List Ramanujana (1913)

Godfrey Harold Hardy, znakomity matematyk, Fellow Trinity College w Cambridge, otrzymał na początku 1913 roku list z Indii od pewnego amatora. Był nim Srinivasa Ramanujan, dwudziestopięcioletni urzędnik biurowy z portu Madras bez wykształcenia akademickiego. Autor listu stwierdzał, że w matematyce wytyczył sobie własną ścieżkę i załączał długą listę uzyskanych wyników. Hardy przeglądał tę listę z mieszanymi uczuciami. Widać było, że autor ma spore luki w wykształceniu. W dodatku przedstawił same sformułowania różnych wyników, nic nie pisząc na temat ich dowodów. Kilka wzorów wyglądało na znane albo nietrudne do udowodnienia. Były tam także twierdzenia wyglądające co najmniej dziwnie:

1+2+3+4+\ldots=-\dfrac{1}{12}  (*)

Widać też było, że Ramanujan odkrył twierdzenie o rozmieszczeniu liczb pierwszych, co było niemałym osiągnięciem (choć w tym przypadku ważniejsze było przeprowadzenie ścisłego dowodu w 1896 roku). Niektóre wyrażenia, jak ułamek łańcuchowy:

\dfrac{1}{\Bigl(\sqrt{\phi \sqrt{5}}-\phi\Bigr) e^{\frac25 \pi}} = 1+\cfrac{e^{-2\pi}} {1+\cfrac{e^{-4\pi}} {1+\cfrac{e^{-6\pi}}{1+\frac{e^{-8\pi}} {1+\ldots} } }} ,

gdzie \phi jest stałą złotego podziału, „były zapewne prawdziwe, bo nikomu nie starczyłoby wyobraźni, aby je zmyślić”. Hardy zrozumiał, że ma do czynienia z pierwszorzędnym matematykiem, na pewno nie z żadnym dziwakiem czy szaleńcem. Ramanujan zwrócił się do niego, ponieważ chciał się poświęcić pracy matematycznej, a był w trudnej sytuacji finansowej, miał na utrzymaniu żonę (w momencie ślubu ona miała dziewięć lat, on – dwadzieścia jeden). W Indiach nie potrafiono ocenić, czy jego praca ma jakąkolwiek wartość. Dzięki staraniom angielskiego matematyka Ramanujan przyjechał do Cambridge.

Srinivasa_Ramanujan_-_OPC_-_1

Od początku było jasne, że jest matematycznym geniuszem, ale też widać było, że nie uda się z niego zrobić matematyka pracującego według normalnych reguł akademickich. Trzeba mu było dopiero wyjaśnić, na czym polega dowód i dlaczego w matematyce liczy się tylko to, co zostało dowiedzione w sposób dostatecznie precyzyjny. Do tej pory jednym z głównych źródeł wiedzy Ramanujana była książka G. S. Carra będąca po prostu spisem 5000 twierdzeń z matematyki elementarnej. Nauczył się później różnych rzeczy, inne sam odkrył, ale w momencie przyjazdu do Anglii był już uformowany jako uczony. Jego wszystkie prace nosiły piętno wysoce indywidualnego stylu, często przedstawiały wyniki bez dowodu.

Dzięki pobytowi w Anglii Ramanujan zyskał bardziej konwencjonalną wiedzę matematyczną, zdobył też uznanie w kręgach akademickich, został przyjęty do Towarzystwa Królewskiego. Nie było mu jednak łatwo. Z początku słabo znał angielski. Był wegetarianinem i sam sobie gotował, w latach pierwszej wojny światowej niełatwo było zdobyć potrzebne mu składniki. Nie potrafił przywyknąć do klimatu, po paru latach poważnie zachorował i wrócił do Indii, gdzie zmarł w wieku trzydziestu dwóch lat.

Publikacje stanowią zaledwie małą cząstkę spuścizny Ramanujana. Większość jego wyników zawarta jest w notatnikach, które zaczęły ukazywać się dopiero po jego śmierci.

Godfrey Hardy oceniał talent Ramanujana na 100, swój własny na 25. Wielki matematyk niemiecki David Hilbert miał w tej skali 80 punktów. Hardy uważał, że w pewnych dziedzinach: w rozumieniu skomplikowanych wyrażeń algebraicznych czy w umiejętności manipulowania szeregami nieskończonymi Ramanujan dorównywał Eulerowi i Jacobiemu. Wypadało tylko żałować, że zbyt długo zdany był na własne siły: samotny nastolatek z Indii odkrył znaczną część tego, co zbiorowym wysiłkiem stworzyli najlepsi matematycy Europy. Nie miał dostępu do porządnej literatury matematycznej, nie znał niemieckiego ani francuskiego – a w tych językach ukazywały się najważniejsze książki XIX wieku. O sile jego oryginalności świadczyć może fakt, że wydawnictwo Springer publikuje czasopismo matematyczne „The Ramanujan Journal”, gdzie ukazują się wyłącznie prace z dziedzin, na które wpływ miał hinduski uczony.

Większość wyników Ramanujana dotyczy funkcji nieelementarnych. Dla przykładu przedstawimy tylko dwa. Wyrażenie stałych e oraz \pi jako sumy szeregu nieskończonego i ułamka łańcuchowego:

\sqrt{\dfrac{\pi e}{2}} =1+\dfrac{1}{1\cdot 3}+ \dfrac{1}{1\cdot 3 \cdot 5}+\ldots+ \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1+ \cfrac{2}{1 + \cfrac{3}{1+\cfrac{4}{1+\ldots}} } }}

I jeszcze szereg pozwalający obliczyć liczbę \pi . Opublikowany został w 1914 roku bez dowodu.

\dfrac{1}{\pi}=\dfrac {\sqrt{8}} {9801}\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4 396^{4n}}

Ma on tę zaletę, że każdy następny wyraz daje kolejne osiem cyfr wyniku. W roku 1985 R. William Gosper Jr. obliczył za jego pomocą liczbę \pi z dokładnością ponad 17 milionów cyfr. Wkrótce też Jonathan i Peter Borweinowie udowodnili wzór Ramanujana, przy okazji znaleźli szeregi jeszcze szybciej zbieżne, których każdy wyraz daje kolejne pięćdziesiąt cyfr wyniku.

(*) Ten wzór wyglądający jak majaczenie szaleńca pierwszy uzyskał Leonard Euler w 1735 roku. Można mu nadać sens używając sumowania Abela albo wychodząc poza dziedzinę rzeczywistą i zauważając, że jest to funkcja zeta Riemanna \zeta(-1)

Reklamy

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj / Zmień )

Connecting to %s