Albert Einstein każe Bogu grać w kości (1916)

Słynne jest powiedzenie Einsteina, że Bóg nie gra w kości – chodziło mu o to, że prawa rządzące najmniejszymi, elementarnymi cząstkami powinny być przyczynowe. Prawami takimi są zasady dynamiki Newtona: jeśli znamy położenie i prędkość różnych ciał dziś, to w zasadzie moglibyśmy obliczyć, co się z tymi ciałami stanie w przyszłości. Pierre Simon de Laplace sformułował to następująco:

Inteligencja, która by w danej chwili znała wszystkie siły, które działają w przyrodzie, oraz wzajemne położenia bytów ją tworzących i była przy tym dostatecznie dostatecznie rozległa, by te dane poddać analizie, mogłaby w jednej formule zawrzeć ruch największych ciał wszechświata i najmniejszych atomów: nic nie byłoby dla niej niepewne i zarówno przyszłość, jak przeszłość byłyby dostępne dla jej oczu. Umysł ludzki daje słabe pojęcie owej inteligencji, której doskonałość osiągnąć potrafił jedynie w astronomii. [Théorie analytique des probabilités (1812)]

Otóż Einstein jako najwybitniejszy fizyk XIX wieku (podobnie jak Jarosław Iwaszkiewicz nazwany został, nie bez pewnej racji, najwybitniejszym polskim pisarzem dziewiętnastowiecznym) wierzył w słowa Laplace’a, technicznie rzecz ujmując, sądził, że równania różniczkowe mogą ściśle opisać rzeczywistość. Był w tym spadkobiercą Laplace’a i Jamesa Clerka Maxwella oraz całej plejady wybitnych fizyków wieku pary i elektryczności.

Jednak już sam Laplace zastanawiał się nad zdarzeniami przypadkowymi, w cytowanej książce podał klasyczną definicję prawdopodobieństwa, której każdy się uczył. Fizycy zastosowali prawdopodobieństwa do opisu obiektów zbyt złożonych, aby znać szczegóły ich ruchu, jak np. gaz doskonały. Nie musimy znać szczegółów zderzeń wszystkich cząstek w gazie, wystarczy, jeśli znamy pewne charakterystyki średnie, np. średnią energię. Metodę tę rozwinął zwłaszcza Ludwig Boltzmann, a także Josiah Willard Gibbs w Stanach Zjednoczonych oraz Albert Einstein.

W ostatnich latach wieku XIX odkryto radioaktywność niektórych pierwiastków, a Ernest Rutherford podał prawo rozpadu promieniotwórczego: liczba pozostałych jąder maleje wykładniczo z czasem t, tzn. po pewnym czasie \tau pozostaje połowa jąder, po następnym czasie \tau połowa tej połowy, czyli 1/4 itd. Wygląda to tak:

Halflife-sim

Animacja z Wikipedii, z lewej strony na początku mamy 4 atomy, z prawej 400, u góry wyświetla się liczba półokresów rozpadu.

A matematycznie można zapisać następująco:

N=N_0 2^{-\dfrac{t} {\tau} }=N_0 \exp{(-\lambda t)}.

Przez N_0 oznaczona jest początkowa liczba jąder. Ostatnia równość jest tożsamościowa: możemy po prostu zapisać naszą funkcję w obu tych postaciach, jeśli odpowiednio wybrać stałą rozpadu \lambda. Gdy przyjrzymy się przez chwilę animacji powyżej, nasuwa się pytanie: skąd dane jądro wie, kiedy ma się rozpaść? Ponieważ wszystko wskazuje, że jądra rozpadają się niezależnie od siebie, więc oznacza to, iż prawdopodobieństwo przeżycia czasu t przez dowolne jądro równe jest

p(t)=2^{-\dfrac{t}{\tau} }=\exp{(-\lambda t)}.

Jest to bardzo dziwne prawo: znaczy bowiem, że każde jądro, niezależnie od tego, jak długo już istnieje, ma ciągle takie same prawdopodobieństwo rozpadu w nadchodzącym przedziale czasu. To jak gra w ruletkę: jeśli nawet 10 razy z rzędu wypadło czerwone, to za jedenastym razem prawdopodobieństwo, że i tym razem wypadnie czerwone jest wciąż takie samo jak przedtem. Każde zakręcenie koła ruletki rozpoczyna cykl od nowa i jego wynik nie zależy od tego, co wypadło poprzednio. Prawdopodobieństwo rozpadu jądra w małym przedziale czasu (t, t+\Delta t) jest równe

p(t)-p(t+\Delta t)=\exp{(-\lambda t)}-\exp{(-\lambda (t+\Delta t))}=\\ \\p(t)(1-\exp{(-\lambda \Delta t)}\approx p(t)\lambda \Delta t.

Jest ono iloczynem prawdopodobieństwa dotrwania do chwili t i prawdopodobieństwa rozpadu w krótkim czasie \Delta t. Zatem prawdopodobieństwo rozpadu (pod warunkiem, że w chwili t że jądro nadal istnieje) jest proporcjonalne do długości przedziału \Delta t i nie zależy wcale od tego, jak długo już obserwujemy tę sytuację:

p_{rozpadu}=\lambda\Delta t.

Inaczej mówiąc, prawdopodobieństwo rozpadu na jednostkę czasu jest stałe i równe \lambda. Kiedy Rutherford podał prawo rozpadu promieniotwórczego, zastanawiano się nad tym, że wygląda ono tak, jakby rozpad nie miał konkretnej przyczyny. Nie potrafiono w każdym razie wskazać takiej przyczyny. Nie znaczy to bynajmniej, że rozpad danego jądra nie nastąpi. Sytuacja przypomina grę w rosyjską ruletkę: bierzemy rewolwer bębenkowy i ładujemy kulę do jednej komory, po czym kręcimy komorą, aż zatrzyma się w przypadkowym położeniu. Przykładamy sobie do głowy i naciskamy spust: albo przeżyliśmy, albo nie. Jeśli tak, to możemy ten zabieg powtarzać, aż w końcu nam się uda. Można pokazać, że przypadku rosyjskiej ruletki średnia liczba prób będzie równa 6 (jest to liczba komór w bębenku). Wcale to jednak nie znaczy, że konkretny gracz nie przetrwa np. 24 prób. Nie jest to bardzo prawdopodobne, ale jest możliwe.

I tu dochodzimy do pracy Einsteina z roku 1916. Pół roku wcześniej podał on równania teorii grawitacji, zrobił parę mniejszych prac i zajął się oddziaływaniem promieniowania z materią. Trzy lata wcześniej Niels Bohr ogłosił swój model atomu. Wynikało z niego, że każdy atom powinien mieć pewien zbiór określonych – skwantowanych – energii. Rozpatrzmy atomy pewnego rodzaju, a w nich dowolną parę stanów o dwóch różnych energiach E_1 < E_2. Jeśli nasze atomy znajdą się w zbiorniku z promieniowaniem o temperaturze T, to liczba atomów w stanie o wyższej energii będzie mniejsza niż tych w stanie o niższej energii:

\dfrac{N_2}{N_1}=\dfrac{\exp{(-\dfrac{E_2}{kT}})}{\exp{(-\dfrac{E_1}{kT}})}=\exp{(-\dfrac{E_2-E_1}{kT})}.

Stała k zwana jest stałą Boltzmanna, a sam rozkład liczby atomów od energii także nazywany jest rozkładem Boltzmanna. Co oznacza taka równowaga cieplna? Ano tyle, że czasem nasz atom w stanie E_1 pochłonie promieniowanie i przejdzie do stanu E_2, a czasem na odwrót (wtedy energia zostanie oddana w postaci promieniowania). W równowadze oba procesy powinny zachodzić z taką samą szybkością.

emisja

Einstein założył – i to jest punkt zasadniczy – że możliwe są procesy jak na rysunku: dwa pierwsze oznaczają przejścia między poziomami wymuszone promieniowaniem – tzw. absorpcję i emisję wymuszoną. Prawdopodobieństwa tych procesów na jednostkę czasu będą równe iloczynowi odpowiedniej stałej B oraz gęstości energii promieniowania u(\nu). Mamy tu jeszcze jeden proces: emisję spontaniczną. Jej prawdopodobieństwo na jednostkę czasu jest równe A_{2\rightarrow 1} – tutaj prawo jest takie samo jak w rozpadzie promieniotwórczym. Wiedząc to wszystko, możemy zapisać ilość przejść 1\rightarrow 2 oraz 2\rightarrow 1 na jednostkę czasu:

N_1 B_{1\rightarrow 2}u(\nu)=N_2 B_{2\rightarrow 1}u(\nu)+N_2 A_{2\rightarrow 1}.

Obliczamy stąd funkcję u(\nu) i porównujemy ze znanym rozkładem Plancka:

u(\nu)=\dfrac{A_{2\rightarrow 1}}{B_{1\rightarrow 2}\exp{(\frac{E_2-E_1}{kT})}-B_{2\rightarrow 1}}=\dfrac{8\pi h\nu^3}{c^3}\dfrac{1}{\exp{(\frac{h\nu}{kT})}-1}.

Łatwo z tej równości wysnuć pewne wnioski nt. zależności między współczynnikami A, B. Np. zgodność obu równań jest możliwa tylko wówczas, gdy

E_2-E_1=h\nu.

Niels Bohr założył słuszność takiego równania, tutaj pojawia się ono jako wniosek. Nie będziemy wchodzić w szczegóły. Rzec można, Einstein obliczył maksimum tego, co było możliwe bez mechaniki kwantowej. Jedenaście lat później P.A.M. Dirac pokazał, jak wartości einsteinowskich współczynników wynikają z teorii kwantowej. Równania Einsteina prawidłowo opisują oddziaływanie atomów i promieniowania. Np. działanie lasera opiera się na emisji wymuszonej, opisywanej współczynnikiem B_{2\rightarrow 1}. Nie znaczy to, że Einstein zbudował laser, ale z pewnością zrozumiałby, gdyby jakiś mądry ET opisał mu taki wynalazek.

Dlaczego Einstein każe tu Bogu grać w kości? Współczynnik emisji spontanicznej musi być niezerowy i taki też zazwyczaj jest w przyrodzie (chyba że są powody, aby jakieś przejście było niemożliwe, np. ze względu na symetrię). To wszystko znaczy, że atom w wyższym stanie energetycznym kiedyś przejdzie do stanu niższego: tak samo jak gracz w rosyjskiej ruletce kiedyś się zastrzeli. Tyle że w przypadku atomu nikt nie pociąga za spust. Nie ma żadnej doświadczalnie możliwej do wykrycia przyczyny tego przejścia. Okazało się, że te współczynniki Einsteina to wszystko, co możemy wiedzieć i nie ma żadnej lepszej teorii, która by nam powiedziała, kiedy dany atom wyśle foton albo kiedy dane jądro się rozpadnie. Einstein w roku 1916 jeszcze nie rozumiał, że osiągnął granicę możliwości fizyki. Nigdy się z tym zresztą nie pogodził, stając się pogodnym dziwakiem w oczach kolegów i pracując wytrwale nad teorią, która by usunęła te probabilistyczne rozważania raz na zawsze. Jak wiemy, nigdy mu się to nie udało, dziś chyba mało kto wierzy, aby przedsięwzięcie tego rodzaju było wykonalne. Laplace i Einstein nie mieli racji, Bóg najwyraźniej gra w kości.

3 myśli nt. „Albert Einstein każe Bogu grać w kości (1916)

    • Obecnie się uważa, że obserwując, kiedy rozpadnie się np. jeden konkretny atom, mielibyśmy idealny generator liczb losowych. Zdaniem Einsteina nic nie dzieje się przypadkiem, to my zbyt mało wiemy: jak np. w przypadku rzutu kostką – teoretycznie możemy obliczyć, na którą ścianę ona spadnie stosując zasady dynamiki (jest tu jeszcze jedna komplikacja, o której nikt nie wiedział w roku 1916, tzw. chaos deterministyczny, czyli niemożność przewidywań, nawet wtedy gdy równania są determininistyczne)..

      Lubię

  1. Co do tego, czy Bóg gra w kości, to po pierwsze zależy od tego czy wierzymy, że Bóg istnieje lub czy to wiemy. Po drugie i to ważniejsze jak rozumiemy Boga, czy w sensie religijnym, czy naukowym. Bo jeśli naukowym, to konieczne jest naukowe podanie definicji Boga, albo chociażby wskazanie przesłanek naukowych, z których miałoby wynikać, że on istnieje. Jeślibyśmy się z tym uporali, to w dalszym ciągu jest problem, czy na pewno znamy wszystkie prawa fizyki i czy jesteśmy w stanie wykryć wszystkie prawa rządzące tym światem? Z Einsteina rozumowania można domniemywać, że on zakładał, iż jesteśmy w stanie to osiągnąć. Ja jestem tu sceptyczny. Nie ma żadnego dowodu, że Bóg musi uchylić nam każdego rąbka tajemnicy. Uważam, że mogą istnieć prawa fizyki, których nigdy nie odkryjemy. Dlatego sądzę, że za prawami statystycznymi mogą się kryć prawa fizyki deterministyczne, których nie mamy żadnej szansy odkryć. Z czego to wnioskuję? Ano z tego, że niektórzy zapominają ( z góry przepraszam za to sformułowanie tych niektórych ), że Nasze narzędzia badawcze są zbudowane z tej samej materii, którą badamy. Być może do wykrycia niektórych praw potrzebne jest wyjście niejako poza ten świat i przyjrzenie się mu z boku. Niestety jesteśmy uwięzieni w tym świecie i dlatego uważam, że pewnych praw tego świata ze wskazanego wyżej powodu nigdy nie odkryjemy. Stąd nie mamy żadnej szansy spekulować co Bóg wie, a czego nie wie. Ze stwierdzenia Einsteina wynika, moim zdaniem, że dla niego prawa fizyki powstały niezależnie od woli Boga. Ja natomiast uważam, że to Bóg ( w moim rozumieniu pojęcia Boga ) stworzył prawa fizyki i nie widzę żadnych powodów, aby sądzić, że Bóg musi znać tylko tyle praw fizyki co i My. Powiem więcej Bóg jest jedynym, który może właśnie przyglądać się temu światu z boku. Inaczej nie byłby Bogiem. Dalej zacytuję samego siebie.

    My jesteśmy tylko ludźmi i nigdy nie będziemy wiedzieli co można, a co nie można wiedzieć. Bezwzględność z jaką działają prawa fizyki i w jaki sposób są one „przeliczane” ( przez materię oczywiście ), aby materia przyjmowała stan, w którym ma się ona znajdować przekracza, moim zdaniem, ludzką wyobraźnię. To nie leży w granicach nauki, to nie leży w sferze ludzkiego postrzegania. Do trudniejszych obliczeń w fizyce potrzebujemy komputerów, przyroda nie potrzebuje takowych i nie wiemy jak ona to robi, że działa. My znamy tylko matematyczne reguły, które reprodukują wyniki działania praw fizyki, ale nie mamy pojęcia jak te prawa działają, że są. Trzeba zdawać sobie sprawę z tego, że nauka to dzieło człowieka, my tylko odkrywamy istnienie praw fizyki, staramy się je poznać i wykorzystać, ale to dlaczego one działają i jak działają leży poza granicami naszego zrozumienia.

    Lubię

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s