Czarne dziury – największy błąd Einsteina?

Ogłoszono dziś przyznanie Nagród Nobla z fizyki za czarne dziury. Roger Penrose jest matematykiem, który wykazał w latach sześćdziesiątych XX w., że obiekty takie są nieuchronnym wnioskiem z Einstenowskiej teorii względności. Drugą połowę nagrody otrzymali astronomowie, którzy wykazali, iż w centrum Galaktyki znajduje się ogromna czarna dziura. Poniżej piszę o paradoksalnej prehistorii tego problemu. Rozwiązanie równań Einsteina opisujące czarną dziurę otrzymał Karl Schwarzschild parę tygodni po ogłoszeniu teorii Einsteina. Wiemy dziś, że rozwiązanie to całkiem dobrze opisuje czarne dziury występujące we wszechświecie. Zatem równania znane były od roku 1915, w roku 1939 Robert Oppenheimer opisał, jak czarna dziura może powstać wskutek zapadania grawitacyjnego. Uczeni starali się jednak wyprzeć taką możliwość i nawet sam Oppenheimer nie traktował swej pracy poważnie. Sądzono powszechnie, że równania Oppenheimera i Snydera są tylko ciekawostką matematyczną. Zakładali oni w obliczeniach, że podczas zapadania się gwiazda ma idealną symetrię sferyczną. Był to słaby punkt, bo trudno sobie wyobrazić implozję, która zachowuje się aż tak idealnie. Przełom nastąpił ćwierć wieku później, gdy Roger Penrose wykazał, że czarne dziury pojawiają się bez względu na symetrię. Grawitacja jest siłą przyciągającą i działa tym silniej, im bliżej siebie znajdują się cząstki materii. Może dojść do sytuacji, że siły grawitacyjne pokonają nawet siły jądrowe wewnątrz materii i nasze zbiorowisko cząstek zamieni się w czystą energię grawitacyjną, najprostszy obiekt w przyrodzie, opisany ponad sto lat temu. Swoją drogą szkoda, że Komitet Noblowski nie pospieszył się bardziej, bo w rozwijanie koncepcji czarnych dziur wniósł też wkład zmarły przed dwoma laty Stephen Hawking. Być może uznali, że prace Hawkinga były zbyt spekulatywne. Choć prawdą jest, że to krótka praca Penrose’a z „Physical Review Letters” uruchomiła lawinę.

Nauka postępuje, robiąc błędy. Szczerze mówiąc, niewiele jest prac pionierów, które byłyby z dzisiejszego punktu widzenia prawidłowe. M.in. dlatego tak trudno być odkrywcą: trzeba dostrzec zarysy ładu w ogólnym chaosie i mętliku, zanim kurz opadnie i zanim sytuacja się wyklaruje (wtedy już wszyscy są mądrzy). Nic dziwnego, że w takich okolicznościach często widzi się nie to, co trzeba, albo odnajduje zarysy innego gmachu, niż ten, który ostatecznie zostanie zbudowany. Pionierzy są zwykle ludźmi twardymi, którzy mają jasną wizję świata, i jeśli ten prawdziwy nie przystaje do ich wizji, tym gorzej dla rzeczywistego świata.

Mówi się nieraz o błędach, popełnianych przez wielkich uczonych. Są one rzekomo przydatne, otwierają bowiem drogę do postępu. Nie wiem, czy to prawda. Znam z bliska wiele różnych sytuacji z historii nauki i moje wrażenie jest raczej takie, że pionierzy gotowi są iść za swoją wizją bez względu na koszty. I przeważnie mają w nosie, co inni sądzą na ten temat. Gdyby pozwalali się terroryzować przyjętym poglądom, do niczego by nie doszli. W skrytości ducha uważają opinię powszechną za głos durniów, choć zwykle są na tyle dobrze wychowani, by nie mówić tego głośno. Gotowi są iść za swoją wizją (najpierw trzeba ją oczywiście mieć: na tym etapie odpadają zwykli wyrobnicy), ryzykując wielką przegraną. W nauce (i to jest w niej piękne) powiedzenia Audaces fortuna iuvat nie trzeba tłumaczyć jako „szczęście sprzyja łajdakom”.

Mówi się czasem, że Albert Einstein za największy błąd swego naukowego życia uznał wprowadzenie stałej kosmologicznej. Rzecz jest o tyle zabawna, że obecnie, po latach, stała kosmologiczna pojawiła się znowu – teraz mówi się na nią ciemna energia. Szczerze mówiąc, stała kosmologiczna nie mogła być ani błędem, ani zasługą Einsteina. Wyraz taki można wprowadzić do równań jego teorii grawitacji (tzw. ogólnej teorii względności), ale na gruncie fizyki klasycznej nie ma poważnych powodów, aby to zrobić. Zatem brzytwa Ockhama nakazuje raczej odciąć zbędne narośla niż je pielęgnować. Zawsze lepsza jest teoria oszczędniejsza: np. heliocentryczna w porównaniu do geocentrycznej.

Z czarnymi dziurami jest nieco inaczej. Stosowne rozwiązanie równań Einsteina uzyskał Karl Schwarzschild w roku 1915. Była to jedna z pierwszych prac badających konsekwencje nowej teorii grawitacji. Zastosowanie dość oczywiste z punktu widzenia astrofizyka: gwiazdy są sferyczne, ciekawe więc, co nowa teoria ma do powiedzenia na temat sytuacji, gdy panuje symetria sferyczna. Schwarzschild przesłał swoją pracę z frontu rosyjskiego, kilka miesięcy później nabawił się rzadkiej choroby zakaźnej, pęcherzycy, i umarł. Jego syn, Martin, mający wówczas równo cztery lata, został z czasem wybitnym specjalistą od ewolucji gwiazd. Piękny przykład, jak ojciec, nawet zmarły, może wpłynąć na los dziecka.

Rozwiązanie Schwarzschilda zachowywało się dziwnie w dwóch punktach: r=0 oraz r=rs, gdzie r oznacza odległość od środka; wielkość rs jest dziś nazywana promieniem Schwarzchilda, gdyby całą rozważaną masę M skupić w kuli o promieniu rs , to prędkość ucieczki z jej powierzchni byłaby równa prędkości światła, inaczej mówiąc światło nie mogłoby uciec z tak silnego pola grawitacyjnego. Zastanawiano się już w XVIII wieku nad możliwością istnienia takich ciemnych gwiazd. Promień Schwarzschilda dla Słońca równy jest tylko 3 km – a więc należałoby upchnąć całą jego masę w tak małej kuli, co wydawało się niemożliwe. Sądzono więc, że mamy do czynienia z tzw. zagadnieniem akademickim, czyli nieinteresującym nikogo.

Albert Einstein nie lubił osobliwości w równaniach i w 1939 roku opublikował pracę, w której dowodził, że promień Schwarzschilda nie może zostać osiągnięty przez zapadanie się masy pod wpływem własnej grawitacji. W podsumowaniu pisał: „Osobliwość Schwarzschilda nie może się pojawić, ponieważ materii nie można dowolnie zgęścić. A nie można, ponieważ cząstki wchodzące w jej skład musiałyby osiągnąć prędkość światła”.

Einstein nie miał racji, wykazali to w tym samym roku Robert J. Oppenheimer i jego student Hartland Snyder. Punktem wyjścia Oppenheimera była astrofizyka. Gwiazdy nie zapadają się do wewnątrz, ponieważ wytwarzają energię i ciśnienie gazu (które jest energią ruchu cząstek) przeciwdziała grawitacyjnemu zapadaniu. Jednak gdy paliwo jądrowe się wyczerpie, grawitacja wygrywa i gwiazda staje się znacznie mniejsza niż na początku. Gwiazda może zostać tzw. białym karłem, znano przykłady takich supergęstych gwiazd. Jednak Subrahmanyan Chandrasekhar udowodnił, że białe karły nie mogą być stabilne przy masie powyżej 1,4 masy Słońca. Oznacza to, że Słońce może zostać kiedyś białym karłem. Co jednak z gwiazdami masywniejszymi? Oppenheimer ze współpracownikami wykazali, że inną możliwością jest powstanie tzw. gwiazdy neutronowej: czegoś w rodzaju gigantycznego jądra atomowego zbudowanego z samych neutronów i związanego grawitacją. Jednak i w tym przypadku istniała górna granica masy takiego tworu. Co się stanie, jeśli masa gwiazdy jest tak duża, że ani biały karzeł, ani gwiazda neutronowa nie będą możliwe? Tym właśnie zajęli się Oppenheimer i Snyder. Dowodzili, że kolaps – zapadanie się grawitacyjne – jest nieuniknione przy odpowiednio dużej masie obiektu. Opisali też, co się dzieje, gdy obserwujemy taki grawitacyjny kolaps. Z punktu widzenia obserwatora oddalonego od gwiazdy szybkość tego kolapsu staje się coraz mniejsza, a światło do niego dochodzące jest coraz mocniej przesunięte w stronę czerwieni.

Schwarzschilddiagram

(Rysunek 32.1 C.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler, Gravitation, t. 3)

Na wykresie czas jest na osi pionowej, odległość od centrum na osi poziomej. Wielkość r/M=2 odpowiada promieniowi Schwarzschilda, obszar zakreskowany to wnętrze gwiazdy. Gruba czarna linia odpowiada ruchowi powierzchni gwiazdy, dąży ona asymptotycznie do prostej r/M=2, co oznacza, że ruch staje się coraz wolniejszy i powierzchnia nigdy nie zapadnie się pod promień Schwarzschilda. I rzeczywiście tak jest, ale tylko z punktu widzenia odległego obserwatora. Gdybyśmy poruszali się razem z tą powierzchnią gwiazdy, nasz zegar wskazywałby czas zaznaczony na rysunku jako τ. Dla nas spadanie trwałoby pewien skończony czas i po przekroczeniu promienia Schwarzschilda spadalibyśmy dalej, osiągając w skończonym czasie punkt centralny r=0. Wnioski te (choć nie rysunek) znalazły się w pracy Oppenheimera i Snydera. Pisali oni: „Kiedy wszystkie źródła energii termojądrowej zostaną wyczerpane, gwiazda o dostatecznie dużej masie skolapsuje (zapadnie się) (…) Całkowity czas kolapsu dla obserwatora poruszającego się razem z materią gwiazdy jest skończony i dla wyidealizowanego przypadku oraz typowej masy gwiazdy jest rzędu jednej doby. Obserwator zewnętrzny widzi gwiazdę asymptotycznie kurczącą się do promienia grawitacyjnego [tzn. promienia Schwarzschilda]”.

Musiało minąć trzydzieści lat, zanim zrozumiano, że praca Oppenheimera i Snydera jest prawidłowa. Wiemy dziś, że po przekroczeniu promienia Schwarzschilda nie mamy już żadnej możliwości: musimy spaść na punkt r=0. Widać to na wykresie dzięki stożkom świetlnym. Każdy obserwator musi poruszać się wolniej niż prędkość światła, a to oznacza geometrycznie, że jego przyszłość leży wewnątrz stożka. Poniżej promienia Schwarzschilda stożki przyszłości zwrócone są ku r=0: jeśli nawet nic nie będziemy robić spadniemy do środka. Zresztą jeśli będziemy coś robić, też spadniemy: osobliwość w r=0 jest naszą przyszłością. I nawet nikomu nie będziemy się mogli poskarżyć, ponieważ promienie świetlne leżą na powierzchni stożka przyszłości, a więc i one spadną na r=0.

Ani Einstein, ani znacznie młodszy Oppenheimer nie dożyli momentu, gdy zrozumiano, czym są czarne dziury. Gdyby Oppenheimer żył dłużej, dostałby niewątpliwie Nagrodę Nobla za swoje prace związane z astrofizyką, pamiętamy go dziś raczej z powodu projektu Manhattan – prac nad budową bomb atomowych. Nie wiadomo, czy Einstein i Oppenheimer kiedykolwiek rozmawiali o tych swoich wzajemnie sprzecznych pracach z roku 1939. Po II wojnie światowej Oppenheimer był dyrektorem Instytutu Badań Zaawansowanych w Princeton, a więc formalnie „szefem” Einsteina i choćby dlatego spotykali się wiele razy. Nie sądzę jednak, aby Einstein gotów był się zgodzić z Oppenheimerem w kwestii kolapsu. Pewnie więc do niczego by taka dyskusja nie doprowadziła.

004

Fotografia Alfreda Eisenstaedta dla czasopisma „Life”, rok 1947. Poniżej inne zdjęcie tego samego autora.

005

Jak gęsta może być materia? Białe karły, Stoner i Chandrasekhar (1930-1931)

31 lipca 1930 roku z Mumbaju odpłynął parowiec „Lloyd Triestino”. Wśród pasażerów znajdował się dziewiętnastoletni Subrahmanyan Chandrasekhar, udający się do Anglii stypendysta rządu indyjskiego. Zdążył on opublikować już pierwszą pracę na temat statystyk kwantowych, dwa lata wcześniej dowiedział się od przebywającego gościnnie w Indiach Arnolda Sommerfelda, że całej fizyki mikroświata należy nauczyć się na nowo i wszystkie podręczniki sprzed kilku lat są już nieaktualne. Zaczął więc z zapałem czytać artykuły dotyczące mechaniki kwantowej i pierwszą swą pracę wysłał do Anglii do Ralpha Fowlera z Cambridge. Wiedział o nim tylko tyle, że uczony ten zaproponował kwantowe wyjaśnienie problemu tzw. białych karłów – niewielkich gwiazd zbudowanych z niezwykle gęstej materii nawet 100 000 razy gęstszej od wody. Astronomowie, którzy uzyskiwali tak wysokie szacowania gęstości, nie potrafili zrazu w nie uwierzyć, sądząc, że w obliczenia musiał wkraść się jakiś niezidentyfikowany błąd. W astronomii dość często się zdarza, że trzeba rewidować dotychczasowe założenia i wyniki. Podczas podróży Chandrasekhar unikał balów i wieczorków organizowanych na statku, był zresztą wegetarianinem i nie brał do ust wielu podawanych potraw. Pracował. Jego obliczenia wskazywały, że białe karły nie mogą być zbyt masywne, gdyż nie będą stabilne. Wynik ten stał w sprzeczności z dotychczasową wiedzą i Chandrasekhar miał stoczyć trudną wieloletnią walkę o uznanie prawdziwości jego obliczeń. Białe karły są ostatnim stadium ewolucji gwiazd i nie mogą być bardziej masywne niż 1,4 masy Słońca. Co w takim razie dzieje się z gwiazdami pięcio-, dziesięcio- i dwudziestokrotnie bardziej masywnymi? Czy jest możliwe, że pozbywają się one w jakiś sposób niemal całej swej masy, aby osiągnąć w końcu stadium białego karła? Jeśli tak, to czy może się to odbywać w długim czasie w sposób spokojny, czy też należy spodziewać się eksplozji? Wynik Chandrasekhara miał przełomowe znaczenie, bo wskazywał, że grawitacja może stać się siłą, która dosłownie kruszy materię. O jego wadze świadczy fakt, iż pół wieku później za tę pracę indyjski uczony otrzymał Nagrodę Nobla. Spędził długie i twórcze życie naukowe, stając się jednym z najbardziej znanych astrofizyków dwudziestego wieku, a jednak właśnie to młodzieńcze osiągnięcie wydawało się godne uhonorowania najważniejszą nagrodą.

W Londynie pierwszą książką, którą kupił Chandrasekhar, były Principles of Quantum Mechanics, fundamentalne, pomnikowe dzieło dwudziestoośmioletniego Paula Diraca, który zdążył już stać się klasykiem tej młodej dziedziny. W istocie były to lata zupełnie wyjątkowe w dziejach fizyki: niemal każda nowa praca miała szanse przejść do historii. Odkrywano bowiem kolejne zastosowania nowego formalizmu: w fizyce, w chemii, w astrofizyce. Zasady wprowadzone dla wyjaśnienia zjawisk atomowych okazały się w zasadniczym zrębie słuszne także w fizyce jąder atomowych, cząstek elementarnych, pozwalały też zrozumieć, jak przebiegają zjawiska we wszechświecie: od źródeł energii gwiazd, przez ich budowę oraz rodzaje wysyłanego promieniowania. Był to okres pionierski, gdy wyznaczano dopiero granice nowego terytorium i wciąż przesuwały się one dalej. Coś takiego zdarza się niezwykle rzadko, a w życiu uczonego najwyżej raz. Chandrasekhar znalazł się też w znakomitym miejscu: Trinity College w Cambridge, gdzie pracowali Fowler i jego niedawny doktorant Dirac, a także Arthur Stanley Eddington, astrofizyk, autor książki The Internal Constitution of the Stars, którą starannie przestudiował i z której korzystał podczas pracy na statku.

Na czym polegał problem białych karłów? W dostępnych nam eksperymentalnie warunkach materii nie można zbyt mocno ścisnąć. Atomy zachowują się bowiem jak sztywne kulki i nawet pod wielkim ciśnieniem gęstość ciał stałych niemal się nie zmniejsza się, ledwie przekraczając – w przypadku najcięższych metali – dwudziestokrotność gęstości wody. Większą gęstość – ponad sto gęstości wody – osiąga materia blisko centrum Słońca. Składa się ona głównie z produktów jonizacji wodoru: protonów i elektronów o bardzo wysokiej temperaturze. Mimo tak wielkich gęstości plazmę tę wciąż można traktować jak gaz doskonały. Przeskok do gęstości milion razy większych od gęstości wody nie wydawał się fizycznie możliwy bez temperatur sięgających miliony stopni, powierzchnia białego karła świeciła w zakresie widzialnym jak gwiazda, musiała więc mieć temperaturę liczoną w tysiącach stopni.

Kwantowe wyjaśnienie zaproponował Ralph Fowler, pod którego patronatem, lecz zupełnie samodzielnie, pracował Paul Dirac. Elektrony są, jak dziś mówimy, fermionami, tzn. podlegają szczególnemu ograniczeniu: w jednym stanie kwantowym może znajdować się jeden elektron (a jeśli ignorujemy stany spinowe, to dwa różniące się rzutem spinu). Właśnie Paul Dirac obok Enrico Fermiego pierwszy zaproponował kwantowomechaniczny opis takich cząstek (nazwa fermiony, a nie np. dirakiony, nie ma głębszego uzasadnienia historycznego, a prawdopodobnie jedynie fonetyczne). Samą zasadę jeden stan – jeden elektron zaproponował zresztą nieco wcześniej Wolfgang Pauli, jeszcze jeden z dwudziestoparolatków wywracających wtedy fizykę do góry nogami. Zasada ta wyjaśnia sposób zapełniania się powłok i podpowłok w atomach. Fowler wyobraził sobie, że biały karzeł cały jest jedną wielką cząsteczką, w której elektrony tworzą coś w rodzaju gazu. Było to pierwsze zastosowanie tej idei, nieco później Arnold Sommerfeld zastosował ją do elektronów w metalach.

W atomie stan określają liczby kwantowe. W przypadku elektronów zamkniętych w gwieździe niczym w pudle skwantowane są ich wartości pędu. Dozwolone wartości tworzą sieć punktów kratowych w przestrzeni pędu (bez początku, ponieważ pęd całkowity równy zeru jest zabroniony przez zasadę nieoznaczoności). Rysunek przedstawia takie  pudło w 2D. Elektrony będą stopniowo zapełniać dozwolone stany aż do pewnej maksymalnej wartości pędu p_F, zwanej pędem Fermiego.

Jest to tzw. zdegenerowany gaz elektronowy. W pierwszym przybliżeniu można ograniczyć się do temperatury zerowej, ponieważ energia elektronów w tej sytuacji wynika nie z wysokiej temperatury, ale stąd, że wszystkie niższe stany energetyczne są zajęte. Objętość komórki w przestrzeni pędów przypadająca na dwa elektrony o różnym spinie równa jest

\Delta p_x\Delta p_y\Delta p_z=\dfrac{h^3}{V},

gdzie h jest stałą Plancka, a V objętością gwiazdy/pudła z elektronami. Widzimy, że gdy objętość pudła maleje, komórki w przestrzeni pędu rosną i przy tej samej liczbie elektronów pęd Fermiego wzrośnie. Oznacza to, że wraz z gęstością gwiazdy rośnie energia kinetyczna elektronów (równa \frac{mv^2}{2}=\frac{p^2}{2m}). Gwiazda utrzymywana jest siłami grawitacyjnymi. Energia grawitacyjna kuli o masie M i promieniu R równa jest

E_p=-\alpha \dfrac{GM^2}{R},

gdzie \alpha jest współczynnikiem zależnym od rozkładu gęstości i równym \frac{3}{5} dla kuli jednorodnej. Grawitacja jest siłą przyciągającą, więc energia rośnie tu, gdy zwiększa się promień: gdyby działała jedynie grawitacja, materia skurczyłaby się do punktu. Można znaleźć punkt równowagi, gdy suma energii kinetycznej elektronów oraz energii potencjalnej grawitacji jest najmniejsza. Promień gwiazdy jest wówczas równy

R\approx 1,15 a_B \lambda \dfrac{1}{N_n^{1/3}},

gdzie a_B=0,5\cdot 10^{-10} m jest promieniem Bohra, \lambda=1,25\cdot 10^{36} to stosunek sił elektrostatycznych do sił grawitacyjnych między protonami, a N_n jest łączną liczbą nukleonów w gwieździe. Widzimy, że im większa gwiazda, tym mniejszy promień, a więc gęstość gwiazdy rośnie jak kwadrat masy, co jest zachowaniem dość osobliwym. Promień obliczony z powyższego wzoru okazuje się dla gwiazdy o masie Słońca tego samego rzędu co promień Ziemi: a więc ogromna masa Słońca skupiłaby się w objętości zbliżonej do Ziemi. Znaczy to, że materia gwiazdy osiąga ogromne gęstości. Rzeczywiste gęstości są jeszcze większe, niż sądzono w latach trzydziestych i przekraczają milion gęstości wody. Gaz elektronowy pozwalał też objaśnić, czemu biały karzeł nie skurczy się już więcej: w istocie temperatura ma niewielki wpływ na konfigurację elektronów i struktura taka jest stabilna nawet w zerze absolutnym.

Praca Fowlera uchodzi za najwybitniejszą pozycję w jego dorobku: była w zasadzie rzuceniem idei, ale idei znakomitej, podjętej potem nie tylko w astrofizyce, ale i w fizyce ciała stałego. Jedna tak płodna idea i jeden doktorant tej klasy co Dirac, to zdecydowanie wystarczy na spełnioną karierę naukową.

Obliczenia takie, jak zarysowane powyżej, wykonał Edmund Stoner w 1929 roku. Interesowało go pytanie, czy istnieje maksymalna gęstość materii? Stoner także należał do ludzi Cambridge, jednak jego doktorat był eksperymentalny i nie odebrał on matematycznego wykształcenia, które zawsze było mocną stroną tamtejszych absolwentów. Mimo to zajął się teorią i to z powodzeniem. Jego praca The distribution of electrons among atomic energy levels z 1924 roku zainspirowała Wolfganga Pauliego do sformułowania słynnej zasady wykluczania. W reakcji na artykuł Stonera mało znany fizyk Wilhelm Anderson, pracujący w Tartu w Estonii, zwrócił uwagę, że przy dużych gęstościach, duży będzie pęd Fermiego i nie można używać newtonowskiego wyrażenia na energię kinetyczną (\frac{1}{2}mv^2), lecz należy zastosować wyrażenie relatywistyczne

E=\sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2}\approx pc.

W przypadku skrajnie relatywistycznym obowiązuje przybliżenie zapisane powyżej. Okazuje się, że teraz nie dla każdej masy istnieje rozwiązanie i biały karzeł musi mieć masę nieprzekraczającą pewnej wartości granicznej. Anderson wyznaczył tę granicę, choć jego praca nie była całkowicie poprawna. Stoner w następnym artykule uwzględnił relatywistyczne wyrażenie na energię elektronów i prawidłowo wyznaczył maksymalną liczbę nukleonów, a więc i masę białego karła:

N_n =0,77 \left(\dfrac{c\hbar}{Gm_n^2}\right)^{\frac{3}{2}} \sim \left(\dfrac{m_{P}}{m_n}\right)^3.

Po prawej stronie wyraziliśmy tę wielkość przez masę Plancka m_P: jest to kombinacja trzech fundamentalnych stałych fizycznych – stałej Plancka, prędkości światła i stałej grawitacyjnej. Maksymalna masa zwana jest granicą Chandrasekhara i po uwzględnieniu współczynników liczbowych równa jest 1,4 masy Słońca. Przyjmujemy, że na każdy elektron przypadają dwa nukleony.

Zależność promienia białego karła od masy (https://en.wikipedia.org/wiki/Chandrasekhar_limit)

Naszkicowane przez nas podejście zakłada minimalizację energii w jednorodnym gazie elektronowym. Tak właśnie obliczył to Stoner. Subrahmanyan Chandrasekhar wybrał podejście bardziej szczegółowe, w którym analizuje się warunki równowagi w gwieździe. Jego pierwsza praca, pisana podczas podróży do Anglii, była tylko krótkim zarysem, szczegółowe rozwinięcie podał w następnych latach. Prowadzi ono do podobnych wniosków, nieco różniących się liczbowo. Czemu więc granica ta związana została w historii jedynie z nazwiskiem Chandrasekhara? Jak się zdaje, Edmund Stoner nie walczył zbytnio o priorytet. Być może tematyka astrofizyczna nie była mu tak bliska jak Chandrasekharowi, stopniowo zajął się bowiem fizyką ciała stałego.

Także Lew Landau otrzymał graniczną wartość masy w bardzo eleganckiej krótkiej pracy z 1931 roku. Jednak graniczna wartość masy wydawała mu się wnioskiem absurdalnym. Pisał: „Ponieważ w rzeczywistości masy takie spokojnie sobie istnieją jako gwiazdy, nie wykazując żadnych takich absurdalnych tendencji, musimy wywnioskować, że wszystkie gwiazdy o masie przekraczającej 1,5 masy Słońca zawierają z pewnością obszary, w których prawa mechaniki kwantowej (a więc także statystyki kwantowej) są naruszone” (Neutron Stars, Black Holes and Binary X-Ray Sources, ed. H. Gursky, R. Ruffini, D. Reidel 1975, s. 272). Musimy zdawać sobie sprawę, że zarówno teoria względności, jak i mechanika kwantowa były względnie nowymi dziedzinami i nie było jasne, czy nie pojawią się nowe idee, które zmienią zasadniczo punkt widzenia. Dopiero z perspektywy dziesięcioleci widać, że zarówno teoria względności, jak i fizyka kwantowa zostały w fizyce na dobre i są niezmiernie odporne na wszelkie „poprawianie” – to dlatego trudno jest w fizyce o nowe pomysły, muszą one bowiem stanowić uogólnienie tego, co już znamy, a co zostało bardzo dokładnie przetestowane teoretycznie i przede wszystkim eksperymentalnie.

Chandrasekhar bardzo zaciekle bronił wniosku o maksymalnej masie białego karła. Arthur Eddington – podobnie jak Landau – uważał go za absurd. W ciągu kilku lat spór między Eddingtonem, uznanym autorytetem, a młodym uczonym z Indii stał się na tyle gorący, że Chandrasekhar nie mógł pozostać w Trinity College i wyjechał do Stanów Zjednoczonych.

Rację miał Chandrasekhar (i Stoner). Gwiazdy o dużych masach nie mogą stać się białymi karłami. Mogą zostać gwiazdami neutronowymi, w których materia ma gęstość zbliżoną do materii jądrowej. Znów jednak pojawia się graniczna wartość masy, powyżej której niemożliwe jest stabilne istnienie gwiazdy neutronowej. Przy dużych masach grawitacja zwycięża i jedyną możliwością staje się utworzenie czarnej dziury. Granica Chandrasekhara była pierwszą wskazówką, że struktura materii nie jest odporna na grawitacyjne zapadanie się. Być może zaakceptowanie tej sytuacji było trudne także dlatego, że intuicyjnie chcemy wierzyć w stabilny świat, dający nam metafizyczne i psychologiczne oparcie. Dlatego kłopoty miał Galileusz, z tego samego powodu zwalczano teorię ewolucji, a także niechętnie uznano teorię Wielkiego Wybuchu. Uświadomienie sobie, że zamieszkujemy narażony na rozmaite kataklizmy kawałek skalnej skorupy pływający w ciekłym podłożu i krążący po niezbyt stabilnej orbicie w zmieniającym się ciągle i katastroficznym wszechświecie, nie poprawia, by tak rzec, filozoficznego samopoczucia.

Czarne dziury – największy błąd Einsteina?

Nauka postępuje, robiąc błędy. Szczerze mówiąc, niewiele jest prac pionierów, które byłyby z dzisiejszego punktu widzenia prawidłowe. M.in. dlatego tak trudno być odkrywcą: trzeba dostrzec zarysy ładu w ogólnym chaosie i mętliku, zanim kurz opadnie i zanim sytuacja się wyklaruje (wtedy już wszyscy są mądrzy). Nic dziwnego, że w takich okolicznościach często widzi się nie to, co trzeba, albo odnajduje zarysy innego gmachu, niż ten, który ostatecznie zostanie zbudowany. Pionierzy są zwykle ludźmi twardymi, którzy mają jasną wizję świata, i jeśli ten prawdziwy nie przystaje do ich wizji, tym gorzej dla rzeczywistego świata.

Mówi się nieraz o błędach, popełnianych przez wielkich uczonych. Są one rzekomo przydatne, otwierają bowiem drogę do postępu. Nie wiem, czy to prawda. Znam z bliska wiele różnych sytuacji z historii nauki i moje wrażenie jest raczej takie, że pionierzy gotowi są iść za swoją wizją bez względu na koszty. I przeważnie mają w nosie, co inni sądzą na ten temat. Gdyby pozwalali się terroryzować przyjętym poglądom, do niczego by nie doszli. W skrytości ducha uważają opinię powszechną za głos durniów, choć zwykle są na tyle dobrze wychowani, by nie mówić tego głośno. Gotowi są iść za swoją wizją (najpierw trzeba ją oczywiście mieć: na tym etapie odpadają zwykli wyrobnicy), ryzykując wielką przegraną. W nauce (i to jest w niej piękne) powiedzenia Audaces fortuna iuvat nie trzeba tłumaczyć jako „szczęście sprzyja łajdakom”.

Mówi się czasem, że Albert Einstein za największy błąd swego naukowego życia uznał wprowadzenie stałej kosmologicznej. Rzecz jest o tyle zabawna, że obecnie, po latach, stała kosmologiczna pojawiła się znowu – teraz mówi się na nią ciemna energia. Szczerze mówiąc, stała kosmologiczna nie mogła być ani błędem, ani zasługą Einsteina. Wyraz taki można wprowadzić do równań jego teorii grawitacji (tzw. ogólnej teorii względności), ale na gruncie fizyki klasycznej nie ma poważnych powodów, aby to zrobić. Zatem brzytwa Ockhama nakazuje raczej odciąć zbędne narośla niż je pielęgnować. Zawsze lepsza jest teoria oszczędniejsza: np. heliocentryczna w porównaniu do geocentrycznej.

Z czarnymi dziurami jest nieco inaczej. Stosowne rozwiązanie równań Einsteina uzyskał Karl Schwarzschild w roku 1915. Była to jedna z pierwszych prac badających konsekwencje nowej teorii grawitacji. Zastosowanie dość oczywiste z punktu widzenia astrofizyka: gwiazdy są sferyczne, ciekawe więc, co nowa teoria ma do powiedzenia na temat sytuacji, gdy panuje symetria sferyczna. Schwarzschild przesłał swoją pracę z frontu rosyjskiego, kilka miesięcy później nabawił się rzadkiej choroby zakaźnej, pęcherzycy, i umarł. Jego syn, Martin, mający wówczas równo cztery lata, został z czasem wybitnym specjalistą od ewolucji gwiazd. Piękny przykład, jak ojciec, nawet zmarły, może wpłynąć na los dziecka.

Rozwiązanie Schwarzschilda zachowywało się dziwnie w dwóch punktach: r=0 oraz r=rs, gdzie r oznacza odległość od środka; wielkość rs jest dziś nazywana promieniem Schwarzchilda, gdyby całą rozważaną masę M skupić w kuli o promieniu rs , to prędkość ucieczki z jej powierzchni byłaby równa prędkości światła, inaczej mówiąc światło nie mogłoby uciec z tak silnego pola grawitacyjnego. Zastanawiano się już w XVIII wieku nad możliwością istnienia takich ciemnych gwiazd. Promień Schwarzschilda dla Słońca równy jest tylko 3 km – a więc należałoby upchnąć całą jego masę w tak małej kuli, co wydawało się niemożliwe. Sądzono więc, że mamy do czynienia z tzw. zagadnieniem akademickim, czyli nieinteresującym nikogo.

Albert Einstein nie lubił osobliwości w równaniach i w 1939 roku opublikował pracę, w której dowodził, że promień Schwarzschilda nie może zostać osiągnięty przez zapadanie się masy pod wpływem własnej grawitacji. W podsumowaniu pisał: „Osobliwość Schwarzschilda nie może się pojawić, ponieważ materii nie można dowolnie zgęścić. A nie można, ponieważ cząstki wchodzące w jej skład musiałyby osiągnąć prędkość światła”.

Einstein nie miał racji, wykazali to w tym samym roku Robert J. Oppenheimer i jego student Hartland Snyder. Punktem wyjścia Oppenheimera była astrofizyka. Gwiazdy nie zapadają się do wewnątrz, ponieważ wytwarzają energię i ciśnienie gazu (które jest energią ruchu cząstek) przeciwdziała grawitacyjnemu zapadaniu. Jednak gdy paliwo jądrowe się wyczerpie, grawitacja wygrywa i gwiazda staje się znacznie mniejsza niż na początku. Gwiazda może zostać tzw. białym karłem, znano przykłady takich supergęstych gwiazd. Jednak Subrahmanyan Chandrasekhar udowodnił, że białe karły nie mogą być stabilne przy masie powyżej 1,4 masy Słońca. Oznacza to, że Słońce może zostać kiedyś białym karłem. Co jednak z gwiazdami masywniejszymi? Oppenheimer ze współpracownikami wykazali, że inną możliwością jest powstanie tzw. gwiazdy neutronowej: czegoś w rodzaju gigantycznego jądra atomowego zbudowanego z samych neutronów i związanego grawitacją. Jednak i w tym przypadku istniała górna granica masy takiego tworu. Co się stanie, jeśli masa gwiazdy jest tak duża, że ani biały karzeł, ani gwiazda neutronowa nie będą możliwe? Tym właśnie zajęli się Oppenheimer i Snyder. Dowodzili, że kolaps – zapadanie się grawitacyjne – jest nieuniknione przy odpowiednio dużej masie obiektu. Opisali też, co się dzieje, gdy obserwujemy taki grawitacyjny kolaps. Z punktu widzenia obserwatora oddalonego od gwiazdy szybkość tego kolapsu staje się coraz mniejsza, a światło do niego dochodzące jest coraz mocniej przesunięte w stronę czerwieni.

Schwarzschilddiagram

(Rysunek 32.1 C.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler, Gravitation, t. 3)

Na wykresie czas jest na osi pionowej, odległość od centrum na osi poziomej. Wielkość r/M=2 odpowiada promieniowi Schwarzschilda, obszar zakreskowany to wnętrze gwiazdy. Gruba czarna linia odpowiada ruchowi powierzchni gwiazdy, dąży ona asymptotycznie do prostej r/M=2, co oznacza, że ruch staje się coraz wolniejszy i powierzchnia nigdy nie zapadnie się pod promień Schwarzschilda. I rzeczywiście tak jest, ale tylko z punktu widzenia odległego obserwatora. Gdybyśmy poruszali się razem z tą powierzchnią gwiazdy, nasz zegar wskazywałby czas zaznaczony na rysunku jako τ. Dla nas spadanie trwałoby pewien skończony czas i po przekroczeniu promienia Schwarzschilda spadalibyśmy dalej, osiągając w skończonym czasie punkt centralny r=0. Wnioski te (choć nie rysunek) znalazły się w pracy Oppenheimera i Snydera. Pisali oni: „Kiedy wszystkie źródła energii termojądrowej zostaną wyczerpane, gwiazda o dostatecznie dużej masie skolapsuje (zapadnie się) (…) Całkowity czas kolapsu dla obserwatora poruszającego się razem z materią gwiazdy jest skończony i dla wyidealizowanego przypadku oraz typowej masy gwiazdy jest rzędu jednej doby. Obserwator zewnętrzny widzi gwiazdę asymptotycznie kurczącą się do promienia grawitacyjnego [tzn. promienia Schwarzschilda]”.

Musiało minąć trzydzieści lat, zanim zrozumiano, że praca Oppenheimera i Snydera jest prawidłowa. Wiemy dziś, że po przekroczeniu promienia Schwarzschilda nie mamy już żadnej możliwości: musimy spaść na punkt r=0. Widać to na wykresie dzięki stożkom świetlnym. Każdy obserwator musi poruszać się wolniej niż prędkość światła, a to oznacza geometrycznie, że jego przyszłość leży wewnątrz stożka. Poniżej promienia Schwarzschilda stożki przyszłości zwrócone są ku r=0: jeśli nawet nic nie będziemy robić spadniemy do środka. Zresztą jeśli będziemy coś robić, też spadniemy: osobliwość w r=0 jest naszą przyszłością. I nawet nikomu nie będziemy się mogli poskarżyć, ponieważ promienie świetlne leżą na powierzchni stożka przyszłości, a więc i one spadną na r=0.

Ani Einstein, ani znacznie młodszy Oppenheimer nie dożyli momentu, gdy zrozumiano, czym są czarne dziury. Gdyby Oppenheimer żył dłużej, dostałby niewątpliwie Nagrodę Nobla za swoje prace związane z astrofizyką, pamiętamy go dziś raczej z powodu projektu Manhattan – prac nad budową bomb atomowych. Nie wiadomo, czy Einstein i Oppenheimer kiedykolwiek rozmawiali o tych swoich wzajemnie sprzecznych pracach z roku 1939. Po II wojnie światowej Oppenheimer był dyrektorem Instytutu Badań Zaawansowanych w Princeton, a więc formalnie „szefem” Einsteina i choćby dlatego spotykali się wiele razy. Nie sądzę jednak, aby Einstein gotów był się zgodzić z Oppenheimerem w kwestii kolapsu. Pewnie więc do niczego by taka dyskusja nie doprowadziła.

004

Fotografia Alfreda Eisenstaedta dla czasopisma „Life”, rok 1947. Poniżej inne zdjęcie tego samego autora.

005