François Arago i prędkość światła (1810)

W roku 1809 dwudziestotrzyletni Arago został przyjęty do Akademii Nauk (przejściowo zwanej Instytutem Francji, uczeni należeli do jego pierwszego wydziału). Młody człowiek zdążył już przepracować kilka lat w Obserwatorium Paryskim i wziąć udział w trzyletniej podróży naukowej, której celem był dokładniejszy pomiar długości południka – czyli obwodu Ziemi. Rewolucja Francuska oprócz zmian politycznych przyniosła też system dziesiętny, nawet w kalendarzu: należało pracować dziewięć dni, by wypoczywać w dziesiątym, a kąt pełny miał mieć odtąd 400°, a nie 360°. Planowano też wprowadzić podział doby na dziesięć godzin po sto minut, lecz zapał rewolucyjny minął zbyt szybko. Zdążono natomiast wprowadzić jako jednostkę długości metr, równy jednej czterdziestomilionowej długości południka paryskiego. Pomiar południka oznaczał zatem dokładniejsze wyznaczenie metra. Ponieważ czasie pomiarów wojska francuskie dokonały inwazji Hiszpanii, więc ludność Balearów, widząc, jak Arago każe rozpalać ogniska na szczytach gór i w ogóle zachowuje się podejrzanie, uznała go za szpiega. Uwięziony w fortecy Bellver w Palma de Mallorca, zdołał z niej zbiec w łódce rybackiej, zabierając wyniki pomiarów, a nawet przyrządy geodezyjne. Trafił do Algieru, skąd popłynął do Marsylii, lecz niedaleko celu podróży hiszpańscy korsarze napadli na statek, co spowodowało dalsze uwięzienie, tym razem na wybrzeżu Katalonii, skąd trafił znowu do Algieru, w następnej przeprawie do Marsylii przeszkodziły wiatry północne. Wreszcie po kolejnych kilku miesiącach uczony dotarł tam wreszcie i musiał odbyć jeszcze długą kwarantannę w lazarecie. Mógł jednak zawiadomić bliskich, że żyje, w co nikt już nie wierzył. Otrzymał też niebawem list od poruszonego tymi przygodami sławnego przyrodnika Alexandra von Humboldta. Tak zaczęła się ich przyjaźń (choć starszy i homoseksualny Humboldt miał ochotę na coś więcej).

Niewątpliwie młody człowiek wykazał, że ma głowę na karku, choć można się zastanawiać, czy to wystarczy, by zostać członkiem Instytutu. Przeciwny kandydaturze Arago był wielce wpływowy Pierre Simon Laplace, który miał własnego kandydata, nieco starszego Siméona Poissona (tego od równania Poissona). Laplace wysuwał argument, że Arago niczego wielkiego jeszcze nie dokonał i jest za wcześnie, by go przyjmować do tego elitarnego grona. Odpowiedział mu podobno Joseph Lagrange, jedyna osoba, która mogła z Laplace’em mówić jak równy z równym: „Pan także, Laplace, przed wejściem do Akademii nie dokonał niczego godnego uwagi, można było jedynie pokładać w panu nadzieję. Pańskie wielkie odkrycia przyszły dopiero później” [Arago, Oeuvres complètes, t. 1, Histoire de ma jeunesse] Rzeczywiście, Laplace przyjęty został w wieku dwudziestu czterech lat, będąc dopiero u progu ważnych odkryć z mechaniki niebios. To odwieczny dylemat: czy stabilizacja finansowa powinna ułatwiać osiągnięcia, czy być za nie nagrodą. Francja miała silny państwowy system popierania nauki, który w tamtych czasach funkcjonował znakomicie, wystarczy popatrzeć na nazwiska członków Akademii z początku XIX wieku. Cesarz Napoleon I był autokratą, ale nie był idiotą i zatwierdził nominację Arago, zaprzysięgłego republikanina, a pod koniec życia chronił go przed represjami także następny cesarz, Napoleon III. Arago był przez wiele lat deputowanym do parlamentu, gdzie zajmował się popieraniem nowych wynalazków w rodzaju kolei żelaznych czy fotografii.

W grudniu 1810 roku jako świeżo upieczony członek Instytutu Arago przedstawił pracę poświęconą prędkości światła. Przyjmował w niej założenie, że światło ma naturę cząstkową. Francuz czytał pracę Michella i znał jego przewidywania, że prędkość światła emitowanego przez masywne gwiazdy może być znacznie mniejsza niż obserwowana w pobliżu Ziemi. Także Laplace przeprowadził podobne rachunki, wyszło mu, że ciało gęstości Słońca stałoby się ciemną gwiazdą, gdyby jego promień przekraczał 250 promieni Słońca. Prawdopodobnie także on zasugerował astronomowi sprawdzenie, czy różnice prędkości światła odbijają się jakoś na zjawisku aberracji światła gwiazd. Maksymalny kąt aberracji równy jest v/c, gdzie v – jest prędkością orbitalną Ziemi, a c – prędkością światła. Kąt ten jest mały i równy mniej więcej 10^{-4} \mbox{ rd} \approx 20'' , jak odkrył na początku XVIII w. James Bradley. Jeśli światło gwiazd dociera do nas z różną prędkością, to kąty aberracji powinny się indywidualnie różnić w zależności od gwiazdy. Efekty te powinny także zależeć od kierunku ruchu Ziemi, a więc zmieniać się w rytmie rocznym. Ponieważ najmniejsze kąty możliwe do zmierzenia były rzędu kilku sekund, więc tą drogą można by wykryć tylko bardzo znaczne zmiany prędkości światła.

Bardziej obiecujące wydawało się zjawisko załamania światła, którego wielkość także zależy od prędkości promieni w próżni. Światło różnych gwiazd powinno się więc załamywać w różnym stopniu. Arago starał się wykryć te różnice, umieszczając przed obiektywem teleskopu pryzmat. Aby obrazy gwiazd nie rozmyły się wskutek rozszczepienia światła w pryzmacie, używał dwóch sklejonych ze sobą pryzmatów ze szkła ołowiowego i zwykłego, które tworzyły układ achromatyczny – odchylający światło (w przybliżeniu) niezależnie od jego barwy. Astronom mierzył różnicę kąta między promieniem światła przepuszczonym obok pryzmatu i załamanym przez pryzmat dla szeregu gwiazd. Kąty odchylenia promienia były jednak praktycznie takie same, różniąc się najwyżej o kilka sekund, najwyraźniej w sposób przypadkowy – należało zatem przypisać je błędom pomiaru. Według obliczeń Arago zmiana prędkości światła o 1/10000 powinna skutkować różnicą kierunku promienia nawet o 14’’ – a więc znacznie więcej niż jego błędy pomiarowe. Ponieważ Ziemia porusza się z prędkością 1/10000 prędkości światła, więc obserwacje Arago powinny być wrażliwe na kąt między kierunkiem prędkości Ziemi a kierunkiem ku gwieździe. Żadnej tego typu zależności nie udało mu się wykryć. Jak napisał w swoim wystąpieniu przed Instytutem: „Na pierwszy rzut oka wynik ten wydaje się być w jawnej sprzeczności z Newtonowską teorią załamania [światła], ponieważ rzeczywiste nierówności między prędkościami promieni nie wywołują żadnych nierówności w ich odchyleniu”. Jeśli wierzyć Popperowi, teoria Newtona została tym samym obalona: jeśli z teorii wynika wniosek niezgodny z obserwacjami, to tym samym założenia teorii są nieprawdziwe. Obserwacje Arago były kłopotliwe, zwłaszcza dla ludzi takich, jak Laplace czy patronujący młodemu astronomowi Jean Baptiste Biot – zaprzysięgłych zwolenników teorii korpuskularnej światła. Obaj uczeni nie dali się przekonać nie tylko wynikom Arago, ale także i falowej teorii światła.

Arago zaproponował dziwaczne i dość desperackie wyjście z sytuacji: może promienie świetlne różnią się prędkościami, ale oko ludzkie reaguje tylko na wąski przedział prędkości. Wiedziano już od niedawna, że istnieje promieniowanie podczerwone, które przenosi ciepło, a także nadfioletowe, które zaczernia chlorek srebra (ten ostatni fakt otworzył drogę do wynalezienia fotografii). Może więc to prędkość decyduje o tym, czy widzimy dane cząstki światła, czy nie. Praca Arago nie została opublikowana, uczony poprzestał na jej odczytaniu. Można przypuszczać, że astronom sam nie wiedział, jak wytłumaczyć uzyskane wyniki. Choć na jego rezultaty powoływali się inni uczeni, to praca ukazała się drukiem dopiero czterdzieści lat później.

Wtedy kontekst był już inny. Pojawił się bowiem w nauce francuskiej Augustin Fresnel i jego wersja teorii falowej (wcześniejsza teoria falowa Thomasa Younga we Francji zrobiła jeszcze mniejsze wrażenie niż w Anglii). Arago należał do wczesnych zwolenników teorii falowej. Nic jednak nie jest proste na tym świecie: także w teorii falowej wyjaśnienie obserwacji Arago nie było zbyt naturalne: trzeba założyć, że eter świetlny jest wleczony, ale tylko częściowo, przez poruszający się ośrodek. Dopiero teoria względności wyjaśniła w roku 1905 rezultaty Arago w sposób naturalny: prędkość światła padającego na pryzmat z próżni równa jest zawsze c, bez względu na ruch pryzmatu, gwiazdy i Ziemi. Arago nie wykrył zmian odchylenia, bo ich po prostu nie ma.

Balony i ciemne gwiazdy Johna Michella (1783)

We wrześniu 1783 roku podpisano traktat pokojowy między Stanami Zjednoczonymi a Wielką Brytanią. Amerykańska kolonia wywalczyła sobie niepodległość. Sporą rolę w politycznych zabiegach o wolność odegrał Benjamin Franklin, znany uczony i pierwszy Amerykanin sławny na cały ówczesny świat. Sędziwy uczony pełnił w tych latach funkcję ambasadora we Francji, co miało ogromne znaczenie – bez francuskiej pomocy finansowej i wojskowej kolonie nie zdołałyby się wyzwolić. Franklin, członek Towarzystwa Królewskiego, który spędził przedtem wiele lat w Londynie i czuł się tam jak w domu, uznał jesienią tego roku, że czas nawiązać zerwane z powodu wojny stosunki naukowe. Nic jednak na tym świecie nie wraca do punktu wyjścia, rozbrat z Anglią stał się nieodwracalny. Toteż pisząc do sir Josepha Banksa, przewodniczącego Towarzystwa Królewskiego, Franklin dał mu odczuć po której stronie się znajduje.

Jesień tego roku upłynęła w Paryżu pod znakiem kolejnych prób lotów balonem. Dziesiątki tysięcy ludzi przyglądało się pierwszym lotom. Niektórzy widzieli w tym jedynie niepoważną modę, Franklin sądził inaczej. Pisał do Banksa:

Przykro mi, że ten eksperyment pozostaje całkowicie zaniedbany w Anglii, gdzie tak silny jest geniusz mechaniczny. Szkoda, że nie ma takiego samego współzawodnictwa między narodami, jakie widzę tutaj między dwoma stronnictwami: wasza filozofia wydaje się zbyt nieśmiała. W tym kraju nie boimy się tak bardzo, że ktoś się może z nas śmiać. Jeśli zrobimy coś głupiego, to pierwsi jesteśmy gotowi się z tego śmiać i niemal taką samą przyjemność sprawia nam bon mot albo dobra chanson, gdy wyśmiewają niepowodzenie jakiegoś projektu, jak i chwalą sukces. Nie wydaje mi się, aby warto było rezygnować z przeprowadzenia nowego eksperymentu tylko dlatego, że nie widzimy, do czego można by wykorzystać tę umiejętność.

Opisał mu też jedną z takich prób:

Ponieważ czułem się trochę niedysponowany, powietrze było chłodne, a ziemia wilgotna, zrezygnowałem z udania się do Ogrodu Tuileries, gdzie umieszczony był balon, nie wiedząc, jak długo będzie trzeba czekać, zanim będzie on gotów do odlotu, i zdecydowałem pozostać w mym powozie blisko posągu Ludwika XV (…) ranek był mglisty, ale koło pierwszej znacznie się przejaśniło ku wielkiemu zadowoleniu widzów, których była niezliczona rzesza, gdyż kilka dni wcześniej ogłoszono w gazetach zamiar przeprowadzenia eksperymentu, tak że wyległ na zewnątrz nie tylko cały Paryż: w okolicach Tuileries, na nabrzeżach i mostach, na ulicach, w oknach i na dachach domów, ale także mieszkańcy okolicznych miast i wiosek. Nigdy dotąd żaden eksperyment filozoficzny nie zgromadził tyle publiczności. (…) Między pierwszą a drugą widzowie uraczeni zostali widokiem [balonu] wznoszącego się majestatycznie ponad drzewa, a następnie stopniowo ponad budynki, co dostarczyło niezwykle pięknego spektaklu! Na wysokości jakichś dwustu stóp dzielni śmiałkowie wychylili się i pomachali białym proporczykiem na obie strony swej gondoli, aby pozdrowić widzów, którzy odpowiedzieli gromkim aplauzem. (…) Miałem ze sobą kieszonkową lunetę, za pomocą której śledziłem balon, stopniowo przestając rozróżniać najpierw ludzi, potem gondolę, a kiedy po raz ostatni widziałem balon, wydawał mi się nie większy niż orzeszek laskowy

W odpowiedzi Banks przywoływał zasługi brytyjskie: biskupa Johna Wilkinsa, który w XVII wieku fantazjował na temat machin latających i Henry’ego Cavendisha, który pierwszy napełniał bańki mydlane palnym powietrzem (tzn. wodorem).

Kiedy jednak nasi przyjaciele po Pańskiej stronie morza nieco ochłoną, zauważą z pewnością, jak przyglądamy się zbiorowiskom gwiazd i meteorów, badając, czy nie potrafimy zdobyć nie mniejszej wiedzy dzięki zastosowaniu teorii do tego, co znajdujemy w arsenałach nieba.
Pan Michell przedstawił interesujący artykuł, w którym traktuje światło jako podlegające działaniu grawitacji na równi z innymi ciałami.

John Michell, duchowny, geolog, badacz magnetyzmu i autor pierwszego przyrządu do „zważenia Ziemi”, tzn. wyznaczenia jej średniej gęstości (albo masy, co na jedno wychodzi), uznał, że grawitacja działa także na cząstki światła. Ponieważ przyspieszenie nadawane przez siły grawitacji nie zależy od rodzaju ciała, więc nie musimy nic wiedzieć na temat mas takich cząstek światła.

Posługując się mechaniką Newtona, obliczył on, o ile cząstki światła dobiegające do Ziemi spowalniane są przez grawitację Słońca. Potrzebował do tego obliczyć prędkość ucieczki ze Słońca v w porównaniu z prędkością światła c. Otrzymał

\dfrac{v}{c}\approx \dfrac{1}{497}.

Oznaczało to, że prędkość cząstek światła daleko od powierzchni Słońca można wyznaczyć z warunku

c_{\infty}^2=c^2-v^2 \Rightarrow c_{\infty}=\sqrt{c^2-v^2}\approx c\left(1-\dfrac{1}{494000}\right).

Prędkość zmieniałaby się więc w tym przypadku nieznacznie. Można jednak wyobrazić sobie, że we wszechświecie istnieją ciała znacznie masywniejsze od Słońca. Jeśli przyjmiemy, że mają one tę samą co ono gęstość średnią, to wystarczy, by ich promień był 497 razy większy od promienia Słońca, by światło nie mogło uciec z ich pola grawitacyjnego. Byłyby to więc ciemne gwiazdy, niewidoczne optycznie. Możliwe byłyby także sytuacje, gdy prędkość cząstek światła jest znacznie zmniejszona w stosunku do swej wartości wyjściowej. Można by zaobserwować takie zmiany dzięki zjawisku załamania, które zależy od prędkości światła w obu ośrodkach. Astronomowie dość szybko stwierdzili, że nie obserwuje się takich zmian.

Cztery uwagi na koniec.

  1. Hipoteza Michella jest naturalna w cząstkowej teorii światła. Nie ma natomiast powodu, aby światło podlegało działaniu grawitacji, jeśli jest ono falą w eterze. Nie ma też takiego powodu w elektromagnetycznej teorii Maxwella. Oddziaływanie grawitacji na światło pojawia się dopiero w teorii Einsteina, ponieważ deformuje się czasoprzestrzeń, w której porusza się światło i nie ma tu znaczenia, czym jest światło – każda cząstka o zerowej masie będzie się poruszać tak samo.
  2. Wynik Michella dla ciemnych gwiazd jest liczbowo taki sam, jak wzór na promień Schwarzschilda dla czarnej dziury.  Znaczy to, że możliwa jest czarna dziura zbudowana z materii o gęstości Słońca, a więc rzędu gęstości wody, byle tylko masa była dostatecznie duża: 500^3=125\cdot 10^6 mas Słońca. Takie czarne dziury znajdują się w centrach galaktyk. To przykład, że utworzenie się czarnej dziury nie musi następować w warunkach skrajnie wielkiej gęstości. Promień Schwarzschilda jest proporcjonalny do masy, więc średnia gęstość równa masa/promień^3 jest proporcjonalna do M^{-2}.
  3. Gwiazda Michella różni się od czarnej dziury: światło mogłoby z niej uciec, gdyby zostało wyemitowane np. ze wznoszącej się rakiety. Podobnie astronauta mógłby uciec z ciemnej gwiazdy Michella posługując się rakietą. W przypadku czarnej dziury nie ma takiej możliwości.
  4. Teoria emisyjna światła broniona była na początku XX w. przez Waltera Ritza. Silnym kontrargumentem obserwacyjnym jest wobec niej fakt, że nie obserwuje się zmian prędkości światła wysyłanego przez składniki gwiazd podwójnych. Zmiany prędkości źródła nie wpływają na prędkość światła – zwrócił na to uwagę Willem de Sitter.

Zobaczmy, jak Michell obliczył prędkość ucieczki ze Słońca.
Promień kątowy Słońca to 16’, czyli w radianach 1/214,19. Promień Słońca R jest więc 214,19 razy mniejszy od promienia orbity Ziemi. Z III prawa Keplera zastosowanego do Ziemi i satelity Słońca na orbicie równej jego promieniowi, otrzymujemy okres obiegu takiego (hipotetycznego) satelity: T=10067 \mbox{ s}. Wiadomo z dzieła Newtona, że prędkość ucieczki jest \sqrt{2} razy większa od prędkości satelity na orbicie kołowej. Wiadomo wreszcie, że światło biegnie ze Słońca t=488\mbox{ s} (używamy tu danych Michella).
Mamy więc

\dfrac{v}{c}=\sqrt{2}\,\dfrac{2\pi R}{T}\dfrac{t}{214,19 R}\approx \dfrac{1}{497}.

Kwadrat prędkości ucieczki z pola grawitacyjnego równy jest kwadratowi prędkości uzyskanej w spadaniu ze spoczynku aż do powierzchni (Słońca w naszym przypadku):

{\displaystyle v^2=\int_{R}^{\infty}\dfrac{2GM}{r^2}dr=\dfrac{2GM}{R}}.

Na rysunku całka to pole pod krzywą zaznaczone na niebiesko i równe polu powierzchni czerwonego prostokąta z lewej strony. Do tradycji szkoły brytyjskiej należało posługiwanie się geometrią i opisem słownym, bez wyrażeń algebraicznych.

Zauważmy, że przy powiększaniu ciała bez zmiany gęstości masa M będzie proporcjonalna do R^3 i prędkość będzie proporcjonalna do R: dlatego ciemna gwiazda powinna mieć promień 497 razy większy od Słońca.
Michell, podobnie jak Newton, nie znał pojęcia energii potencjalnej. Dziś zapisalibyśmy zasadę zachowania energii w nieskończoności i na powierzchni Słońca:

\dfrac{c_{\infty}^2}{2}=\dfrac{c^2}{2}-\dfrac{GM}{R}.