Nieśmiertelny wynalazek Josepha Fouriera (1804-1822)

Fourier, syn krawca, którego wcześnie odumarli rodzice, wszystko zawdzięczał swemu talentowi, a także umiejętności niezrażania sobie ludzi. Jego kariera wiele mówi o Francji tamtych czasów. Urodził się i wychowywał za panowania Ludwika XVI. Ktoś zwrócił uwagę na zdolnego chłopca i polecił go biskupowi Auxerre. Dzięki protekcji duchownego Fourier został przyjęty do szkoły artyleryjskiej kierowanej przez maurystów (benedyktyńska kongregacja św. Maura). Wcześnie ujawnił talent matematyczny. Zabiegał o przyjęcie na służbę do artylerii, lecz mimo poparcia słynnego matematyka Adrien Marie Legendre’a, minister odmówił. „Fourier, nie pochodząc ze szlachty, nie ma wstępu do artylerii, choćby nawet był drugim Newtonem” – oświadczył minister. Młody człowiek wstąpił więc do nowicjatu u maurystów, ale wybuchła Rewolucja Francuska i Fourier zmienił zdanie. Ojcowie zatrudnili go mimo to w swej szkole artyleryjskiej, gdzie uczył matematyki, a jak było trzeba, to także retoryki, filozofii i historii. Należał do słuchaczy École normale roku III: był to swoisty eksperyment szkolny, mający dostarczyć Rewolucji nowy zastęp nauczycieli. Tysiąc pięciuset uczniów słuchało wykładów największych uczonych Francji: Lagrange’a, Laplace’a, Monge’a, Bertholleta. Prawdziwą karierę zrobił Fourier dopiero za czasów Napoleona: był wśród uczonych towarzyszących Pierwszemu Konsulowi w wyprawie egipskiej („Osły i uczeni do środka” – wołali oficerowie, kiedy konwój Francuzów został zaatakowany na pustyni). Fourier został sekretarzem Instytutu Egipskiego powołanego przez Napoleona, wniósł swój wkład do jego publikacji. Po kapitulacji armii i powrocie do Francji, został prefektem departamentu Izery, gdzie budował drogi i osuszył bagna Bourgoin. W tym czasie dobiegający czterdziestki uczony zajął się poważniej fizyką matematyczną: zagadnieniem rozchodzenia się ciepła. W roku 1807 wygrał konkurs Akademii Nauk poświęcony temu zagadnieniu. W roku 1822 opublikował swą słynną monografię Théorie analytique de la chaleur – „Analityczną teorię ciepła”.

Joseph_Fourier
Wiedza o cieple nie była zbyt wielka: znano pojęcie temperatury i ciepła właściwego. Nie wiedziano, czym jest ciepło, wyobrażano sobie, że jest rodzajem nieważkiej cieczy, która przepływa z jednego ciała do drugiego, nie ginąc ani nie powstając (zasady termodynamiki sformułowano trzydzieści lat później). Fourier przyjął, że strumień ciepła na jednostkę powierzchni i czasu zależy od tego, jak szybko zmienia się temperatura z odległością.

fourier-strum

J_x=-a\dfrac{\Delta T}{\Delta x}=-a\dfrac{dT}{dx}.

Szybkość zmiany temperatury to gradient. Strumień ciepła jest więc proporcjonalny do gradientu temperatury: jeśli ten sam spadek temperatury przypada na dwa razy krótszy odcinek, to strumień będzie dwa razy większy. Znak minus informuje, że ciepło płynie od temperatury wyższej do niższej, a nie odwrotnie. Stała a charakteryzuje materiał.
Będziemy szukali przepływów stacjonarnych, tj. takich, które nie zależą od czasu. Jeśli przepływ ciepła jest jednowymiarowy, tzn. strumień jest wyłącznie w kierunku osi x, to łatwo stwierdzić, że stacjonarność oznacza wówczas stałość J_x. Powierzchnie izoterm to płaszczyzny prostopadłe do osi Ox, a gradient temperatury jest stały.
Znacznie ciekawsza jest sytuacja w przypadku 2D. Wyobraźmy sobie prostokąt o bokach \Delta x, \Delta y. W naszym przypadku stacjonarnym całkowita ilość ciepła wypływająca w jednostce czasu z prostokąta musi być równa zeru: inaczej prostokąt ogrzewałby się albo oziębiał z czasem.

fourier box

Warunek ten zapisany matematycznie oznacza, że

\Delta y(J_x(x+\Delta x, y)-J_x(x, y))+\Delta x(J_y(x, y+\Delta y)-J_y(x, y))=

=\Delta x\Delta y\left(\dfrac{\partial{J_x}}{\partial{x}}+\dfrac{\partial{J_y}}{\partial{y}}\right)=0.

W pierwszym wierszu mnożymy strumienie przez długości odpowiedniego boku prostokąta, aby otrzymać ilość ciepła przechodzącą przez daną krawędź. Korzystając z tego, że strumień związany jest z gradientem, otrzymujemy następujący warunek stacjonarnego przepływu:

\dfrac{\partial^2{T}}{\partial{x^2}}+\dfrac{\partial^2{T}}{\partial{y^2}}=0.

Jest to równanie Laplace’a, występujące też w elektromagnetyzmie i teorii grawitacji. Aby zrozumieć jego sens, można wyobrazić sobie punkt płaszczyzny otoczony przez cztery inne punkty oddalone o niewielką odległość h.

fourier neighbours

Równanie Laplace’a mówi, że średnia arytmetyczna temperatur w punktach czerwonych równa się temperaturze w środkowym punkcie niebieskim. Nie powinno to dziwić: chodziło przecież o to, aby ciepło nie gromadziło się w żadnym obszarze ani z niego nie uciekało (**). Biorąc odpowiednio małe h, można w ten sposób rozwiązać równanie Laplace’a numerycznie. Można pokazać ogólnie, że gdy funkcja spełnia równanie Laplace’a, to jej średnia wartość po małej sferze (u nas okręgu) o promieniu h równa jest wartości w środku sfery.

fourier sfera

Wśród zagadnień rozważanych przez Fouriera znalazło się i takie: mamy nieskończony dwuwymiarowy pasek, którego jeden bok utrzymywany jest w temperaturze 1, a dwa boczne w temperaturze 0 (odpowiadały one w naszej skali 100^{\circ}\mbox{C} oraz 0^{\circ}\mbox{C}). Zakładamy też, że w nieskończoności temperatura spada do zera. Szukamy rozwiązania stacjonarnego.

fourier_boundary
Łatwo można znaleźć rozwiązania, w których temperatura na obu bokach równa jest zeru oraz stopniowo spada:

T(x,y)=C\exp{(-nx)}\sin{ny},\mbox{(*)}

gdzie parametr n jest całkowity. Dla n=1 wygląda to tak:

fourier1

Dla x=0 mamy jednak funkcję zdecydowanie różną od stałej. Łatwo sobie wyobrazić, że tak będzie i dla innych wartości n. Idea Fouriera polegała na tym, aby temperaturę wzdłuż osi Oy przedstawić jako sumę nieskończenie wielu sinusów:

T(0,y)=\frac{4}{\pi}(\sin y+\frac{1}{3}\sin 3y+\frac{1}{5}\sin 5y+\ldots).

Tak wygląda suma pierwszych trzech wyrazów:

fourier3A tak ośmiu:

fourier8

Naprawdę nasza suma sinusów jest nieparzysta i wygląda następująco (osiem składników):

fourier8full

Jest to funkcja o okresie 2\pi. Podejście Fouriera spotkało się z niedowierzaniem i krytyką. Wprowadzał on do rozważań „dziwne” funkcje, które nie są określone jednym wzorem i nie są ciągłe, przybliżając je wszystkie czymś tak banalnie prostym jak sinusoidy. Wiele prac z dziedziny fizyki i matematyki wyrosło z podejścia Fouriera. Matematycy zastanawiali się nad zbieżnością i pojęciem funkcji, fizycy i inżynierowie stosowali w praktyce. Dziś traktujemy szereg Fouriera jak przedstawienie wektora za pomocą pewnych wektorów bazowych. Np. każdy wektor na płaszczyźnie możemy przedstawić jako kombinację dwóch jednostkowych wektorów o kierunkach osi x i y. Funkcje okresowe o okresie 2\pi wyrażają się przez funkcje \sin{nx} i \cos{nx}, które pełnią rolę wektorów bazowych. Przestrzeń tak zdefiniowana jest nieskończenie wymiarowa i nazywa się przestrzenią Hilberta. Z punktu widzenia fizyka czy inżyniera analiza fourierowska pozwala rozłożyć każdy impuls okresowy na składowe, co pozwala wiele zrozumieć. Np. wysokość tonu wydawanego przez instrument muzyczny określona jest pierwszym sinusem, a następne przesądzają o barwie dźwięku: po tym odróżniamy a zagrane na fortepianie od a zagranego na skrzypcach.

Kiedy już mamy naszą dziwną funkcję rozwiniętą w szereg Fouriera, wystarczy zsumować nieskończenie wiele rozwiązań takich jak (*). Pierwsze trzy składniki dadzą rozwiązanie poniżej (możemy zawsze w razie potrzeby użyć większej liczby wyrazów).

fourier3 laplace

(**) Związek średniej arytmetycznej z równaniem Laplace’a wynika z rozwinięcia w szereg Taylora z dokładnością do h^2:

T(x\pm h,y)=T(x,y)\pm h\dfrac{\partial{T}}{\partial{x}}+\frac{1}{2}h^2\dfrac{\partial^2{T}}{\partial{x^2}},

T(x,y\pm h)=T(x,y)\pm h\dfrac{\partial{T}}{\partial{y}}+\frac{1}{2}h^2\dfrac{\partial^2{T}}{\partial{y^2}}.

Biorąc średnią arytmetyczną z tych czterech wyrażeń i odejmując wartość T(x,y), otrzymujemy

\overline{T}-T=\frac{1}{4} h^2 \left(\dfrac{\partial^2{T}}{\partial{x^2}}+\dfrac{\partial^2{T}}{\partial{y^2}}\right).

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s