Bertrand Russell: Czy matematyka to logika? (1900-1913)

Jego ojcem chrzestnym był John Stuart Mill i Bertrand „odziedziczył” po nim wiele poglądów. Nie było to wcale oczywiste: Mill umarł, gdy dziecko miało rok, odumarli go też wcześnie oboje liberalni rodzice, którzy przyjaźnili się z filozofem, a wychowanie przejęła wiktoriańska babka, unitarianka o bardzo rygorystycznej moralności, jak najdalsza od zachęcania do wolnomyślicielstwa. Mimo to młodzieniec po solennym rozpatrzeniu kwestii doszedł do wniosku, że Boga nie ma, uznając wszelkie formy kultu religijnego za pozbawione treści, a przy tym bardziej szkodliwe niż pożyteczne dla społeczeństwa.

Chcemy stać o własnych siłach i patrzeć na świat bez uprzedzeń, ale i bez złudzeń – na jego dobre i złe strony, jego piękno i brzydotę, chcemy widzieć świat takim, jakim jest, i nie odczuwać przed nim lęku. Powinniśmy podbijać świat inteligencją, a nie odnosić się doń z niewolniczą uległością wypływającą z przerażenia, jakie w nas budzi. Pojęcie Boga bierze swój początek ze starożytnych wschodnich despotyzmów. To pojęcie bezwarunkowo niegodne wolnych ludzi. (…)

Dobrze urządzony świat potrzebuje wiedzy, dobroci i odwagi. Nie potrzeba mu żalów i westchnień za przeszłością ani zakuwania w kajdany swobodnej inteligencji za pomocą słów wyrzeczonych niegdyś przez ignorantów. Potrzebuje on śmiałych poglądów i swobodnej inteligencji. Potrzebna mu jest nadzieja na przyszłość, a nie oglądanie się wstecz. (Dlaczego nie jestem chrześcijaninem?, 1927 r., przeł. A. Kurlandzka, przekład poprawiony)

Największym odkryciem jego młodości była matematyka. Wciąż jeszcze uczono jej, korzystając z Elementów Euklidesa.

W wieku lat jedenastu zabrałem się za Euklidesa, mając mojego brata jako nauczyciela. Było to jedno z wielkich  wydarzeń w moim życiu, równie olśniewające jak pierwsza miłość. Nie wyobrażałem sobie, że na świecie istnieje coś tak cudownego. Kiedy przeszedłem Zagadnienie 5 (Pons asinorum), brat powiedział mi, że powszechnie uchodzi ono za trudne, ja jednak nie miałem z nim żadnych trudności. Wtedy to po raz pierwszy zaświtało mi w głowie, że może posiadam jaką taką inteligencję. (Autobiografia 1872-1914, przeł. B. Zieliński, przekład poprawiony)

W późniejszych latach Russell krytykował zresztą zwyczaj uczenia z Euklidesa, ponieważ starożytny podręcznik nie spełnia dzisiejszych wymagań logicznych. Logika i filozofia miały stać się głównymi dziedzinami wczesnej pracy naukowej Russella, choć niemal jednocześnie zajmował się polityką socjaldemokracji (niezbyt typowe zajęcie dla młodego lorda, przyszłego trzeciego earla Russella), ekonomią, filozofią Leibniza, podstawami geometrii. Jego wykształcenie z Cambridge, gdzie studiował, a później został członkiem Trinity College, było wprawdzie nierównej jakości, ale młody człowiek poczuł się tam nareszcie na swoim miejscu i zaczął odrabiać towarzysko lata samotnego przebywania z babką i rodziną. Zwrócono zresztą na niego uwagę od pierwszej chwili. Egzaminujący go filozof i matematyk Alfred North Whitehead postanowił przyjąć właśnie jego mimo gorszego wyniku punktowego, polecając go uwadze przyszłych kolegów. Whitehead został z czasem przyjacielem i współpracownikiem Russella.

Cambridge odegrało ważną rolę w moim życiu dzięki temu, że dało mi przyjaciół i pozwoliło zakosztować intelektualnych dyskusji, ale nie było ważne pod względem właściwego wykształcenia akademickiego. (…) Większość tego, czego nauczyłem się z filozofii, wydała mi się z czasem błędna i wiele następnych lat spędziłem na stopniowym oduczaniu się nawyków myślowych, których tam nabrałem. Jedynym takim nawykiem prawdziwie cennym była intelektualna uczciwość. Ta cnota z pewnością występowała nie tylko u moich kolegów, ale i u nauczycieli. (Autobiografia)

Portret pędzla Arthura Fry, 1923 r.

W roku 1900 Russell brał udział w Międzynarodowym Kongresie Filozoficznym w Paryżu. Wielkie wrażenie wywarły tam na nim osoba i prace Giuseppe Peano. Włoski matematyk był jednym z pionierów logiki matematycznej i teorii mnogości. Wprowadził m.in. symbolikę logiczną, która pozwalała sprowadzać twierdzenia matematyki do operacji na zdaniach logiki, np. \sim p oznaczało zaprzeczenie zdania p, p \lor q – alternatywę zdań p,q itd. Russell, który od lat interesował się tym, skąd się bierze pewność twierdzeń matematycznych, dostrzegł możliwość szczegółowego sprowadzenia podstaw matematyki do logiki.

We wspomnieniu wydaje mi się, że każdy dzień owego miesiąca był ciepły i słoneczny. Whitehead przebywał z żoną u nas w Fernhurst i wyjaśniałem mu moje nowe pomysły. Co wieczór dyskusja kończyła się na jakiejś trudności, a co rano stwierdzałem, że trudność z poprzedniego wieczora rozwiązała się sama, podczas gdy spałem. Był to okres intelektualnego upojenia. Moje odczucia przypominały wrażenie, które odnosi się, kiedy po wspinaczce na górę we mgle docieramy do szczytu i mgła się nagle rozwiewa i wiadać całą okolicę na mil czterdzieści wokoło. Przez całe lata usiłowałem przeanalizować podstawowe pojęcia matematyczne, takie jak porządek i liczby kardynalne. I oto nagle, w ciągu paru tygodni, odkryłem coś, co wydawało się ostatecznymi odpowiedziami na problemy, które zastanawiały mnie od lat. A odkrywając te odpowiedzi, wprowadzałem nową technikę matematyczną, dzięki której regiony pozostawiane poprzednio mglistości filzofów zdobywane były dla precyzji ścisłych formuł. Pod względem intelektualnym wrzesień 1900 roku był punktem szczytowym mojego życia. Powtarzałem sobie, że teraz nareszcie uczyniłam coś wartego zachodu i doznawałem uczucia, że muszę uważać, aby mnie nie przejechano na ulicy, zanim to spiszę. (jw.)

Stan upojenia, czujemy to przecież, musiał się kiedyś skończyć. W tym przypadku było nim odkrycie paradoksu. Jedno z jego sformułowań jest następujące. Rozważmy zbiór S=\{A| A \mbox{  jest zbiorem }  \land A \notin A \}. Słowami: S jest zbiorem takich zbiorów, które nie są jednocześnie swoimi elementami. Zbiór S może albo być swoim elementem: S\in S, albo nim nie być: S\notin S. W pierwszym przypadku zbiór S spełnia warunki definicji A, a więc S\notin S. W drugim S spełnia warunek definicyjny, a więc S\in S. Zatem w obu przypadkach natrafiamy na sprzeczność.

Z początku sądziłem, że powinienem z łatwością ją przezwyciężyć i że prawdopodobnie tkwi tu jakiś banalny błąd w rozumowaniu. Burali-Forti wykrył już podobną sprzeczność i przy analizie logicznej wyszło na jaw, że istnieje tu pokrewieństwo ze starożytnym paradoskem greckim dotyczącym Epimenidesa Kreteńczyka, który powiedział, że wszyscy Kreteńczycy są kłamcami. (…)

Wydawało się rzeczą niegodną dorosłego człowieka trwonić czas na takie błahostki, ale cóż mogłem począć? Trywialna czy nie, sprawa ta stanowiła wyzwanie. Przez drugą połowę roku 1901 przypuszczałem, że rozwiązanie będzie łatwe, lecz po upływie tego czasu doszedłem do wniosku, że wymaga to dużej pracy.

Russell opublikował książkę w 1903 r. The Principles of Mathematics, a kilka lat później wziął się wraz z Whiteheadem do pracy nad ogromnym trzytomowym dziełem Principia Mathematica.

Nie był to oczywiście rodzaj rękopisu, który można by przepisać na maszynie czy choćby skopiować. Kiedy go w końcu zabraliśmy do wydawnictwa [Cambridge University Press], był tak ogromny, że musieliśmy w tym celu wynająć stary wózek. Ale nawet i wtedy nasze trudności się nie zakończyły. Wydawnictwo oceniło, że straci na tej książce 600 funtów, a syndycy byli wprawdzie gotowi ponieść stratę w wysokości 300 funtów, ale uważali, że poza tę sumę posunąć się nie mogą. Towarzystwo Królewskie nader wspaniałomyślnie wpłaciło 200 funtów, a pozostałe 100 musieliśmy znaleźć sami. Tym sposobem zarobiliśmy po minus 50 funtów za pracę dziesięciu lat.

Fragment początkowy dowodu, że 1+1=2 (s. 379, t. 1). Zakończenie tego dowodu znajduje się dopiero w t. 2 na s. 89 (pierwsze wydanie)

Rozwiązanie paradoksu zaproponowane przez Russella i Whiteheada, teoria typów, nie było całkiem zadowalające. Później, w roku 1931, Kurt Gödel wykazał, że nie istnieje taki zbiór aksjomatów, który pozwoliłby rozstrzygnąć prawdziwość każdego twierdzenia, jakie zostanie sformułowane na jego gruncie.

 

 

Reklamy