione zostało z łańcuchem wnioskowań pozbawionym luk; nie bez powodu ten sposób widzenia przedmiotu zachował swą aktualność do dziś”.

Nie sposób oczywiście przedstawić nawet pobieżnie wpływu książki czytanej w ciągu dwudziestu kilku wieków przez tysiące ludzi: wybitnych matematyków, jak i myślicieli czy po prostu uważnych czytelników mniej lub bardziej oddalonych od nauk ścisłych.

Greckie manuskrypty Elementów przechowywane były w Bizancjum. Od nich pochodziły przekłady arabskie, które z kolei dały początek rozpowszechnianiu się tekstu zarówno na Wschód (języki hebrajski, syryjski, perski), jak i na Zachód (łacina). W europejskim średniowieczu przekładano Euklidesa z arabskiego na łacinę wielokrotnie w wieku dwunastym i później. Już sama międzynarodowa lista tłumaczy daje pojęcie o zainteresowaniu Elementami: Adelard z Bath, Hermann z Karyntii, Gerard z Cremony, Robert z Chester, Campanus z Novary. Przekład tego ostatniego stał się podstawą pierwszego drukowanego wydania Elementów w Wenecji w roku 1482. W XVI wieku udało się też dotrzeć do tekstu greckiego (w wersji Teona). Od tamtej pory ukazały się niezliczone wydania oraz przekłady na języki narodowe (brak nadal kompletnego przekładu polskiego, choć już w 1808 Józef Czech, dyrektor Liceum Krzemienieckiego, przełożył osiem ksiąg, opierając się na angielskiej wersji Roberta Simonsa).

Twierdzenie Pitagorasa w weneckim wydaniu z 1482 r. (numeracja twierdzenia lekko w nim szwankowała)

Geometria oraz arytmetyka miały w średniowieczu mocną pozycję jako sztuki wyzwolone wchodzące w skład quadrivium („czterodroże”) wraz z astronomią i muzyką (która obejmowała głównie teoretyczną naukę o proporcjach dźwięków w różnych skalach). Także i później podstawy geometrii stanowiły nieodzowny element wykształcenia, Elementów długo jeszcze używano jako podręcznika. Bertrand Russell, logik i filozof, wspomina: „W wieku jedenastu lat zacząłem Euklidesa z moim bratem w roli tutora. Było to w moim życiu wielkie wydarzenie, równie olśniewające co pierwsza miłość. Wcześniej nie wyobrażałem sobie nawet, że istnieje na świecie coś tak zachwycającego. Kiedy przeszedłem Zagadnienie 5 (Pons asinorum), brat powiedział mi, że powszechnie uchodzi ono za trudne, ja jednak nie napotkałem w nim żadnych trudności. To wtedy po raz pierwszy zaświtało w mej głowie, że może obdarzony zostałem jakąś inteligencją”. Kilka lat młodszy Albert Einstein nie uczył się wprawdzie z Elementów, lecz z podręcznika będącego ich zmodernizowaną wersją; także dla niego odkrycie geometrii było wielkim przeżyciem, wspominał potem podręcznik jako „świętą książeczkę”, co w jego ustach – uduchowionego niedowiarka i spinozisty – miało swoją wymowę. Einstein sądził wręcz, że głęboki wstrząs intelektualny, jaki wówczas przeżył, stanowi niejako rodzaj probierza, czy ktoś się do nauki nadaje, czy nie. Zanim jeszcze podręcznik trafił w jego ręce, udało mu się znaleźć dowód twierdzenia Pitagorasa oparty na podobieństwie trójkątów (VI,31).

Metoda geometryczna kusiła też filozofów. Thomas Hobbes, mając już czterdzieści lat, natknął się w bibliotece znajomego gentlemana na egzemplarz Elementów, które otwarte były na stronie zawierającej twierdzenie Pitagorasa. Przeczytawszy jego treść, wykrzyknął: na Boga, to niemożliwe! Potem jednak cofając się stopniowo do twierdzeń, na których oparty był dowód, zrozumiał, że rozumowanie Euklidesa jest bez zarzutu. René Descartes sam był wybitnym matematykiem i z geometrią zapoznał się wcześnie w jezuickim kolegium w La Flèche. Właśnie na goemetrii wzorował się w swym podejściu do filozofii, która miała być nowym początkiem ludzkiej wiedzy. „Owe długie łańcuchy uzasadnień, zupełnie proste i łatwe, którymi zazwyczaj posługują się geometrzy, by dotrzeć do swych najtrudniejszych dowodzeń, dały mi sposobność do wyobrażenia sobie, że wszystkie rzeczy dostępne poznaniu ludzkiemu wynikają w taki sam sposób wzajemnie ze siebie, a także, że nie mogą istnieć tak odległe, do których byśmy wreszcie nie dotarli, i tak ukryte, których byśmy nie wykryli, bylebyśmy tylko nie przyjmowali za prawdziwą żadnej rzeczy, która by prawdziwą nie była, i zachowywali zawsze należyty porządek w wyprowadzaniu jednych z drugich” (przeł. W. Wojciechowska, Rozprawa o metodzie, PWN 1981, s. 23). Zdaniem Immanuela Kanta przedmioty, które bada matematyka: przestrzeń i czas nie pochodzą z doświadczenia, ale mają swe źródło w poznającym przedmiocie. Geometria stała się w ten sposób nauką o jedynie możliwej przestrzeni.

Tymczasem matematycy nabierali coraz więcej wątpliwości. Karl Friedrich Gauss już w roku 1813 rozmyślał nad geometrią nieuklidesową, lecz oportunistycznie nie zdecydował się na publikację swych wyników. Także Ferdinand Karl Schweikart, profesor prawa, rozwijał podobne idee w zaciszu gabinetu. Dopiero János Bolyai i Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski, niezależnie od siebie zaryzykowali publikację prac sprzecznych z dotychczasową tradycją, nie były one przyjęte dobrze. Obaj zajmowali się geometrią hiperboliczną, w której istnieje nieskończenie wiele prostych równoległych do danej prostej. Postulat 5 Euklidesa jest bowiem niezależny od pozostałych i równie dobrze można zbudować konsekwentną geometrię, wychodząc z jego zaprzeczenia. Pod koniec XIX wieku David Hilbert podał ścisłe sformułowanie geometrii euklidesowej. Znalazło się w nim dwadzieścia aksjomatów, trzy pojęcia pierwotne (punkt, linia prosta, płaszczyzna) oraz cztery relacje pierwotne (leżenia pomiedzy, zawierania oraz przystawania odcinków oraz kątów). Różnica w podejściu między dawną geometrią a jej nowoczesnym, abstrakcyjnym sformułowaniem podkreślona została przez Hilberta następująco: „Powinno się w każdej chwili móc wstawić w miejsce punktów, linii i płaszczyzn – stoły, krzesła i kufle do piwa” (oczywiście pod warunkiem, że obiekty te spełniają aksjomaty geometrii).

Reklamy

Johannes Kepler: III prawo ruchu planet (15 V 1618)

Niemal wszystkie wielkie odkrycia naukowe dla swych odkrywców znaczyły co innego niż dla potomnych. Z tego powodu dzisiejsza wiedza jest często mało przydatna, gdy chcemy dowiedzieć się, w jaki sposób zostały dokonane jakieś odkrycia. Przykład praw Keplera jest tu wielce pouczający: to, co dziś uważamy za trzy prawa Keplera, on sam uważał za istotne wprawdzie, ale trzy pojedyncze fakty w całym gmachu astronomii, który zbudował.

Johannes Kepler zdecydował się zająć astronomią, kiedy odkrył – jak mu się zdawało – ukryty sens geometryczny proporcji orbit planetarnych. Stwórca zrealizował bowiem w niebiosach wielce barokową konstrukcję geometryczną. Nastąpiły długie lata studiowania ruchów planet, szczęśliwym zbiegiem okoliczności mógł wykorzystać zbiór obserwacji Tychona Brahego, najdokładniejszych w dziejach i obejmujących najdłuższy przedział czasu. Ktoś porównał sytuację przed Tychonem i obserwacje Tychona do oddzielnych fotografii i długiego filmu: ruchy planet monitorowane były przez duńskiego astronoma nieomal z dnia na dzień. Kepler pierwszy zbudował w pełni heliocentryczną astronomię, w której Słońce było nie tylko wielką lampą oświetlającą wszechświat i umieszczoną centralnie, ale także źródłem ruchu sześciu znanych planet. Uzyskane przez niego wyniki podsumowuje się dziś w formie trzech praw ruchu. Pamiętać jednak należy, że zawarte one były w książkach Keplera wśród długich rozważań i nigdzie nie zostały sformułowane w taki właśnie sposób.

Dwa pierwsze prawa znalazły się w Astronomia nova z 1609 roku. Eliptyczny kształt orbit był najbardziej oczywistym wynikiem tej pracy, choć wielu nie dało się przekonać: astronomowie przyzwyczajeni byli do kół poruszających się po kołach i podejście Keplera wydawało się dziwaczne. Tym bardziej, że nawet obserwacje Brahego nie były na tyle dokładne, by jakoś zdecydowanie rozstrzygać, jaki jest właściwie kształt orbity – mogły to być rozmaite owale, a poza tym krzywe takie można skonstruować na różne sposoby, więc elipsy wydawały się wnioskiem zbyt silnym. Tak rozumiał to np. Isaac Newton, kiedy pisał: „Kepler wiedział, iż orbity planet nie są kołowe, lecz owalne, i odgadł, że są eliptyczne”. Kepler nie tyle zresztą zgadywał, ile kierował się tu (obok obserwacji) własną teorią ruchu planet – pierwszą mechaniką niebios – lecz z pozycji newtonowskich próba ta była chybiona, więc Newton mógł potraktować to jako zgadywanie. Elipsy z czasem znalazły sobie miejsce wśród uznanych faktów astronomicznych. Aż do czasów Newtona nie wiedziano jednak, co zrobić z Keplerowskim prawem pól – dzisiejszym II prawem Keplera. Teoretyczne wyjaśnienia samego Keplera nie przekonały jego następców, w dodatku prawo to jest niełatwe do praktycznego stosowania, gdyż prowadzi do równania przestępnego: t=E-e\sin E, gdzie t jest czasem, e mimośrodem orbity, a E tzw. anomalią mimośrodową, wielkością potrzebną do obliczenia położenia planety na elipsie. Równanie Keplera należało rozwiązywać metodami przybliżonymi, co w XVII wieku było trudne zarówno praktycznie, jak i pojęciowo. II prawo Keplera odrodziło się dopiero dzięki Newtonowi, który spostrzegł, że musi ono obowiązywać zawsze, gdy siły działają wzdłuż linii łączącej planetę i Słońce, bez względu na konkretną zależność sił od odległości. Dziś mówimy, że w ruchu pod wpływem sił centralnych zachowany jest moment pędu.

Kepler traktował własną pracę nad geometrycznym i mechanicznym opisem ruchu planet jako bardzo długi wstęp, rodzaj dygresji, właściwym celem było odkrycie, czemu Stwórca zbudował układ planet tak, a nie jakoś inaczej. Z jego perspektywy najciekawsze więc wydawało się wyjaśnienie odległości, okresów i ekscentryczności orbit, a więc nie tyle mechanika, co warunki początkowe – one bowiem mówiły nam coś o Bogu. Uczony, kiedy tylko mógł, wracał do rozważań na temat harmonii świata, one właśnie wydawały mu się najcenniejsze. Niosły mu też pociechę – to w czasie żałoby po śmierci córeczki zajął się pisaniem Harmonice mundi („Harmonii świata”). Do brył platońskich z młodzieńczej konstrukcji doszły teraz harmonie muzyczne – idea pitagorejska. Johannes Kepler stworzył najbardziej rozbudowaną i szczegółowo opracowaną wersję tej starej idei. Wszechświat był dla niego kosmosem, uładzoną i piękną całością. Sądził, że potrafi wyjaśnić ekscentryczności orbit planetarnych. Tym, co miało budować harmonie muzyczne kosmosu były prędkości kątowe planet widziane ze Słońca. Ich zakres odpowiadał pewnej skali muzycznej. Była to więc muzyka czysto matematyczna, którą obserwować mogły mieszkające na Słońcu anioły.

To, co przepowiedziałem dwadzieścia dwa lata temu, kiedy odkryłem pięć brył foremnych między sferami niebieskimi; to, o czym mocno byłem przekonany wewnętrznie, zanim jeszcze ujrzałem Harmonie Ptolemeusza; to, co obiecałem przyjaciołom w tytule tej piątej Księgi, nim jeszcze nabrałem całkowitej pewności; to, o czym szesnaście lat temu pisałem publicznie, nalegając, iż musi być zbadane; to, co skłoniło mnie, by spędzić najlepszą część życia na spekulacjach astronomicznych, wybrać się do Tychona Brahego do Pragi i samemu zamieszkać w Pradze; to, do czego Bóg Najlepszy i Największy nakłaniał mój umysł i rozbudzał pragnienie poznania, przedłużając me życie i siły umysłu, a także dostarczając innych środków dzięki hojności dwóch cesarzy oraz szlachty stanów Górnej Austrii; to w końcu, gdy wypełniłem swoje obowiązki astronomiczne w wystarczającym stopniu, mogłem wreszcie wydobyć na światło i stwierdziłem, że jest prawdą bardziej nawet, niż miałem nadzieję: odkryłem pośród ruchów niebieskich pełną naturę harmonii, w stopniu, w jakim ona występuje, wraz ze wszystkimi swymi częściami, objaśnionymi w Księdze III – wprawdzie nie w taki sposób, w jaki ją sobie wyobrażałem (co stanowi nie najmniejszą część mojej radości), ale w zupełnie inny sposób, najpiękniejszy i zarazem najdoskonalszy. (KGW t. VI, s. 289; )

Samo III prawo Keplera jest prostą zależnością ilościową: jeśli wyrazimy okres obiegu planety T w latach, a półoś orbity a (czyli średnią odległość od Słońca) w jednostkach orbity Ziemi, to przyjmuje ono postać: T^2=a^3. Prawo to znajduje się w Księdze piątej Harmonice mundi jako ósme twierdzenie rozdziału trzeciego, a więc wplecione w pitagorejskie rozważania.

Tak więc część mojej Tajemnicy kosmosu, która została zawieszona dwadzieścia dwa lata temu, ponieważ nie była jeszcze jasna, zostaje dokończona i tutaj umieszczona. Bo kiedy znalezione zostały prawdziwe odległości sfer, poprzez obserwacje Brahego i ustawiczny długotrwały trud, to w końcu – w końcu – prawda co do stosunku okresów i wielkości sfer
choć późno, wejrzała na opieszalca,
Wejrzała jednak i w końcu, po długim czasie, nastała.(*)
a jeśli trzeba wam dokładnego czasu, zrodzona została w umyśle 8 marca tego roku 1618, lecz poddana rachunkowi w pechowy sposób i odrzucona jako fałsz, aż wreszcie powróciła 15 maja i przyjmując inną linię ataku, pokonała ciemności mego umysłu. Tak silne było wsparcie siedemnastu lat mojej pracy nad obserwacjami Brahego oraz obecnych badań, które połączyły swe siły, iż z początku myślałem, że śnię i gdzieś w założeniach wprowadzam moją konkluzję. Ale jest absolutnie pewne i ścisłe, że stosunek okresów dowolnych dwóch planet równa się dokładnie stosunkowi ich średnich odległości do potęgi 3/2 (Harmonice mundi, 1619, s. 189; KGW t. VI, s. 302)

Spośród praw Keplera to było najmniej kontrowersyjne, bo łatwe do sprawdzenia. Co więcej, pozwalało poprawić wielkości orbit, ponieważ okresy obiegu znane były znacznie dokładniej niż odległości, co pierwszy zauważył Jeremiah Horrocks, który, gdyby nie zabrała go śmierć w wieku dwudziestu dwóch lat, z pewnością zostałby jednym z najważniejszych astronomów XVII stulecia.

(*) Wykształconemu klasycznie Keplerowi przyszła tu na myśl pierwsza ekloga Wergiliusza:

Wolność, która, choć późno, wejrzała na opieszalca,
Kiedy już siwiejące spod brzytwy sypały się włosy,
Wejrzała jednak i w końcu, po długim czasie, nastała.
(przeł. Z. Kubiak, Literatura Greków i Rzymian, s. 430)

Pitagoras i Vincenzo Galilei: początek i koniec tradycji pitagorejskiej (VI w. p.n.e., 1588)

Pitagoras pierwszy nazwał się filozofem, lecz stał się założycielem sekty na poły religijnej, która przekazywała sobie wierzenia, obyczaje, obrządki i nie dopuszczała nikogo bez długiego procesu formowania charakteru i umysłu. Pitagorejczycy wierzyli w wędrówkę dusz, obejmującą także dusze zwierzęce, więc nie składali ofiar ze zwierząt i starali się nie jeść mięsa, zazwyczaj zadowalali się warzywami, kaszą i przyprawami. Mieli też osobliwą na tle ówczesnej Grecji koncepcję piękna:

Piękny jest więc widok całego nieba i poruszających się po nim gwiazd, jeśli ktoś potrafi dostrzec ich porządek; a piękne jest to wszystko przez uczestniczenie w tym, co pierwsze i dostrzegalne umysłem. Pierwsza zaś jest dla Pitagorasa natura liczb i stosunków liczbowych, ogarniająca całość rzeczywistości, zgodnie z nimi bowiem wszechświat jest mądrze zbudowany i prawidłowo uporządkowany; mądrość zaś jest wiedzą o tym, co piękne i pierwsze, boskie i niezniszczalne, zawsze takie samo i podlegające takiemu samemu porządkowi (…) filozofia natomiast to umiłowanie takiej kontemplacji [Jamblich, O życiu pitagorejskim, przeł. J. Gajda-Krynicka].

Wszechświat postrzegali pitagorejczycy jako κόσμος – kosmos, czyli pięknie złożoną harmonijną całość. Pitagoras odkrył, że prostym proporcjom liczbowym, takim jak 2:1; 3:2 oraz 4:3 odpowiadają harmonijnie współbrzmiące interwały dźwięków: oktawa, kwinta i kwarta. Fakt ten stał się punktem wyjścia całej jego filozofii i kosmologii. Odgrywały w nich rolę muzyka i matematyka, ich związek był fundamentalny. Muzyka miała bowiem swe odbicie w strukturze wszechświata, nie była jedynie sztuką wydawania sugestywnych dźwięków. W ten sposób, po raz pierwszy, wszechświat stał się matematyczny.

Pitagorejczycy uzasadniali owe proporcje dźwięków w sposób numerologiczny. Ich zdaniem liczby 1, 2, 3, 4, były wieloznacznymi symbolami. Suma tych czterech liczb nazywana była tetraktys – arcyczwórką. Arytmetyka miała być także podstawą geometrii: przestrzeń wyobrażali sobie pitagorejczycy jako „skwantowaną”, złożoną z dyskretnych wielkości. Doprowadziło to do kryzysu: zgodnie bowiem z twierdzeniem Pitagorasa długość przekątnej kwadratu o boku równym 1 wynosi \sqrt{2}. Jeśli przyjąć, że można tę liczbę zapisać jako stosunek liczb całkowitych (jak powinno być w dyskretnej przestrzeni), dochodzi się do sprzeczności. Dziś mówimy, że \sqrt{2} jest liczbą niewymierną. Odkrycie tego faktu wstrząsnęło pitagorejczykami.

Wróćmy jednak do harmonii dźwięków. Mamy tu początek fizyki matematycznej – oto pewne stosunki w przyrodzie poddane są zasadom matematyki. Z czasem miało się okazać, że jest to prawda w odniesieniu do całej przyrody, choć uznanie tego faktu zajęło ludzkości ponad dwa tysiące lat. Dziś nie mamy wątpliwości co do nadzwyczajnej skuteczności matematyki w badaniu przyrody. Niektórzy uważają nawet, że w każdej nauce tyle jest prawdy, ile jest w niej matematyki.

W jakim sensie proporcje związane są z parami dźwięków?

Jamblich tak pisze o okolicznościach dokonania owego odkrycia przez Pitagorasa:

Rozmyślał kiedyś i zastanawiał się, czy da się wymyślić dla słuchu jakieś pomocnicze narzędzie, pewne i nieomylne, jakie ma wzrok w cyrklu, w miarce (…), dotyk zaś w wadze i w wynalazku miar; a przechadzając się w pobliżu warsztatu kowalskiego, jakimś boskim zrządzeniem losu usłyszał młoty kujące żelazo na kowadle i wydające dźwięki zgodne ze sobą, z wyjątkiem jednej kombinacji. Rozpoznał zaś w nich współbrzmienie oktawy, kwinty i kwarty. Dostrzegł natomiast, że dźwięk pośredni między oktawą a kwintą sam w sobie pozbawiony jest harmonii, lecz uzupełnia to, czego w innych jest w nadmiarze. Zadowolony zatem, ponieważ została mu zesłana pomoc od boga, poszedł do warsztatu i po wielu rozmaitych próbach odkrył, iż różnica dźwięków rodzi się z ciężaru młotów, nie z siły uderzających, nie z kształtu narzędzi ani też nie z przekształceń kutego żelaza; a zbadawszy dokładnie odpowiednie wagi i ciężary młotów, poszedł do domu i wbił między ściany, od kąta do kąta, jeden kołek, jeden by z wielości kołków albo też z różnej ich natury nie zrodziła się jakaś różnica; następnie przywiesił do kołka w równym od siebie oddaleniu cztery struny z jednakowej materii, jednakowej długości, grubości i jednakowo sporządzone, przywiązawszy do każdej z dołu ciężar i wyrównawszy całkowicie długość strun. Następnie uderzając jednocześnie w dwie struny na przemian, odnalazł wymienione wyżej współbrzmienia, inne w każdym ze związków. Odkrył bowiem, że ta, która obciążona była największym ciężarem wraz z tą, która miała ciężar najmniejszy, razem uderzone tworzą stosunek oktawy. Jedna bowiem miała dwanaście ciężarków, druga zaś sześć; w podwójnej proporcji ujawniła się oktawa, jak to wskazywały same ciężarki. [przeł. J. Gajda-Krynicka]

Jamblich był syryjskim pitagorejczykiem żyjącym w III/IV w. n.e., a więc niemal tysiąc lat po filozofie z Samos. Dlatego, jak to się zdarza zwolennikom bardziej entuzjastycznym niż rozumiejącym, poplątał to i owo w tej historii. Wiemy, że pragnął swymi opowieściami przewyższyć zdobywające sobie popularność historie o innym mistrzu, Jezusie Chrystusie.

Jamblich przedstawia nam etapy odkrycia: mamy więc problem (jak proporcje mogą być odwzorowane dźwiękami?), iluminację pod wpływem przypadkowego bodźca (młoty kowalskie), analizę i wyjaśnienie sensu owej iluminacji, a następnie przeprowadzenie eksperymentu, w którym początkowa sytuacja zostaje sprowadzona do najważniejszej istotnej zależności: chodzi nie młoty, lecz dźwięki; można je badać za pomocą jednakowych strun pod działaniem różnych sił naciągu.

Mamy właściwie przepis, jak należy odkrywać matematyczne prawa przyrody, oczywiście w stosownej chwili musimy otrzymać pomoc od boga, inaczej wkroczymy w jedną z tych niezliczonych ścieżek, które nigdy nie zawiodły do żadnego rozsądnego punktu. Bywa i tak, że ciąg dalszy odnajduje się po wielu latach – w tym sensie z oceną wartości pewnych prac naukowych należy poczekać.

Niestety, ciąg dalszy opowieści Jamblicha dowodzi, że nie zrozumiał on odkrycia mistrza. Nie chodzi bowiem o siły naciągu, lecz długości strun. To one muszą być w odpowiedniej proporcji. Np. kwintę otrzymamy, biorąc taką samą strunę z takim samym naciągiem, lecz o długości krótszej w proporcji 2:3. Przez wieki powtarzano błąd Jamblicha, nie zadając sobie trudu mierzenia czegokolwiek. Powszechnie sądzono, że owe proporcje zawarte są we wszystkich sposobach wydobywania dźwięków tak, jak to widzimy na ilustracji poniżej, pochodzącej z przełomu XV i XVI wieku.

W XVI wieku powiększono listę dźwięków współbrzmiących harmonijnie, uzasadniając to zresztą także na sposób pitagorejski. Gioseffo Zarlino, maestro di capella San Marco w Wenecji, proponował dołączenie 5 i 6 do starożytnego zestawu. Uzasadniał to rozmaitymi „nadzwyczajnymi” własnościami liczby sześć: jest liczbą doskonałą (równą sumie swych podzielników), sześć było dni Stworzenia itd.

Empiryczne podejście do tego zagadnienia zawdzięczamy sceptycyzmowi i jadowitemu charakterowi Vincenza Galilei, muzyka i teoretyka muzyki z Florencji. Był on uczniem Zarlina, lecz zaatakował go bezpardonowo w wydanym w roku 1589 traktacie. Uważał wszelką numerologię za nonsens i postanowił wykazać to doświadczalnie. Stosunki dźwięków nie są bowiem związane jednoznacznie ze stosunkami liczbowymi. Np. kwintę możemy uzyskać nie tylko skracając strunę w stosunku 3/2, ale także zwiększając siłę naciągu w proporcji (3/2)^2=9/4. Mamy więc następujące prawo: chcąc otrzymać dany wyższy dźwięk możemy albo skrócić strunę x razy, albo zwiększyć siłę naciągu x^2 razy. Było to pierwsze w ogóle nowożytne prawo fizyki matematycznej.
W ten sposób numerologia została pogrążona, gdyż widzimy, że równie dobrze można by wiązać kwintę z proporcją 9/4. Był to tylko jeden z wielu argumentów wysuwanych w traktacie przeciwko Zarlinowi. Vincenzo Galilei miał zdolnego syna o imieniu Galileo, któremu przekazał swój choleryczny temperament i namiętną pogardę dla umysłowej niższości. Niewykluczone, że eksperymenty nad tą kwestią prowadzili zresztą obaj razem, zapewne w roku 1588. W roku następnym Galileo uzyskał skromną posadę na uniwersytecie w Pizie. Napisał tam poemat na temat noszenia togi, w którym drwił z księży (wrogowie wszelkiej niewygody), uczonych kolegów (są jak flaszki wina: nieraz we wspaniale oplecionych butelkach zamiast bukietu czuje się wiatr albo perfumowaną wodę i nadają się tylko do tego, by do nich nasikać), a także twierdził, że chodzenie nago jest największym dobrem. Zajął się też poważnie mechaniką. Możliwe, że to ciężarki zawieszone na końcu struny w eksperymentach prowadzonych z ojcem, a nie kandelabr w katedrze, nasunęły mu myśl o wahadle.

Prawo odkryte przez Vincenza Galileo łatwo uzasadnić. Prędkość rozchodzenia się dźwięku v w strunie naciągniętej siłą T, która ma gęstość liniową (masa na jednostkę długości) \varrho równa się

v=\sqrt{\dfrac{T}{\varrho}}.

Jeśli końce struny są nieruchome, to długość powstającej fali \lambda jest dwa razy większa niż długość struny L: \lambda=2L. Zatem częstość drgań struny \nu jest równa

\nu=\dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{\varrho}}.

Napięcie struny wchodzi więc w potędze 1/2, stąd wynik Vinzenza Galileo.