François Arago i prędkość światła (1810)

W roku 1809 dwudziestotrzyletni Arago został przyjęty do Akademii Nauk (przejściowo zwanej Instytutem Francji, uczeni należeli do jego pierwszego wydziału). Młody człowiek zdążył już przepracować kilka lat w Obserwatorium Paryskim i wziąć udział w trzyletniej podróży naukowej, której celem był dokładniejszy pomiar długości południka – czyli obwodu Ziemi. Rewolucja Francuska oprócz zmian politycznych przyniosła też system dziesiętny, nawet w kalendarzu: należało pracować dziewięć dni, by wypoczywać w dziesiątym, a kąt pełny miał mieć odtąd 400°, a nie 360°. Planowano też wprowadzić podział doby na dziesięć godzin po sto minut, lecz zapał rewolucyjny minął zbyt szybko. Zdążono natomiast wprowadzić jako jednostkę długości metr, równy jednej czterdziestomilionowej długości południka paryskiego. Pomiar południka oznaczał zatem dokładniejsze wyznaczenie metra. Ponieważ czasie pomiarów wojska francuskie dokonały inwazji Hiszpanii, więc ludność Balearów, widząc, jak Arago każe rozpalać ogniska na szczytach gór i w ogóle zachowuje się podejrzanie, uznała go za szpiega. Uwięziony w fortecy Bellver w Palma de Mallorca, zdołał z niej zbiec w łódce rybackiej, zabierając wyniki pomiarów, a nawet przyrządy geodezyjne. Trafił do Algieru, skąd popłynął do Marsylii, lecz niedaleko celu podróży hiszpańscy korsarze napadli na statek, co spowodowało dalsze uwięzienie, tym razem na wybrzeżu Katalonii, skąd trafił znowu do Algieru, w następnej przeprawie do Marsylii przeszkodziły wiatry północne. Wreszcie po kolejnych kilku miesiącach uczony dotarł tam wreszcie i musiał odbyć jeszcze długą kwarantannę w lazarecie. Mógł jednak zawiadomić bliskich, że żyje, w co nikt już nie wierzył. Otrzymał też niebawem list od poruszonego tymi przygodami sławnego przyrodnika Alexandra von Humboldta. Tak zaczęła się ich przyjaźń (choć starszy i homoseksualny Humboldt miał ochotę na coś więcej).

Niewątpliwie młody człowiek wykazał, że ma głowę na karku, choć można się zastanawiać, czy to wystarczy, by zostać członkiem Instytutu. Przeciwny kandydaturze Arago był wielce wpływowy Pierre Simon Laplace, który miał własnego kandydata, nieco starszego Siméona Poissona (tego od równania Poissona). Laplace wysuwał argument, że Arago niczego wielkiego jeszcze nie dokonał i jest za wcześnie, by go przyjmować do tego elitarnego grona. Odpowiedział mu podobno Joseph Lagrange, jedyna osoba, która mogła z Laplace’em mówić jak równy z równym: „Pan także, Laplace, przed wejściem do Akademii nie dokonał niczego godnego uwagi, można było jedynie pokładać w panu nadzieję. Pańskie wielkie odkrycia przyszły dopiero później” [Arago, Oeuvres complètes, t. 1, Histoire de ma jeunesse] Rzeczywiście, Laplace przyjęty został w wieku dwudziestu czterech lat, będąc dopiero u progu ważnych odkryć z mechaniki niebios. To odwieczny dylemat: czy stabilizacja finansowa powinna ułatwiać osiągnięcia, czy być za nie nagrodą. Francja miała silny państwowy system popierania nauki, który w tamtych czasach funkcjonował znakomicie, wystarczy popatrzeć na nazwiska członków Akademii z początku XIX wieku. Cesarz Napoleon I był autokratą, ale nie był idiotą i zatwierdził nominację Arago, zaprzysięgłego republikanina, a pod koniec życia chronił go przed represjami także następny cesarz, Napoleon III. Arago był przez wiele lat deputowanym do parlamentu, gdzie zajmował się popieraniem nowych wynalazków w rodzaju kolei żelaznych czy fotografii.

W grudniu 1810 roku jako świeżo upieczony członek Instytutu Arago przedstawił pracę poświęconą prędkości światła. Przyjmował w niej założenie, że światło ma naturę cząstkową. Francuz czytał pracę Michella i znał jego przewidywania, że prędkość światła emitowanego przez masywne gwiazdy może być znacznie mniejsza niż obserwowana w pobliżu Ziemi. Także Laplace przeprowadził podobne rachunki, wyszło mu, że ciało gęstości Słońca stałoby się ciemną gwiazdą, gdyby jego promień przekraczał 250 promieni Słońca. Prawdopodobnie także on zasugerował astronomowi sprawdzenie, czy różnice prędkości światła odbijają się jakoś na zjawisku aberracji światła gwiazd. Maksymalny kąt aberracji równy jest v/c, gdzie v – jest prędkością orbitalną Ziemi, a c – prędkością światła. Kąt ten jest mały i równy mniej więcej 10^{-4} \mbox{ rd} \approx 20'' , jak odkrył na początku XVIII w. James Bradley. Jeśli światło gwiazd dociera do nas z różną prędkością, to kąty aberracji powinny się indywidualnie różnić w zależności od gwiazdy. Efekty te powinny także zależeć od kierunku ruchu Ziemi, a więc zmieniać się w rytmie rocznym. Ponieważ najmniejsze kąty możliwe do zmierzenia były rzędu kilku sekund, więc tą drogą można by wykryć tylko bardzo znaczne zmiany prędkości światła.

Bardziej obiecujące wydawało się zjawisko załamania światła, którego wielkość także zależy od prędkości promieni w próżni. Światło różnych gwiazd powinno się więc załamywać w różnym stopniu. Arago starał się wykryć te różnice, umieszczając przed obiektywem teleskopu pryzmat. Aby obrazy gwiazd nie rozmyły się wskutek rozszczepienia światła w pryzmacie, używał dwóch sklejonych ze sobą pryzmatów ze szkła ołowiowego i zwykłego, które tworzyły układ achromatyczny – odchylający światło (w przybliżeniu) niezależnie od jego barwy. Astronom mierzył różnicę kąta między promieniem światła przepuszczonym obok pryzmatu i załamanym przez pryzmat dla szeregu gwiazd. Kąty odchylenia promienia były jednak praktycznie takie same, różniąc się najwyżej o kilka sekund, najwyraźniej w sposób przypadkowy – należało zatem przypisać je błędom pomiaru. Według obliczeń Arago zmiana prędkości światła o 1/10000 powinna skutkować różnicą kierunku promienia nawet o 14’’ – a więc znacznie więcej niż jego błędy pomiarowe. Ponieważ Ziemia porusza się z prędkością 1/10000 prędkości światła, więc obserwacje Arago powinny być wrażliwe na kąt między kierunkiem prędkości Ziemi a kierunkiem ku gwieździe. Żadnej tego typu zależności nie udało mu się wykryć. Jak napisał w swoim wystąpieniu przed Instytutem: „Na pierwszy rzut oka wynik ten wydaje się być w jawnej sprzeczności z Newtonowską teorią załamania [światła], ponieważ rzeczywiste nierówności między prędkościami promieni nie wywołują żadnych nierówności w ich odchyleniu”. Jeśli wierzyć Popperowi, teoria Newtona została tym samym obalona: jeśli z teorii wynika wniosek niezgodny z obserwacjami, to tym samym założenia teorii są nieprawdziwe. Obserwacje Arago były kłopotliwe, zwłaszcza dla ludzi takich, jak Laplace czy patronujący młodemu astronomowi Jean Baptiste Biot – zaprzysięgłych zwolenników teorii korpuskularnej światła. Obaj uczeni nie dali się przekonać nie tylko wynikom Arago, ale także i falowej teorii światła.

Arago zaproponował dziwaczne i dość desperackie wyjście z sytuacji: może promienie świetlne różnią się prędkościami, ale oko ludzkie reaguje tylko na wąski przedział prędkości. Wiedziano już od niedawna, że istnieje promieniowanie podczerwone, które przenosi ciepło, a także nadfioletowe, które zaczernia chlorek srebra (ten ostatni fakt otworzył drogę do wynalezienia fotografii). Może więc to prędkość decyduje o tym, czy widzimy dane cząstki światła, czy nie. Praca Arago nie została opublikowana, uczony poprzestał na jej odczytaniu. Można przypuszczać, że astronom sam nie wiedział, jak wytłumaczyć uzyskane wyniki. Choć na jego rezultaty powoływali się inni uczeni, to praca ukazała się drukiem dopiero czterdzieści lat później.

Wtedy kontekst był już inny. Pojawił się bowiem w nauce francuskiej Augustin Fresnel i jego wersja teorii falowej (wcześniejsza teoria falowa Thomasa Younga we Francji zrobiła jeszcze mniejsze wrażenie niż w Anglii). Arago należał do wczesnych zwolenników teorii falowej. Nic jednak nie jest proste na tym świecie: także w teorii falowej wyjaśnienie obserwacji Arago nie było zbyt naturalne: trzeba założyć, że eter świetlny jest wleczony, ale tylko częściowo, przez poruszający się ośrodek. Dopiero teoria względności wyjaśniła w roku 1905 rezultaty Arago w sposób naturalny: prędkość światła padającego na pryzmat z próżni równa jest zawsze c, bez względu na ruch pryzmatu, gwiazdy i Ziemi. Arago nie wykrył zmian odchylenia, bo ich po prostu nie ma.

Reklamy

Równoważność masy i energii: Albert Einstein (1906, 1946)

Chodzi o słynny wzór E=mc^2. Jest to tzw. energia spoczynkowa ciała, czyli energia ciała, które jako całość się nie porusza. Jeśli ciało się porusza, to dodatkowo ma także energię kinetyczną (przy niewielkich prędkościach jest ona taka sama jak w mechanice newtonowskiej: E_k=\frac{mv^2}{2}). W teorii względności należy energię spoczynkową doliczać do bilansu wszystkich rodzajów energii – bez energii spoczynkowej bilans ten jest niepełny i zasada zachowania energii nie jest spełniona. Wzór Einsteina oznacza także, że jeśli pewne nieruchome ciało zwiększy energię, np. zostanie podgrzane, to wzrośnie także jego masa. W gruncie rzeczy współczynnik z prędkością światła: c^2 jest jedynie przelicznikiem między energią i masą, moglibyśmy np. mierzyć masę w jednostkach energii, co praktykuje się w odniesieniu do cząstek elementarnych. Energia odpowiadająca nawet niewielkim masom jest olbrzymia, obliczmy energię odpowiadającą 1 kg:

E=1\mbox{ kg}\cdot(3\cdot 10^8\mbox{ m/s})^2=9\cdot 10^{16}\mbox{ J}.

Nie wyobrażamy sobie, co taka wielkość oznacza w praktyce. Bomba termojądrowa o wielkości 20 Mt trotylu wyzwala energię równoważną 0,93 kg. Inaczej mówiąc, masa produktów eksplozji jest mniejsza od masy substratów o 0,93 kg, ubytek ten przejawia się jako energia kinetyczna oraz energia promieniowania. Jest to 1000 razy więcej energii niż wyzwoliło się w wybuchu bomb nad Hiroszimą i Nagasaki.

timelipiec1946

Einstein został przez media uznany za duchowego ojca broni jądrowej, choć nie miał z nią nic wspólnego, nigdy nie zajmował się fizyką jądrową, a podczas drugiej wojny światowej nie dopuszczono go do Projektu Manhattan, ponieważ mu nie dowierzano. Zresztą pewnie nie na wiele by się przydał, problemy, które tam rozwiązywano, były raczej odległe od jego naukowych kompetencji, chodziło bowiem o inżynierskie zaplanowanie wybuchającego układu, postawienie fabryki rozdzielającej izotopy uranu itd. Wzór Einsteina pochodził z roku 1905, kiedy niewiele było nadziei, iż uda się go doświadczalnie potwierdzić. Łatwo zrozumieć dlaczego tak było: ubytek 1 kg masy odpowiada energii wyzwolonej w wybuchu 20\mbox{ Mt}=2\cdot 10^{10}\mbox{ kg} trotylu. Jeśli potraktować wybuch trotylu jako typową reakcję chemiczną, to widzimy, że należałoby ważyć produkty i substraty z dokładnością względną rzędu 10^{-10}, aby wykryć zmianę masy. Dlatego w chemii obowiązuje zasada zachowania masy, dopiero w reakcjach jądrowych pojawiają się energie, przy których wzór Einsteina zaczyna się praktycznie liczyć.

Uczony wielokrotnie przedstawiał różne proste doświadczenia myślowe, które uzasadniały ten wzór. Przedstawimy poniżej dwa takie rozumowania: z roku 1906 i z roku 1946.

einstein1906

Wyobraźmy sobie cylindryczny pojemnik o masie M zawieszony gdzieś w pustej przestrzeni i początkowo spoczywający. W pewnej chwili z lewego końca pojemnika wysyłana jest fala świetlna w kierunku w prawo. Fala ta ma energię E oraz pęd E/c – jest to wynik najzupełniej klasyczny, niezwiązany ani z teorią względności, ani z mechaniką kwantową. Można obliczyć, że kiedy fala elektromagnetyczna porusza jakimś ładunkiem i przekazuje mu energię E, to musi także przekazać mu pęd równy E/c (pęd ten przejawia się w zjawisku zwanym ciśnieniem promieniowania). W czasie, gdy fala biegnie w prawo, nasz pojemnik musi poruszać się w lewo: całkowity pęd musi nadal być równy zeru. Mamy więc

-Mv+\dfrac{E}{c}=0\Rightarrow v=\dfrac{E}{Mc}.

 Ruch pojemnika w lewo oraz impulsu falowego w prawo trwa, dopóki fala nie dobiegnie do prawego końca pojemnika, gdzie jest pochłonięta. Pojemnik przesunie się więc w lewo o wielkość

\Delta x=v\Delta t=\dfrac{E}{Mc}\dfrac{L}{c}=L\dfrac{E}{Mc^2}.

Położenie środka masy naszego układu nie może się zmienić pod wpływem tego, co dzieje się wewnątrz cylindra. Skoro cylinder przesunął się w lewo, to jakaś masa m wewnątrz niego musiała przemieścić się w prawo. W naszym przypadku jedynym fizycznym obiektem, który się przesunął, jest fala elektromagnetyczna: przebiegła ona odległość L w prawo. Skoro środek masy układu cylinder+fala elektromagnetyczna się nie przesuwa, to wielkości przesunięć obu tych obiektów muszą być w odwrotnym stosunku do ich mas:

\dfrac{m}{M}=\dfrac{\Delta x}{L}=\dfrac{E}{Mc^2}\Rightarrow m=\dfrac{E}{c^2}.

Powinniśmy więc przemieszczanie się energii traktować jako przemieszczanie się masy.

Drugie rozumowanie Einsteina pochodzi z roku 1946, co pokazuje, że wracał on niejednokrotnie do tych samych tematów i zastanawiał się nad nimi. Pisał w jednym z listów, że w wolnych chwilach lubi sobie wyprowadzić na nowo jakiś znany mu wzór czy zależność.

einstein1946

Teraz mamy spoczywające ciało o masie M, które pochłania dwie padające na nie z przeciwnych kierunków fale elektromagnetyczne. W tym układzie odniesienia ciało nadal będzie spoczywać po pochłonięciu obu fal, ponieważ ich pędy są przeciwne. Rozpatrzmy teraz tę samą sytuację w układzie primowanym, w którym nasze ciało przed pochłonięciem fal porusza się z prędkością v. Kierunki prędkości fal nieco się zmienią, jest to aberracja światła, odkryta kiedyś przez Jamesa Bradleya. Jeśli prędkość v jest niewielka w porównaniu z prędkością światła, kąt aberracji równy jest \alpha=v/c radianów (wynik ten nie wymaga teorii względności). Zastosujmy teraz zasadę zachowania pędu w układzie primowanym. Wiemy, że prędkość naszego ciała się nie zmieni, bo w układzie nieprimowanym spoczywa ono przed i po pochłonięciu impulsów światła. Musi więc zmienić się jego masa:

M'v=Mv+2\dfrac{E}{2c}\sin\alpha=\left(M+\dfrac{E}{c^2}\right)v \Rightarrow M'=M+\dfrac{E}{c^2}.

Masa nieruchomego ciała wzrosła wskutek pochłonięcia energii: kiedy leżymy na słońcu nasza masa rośnie.

James Bradley: obserwacyjny dowód ruchu Ziemi wokół Słońca (1728)

Jeśli Ziemia porusza się wokół Słońca w ciągu roku, to zmiany jej położenia powinny prowadzić do przesunięć gwiazd na niebie w okresie roku. Astronomowie nazywają to zjawisko paralaksą roczną. Kąt paralaksy p to wartość kąta Z1GS na rysunku. Jeśli światło od gwiazdy biegnie prostopadle do płaszczyzny orbity Ziemi (zwanej płaszczyzną ekliptyki), to powinniśmy obserwować, że w ciągu roku gwiazda zatacza na niebie okrąg o promieniu kątowym p. Okrąg ten jest rzutem orbity Ziemi wokół Słońca.

paralaksa

Kąt paralaksy p związany jest oczywistą zależnością z odległością gwiazdy od Słońca d=SG oraz promieniem orbity Ziemi R=SZ_1=SZ_2:

p=\dfrac{R}{d},

gdzie po lewej stronie zastąpiliśmy tangens kąta p jego wartością w radianach, wolno tak zrobić, gdy kąty są niewielkie (2\pi radianów odpowiada 360^{\circ}). Gdyby kierunek do gwiazdy tworzył z płaszczyzną ekliptyki kąt \beta, to zamiast okręgu, gwiazda powinna zataczać elipsę o półosiach p oraz p\sin\beta. Elipsa ta jest po prostu orbitą Ziemi zrzutowaną na płaszczyznę prostopadłą do promieni światła od gwiazdy – rzut okręgu jest elipsą. W szczególności, gdy gwiazda leży na ekliptyce, tzn. \beta=0, elipsa degeneruje się do odcinka: gwiazda powinna oscylować w okresie rocznym z amplitudą p, jej ruch będzie ruchem harmonicznym.

Brak zauważalnej paralaksy rocznej był od starożytności jednym z najpoważniejszych argumentów przeciwko ruchowi Ziemi. Był to także słaby punkt teorii Kopernika: rozwiązywała ona pewne problemy, rodząc nowe, jak choćby ten brak paralaksy. Po Galileuszu, który usunął trudności pojęciowe z mechaniką na poruszającej się Ziemi, oraz po Keplerze, który pokazał, że orbity wokół Słońca podlegają precyzyjnym prawom matematycznym (tzw. trzy prawa Keplera), właściwie nikt już nie kwestionował ruchu Ziemi. No, może oprócz tych, którzy musieli to robić z powodów ideologicznych, jak jezuici. Stąd ich dziwne łamańce, by nie przyznać, że Ziemia się porusza. Nie tylko zresztą Ziemia ignorowała orzeczenia najświętszego trybunału inkwizycji, także heretycy, tzn. protestanci, na ogół zgadzali się z nową nauką bez większych oporów. Wreszcie fizyka Newtona pozwoliła zrozumieć matematycznie różne zjawiska w Układzie Słonecznym i kwestia ruchu Ziemi przestała być kontrowersyjna, nawet w Italii nie próbowano już nikogo ścigać za kopernikanizm.

Nadal jednak, mimo wysiłków, nie udawało się wykryć paralaksy żadnej z gwiazd. Astronomowie stale zwiększali dokładność pomiarów kątowych, udoskonalali przyrządy i metody obserwacji. Wielebny James Bradley był profesorem astronomii na katedrze Savile’a w Oxfordzie i zręcznym obserwatorem. Pod koniec roku 1725 zaczęli z Samuelem Molyneux obserwować gwiazdę γ Draconis (czyli Smoka), która ma tę zaletę, że położona jest blisko bieguna ekliptyki (czyli mniej więcej tak, jak na naszych rysunkach). Góruje ona w Londynie blisko zenitu, co ułatwia precyzyjne pomiary jej wysokości kątowej nad horyzontem (nisko nad horyzontem kierunek promieni się zmienia wskutek załamania światła w atmosferze ziemskiej, jest to tzw. refrakcja: gdy widzimy, że słońce dotyka horyzontu, to naprawdę już zaszło). Gwiazdę tę obserwował już wcześniej Robert Hooke, który w 1669 roku twierdził, iż wykrył jej paralaksę roczną. Bradley i Molyneux chcieli sprawdzić, czy to prawda – Hooke często chełpił się odkryciami, mówiąc delikatnie, nie do końca potwierdzonymi. Dość szybko wykryli przesuwanie się gwiazdy na niebie, tyle że nie zgadzały się kierunki. Od grudnia do marca γ Draconis przesunęła się (w chwili górowania) o 20” kątowych na południe. Gdyby gwiazda wykazywała przesunięcia paralaktyczne, jej przesunięcie na niebie powinno zachodzić w kierunku do Słońca (por. rysunek). Tymczasem w chwili wiosennego górowania gwiazdy Słońce było na wschodzie! Prowadząc obserwacje przez resztę roku 1726 astronomowie upewnili się, że gwiazda oscyluje z amplitudą 20”. Obserwacje były precyzyjne i powtarzalne, nie chodziło o błędy pomiarowe. Gwiazda pochylała się nie w kierunku do Słońca, lecz w kierunku do niego prostopadłym, dokładnie w chwilowym kierunku wektora prędkości Ziemi w ruchu wokół Słońca. Sytuację z marca przedstawia rysunek.

bradley

Zjawisko było więc związane nie z chwilowym położeniem Ziemi, ale z kierunkiem jej prędkości. Bradley znalazł prawidłowe objaśnienie zjawiska: jest ono skutkiem ruchu Ziemi. Wektor prędkości światła obserwowany przez nas równy jest

\vec{c}_{obs}=\vec{c}-\vec{v},

gdzie \vec{c} jest wektorem względem Słońca, a \vec{v} jest wektorem prędkości Ziemi, którego koniec w ciągu roku zatacza okrąg.

aberracja

Geometria jest taka sama jak na rysunku wyżej, inne jest tylko znaczenie fizyczne boków trójkąta. Kąt między tymi wektorami równy jest

\theta=\dfrac{v}{c}.

Zjawisko to nazywa się aberracją światła. Wielkość okręgu zataczanego przez gwiazdę nie ma tu nic wspólnego z jej odległością. Gwiazda leżąca w kierunku tworzącym z ekliptyką kąt \beta, będzie zakreślać elipsę o półosiach \theta oraz \theta\sin\beta. Bradley sprawdził, że to prawda, zanim w 1728 roku opublikował artykuł o odkryciu w „Philosophical Transactions”.
W ten nieoczekiwany sposób znaleziony został pierwszy bezpośredni dowód obserwacyjny, że ruch Ziemi jest czymś realnym, a nie teoretycznym założeniem. Usiłując potwierdzić teorię Kopernika za pomocą pomiarów paralaksy,  potwierdzono ją nieoczekiwanie na całkiem inny sposób. Próby wykrycia paralaksy rocznej trwały nadal, upłynęło ponad sto lat, zanim udało się tego dokonać, chodzi bowiem o kąty mniejsze niż 1”.