Louis Bachelier: Teoria spekulacji (1900)

Louis Bachelier był o dziewięć lat starszy od Einsteina. Prawdopodobnie nigdy się nie zetknęli i nie wiedzieli, że ich badania mają ze sobą coś wspólnego. Pierwszy badał ceny akcji na giełdzie, drugi – podstawowe prawa fizyki. Obaj stosowali metody rachunku prawdopodobieństwa. Na początku XX wieku podejście takie było awangardowe, zdarzenia losowe wydawały się marginesem dobrze naoliwionej i przewidywalnej machiny świata. Machina ta jest jednak zbyt złożona i zbyt wielka, abyśmy potrafili wyobrazić sobie wszystkie jej trybiki jednocześnie. Nie sposób np. przewidzieć ruchu cząstek w gazie, gdyż jest ich zbyt wiele i nie znamy dokładnie ich położeń i prędkości, a w dodatku zderzenia, które są nadwrażliwe na warunki początkowe, stale „tasują” owe położenia i prędkości. (Z podobnego powodu nigdy nie uda się obliczyć, jaka będzie pogoda za rok.) Także giełda zachowuje się w sposób przypadkowy:

Niezliczone są okoliczności, które mogą wpływać na ruchy giełdy: zdarzenia przeszłe, obecne, bądź tylko przewidywane, nie mając często widocznego związku z jej zachowaniem, wpływają jednak na notowania. Obok tych przyczyn niejako naturalnych wpływ mają także przyczyny sztuczne: giełda reaguje na samą siebie i bieżące jej ruchy są nie tylko funkcją ruchów uprzednich, ale także jej obecnego stanu. Określenie tych ruchów zależy od nieskończenie wielu czynników, nie można tu więc mieć nadziei na matematyczną przewidywalność. Sprzeczne opinie na temat tych zmian są tak podzielone, że kupujący liczą na wzrost cen, sprzedający zaś na ich spadek.

Tymi słowami zaczyna się praca doktorska Bacheliera, zatytułowana  Théorie de la spéculation, czyli „Teoria spekulacji”, obroniona na Sorbonie w roku 1900. Opiekunem pracy był Henri Poincaré, matematyk, fizyk, filozof, uczony uniwersalny, który rozumiał, że matematyka powinna sięgać poza swe tradycyjne obszary zastosowań. Rzecz była pionierska, choć z czysto matematycznego punktu widzenia Bachelier nie osiągnął zbyt wiele. Rachunek prawdopodobieństwa nie miał wówczas ścisłych podstaw aksjomatycznych, te zapewnił mu dopiero Andriej Kołmogorow w latach trzydziestych. Kołmogorow cytował zresztą Bacheliera w odróżnieniu od jego francuskich kolegów. Kariera naukowa Bacheliera nie ułożyła się zbyt dobrze. Przed pierwszą wojną światową zajmował kiepsko płatną posadę wykładowcy na Sorbonie, potem jako szeregowy żołnierz brał udział w wojnie. Dopiero w 1927 toku udało mu się zostać profesorem w prowincjonalnym Besançon. Dziś nazywany założycielem matematyki finansowej, za życia pozostawał niezauważony. To zresztą typowy los pionierów w nauce. Ważną rolę w tłumieniu nowatorstwa odgrywają granice dyscyplin: Bachelier pojawił się zbyt wcześnie, by docenili go ekonomiści. Pół wieku później jego doktorat z uznaniem czytali późniejsi laureaci ekonomicznych Nagród im. Nobla. Słynny model Blacka-Scholesa dla ceny opcji mógłby w zasadzie powstać już przed pierwszą wojną światową, praca Bacheliera po niewielkich zmianach zupełnie by do tego wystarczyła. Trudność leżała tu nie po stronie matematyki, lecz ekonomii. Inaczej było w przypadku fizyki: tam prace Einsteina i Smoluchowskiego zostały szybko zaakceptowane. Być może czas potrzebny był w tym przypadku na pogodzenie się z myślą, że procesy zachodzące w ekonomii nie różnią się diametralnie  od zjawisk fizycznych. Być może po prostu język prawdopodobieństw i statystyk wszedł na trwałe do myślenia naukowego.

Bachelier wyobrażał sobie, że istnieje jakaś fundamentalna cena akcji, od której z czasem odchyla się cena rzeczywista. Jego rozważania dotyczyły odchyleń od tej wartości fundamentalnej. Przyjmował, że ich rozkład prawdopodobieństwa dla danego czasu t opisany jest słynną krzywą dzwonową Gaussa:

p(x,t) dx=C(t)\exp{({-a(t)^2 x^2})} dx,

gdzie p(x)dx jest prawdopodobieństwem znalezienia ceny w niewielkim przedziale (x,x+dx). Inaczej mówiąc, pole pod tą krzywą ma sens prawdopodobieństwa. Bachelier napisał też równanie, jakie powinny spełniać funkcje p(x,t). Zakładając, że ruchy naszej akcji w ciągu czasu t_1 i potem w ciągu czasu t_2 są niezależne statystycznie, mamy następujące równanie

p(x,t_1+t_2)=\displaystyle{\int p(x-y,t_2)p(y,t_1) dy. }

Sens tego wyrażenia jest następujący: prawdopodobieństwo, że cena w czasie t_1 odchyli się o y od początkowej wartości to p(y,t_1); prawdopodobieństwo, że w czasie t_2 cena przejdzie od wartości y do x jest równe p(x-y,t_2). Prawdopodobieństwa te mnożymy, ponieważ zdarzenia są niezależne, następnie sumujemy po wszystkich wartościach y, czyli całkujemy. Dziś równanie to nazywamy równaniem Chapmana-Kołmogorowa, a operację tworzenia z dwóch rozkładów prawdopodobieństwa trzeciego – splotem. Splatając dwie krzywe Gaussa, otrzymujemy trzecią krzywą Gaussa, przy czym spełniona musi być zależność:

\dfrac{1}{a(t_1+t_2)^2}=\dfrac{1}{a(t_1)^2}+\dfrac{1}{a(t_2)^2}.

Łatwo stąd zauważyć, że 1/a^2 powinno być proporcjonalne do czasu. Ostatecznie otrzymujemy dla funkcji p(x,t) wyrażenie

{\displaystyle p(x,t)=\dfrac{1}{\sqrt{4\pi kt}}\exp{\left(-\dfrac{x^2}{4kt}\right)}.}

Gęstość prawdopodobieństwa ceny akcji rozpływa się z czasem coraz szerzej. Współczynnik k określa, jak szybko. Wariancja naszego rozkładu równa jest 2kt. Mamy tu analogię ze zjawiskiem dyfuzji.

I nie jest to przypadek, gęstość prawdopodobieństwa spełnia bowiem równanie dyfuzji:

\dfrac{\partial p(x,t)}{\partial t}=k\dfrac{\partial^2 p(x,t)}{\partial t^2}.

Te samo równanie opisuje przewodnictwo cieplne, co badał Joseph Fourier. W nowoczesnej matematyce finansowej stosuje się rozkład Gaussa nie do wartości ceny, lecz do wartości jej logarytmu. Usuwa to natychmiast kłopotliwą obiekcję, jaką można mieć do rozważań Bacheliera: rozkład Gaussa jest niezerowy dla każdego x, więc cena dowolnej akcji mogłaby spaść poniżej zera z niezerowym prawdopodobieństwem.

 

Racjonalni inaczej? Kognitywistyka kwantowa

Nie jest to tytuł grantu z Akademii Lagadyjskiej. Chodzi o zastosowanie reguł kwantowej probabilistyki do psychologii. Nie zakładamy, że umysł jest układem kwantowym (być może zresztą jest, ale tutaj to nieistotne). Stosujemy reguły fizyki kwantowej jako alternatywne podejście do kwestii prawdopodobieństwa. Zdaniem wielu współczesnych badaczy, zwłaszcza w obszarze informacji kwantowej, fizyka kwantowa jest czymś więcej niż tylko fizyką, a mianowicie pewnym rodzajem teorii probabilistycznej, różnym od klasycznego prawdopodobieństwa, Laplace’a i Kołmogorowa. Nie jest więc niemożliwe, że zasadnicze reguły prawdopodobieństwa kwantowego można zastosować także poza fizyką.

Stan układu w mechanice kwantowej przedstawia się za pomocą wektora. Ów wektor stanu zawiera potencjalne odpowiedzi na różne pytania eksperymentalne, jakie możemy zadać, wykonując odpowiedni pomiar. W najprostszej sytuacji możemy sobie wyobrażać, że jest to wektor na płaszczyźnie. Pomiar może dać nam binarną odpowiedź: nasz układ ma własność F albo przeciwną ~F. Geometrycznym odpowiednikiem pomiaru jest rzutowanie wektora stanu na osie układu współrzędnych.

linda problem0

Możemy więc nasz wektor zapisać jako sumę rzutów na kierunki F oraz ~F, albo na jakieś inne dwa prostopadłe kierunki B oraz ~B. Operator rzutowania oznaczamy przez P z odpowiednim indeksem:

S=P_{F}S+P_{\sim F}S=P_{B}S+P_{\sim B}S

Kwadraty długości owych rzutów są prawdopodobieństwami uzyskania określonych wyników. Przyjmujemy, że nasz wektor S ma długość jednostkową. Suma kwadratów długości obu rzutów jest zatem także równa 1 (jak powinno być dla prawdopodobieństw wykluczających się zdarzeń, których suma jest pewna), obrót układu współrzędnych tego nie zmienia, bo długość wektora S nadal musi być równa 1.

Oto dwa przykłady zastosowania tego podejścia. Pierwszy to Problem Lindy. Uczestnikom badania przedstawia się sylwetkę Lindy, która studiowała filozofię w liberalnym college’u, interesowała się problemami dyskryminacji i rasizmu, brała udział w demonstracjach przeciwko broni atomowej, jest singielką. Pytamy, co jest bardziej prawdopodobne: czy to, że Linda pracuje w banku przy obsłudze klientów, czy to, że pracuje w banku przy obsłudze klientów oraz jest feministką. Badani częściej wybierają drugą możliwość. Według klasycznej teorii prawdopodobieństwa dołączenie dodatkowego warunku nie może powiększać prawdopodobieństwa (B\cap F\subset B). W modelu kwantowym może być inaczej.

linda problem

Jeśli wektor stanu umysłu S rzutujemy najpierw na oś F, to przechodzi on w wektor P_F S. Pytanie o pracę w banku daje nam kolejne rzutowanie, tym razem na oś B. Wynik jest wyraźnie różny od rzutowania S od razu na oś B (czyli wykonania jednego pomiaru). Kwadraty długości to prawdopodobieństwa, można zatem rozwiązać Problem Lindy.

Jako drugi przykład rozpatrzymy znany z badań opinii publicznej fakt, że kolejność zadania pytań ma wpływ na wyniki. W prowadzonych w Stanach Zjednoczonych sondażach pytano: „Czy uważasz Billa Clintona za człowieka uczciwego i godnego zaufania?”, zadawano też to samo pytanie w odniesieniu do Ala Gore’a (był wiceprezydentem za kadencji Clintona). Ci, którzy, najpierw pytani o Gore’a, odpowiedzieli pozytywnie, częściej byli dobrego zdania o Clintonie niż w przypadku pozytywnej odpowiedzi na pytania w odwrotnej kolejności.

problem gore clinton

 

 

Operacje rzutowania na oś C i na oś G nie są przemienne: wynik zależy od kolejności. Według klasycznego podejścia mamy tu do czynienia z iloczynem zdarzeń, a ten jest przemienny.

Podejście kwantowe może wydawać się zupełnie arbitralne i dowolne: zawsze możemy sobie ustawić osie, jak wygodnie w danym przypadku. Jednak pewne związki miedzy prawdopodobieństwami są niezależne od modelu i potwierdzają się w badaniach empirycznych. Rośnie także liczba sytuacji, w których zastosowano takie podejście (np. dylemat więźnia). Nie jest dla mnie jasne, czy liczby zespolone odgrywają tutaj jakąś rolę. W mechanice kwantowej tylko w szczególnych przypadkach można ograniczać się do wektorów rzeczywistych, najważniejsza część mechaniki kwantowej związana jest z liczbami zespolonymi. Por. też: Piękna fizyka: kwantowe interferencje do kwadratu. W każdym razie se non è vero, è ben trovato.

Podejście to omawia praca: Peter D. Bruza, Zheng Wang, and Jerome R. Busemeyer, Quantum cognition: a new theoretical approach to psychology, „Trends in Cognitive Sciences”, t. 19, nr 7 ((July 2015), s. 383-393, a także wiele innych publikacji.