Feynman w Cornell i latający talerz (1945-1946)

Nauki przyrodnicze dostarczają jedynej w swoim rodzaju przyjemności, związanej ze zrozumieniem mechanizmów świata. Pomagają nam go odczarować, jak twierdził Max Weber. Oto znane fakty układają się w nowej konfiguracji, czujemy, że dotknęliśmy absolutu, ukazały nam się na chwilę surowe i pozaludzkie kontury rzeczywistości. Zwłaszcza fizyka teoretyczna dostarcza epifanii tego rodzaju. Okazuje się, że można stworzyć matematyczny model prawdziwego świata i model ten działa. Filozofowie mogą się spierać, czy nauka dostarcza nam rzeczywistej wiedzy, jednak równania fizyki prowadzą do jak najbardziej sprawdzalnych wniosków. Przykładem może być Projekt Manhattan, w którym powstała bomba atomowa. Duże zespoły uczonych i inżynierów zbudowały coś, co najpierw zaistniało jedynie jako model matematyczny. I to coś wybuchło na poligonie w Alamogordo, a potem jeszcze w kilku innych miejscach ze znanym skutkiem.

Jesienią 1945 roku uczeni z Projektu Manhattan wracali do życia cywilnego. Richard Feynman jeszcze w Los Alamos został skaperowany na uniwersytet Cornella przez Hansa Bethego. Bethe, jeden z uczonych młodszego pokolenia zmuszonych do emigracji z Niemiec, był teoretykiem uniwersalnym, znającym różne dziedziny fizyki i do tego legendarnie sprawnym w obliczeniach wszelkiego rodzaju: od skomplikowanej matematyki aż do oszacowań liczbowych w pamięci. Feynmanowi, który też był mistrzem metod obliczeniowych, Bethe niewątpliwie imponował. Oczywiście, nie tylko Bethe dostrzegł wyjątkowy talent Feynmana, Los Alamos było wtedy światowym centrum fizyki i przewinęli się przez ten ośrodek najwybitniejsi fizycy wolnego świata. Także Robert Oppenheimer usiłował zwerbować Feynmana. Skutek praktyczny był taki, że zanim jeszcze młody uczony podjął pracę, Cornell kilkukrotnie podnosiło mu przyszłą pensję, aby dorównać konkurencji. Sam Feynman niezbyt na ten ruch zwracał uwagę, bo wybrał Bethego i Cornell (uniwersytet ten stał się zresztą dzięki Bethemu znakomitym ośrodkiem fizyki teoretycznej, Amerykanie wielce tu skorzystali na irracjonalnej polityce nazistów). Dwudziestoośmioletni Feynman czuł się wtedy wypalony i bezużyteczny, wygórowane oczekiwania działały na niego deprymująco, aż w końcu jeden ze starszych kolegów przekonał go, że jeśli prowadzi zajęcia ze studentami, to uniwersytet nie powinien narzekać. Feynman od początku traktował nauczanie bardzo poważnie, sądził w młodzieńczej naiwności, że powinien uczyć rzeczy, które trudno znaleźć w książkach. Taki charakter miał jego wykład z metod matematycznych fizyki. Była to kolekcja sztuczek przydatnych fizykom, zachowały się zresztą notatki jednego ze słuchaczy. Po hektycznej pracy w Los Alamos, gdzie wszystko należało robić natychmiast i jak najszybciej, przejście do pokojowego życia akademickiego nie było łatwe. W dodatku Feynman wciąż myślał o Arline, choć nie widać było po nim depresji. Bethe zauważył, że Feynman w depresji jest tylko trochę bardziej ożywiony niż inni w swoim najlepszym nastroju. We wspomnieniach Feynmana przełomowym momentem, kiedy jego samopoczucie zaczęło się zmieniać, była pewna sytuacja w stołówce uniwersyteckiej. Ktoś wygłupiał się, rzucając do góry obracający się talerz z herbem uczelni. Feynman przyglądał się tej scenie: talerz w locie kołysał się i obracał jednocześnie. Zaintrygowało go, że stosunek częstości kołysania i obrotu wynosi 2:1. Zaczął się nad tym zastanawiać, aż znalazł rozwiązanie. Ponieważ prosty wynik powinien być odzwierciedleniem jakiejś prawidłowości, postarał się go uzyskać w inny sposób, aż w końcu uznał, że zgłębił to niepotrzebne nikomu zagadnienie. Opowiedział o tym Bethemu, który nie był zachwycony – zwerbował młodego geniusza, a ten traci czas na bezużyteczne ćwiczenia. Nie ma jednak zupełnie bezużytecznych ćwiczeń w nauce. Zagadnienie wirującego talerza przywróciło Feynmanowi radość z rozwiązywania zagadek. Obiecał sobie zajmować się odtąd fizyką wyłącznie dla zabawy. Jak to się skończyło, wszyscy wiemy. Jeśli wykłady Feynmana do dziś mają taką siłę przekonywania, to m.in. dlatego, że czujemy, iż autor dobrze się bawi, opowiadając o fizyce, czujemy, jak cieszy go myślenie, proponowanie nowych sposobów podejścia, szukanie powiązań między różnymi zagadnieniami.

Pokażemy niżej, jak można opisać ruch obrotowy talerza w powietrzu. Zagadnienie jest w istocie proste i można znaleźć jego rozwiązanie w wielu podręcznikach. Nieoceniony okazuje się tu kurs Lwa Landaua i Ewgenija Lifszyca, w którym nigdy nie ma zbędnych słów ani wzorów, a fizyka jest niebywale elegancka i zdyscyplinowana. Feynman niewątpliwie rozwiązał to zagadnienie po swojemu bez zaglądania gdziekolwiek. My korzystamy z jednego akapitu Mechaniki Landaua i Lifszyca.

Pomijamy opór powietrza. Ruch talerza jest sumą ruchu postępowego jego środka masy oraz ruchu obrotowego względem środka masy. Środek masy lecącego swobodnie talerza zakreśli parabolę. Jeśli talerzowi nadamy ruch obrotowy, to jego moment pędu w trakcie lotu nie bedzie się zmieniać. Co to oznacza? Każda bryła, np. jajo albo kartofel, ma trzy wzajemnie prostopadłe osie obrotu (osie główne), dla których moment pędu i prędkość kątowa są proporcjonalne (na rysunkach zaznaczono dwie osie):

M_i=I_i\omega_i,\,i=1,2,3.

Współczynniki proporcjonalności nazywają się momentami bezwładności i zależą od kształtu ciała oraz położenia osi. Np. na rysunku widać, że łatwiej będzie nadać bryle ruch obrotowy wokół osi x_1 niż x_2, bo masy, z których ciało się składa, w pierwszym przypadku położone są bliżej osi obrotu niż w drugim. To samo ciało ma różną bezwładność w różnych kierunkach. Jeśli ciało obraca się ruchem bardziej skomplikowanym, to składowe prędkości kątowej oraz momentu pędu należy do siebie dodać, np. w przypadku dwóch składowych:

\vec{\omega}=\vec{\omega}_1+\vec{\omega}_2,

\vec{M}=I_1\vec{\omega}_1+I_2\vec{\omega}_2,

widzimy, że na ogół kierunki wektorów wypadkowych będą różne, ponieważ prędkości kątowe mnożymy przez różne (zazwyczaj) momenty bezwładności.

Przechodzimy do przypadku wirującego talerza. Technicznie określa się taki przypadek mianem bąka symetrycznego (bo dwa momenty bezwładności I_1=I_2 są równe, a trzeci I_3 jest inny. Moment pędu jest stały, możemy więc zrobić następujący rysunek.

Wektor \vec{\Omega} jest prędkością katową, oś x_3 jest osią symetrii naszego bąka-talerza, x_1 jest do niej prostopadła, x_2 jest prostopadła do rysunku i celuje w widza. Ponieważ M_2=0=I_2\omega_2, więc \omega_2=0. Nasza bryła nie obraca się wokół x_2, kąt \vartheta=\mbox{const} . Prędkości chwilowe punktów osi bryły, leżących na x_3 są prostopadłe do rysunku. Inaczej mówiąc, całość rysunku obraca się wokół stałego wektora \vec{M}. Prędkość kątową naszej bryły rozkładamy na dwie składowe: wzdłuż \vec{M} oraz wzdłuż x_3. Tylko ta pierwsza zmienia położenie osi x_3 ciała (druga dotyczy ruchu bryły wokół osi, nie wpływa więc na jej położenie) i ona jest poszukiwaną przez nas prędkością kątową \vec{\Omega}_{pr} precesji ciała wokół stałego wektora \vec{M}.

\vec{\Omega}=\vec{\Omega}_{pr}+\vec{\Omega}_3.

Rzutując \vec{\Omega}_{pr} na kierunek x_1, otrzymujemy

{\Omega}_{pr}\sin\vartheta=\dfrac{M_1}{I_1}=\dfrac{M\sin\theta}{I_1} \Rightarrow {\Omega}_{pr}=\dfrac{M}{I_1}.

Rzutując \vec{M} na oś x_3, otrzymujemy

M\cos\vartheta=I_3\omega_3 \Rightarrow \omega_3=\dfrac{M\cos\vartheta}{I_3}.

Łącząc oba ostatnie równania, dostajemy

{\Omega}_{pr}=\omega_3 \dfrac{I_3}{I_1 \cos\vartheta}\approx 2\omega_3.

Ostatnia równość zachodzi dla przypadku \vartheta\approx 0, czyli dla precesji pod niewielkim kątem, oraz I_3=2I_1, co jest słuszne dla wirującego dysku. Szczegóły niżej.

Otrzymaliśmy więc proporcję 2:1, która się pojawia wskutek szczególnego stosunku momentów bezwładności. W przypadku ciała spłaszczonego jak talerz rysunek powinien wyglądać nieco inaczej, ale wynik się nie zmienia.

Nie jest to żadne wiekopomne osiągnięcie, podręczniki przed Feynmanem znały i przedstawiały taką sytuację. Pokolenie Feynmana słabiej już znało detale klasycznej mechaniki, on sam był bardzo szczególnym studentem, który zarazem wiedział bardzo dużo i miał ogromne luki. Np. uczniowie Lwa Landaua musieli zdawać egzaminy po kolei ze wszystkich tomów fizyki teoretycznej, nazywało się to u nich „teoreticzeskij minimum” i trwało zazwyczaj kilka lat. Tak czy owak problem był łatwy i jego znaczenie raczej psychologiczne: dzięki niemu uczony przełamał blokadę psychiczną i z powrotem zajął się pracą, tj. tworzeniem na nowo, po swojemu, mechaniki i elektrodynamiki kwantowej.

Została nam jeszcze kwestia momentów bezwładności dysku wokół różnych osi. Przyjrzyjmy się pierścieniowi.

Jego moment bezwładności względem osi x_3 prostopadłej do rysunku jest równy I_3=mR^2, gdzie m, R to odpowiednio masa i promień pierścienia. Momenty bezwładności względem x_1 oraz x_2 muszą być jednakowe i ich suma równa jest I_3, stąd i z faktu, że dysk składa się z pierścieni, wynika równość Feynmana.