Archiwa tagu: Feigenbaum

Robert M. May, Mitchell Feigenbaum i początki teorii chaosu (1975-1978)

Zamieszczono przez

Niektórzy uważają nauki ścisłe za nudne, ponieważ wszystko się w nich oblicza i wszystko poddane jest rygorom jakichś praw i formuł, w których brak rzekomo miejsca na twórczą swobodę. Okazuje się jednak, że nawet najprostsze wzory matematyczne prowadzić mogą do nieprzewidywalnych wyników.

Robert M. May zaczynał jako fizyk teoretyczny, potem zajął się matematyką stosowaną, a tak naprawdę jej zastosowaniami w biologii. Zwrócił on uwagę na niezwykłe własności prostego odwzorowania. Załóżmy, że chcemy modelować liczbę organizmów w jakimś zamkniętym środowisku w różnych latach. Organizmy się rozmnażają, więc ich liczba w danym roku x_{n+1} zależy od ich liczby w roku poprzednim x_{n} :

x_{n+1}=r x_{n},

gdzie parametr r oznacza współczynnik związany z przyrostem naturalnym. Jeśli r>1, to przyrost naturalny jest dodatni. Oznaczałoby to, że liczba naszych organizmów będzie rosła coraz szybciej, tworząc ciąg geometryczny. Byłby to przypadek eksplozji demograficznej albo sepsy. Zazwyczaj wzrost hamowany jest dostępnością pożywienia: im więcej jest organizmów, tym trudniej o pożywienie. Jeśli nasza nisza ekologiczna jest skończona, to możemy użyć zmodyfikowanej postaci poprzedniego wzoru:

x_{n+1}=r x_{n} (1-x_{n}),

Liczbę organizmów przedstawiamy teraz jako ułamek pewnej wartości maksymalnej, w ten sposób nasze x_{n} zawarte są w przedziale [0,1]. Efektywny współczynnik przyrostu jest teraz równy r (1-x_{n}) , maleje więc w miarę zapełniania się środowiska. Otrzymujemy w ten sposób proste równanie pozwalające obliczać liczbę organizmów w kolejnych pokoleniach. Odwzorowanie takie nazywa się logistycznym, uwzględnia ono skończoność zasobów i nadal jest stosunkowo proste. Zależy ono tylko od jednego parametru r, który powinien znajdować się w przedziale [0,4], żeby wynik kolejnej iteracji nie wyprowadził nas poza przedział [0,1], co w naszym modelu nie miałoby sensu. Robert May zdał sobie sprawę, że zachowanie odwzorowania logistycznego bywa zaskakujące i nietrywialne. W 1976 roku ogłosił w „Nature” artykuł o „prostych modelach matematycznych z bardzo złożoną dynamiką”. Głównym przykładem było odwzorowanie logistyczne.

Co może się stać, gdy zaczniemy wykonywać kolejne iteracje? Przy pewnym szczęściu mogłoby się okazać, że x=r x(1-x), Mamy wówczas punkt stały: za każdym razem dostaniemy to samo. Jeśli jednak zaczniemy od innej wartości, należy się spodziewać, że z czasem sytuacja będzie dążyć do stanu równowagi. Rzeczywiście tak się dzieje dla r<3. Np. dla r=2,9, startując z punktu x_0=0,5, otrzymamy oscylacje dążące do pewnej granicy. Jej wartość nie zależy od x_0, rozwiązanie dąży do punktu stałego.

image

Mamy więc dążenie do równowagi ekologicznej. Można tę sytuację zilustrować następującym wykresem:

r290

Mamy tu wykresy dwóch funkcji y=rx(1-x) oraz y=x. Startujemy z x_0=0,5, wynikiem pierwszej iteracji jest wartość leżąca na paraboli pionowo nad x_0. Chcemy następnie, aby wartość ta była punktem wyjścia do następnej iteracji: rysujemy więc odcinek poziomy aż do przecięcia z prostą y=x. Opuszczając teraz odcinek pionowy na parabolę, generujemy następny punkt, a przesuwając go poziomo do przecięcia z y=x, mamy punkt wyjścia dla iteracji nr 2. Widać, że punkty dążą do punktu stałego, który odpowiada przecięciu obu naszych wykresów funkcji.

Weźmy teraz wartość r=3,2. Oto, co dostajemy z iteracji: po pominięciu pewnej liczby początkowych wartości nasz wykres zaczyna oscylować:

image (1)

Zamiast równowagi ekologicznej mamy zależność okresową. Wykres pajęczynowy wygląda następująco:

r3.20

Dla jeszcze większych wartości, np. r=3,5 zamiast równowagi, dostajemy cykl o okresie cztery:

image (2)

 

r350

Co dalej? Można się domyślić, że teraz nic już nie zatrzyma kolejnych podwojeń. Nasze okresowe cykle będą się rozdwajać na cykle o podwojonym okresie. Wreszcie dla jeszcze większych wartości parametru r dostaniemy zachowanie chaotyczne, tak jakby okres stał się nieskończony.

image (5)

r380

Okazuje się, że to jeszcze nie koniec komplikacji: otóż dla pewnych wartości r powyżej progu chaotyczności, ponownie otrzymujemy wartości okresowe.

image (7)

r3832

Ten okres równy 3 podwaja się dla nieco większych wartości, w sumie obraz jest dość skomplikowany, i o tym właśnie napisał Robert M. May.

bifurkacje may

Tak przedstawiał się wykres w pracy z roku 1976. Na osi poziomej mamy parametr r, na pionowej wartości x. W istocie sytuacja jest znacznie skomplikowana, niż wówczas sądzono. Oto jakiś jej zwiastun:

tmp_m6W9Wb

Widzimy tu podwojenia i potem następne podwojenia. Wykres ten ma strukturę fraktalną: jego małe fragmenty są w powiększeniu takie jak większe. Łatwo go obejrzeć z większą rozdzielczością. Możemy też sami się pobawić oglądaniem tej struktury.

 

Większość wartości r powyżej 3,56995 wykazuje zachowania chaotyczne. Oznacza to np., że można by kolejnych tak generowanych liczb używać jako liczb pseudolosowych (niemal każda wartość początkowa prowadzi do innego ciągu).

W tym miejscu mogłoby się wydawać, że odwzorowanie logistyczne, dane równaniem kwadratowym jest jakoś wyróżnione. Okazuje się wszakże, że inne krzywe mające maksimum będą prowadzić do podobnych rezultatów. Odkrył to Mitchell Feigenbaum, potomek uchodźców z Polski (ojciec) i z Ukrainy (matka), który zrobił doktorat z cząstek elementarnych, długo nie publikował i jest człowiekiem dość ekscentrycznym. Bawił się on namiętnie wszystkim, co służyło do liczenia, aż wpadł mu w ręce pierwszy programowalny kalkulator HP-65. Za jego pomocą dokonał słynnego odkrycia uniwersalności w dochodzeniu do chaosu. Gdy rozpatrzymy kolejne wartości progów, przy których podwaja się okres, otrzymamy dla odwzorowania logistycznego, co następuje:

n 2^n r_n r_{n}-r_{n-1} ilorazy
1 2 3
2 4 3,44949 0,44949
3 8 3,54409 0,0946 4,751479915
4 16 3,564407 0,020317 4,656199242
5 32 3,5687594 0,0043524 4,667999265
6 64 3,5696916 0,0009322 4,66895516

Ponieważ liczyło się to długo, więc Feigenbaum próbował odgadywać, przy jakiej wartości pojawi się następny próg. Różnice kolejnych wartości bardzo szybko maleją. Feigenbaum odkrył, że

\dfrac{r_{n+1}-r_{n}}{r_{n+2}-r_{n+1}}\rightarrow 4,669201.

Okazało się, że jeśli zastąpić krzywą logistyczną jakąś inną funkcją o podobnym przebiegu, np. połówką sinusoidy, granica ta pozostanie taka sama. Wśród całego tego chaosu coś pozostaje stałe. Wartość tę nazywa się dziś Deltą Feigenbauma. Można ją też oglądać w zbiorze Mandelbrota: gdy powiększamy odpowiedni jego fragment przesuwając się przy tym, obserwujemy kolejne okręgi o promieniach w stosunku stałej Feigenbauma.

Mandelbrot_zoom

 

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Self-similarity

Z podobnym zjawiskiem uniwersalności spotykamy się w dziedzinie przejść fazowych, gdzie także obowiązują prawa skalowania i wykładniki w tych prawach powtarzają się dla wielu różnych układów. Praca Feigenbauma przyniosła mu sławę: nie każdy odkrywa jakąś nową stałą matematyczną. Jest to pewnie jedyny przypadek, aby za pomocą kalkulatora dokonano istotnego odkrycia, niebawem narzędziem stały się komputery, sam Feigenbaum też ich potrzebował, aby dokładniej znaleźć wartość swoich stałych (bo jest jeszcze jedna). Z początku niezbyt ścisłe argumenty oraz eksperymenty numeryczne były jego głównym osiągnięciem, miał w związku z tym spory kłopot z publikacją: przez kilka lat różne pisma odrzucały jego artykuł, który dopiero w 1978 ukazał się on w „Journal of Statistical Physics”. Recenzenci dość często nie wiedzą, co zrobić z pracą zanadto nowatorską i niesztampową. Żyjemy w czasach nauki biurokratycznej, choć realny postęp niekoniecznie nadchodzi z przewidywalnych kierunków.

Arkusz Google’a z odwzorowaniem logistycznym