Isaac Newton: Jak przyciąga kula? (1685)

Od czasów Galileusza wiadomo, że jabłko spada z jabłoni z przyspieszeniem g, zwanym przyspieszeniem ziemskim. Z tym samym przyspieszeniem spadają także wszystkie inne ciała (pomijamy opór powietrza).

Newton nie był pierwszym uczonym, który wpadł na pomysł, że ciężar jabłka to siła, z jaką jest ono przyciągane przez Ziemię i że ta sama siła odpowiada także za obserwowane ruchy Księżyca i planet. Siła taka powinna być odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości – na co wskazywały znane fakty astronomii. Ale to Isaac Newton pierwszy ściśle wykazał, że trzy prawa Keplera ruchu planet będą spełnione, jeśli na planety działa ze strony Słońca siła tego rodzaju. Co więcej, w roku 1684 Newton wysunął przypuszczenie, że każda cząstka materii przyciąga każdą inną cząstkę z siłą proporcjonalną do mas obu cząstek i odwrotnie proporcjonalną do ich odległości. Oznacza to, że planety przyciągają Słońce (które także musi się poruszać), oraz przyciągają się nawzajem, a więc prawa Keplera są słuszne tylko w pierwszym przybliżeniu. Miało się okazać, że prawo grawitacji jest kluczem do rozwiązania najstarszego i najważniejszego problemu nauk ścisłych: problemu ruchu planet. Mechanika i właściwie cała fizyka powstały niejako przy okazji rozwiązywania tego starego problemu. Można powiedzieć, że nasza cywilizacja wzięła się z prób zrozumienia, jak poruszają się planety: połączenie precyzyjnych obserwacji z abstrakcyjną matematyką okazało się niezmiernie silnym narzędziem intelektualnym.

Prawo grawitacji rodziło jednak pewien problem szczegółowy. Planety są daleko od siebie, możemy je w praktyce uważać za punkty materialne. Jak jednak będzie wyglądało przyciąganie jabłka przez Ziemię? Jabłko jest bowiem przyciągane przez każdy kawałek Ziemi: swój wkład będą tu miały wszystkie części Ziemi, na rysunku zaznaczyliśmy trzy przykładowe kawałki naszego globu; należałoby jednak dodać wkłady od nieskończonej liczby takich małych kawałków. Nie możemy założyć, że Ziemia jest punktowa, gdy razem z jabłkiem jesteśmy na jej powierzchni.

Należy więc zbadać, jak przyciąga kula. Nasza planeta jest kulista (w pierwszym przybliżeniu), można też przypuszczać, że składa się z koncentrycznych powłok sferycznych o stałych gęstościach: wewnątrz najcięższe, a potem coraz lżejsze (przypominałoby to cebulę, gdyby cebula była kulista). Przyciąganie jabłka przez Ziemię jest więc sumą przyciągania przez każdą z tych warstw, na które należałoby rozbić Ziemię.

Jeśli potrafimy obliczyć, jak przyciąga powłoka sferyczna (o jednorodnej gęstości), to będziemy potrafili obliczyć przyciąganie całej Ziemi. Poniżej przedstawiamy dwa sposoby obliczenia tego przyciągania.

Pierwsze rozumowanie nie pochodzi od Newtona, jest raczej w duchu fizyki dziewiętnastowiecznej, która wprowadziła pojęcie pola: w każdym punkcie przestrzeni mamy do czynienia z polem grawitacyjnym. Natężenie tego pola to prostu przyspieszenie, z jakim spadałoby w tym miejscu ciało puszczone swobodnie.

Przypomnijmy pojęcie kąta bryłowego . Gdy na sferze o promieniu wybierzemy pewną powierzchnię o polu , a następnie połączymy środek sfery z brzegami naszej powierzchni, wytniemy kąt bryłowy równy

.

Powierzchnia może być dowolna, gdy weźmiemy całą powierzchnię sfery, kąt bryłowy wyniesie

Weźmy teraz pewną sferę oraz punkt materialny P (o masie ) położony wewnątrz niej. Obliczymy jakie jest średnie przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni sfery (sfera jest czysto matematyczna).

Na powierzchni sfery obieramy jakiś mały element powierzchni o dowolnym kształcie i polu . Element ten odległy jest od P o . Zakreślając z punktu P kawałek powierzchni sferycznej o tym promieniu, otrzymamy małą powierzchnię o polu . Powierzchnia ta jest rzutem . Zgodnie z definicją kąta bryłowego, mamy

Przyspieszenie grawitacyjne pochodzące od punktu materialnego P będzie na naszym elemencie powierzchni sfery równe

G oznacza stałą grawitacyjną. Mnożąc oba ostatnie wyrażenia stronami, otrzymujemy

gdzie oznacza składową przyspieszenia zwróconą do środka naszej kuli. Przyjrzyjmy się równości

Po lewej stronie mamy kąt bryłowy widziany z P, po prawej przyspieszenie i dowolny element powierzchni naszej sfery. Możemy wyobrazić sobie, że całą sferę dzielimy na na bardzo wielką liczbę małych powierzchni i wszystkie te przyczynki sumujemy. Kąt bryłowy z lewej strony będzie równy :

Wyobraźmy sobie teraz, że mamy więcej takich punktów materialnych jak P. Dla każdego możemy napisać wyrażenie jak wyżej i wszystko to dodać: po lewej stronie powiększy się masa, po prawej dostaniemy sumę przyspieszeń grawitacyjnych od każdej masy z osobna, czyli całkowite przyspieszenie grawitacyjne:

Ostatnia równość jest słuszna dla dowolnego rozkładu masy wewnątrz sfery(*). Symbole oznaczają składową radialną (tzn. wzdłuż promienia) przyspieszenia grawitacyjnego. Zastosujmy to wyrażenie do powłoki kulistej koncentrycznej z naszą sferą i zawartej wewnątrz niej. Powłoka kulista musi przyciągać jednakowo w każdym punkcie sfery. Wartość przyspieszenia po prawej stronie jest więc stała i możemy napisać:

gdzie jest promieniem naszej sfery. Zatem przyspieszenie grawitacyjne dawane przez dowolną powłokę kulistą (jej promień jest nieistotny, musi być tylko zawarta wewnątrz naszej sfery) równe jest

mogliśmy opuścić prim, gdyż korzystamy z faktu, że przyspieszenie grawitacyjne powłoki kulistej musi być skierowane wzdłuż promienia, obliczana przez nas składowa to w tym przypadku całe przyspieszenie.

Przyspieszenie grawitacyjne jest więc takie, jakby cała masa powłoki skupiona była w środku geometrycznym. Zatem chcąc obliczyć przyspieszenie ziemskie na powierzchni globu, wystarczy do ostatniego wzoru wstawić masę i promień Ziemi. Fakt, że otrzymuje się prawidłowy wynik świadczy o tym, że rozkład mas wewnątrz Ziemi w dobrym przybliżeniu jest kulistosymetryczny.

(*) Uzyskaliśmy w zasadzie prawo Gaussa dla powierzchni sferycznej: strumień pola przez powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do masy wewnątrz tej powierzchni. Należałoby jeszcze pokazać, że masy położone na zewnątrz nie mają wpływu na nasze wyrażenie.

A teraz rozumowanie Newtona. Prop. LXXI, Liber I, Principia 1687, s. 193: Cząstka położona na zewnątrz powłoki sferycznej przyciągana jest do środka tej sfery siłą odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości tej cząstki od owego środka.

Dwa położenia cząstki względem sfery oznaczone są P oraz p. PL oraz PK są dwiema blisko położonymi prostymi, interesuje nas przyciąganie małego pasa powierzchni sfery położonego między prostymi IQ i HH’ zaznaczonymi na niebiesko (rysunki należałoby obrócić odpowiednio wokół PB pb). Na drugim rysunku punkt p położony jest w innej odległości, proste pl oraz pk wybieramy tak, żeby HK=hk oraz IL=il. Dalej wszystko już będzie łatwe. Z konstrukcji wynika, że SD=sd oraz SE=se. Ponieważ nasze proste PK i PL są bardzo blisko siebie, więc DF=SD-SE=sd-se=df (słuszne w granicy). Obliczamy teraz stosunek sił działających na p oraz P ze strony odpowiednich pasów naszej powłoki sferycznej. Każda z sił jest wprost proporcjonalna do pola powierzchni pasa (czyli masy), która z kolei proporcjonalna jest do iloczynu promienia IQ oraz długości łuku RH (analogicznie dla drugiego). Siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości PI. Obliczamy tylko jej rzut na prostą PB, bo tylko ta składowa jest różna od zera, gdy dodamy przyczynki od różnych części danego pasa. Rzut taki otrzymamy, mnożąc siłę przez cosinus kąta PFS, czyli PF:PS. Stosunek sił wygląda więc następująco

Trójkąty prostokątne PRI oraz PDF są podobne, tak samo dla drugiego rysunku. Mamy stąd

W przedostatniej równości skorzystaliśmy z DF=df. W ostatniej korzystamy z podobieństwa małych trójkątów RHI oraz rhi. Kąty RHI oraz rhi są kątami między cięciwą a styczną do okręgu: dla jednakowych cięciw w jednakowych okręgach kąty te są równe.

Trójkąty prostokątne PIQ oraz PSE mają wspólny kąt ostry, są więc podobne. Tak samo będzie dla drugiego rysunku. Otrzymujemy zatem

W ostatniej równości korzystamy z SE=se.

Mnożymy teraz stronami dwa ostatnie równania, otrzymując

Mamy stąd

Podstawiając to wyrażenie do stosunku sił, otrzymamy ostatecznie

Sumując wkłady od poszczególnych pasków, na jakie możemy podzielić sferę, otrzymamy taką samą zależność również dla całkowitych sił przyciągania. W zasadzie, kiedy już mamy konstrukcję z rysunku, cała reszta jest trywialnym zastosowaniem podobieństw trójkątów. Niesamowity dowód. Podejrzewam, że Newton wymyślił tę konstrukcję i natychmiast zobaczył, że to już daje dowód, wystarczyło go tylko zapisać. D.T. Whiteside, który wiedział wszystko o matematyce Newtona, podkreślał, że twierdzenie to nie było szczególnie trudne z punktu widzenia autora Principiów, choć może nieco zaskakujące.

Oczywiście, pasy sferyczne muszą być nieskończenie cienkie i musi ich być nieskończenie wiele, aby to rozumowanie działało. Nie jest to wbrew staraniom Newtona typowa geometria starożytnych Greków (choć pewnie Archimedes zrozumiałby, o co chodzi). Naprawdę obliczamy tu pewną całkę, unikając mówienia o tym głośno.