Model Ehrenfesta: w którą stronę płynie czas?

Tylko jedno prawo fizyki odróżnia przeszłość od przyszłości: II zasada termodynamiki. Mówi ona z grubsza tyle, że temperatury z czasem się wyrównują, różnice stężeń też, a bałagan wypiera porządek. Można temu ogólnemu kierunkowi opierać się przez jakiś czas, ale trzeba z zewnątrz czerpać uporządkowanie. Np. żeby żyć, trzeba jeść, a żeby było co jeść, tzn. do wytworzenia cukrów rośliny korzystają ze źródła uporządkowanego promieniowania, jakim jest Słońce. Technicznie mówiąc, potrzeba źródła niskiej entropii. Entropia mierzy nieuporządkowanie – im jest większa, tym większy bałagan. II zasada termodynamiki mówi, że entropia rośnie (dla układu izolowanego).

Prawa mechaniki, elektrodynamiki i wszelkie inne prawa opisujące oddziaływania nie wyróżniają kierunku czasu. Gdy popatrzeć na film z kilkoma poruszającymi się i oddziałującymi cząstkami, nie można poznać, czy film puszczony jest do przodu, czy do tyłu. Chyba że film przedstawia jakieś ogromne zbiorowisko cząstek, np. jajko rozbijane na jajecznicę. Wtedy od razu poznamy, czy film puszczony został prawidłowo, czy wstecz.

Jak to się dzieje, że entropia rośnie, mimo że podstawowe prawa oddziaływania cząstek nie wyróżniają czasu? Na pytanie to odpowiedział Ludwig Boltzmann. Jego uczniem był Paul Ehrenfest, znakomity nauczyciel i przyjaciel Einsteina. Ehrenfest lubił docierać do istoty zagadnienia bez długich rachunków, miał nawet kłopot z uzyskiwaniem właściwej odpowiedzi w wyprowadzeniach podczas wykładów, zwykle gdzieś zgubił jakieś 2\pi albo znak minus. Mimo to jego studenci wspominali go jako wybitnego wykładowcę, dwóch z nich otrzymało Nagrodę Nobla, inny Casimir, też był wybitnym fizykiem.

Ehrenfest obmyślił kiedyś model pokazujący, skąd się bierze nieodwracalność czasu. Wyobraźmy sobie dwa leżące koło siebie psy: Azora i Burka. Na Azorze siedzi N pcheł, Burek jest wolny od pcheł. Co jednostkę czasu zostaje wylosowana w sposób przypadkowy jedna pchła (są one ponumerowane). Wylosowana pchła przeskakuje na drugiego psa. Jasne jest, że z czasem liczby pcheł na obu psach mniej więcej się wyrównają. Wygląda to np. tak (wzięliśmy N=50):

Obraz6

Jak można opisać dochodzenie do „równowagi” w liczbie pcheł na obu czworonogach? W każdej chwili mikrostan naszego układu złożonego z obu psów można scharakteryzować, podając, na którym psie przebywa każda z N pcheł. Mamy tu 2^N takich mikrostanów. Nie możemy w ramach naszego modelu podać żadnej bardziej szczegółowej informacji. Nawet jednak przy pięćdziesięciu pchłach jest to 2^{50}\approx 10^{15} stanów. Zbyt wiele na praktyczne potrzeby. Możemy ograniczyć się do odnotowania jedynie liczby pcheł na Azorze, jak na wykresach. Tak scharakteryzowane stany są zwykle znacznie ciekawsze, bo np. można je łatwo zmierzyć. Kiedy robimy doświadczenie na gazie w zbiorniku, nie obchodzi nas każda cząsteczka z osobna, lecz tylko pewne globalne charakterystyki, jak temperatura (w istocie jest to średnia energia owych cząsteczek, których nie widzimy i nawet nie chcemy oglądać).

Łatwo zauważyć, że w naszym modelu wszystkie mikrostany są jednakowo prawdopodobne: powstają one przez losowanie. Inaczej jest z makrostanami. Jeśli wiemy, że na Azorze siedzi N_A pcheł, to liczba mikrostanów odpowiadających tej sytuacji jest równa liczbie kombinacji:

W=\binom{N}{N_A}=\dfrac{N!}{N_A!(N-N_A)!}.

Inaczej mówiąc, jest to liczba sposobów wybrania podzbioru pcheł na Azorze ze zbioru wszystkich pcheł (pamiętamy, że są one ponumerowane i potrafimy je odróżniać). Jasne jest, że najwięcej sposobów realizacji takiego podzbioru będzie wówczas, gdy pchły rozłożą się po równo (pomijamy przypadek, gdy ich liczba jest nieparzysta i nie mogą się rozłożyć dokładnie po równo). Ale także makrostany w pobliżu tego równego podziału będą dość prawdopodobne. Można obliczyć rozkład prawdopodobieństwa po danej liczbie jednostek czasu. Wygląda on tak:

Pchly_prawdopodobienstwo

Zaczynaliśmy od wszystkich pcheł na Azorze, ale po pewnym czasie układ osiąga równowagę i najbardziej prawdopodobny jest rozkład, w którym połowa pcheł przebywa na Burku albo jakiś do niego podobny. Trzeba pamiętać, że nawet jeśli w jakiejś chwili dokładnie połowa pcheł będzie na Azorze, to stan ten nie utrzyma się na stałe, liczba pcheł będzie się zmieniać w przypadkowy sposób.

Obraz4

Jest oczywiście możliwe, że w pewnej chwili wszystkie pchły znajdą się z powrotem na Azorze, a nawet wiadomo, że tak kiedyś będzie. Nasz model nie ma wbudowanego kierunku czasu, każdy z przebiegów mógłby równie dobrze wydarzyć się w odwrotnej kolejności. Oto wielka tajemnica czasu: czas płynie tak, że zaczynając od sytuacji, gdy wszystkie pchły siedziały na Azorze, po pewnym czasie (najprawdopodobniej) zastaniemy nasz układ w jednym ze stanów bliskich „równowagi”. Czas płynie tak, aby liczba pcheł się wyrównywała. I to właściwie wszystko, co trzeba wiedzieć o II zasadzie termodynamiki. Jeśli odczekamy dostatecznie długo, to (na ogół) zastaniemy układ w jakimś stanie spośród tych najbardziej prawdopodobnych. Czas płynie w określonym kierunku nie z powodu praw fizyki, ale z tego powodu, że nasz świat zaczął się w stanie, gdy wszystkie pchły siedziały na Azorze. Zatem nie prawa fizyki, lecz warunki początkowe. Kolejne „dlaczego” w tej sprawie przenoszą nas aż do Wielkiego Wybuchu i w tym punkcie możemy odpowiedzieć: „nie wiemy”. Jak ktoś lubi wyobrażać sobie Stwórcę, może uznać, że wybrał On bardzo szczególny rodzaj wszechświata.

creator

W przestrzeni stanów równowaga termiczna zajmuje najwięcej miejsca, więc od jeśli zaczniemy od stanu dalekiego od równowagi, to w końcu na nią natrafimy.

equilibrium

(Rysunki Rogera Penrose’a)

Trzy uwagi na koniec:

1. Czemu nie obserwuje się spontanicznego powrotu wszystkich pcheł na Azora? Dlatego, że jest to jeden z 10^{15} stanów, a wszystkie są tak samo prawdopodobne. Gdy weźmiemy za N np. liczbę Avogadro, okaże się, że wieku wszechświata za mało, byśmy doczekali takiej sytuacji.

2. Entropia naszego ukladu jest równa

S=k\ln W.

Jest to najważniejsze odkrycie Boltzmanna. Wynika z niego w szczególności, że entropia nie rośnie zawsze, lecz tylko przeważnie. II zasada termodynamiki obowiązuje nadal, gdy układ jest duży.

(Stała k, zwana stałą Boltzmanna, potrzebna jest, żeby tak zdefiniowana entropia była dokładnie tym samym, czego używano przed Boltzmannem.)

3. Czemu odpowiadają pchły w „poważnej” fizyce? Można sobie wyobrażać spiny \frac{1}{2} w kontakcie z termostatem o bardzo wysokiej temperaturze, żeby zmiany entropii termostatu można było pominąć w rozważaniach.

Hendrik Casimir: Czy próżnia może przyciągać? (1948)

Najważniejszym odkryciem kosmologicznym końca wieku XX było stwierdzenie, że ekspansja wszechświata przyspiesza. Można ten fakt opisać za pomocą energii próżni – zwanej zwykle ciemną energią. Pojęcie energii próżni pojawiło się w fizyce wraz z teorią kwantową zastosowaną do pola elektromagnetycznego. W roku 1948 Hendrik Casimir wykazał, że energia próżni może zostać zmierzona, a właściwie zmierzyć można jej zmiany. Dwie nienaładowane płytki z przewodnika umieszczone blisko siebie powinny się przyciągać. W zasadzie nie ma w tym nic szczególnie dziwnego: są to siły van der Waalsa wynikające z faktu, że wewnątrz przewodników mamy swobodne ładunki, które mogą się przemieszczać. Ponieważ ładunki różnoimienne się przyciągają, a jednoimienne odpychają, a siła zależy od odległości, więc wypadkowa siła wcale nie musi równać się zeru. Casimir wraz z Dirkiem Polderem wyprowadzili kwantowy wzór na oddziaływanie atomu z nienaładowaną płytką przewodnika. Wynik okazał się prosty, Casimir zajął się więc jeszcze prostszym przypadkiem dwóch równoległych płytek idealnego przewodnika. Okazało się, że siłę można w tym przypadku znaleźć, odwołując się jedynie do energii próżni. Podejście takie zasugerował mu Niels Bohr. Pokażemy w skrócie, o co chodzi. Wyobraźmy sobie dwie równoległe płytki z przewodnika. Pole elektryczne powinno w przewodniku znikać. Wobec tego dopuszczalne konfiguracje pola w obszarze między przewodnikami, to fale, które są równe zeru na obu przewodnikach.

harms_anim

 

Dla uproszczenia nie będziemy rozpatrywać innych fal niż prostopadłe do naszych powierzchni, rozpatrujemy właściwie przypadek jednowymiarowy, ale nie ma to wpływu na istotę rozumowania. Takie fale stojące powstają na przykład w strunie zamocowanej na obu końcach. Istnienie takich fal jest właściwie najstarszym odkryciem fizyki matematycznej, bo przypisywane jest Pitagorasowi. Instrumenty muzyczne wytwarzają dźwięk będący złożeniem pewnej liczby takich dopuszczalnych fal: słyszymy to jako wysokość dźwięku – odpowiadającą fali o najniższej częstotliwości f oraz jego barwę – zależną od fal o częstotliwościach 2f, 3f, 4f, \ldots. Nasze fale stojące mają całkowitą liczbę połówek fali na odległości x między płytkami:

n\dfrac{\lambda_n}{2}=x \mbox{ zatem } f_n=nf=\dfrac{nc}{2x},

gdzie \lambda_n jest długością fali, f_n – częstotliwością, a c – prędkością rozchodzenia się fal. W naszym przypadku chodzi o fale elektromagnetyczne, więc c powinno być prędkością światła. Klasycznie biorąc, każda z dopuszczalnych fal może mieć dowolne natężenie. Chcąc obliczyć energię pola elektromagnetycznego w obszarze między płytkami, powinniśmy zsumować wkłady do energii od każdego z dopuszczalnych rodzajów fali stojącej. Nasze pole elektromagnetyczne należy traktować jako kolekcję niezależnych oscylatorów (czegoś w rodzaju wahadła albo masy na sprężynie) o częstotliwościach danych przez ciąg wartości nf. Nie jest to oczywiste, ale udowadnia się ten fakt w podręcznikach. Energia jest sumą energii tych oscylatorów: gdy nie występuje jakiś rodzaj fal, to jego wkład do energii powinien być równy zeru, gdy amplituda danego rodzaju fali jest duża, to i jego wkład do energii powinien być duży.

W tym miejscu przychodzi pora na użycie fizyki kwantowej. Otóż kwantowy oscylator nie może być zupełnie nieruchomy. Wynika to z zasady nieoznaczoności Heisenberga. Wyobraźmy sobie np. elektron zamknięty w dołku potencjału. Nieruchomy oscylator oznaczałby w tym przypadku, że możemy zmierzyć jednocześnie położenie elektronu (dokładnie na dnie dołka) oraz jego pęd (nieruchomy – więc pęd równy zeru). Takie stany są niemożliwe w przyrodzie. Dlatego np. dwuatomowa cząsteczka, w której atomy drgają, zbliżając się i oddalając od siebie, drga nawet w stanie o najmniejszej energii. Z tego samego powodu kryształ złożony z atomów także drga, nawet w temperaturze zera bezwzględnego. Nasze oscylatory są bardziej abstrakcyjne, ale stosuje się do nich ta sama zasada. Najniższa energia oscylatora o częstotliwości f równa jest w fizyce kwantowej

E=\dfrac{1}{2}hf \mbox{ (*),}

gdzie h jest stałą Plancka. Pojawia się ona we wszystkich wzorach fizyki kwantowej. Ponieważ w zwykłych jednostkach SI jest ona rzędu 10^{-33}, energie dane powyższym wzorem będą bardzo małe. Możemy na to spojrzeć inaczej: stała Plancka informuje o wielkościach atomowych, a układ jednostek SI jest dopasowany do masy, długości itp. w skali ludzkiej. To my jesteśmy ogromni w skali atomowej.

Energia próżni między naszymi płytkami powinna być sumą wyrażeń typu (*) dla każdego rodzaju drgań:

E(x)=\dfrac{hc}{4x}+2 \dfrac{hc}{4x}+3 \dfrac{hc}{4x}+\ldots=\dfrac{hc}{4x}(1+2+3+\ldots),

widzimy, że dostaliśmy szereg liczb naturalnych, który jest rozbieżny. Na szczęście wiemy, że szereg ten ma sumę równą -\frac{1}{12}, toteż możemy napisać:

E(x)=-\dfrac{hc}{48x}.

Energia rośnie wraz z odległością płytek, znaczy to, że się one przyciągają (siła to pochodna ostatniego wyrażenia po x). Podobny wynik otrzymuje się dla realistycznego przypadku płytek w trójwymiarowej przestrzeni, będą się one przyciągać z siłą zależną od odległości w czwartej potędze, a nie w drugiej jak u nas.
Efekt Casimira został potwierdzony doświadczalnie, co jest trudne, bo w praktyce chodzi o bardzo niewielkie odległości i znikome siły. Nie ma jednak wątpliwości, że jest to realne zjawisko. Bardziej dyskusyjny jest jego status teoretyczny: niektórzy traktują go jak dowód na realność energii próżni. W ten sposób efekt ten mógłby mieć coś wspólnego z kosmologią i ciemną energią. Rzecz jest jednak dyskusyjna. Por. np. R. L. Jaffe, Casimir effect and the quantum vacuum,„Phys.Rev. D”, t. 72, 021301(R) (2005)

PS. Niefrasobliwa matematyka, którą tu zastosowaliśmy, może zostać uzasadniona poprzez regularyzację, tak samo jak zrobiliśmy to poprzednio. Dołączenie do szeregu energii kwantowych jakiegoś czynnika obcinającego przy dużych energiach ma pewien sens: skrajnie krótkie fale nie powinny wpływać na to, co dzieje się w odległości x: one po prostu „nie widzą”, że płytki są od siebie w skończonej odległości. Moglibyśmy więc wprowadzić jakąś maksymalną energię, W powyżej której wkłady są silnie tłumione, np. mnożone przez czynnik

\exp{(-\dfrac{nhc}{4xW})}. Teraz sumę energii można zapisać:

E(x)=\dfrac{hc}{4x}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\exp{(-\dfrac{nhc}{4xW})}.

Sumę ostatniego szeregu można obliczyć ściśle. Dla dużych wartości W nasza suma przyjmie postać (por. wyrażenie \tilde{s}_1 w poprzednim wpisie):

E(x)=\dfrac{hc}{4x}\left(\dfrac{4Wx}{hc}\right)^2-\dfrac{1}{12}\cdot\dfrac{hc}{4x}+\ldots

E(x)=\dfrac{4W^2x}{hc}-\dfrac{hc}{48x}+\ldots,

gdzie niewypisane wyrazy maleją wraz ze wzrostem W. Kłopotliwy jest pierwszy wyraz, który dąży do nieskończoności, gdy W rośnie. Można się go pozbyć zestawiając układ trzech płytek w odległościach x oraz L-x od siebie, przy czym wyobrażamy sobie, że L\gg x.

casimir

Suma energii próżni między pierwszą oraz drugą parą płytek wynosi

E(x)+E(L-x)=\dfrac{4W^2L}{hc}-\dfrac{hc}{48x}-\dfrac{hc}{48(L-x)}+\ldots.

Pierwszy, potencjalnie nieskończony składnik nie zależy od x, a więc i od położenia środkowej płytki. Trzeci składnik jest bardzo mały, gdy L>>x. Zostaje więc tylko drugi składnik. Odejmowanie potencjalnie nieskończonych wyrażeń od siebie to częsta praktyka w kwantowej teorii pola, jeśli zachować ostrożność, nie rodzi to kłopotów.