Czy 1+2+3+…=-1/12? Ramanujan, Euler i Tao o szeregach rozbieżnych


Szeregi stosowane są powszechnie do obliczania wartości funkcji (np. w kalkulatorze czy językach programowania). Najprostszy jest szereg geometryczny, np.

1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\ldots=\dfrac{1}{1-\frac{1}{2}}=2.

Można to zilustrować obrazkiem z Wikipedii:

geometric_series

W lutym 1913 roku Srinivasa Ramanujan w swoim drugim liście do matematyka z Cambridge Godfreya Harolda Hardy’ego pisał: „Drogi Panie, z ulgą przejrzałem pański list z 8 lutego 1913 roku. Spodziewałem się od pana odpowiedzi podobnej do tej, jakiej udzielił mi pewien profesor matematyki z Londynu, prosząc, bym przestudiował porządnie Szeregi nieskończone Bromwicha i unikał pułapek szeregów rozbieżnych. (…) Napisałem mu, że według mojej teorii suma nieskończonej liczby wyrazów szeregu

1+2+3+4+\ldots=-\dfrac{1}{12}

 Jeśli to panu powiem, uzna pan, że nadaję się do domu wariatów. Rozwodzę się nad tą sprawą jedynie po to, aby pana przekonać, że nie zrozumie pan moich metod dowodu, jeśli opis mego sposobu postępowania ograniczony będzie tylko do jednego listu”.

W notatniku Ramanujana znajduje się następujące wyprowadzenie równości z listu:

Ramanujan_Notebook_1_Chapter_8_on_1234_series

c=1+2+3+4+5+\ldots

4c=0+4+0+8+0+12+\ldots.

Wobec tego, odejmując stronami, otrzymamy

-3c=1-2+3-4+5+\ldots.

Sumę tego ostatniego szeregu można obliczyć, korzystając z równania

\dfrac{1}{(1+x)^2}=1-2x+3x^2-4x^3+\ldots \mbox{ (*)}

Podstawiając x=1, otrzymamy

-3c=\dfrac{1}{(1+1)^2}=\dfrac{1}{4} \mbox{, zatem } c\equiv s_1=\boxed{-\dfrac{1}{12}}.

Ramanujan miał bardzo niekonwencjonalne wykształcenie matematyczne, lecz z pewnością nie był szaleńcem. Nie wiedział wtedy, że już w XVIII wieku jego wielki poprzednik Leonard Euler uważał takie rozumowanie za uprawnione. Oczywiście, dodając kolejne liczby naturalne, nie otrzymamy żadnej granicznej wartości – szereg jest rozbieżny. Euler sądził jednak, że skoro równanie (*) słuszne jest dla |x| <1, to rozsądnie jest przedłużyć jego ważność także na przypadek x=1. Suma taka nie istnieje w sensie zwykle przyjmowanym w dzisiejszych podręcznikach matematyki, ale w końcu w matematyce wolno robić wszystko, co nie prowadzi do sprzeczności, więc może być sensowne także operowanie szeregami takimi jak szereg liczb naturalnych. Euler znał wiele takich równań, otrzymanych w podobny sposób, np.

s_0=1^0+2^0+3^0+\ldots=1+1+1+1+\ldots=\boxed{\dfrac{1}{2}}

s_2=1^2+2^2+3^3+\ldots=\boxed{0}.

Można te szeregi traktować jako szczególne przypadki szeregu definiującego funkcję zeta Riemanna:

\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^s}

Jeśli s traktujemy jako rzeczywiste, to musi zachodzić s>1, aby tak zdefiniowana funkcja istniała. Można jednak rozszerzyć dziedzinę na liczby zespolone i okazuje się, że jedynym punktem, w którym zeta nie jest określona, jest s=1. W ten sposób nasze szeregi można powiązać z wartościami funkcji zeta, które można obliczyć innymi metodami. Dostaje się wówczas

s_n=\zeta(-n).

Można też do tych dziwnych szeregów podejść w sposób bardziej elementarny. Nie są one zbieżne, bo wyraz ogólny rośnie, zamiast odpowiednio szybko maleć do zera. Można by temu zaradzić zmieniając nieco definicję naszych szeregów, np. mnożąc ich wyrazy przez odpowiednio szybko malejącą funkcję, tak dobraną, aby szereg uzbieżnić. Mówi się w takich przypadkach, że regularyzujemy wyrażenie. Weźmy funkcję wykładniczą, która maleje dla dużych n: \eta(n)=\exp(-n/N), gdzie N jest stałym parametrem.

ekxponenty

Przedstawiliśmy dwie takie funkcje dla N=1 oraz N=10. (Wartości na osi pionowej są w zapisie wykładniczym, liczba po E to wykładnik potęgi do jakiej należy podnieść 10.) Teraz dla każdego dodatniego N szeregi są zbieżne. Im większa wartość N, tym dłużej funkcja jest bliska jedynki, a więc tym lepiej przybliża wyjściowe sumy s_n.

Zregularyzowane sumy można obliczyć ściśle (**), dostaniemy wówczas odpowiednio:

\tilde{s}_0=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\eta(n/N)=N+\boxed{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{12N}-\dfrac{1}{720N^3}+\ldots,

\tilde{s}_1=\sum\limits_{k=0}^{\infty}n\eta(n/N)=N^2\boxed{-\dfrac{1}{12}}+\dfrac{1}{240N^2}+\ldots,

\tilde{s}_2=\sum\limits_{k=0}^{\infty}n^2 \eta(n/N)=2N^3+\boxed{0}-\dfrac{1}{120N}+\ldots.

Pierwszy wyraz po prawej stronie zachowuje się tak, jak można tego oczekiwać: gdy sumujemy dużo jedynek, to wynik jest proporcjonalny do N. Przy wyższych potęgach dostajemy wyższy wykładnik przy N. Ostatnie wypisane wyrazy po prawej stronie maleją wraz z N, a więc stają się coraz mniej istotne, jeszcze szybciej maleją następne wyrazy, których nie wypisaliśmy. Wyniki Eulera i Ramanujana odnajdujemy natomiast w wyrazie od N niezależnym, który równy jest odpowiednio \frac{1}{2}, -\frac{1}{12}, 0. (W szczególności widzimy, że znak tego wyrazu może być dowolny, stanowi on poprawkę do dominującego wyrazu rosnącego z N; sumując dodatnie wartości dostajemy główny wyraz dodatni, a poprawki już niekoniecznie.)

Procedura ta jest uproszczoną wersją podejścia z bloga Terence’a Tao, znakomitego matematyka, medalisty Fieldsa. W istocie jest ona ogólniejsza, niż się może wydawać na pierwszy rzut oka. Można bowiem wziąć jakąkolwiek gładką funkcję regularyzującą (o zwartym nośniku), która dla x=0 przyjmuje wartość 1 i wyniki będą podobne. Zmienią się jedynie współczynniki przy dodatnich oraz ujemnych potęgach N. Natomiast wyrazy nie zawierające N , pozostaną niezmienione. A więc w pewnym dobrze określonym sensie nasze rozbieżne szeregi mają coś wspólnego z wartościami Eulera i Ramanujana, choć nie są to ich sumy, chyba że umówimy się je tak nazywać. Nasze pojęcie jest ogólniejsze, bo można pokazać, że taka regularyzacja nic nie szkodzi prawdziwym szeregom zbieżnym, nie mają one po prostu wyrazu rosnącego z N.

Co więcej, okazuje się, że tak „akademickie” rozważania mają zastosowanie fizyczne. Fizycy bardzo często mają do czynienia z szeregami rozbieżnymi. Przykładem jest tzw. efekt Casimira: gdy dwa kawałki nienaładowanego przewodnika przyciągają się wzajemnie. Napiszę o nim wkrótce.

(*) Równość tę można uzyskać różniczkując równanie

\dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\ldots,

słuszne dla |x|<1.

(**) Oznaczmy x=\frac{1}{N}. W przypadku \tilde{s}_0 otrzymamy wówczas szereg geometryczny:

1+e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+\ldots=\dfrac{1}{1-e^{-x}}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{12}-\dfrac{x^3}{720}+\ldots

Różniczkując obie strony tej równości po -x, otrzymujemy wyrażenia na zregularyzowane sumy dla kolejnych potęg. Jeśli się komuś nie chce liczyć, może wpisać do Wolfram alpha „series 1/(1-exp(-x))”, a następnie kazać mu kilka razy zróżniczkować wynik. Współczynniki rozwinięcia wyrażają się przez liczby Bernoulliego.

 

Advertisements

3 myśli nt. „Czy 1+2+3+…=-1/12? Ramanujan, Euler i Tao o szeregach rozbieżnych

  1. dobra. może jestem za głupi. niech mi ktoś wytłumaczy jak po odjęciu stronami

    c = 1+2+3+4+ …
    4c = 4+8+12+ …

    wychodzi:

    -3c = 1-2+3-4+5+ …

    na moje to jeżeli od pierwszego równania odejmiemy drugie otrzymamy:
    -3c = 1-4 + 2-8 + 3-12 + 4-16 + 5-20 …
    -3c = (-3) + (-6) + (-9) + (-12) + …

    Lubię

    • Trzeba sobie wyobrazić, że odejmujemy ten drugi szereg tylko od parzystych wyrazów pierwszego, wtedy każdy parzysty w rezultacie zmienia znak. To, co napisałem, jest objaśnieniem fragmentu notatnika Ramanujana, który jest może za mały, żeby odczytać. Takie wyprowadzenie nie jest prawidłowe w sensie zwykłego rachunku różniczkowego i całkowego, dlatego Ramanujan mówił o domu wariatów.

      Lubię

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s