Le Verrier, Adams, Galle i d’Arrest: wspólne odkrycie Neptuna (1846)

W październiku 1846 roku Zygmunt Krasiński pisał do Delfiny Potockiej:

…w tych dniach odkryto i na oczy zobaczono tego planetę tak idealnie obrachowanego, tak matematycznie przepowiedzianego (…) przez pana du Verrier, młodego astronoma, który ze zboczeń Uranusa wyciągnął konieczność bytu takiego planety i obliczył jego wielkość i przestrzeń, gdzie go szukać, wskazał. (…) Niegdyś Kolumb tak Amerykę odkrył, wprzód wyproroczywszy ją.

Poeta całkiem precyzyjnie opisał to wydarzenie. Odkrycie nowej planety stało się ogromną sensacją, przy czym najbardziej zdumiewał fakt, że najpierw położenie planety na niebie wyliczono, a później wystarczyło niejako tylko spojrzeć w niebo, by ją dostrzec. 23 września 1846 Johann Gottfried Galle, asystent w Obserwatorium astronomicznym w Berlinie otrzymał list od swego młodego jeszcze, lecz szybko wybijającego się francuskiego kolegi Le Verriera. Znalazło się w nim przewidywane położenie nowej planety, która powinna być widoczna jako dość słaba, lecz dostrzegalna bez trudu przez teleskop gwiazda. W sprzyjających okolicznościach można by nawet dostrzec niewielką tarczę planety (3″ wg Le Verriera). Przypadkiem tego właśnie dnia dyrektor obserwatorium Johann Franz Encke obchodził swe pięćdziesiąte piąte urodziny i wydawał przyjęcie dla osób stojących towarzysko wyżej niż Galle, tak więc asystent mógł skorzystać z najlepszego dziewięciocalowego teleskopu i zająć się słabo rokującą przepowiednią (Encke ponoć niechętnie zgodził się na te poszukiwania). Gallemu towarzyszył w tej pracy student Heinrich Louis d’Arrest. Szczęśliwym trafem mieli do dyspozycji najnowszą mapę tego obszaru nieba sporządzoną przez Carla Bremikera w ich obserwatorium. Była to część wielkiego zespołowego przedsięwzięcia sporządzenia map ułatwiających poszukiwania komet i planetoid. Całość została podzielona na dwadzieścia cztery części, z czego trzy sporządził Bremiker (później miał on opracować jeszcze dwie). Mapa ta nie została jeszcze rozesłana do innych obserwatoriów. Galle przy teleskopie i d’Arrest nad mapą sprawdzali kolejne gwiazdy w przeszukiwanym obszarze, zaledwie po godzinie pracy, kwadrans po północy Galle dostrzegł gwiazdę, której nie było na mapie Bremikera. Następnej nocy stwierdzili, że gwiazdka ta nieco się przemieściła. Odkrycie nowej planety stało się faktem. Znajdowała się ona niecały stopień od położenia przewidywanego przez Le Verriera.

Mapa z zaznaczonymi obserwowanym (beobachtet) i obliczonym (berechnet) położeniem Neptuna. Planeta zmieściła się szczęśliwie w lewym dolnym rogu mapy Bremikera.

Praca Le Verriera w pewnym sensie nie była zaskakująca dla astronomów. Wiedziano bowiem od dawna, że położenia Urana odbiegają od wartości obliczonych. Planety poruszają się w pierwszym przybliżeniu po elipsach ze Słońcem w ognisku, dokładne jednak obliczenia wymagają uwzględnienia przyciągania grawitacyjnego (owe „zboczenia” u Krasińskiego) pozostałych planet. Uran odkryty został przypadkowo w roku 1781, ponieważ jednak astronomowie dawno mieli zwyczaj pieczołowitego gromadzenia wszelkich danych, udało się później znaleźć także obserwacje planety sprzed oficjalnego odkrycia. Dawało to spory zasób obserwacji, których nie udawało się pogodzić z wynikami obliczeń. Te frustrujące wyniki, uzyskane przez Alexisa Bouvarda, znane były społeczności uczonych. Wysuwano też niejednokrotnie hipotezę, iż źródłem rozbieżności jest planeta położona dalej od Słońca, problem jednak uważano za zbyt trudny matematycznie i rachunkowo, by go zadowalająco rozwiązać.

Odchylenia Urana od położeń obliczonych przez Bouvarda. Warto zwrócić uwagę na skalę wykresu: chodzi o sekundy kątowe. Dokładność obserwacji rzędu pojedynczych sekund kątowych i podobna dokładność obliczeń teoretycznych były już standardem w tym czasie. Odchylenia (résidus, czyli reszty pozostające po porównaniu z teorią) zmieniają się w sposób systematyczny, nie wyglądają więc na błędy obserwacji.

Powszechnie sądzono, że zagadnienie jest zbyt trudne, dopóki nie zajęli się nim, niezależnie od siebie i nie wiedząc o sobie, Urbain Le Verrier i Henry Couch Adams. Pierwszy z nich, ekspansywny i ambitny trzydziestolatek, porzucił chemię i w krótkim czasie stał się ważnym astronomem teoretycznym. Dla drugiego, znacznie młodszego i jeszcze bez żadnego dorobku naukowego, była to pierwsza poważna praca po ukończaniu studiów w Cambridge, gdzie zdobywał wprawdzie wszystkie nagrody matematyczne, lecz teraz chodziło o rzecz znacznie poważniejszą. Obaj uczeni przyjęli założenie o zbyt dużej odległości planety od Słońca, udało im się jednak tak dobrać parametry orbity i masę poszukiwanej planety, że rozbieżności między obserwacjami a teorią znacznie się zmniejszyły i dla obserwacji z pierwszego półwiecza XIX wieku były rzędu kilku sekund kątowych.

W sprawdzeniu przewidywań znacznie bardziej powiodło się Le Verrierowi. Jego praca była też bardziej kompletna, do lata 1846 roku opublikował już trzy artykuły poświęcone nowej planecie. Adams nie miał kontaktów miedzynarodowych, nie publikował na bieżąco swych wyników, a u swoich rodaków też nie zyskał zaufania. Niektórzy twierdzą, że Brytyjczyk obarczony był syndromem Aspergera, pewne jest, że nie umiał nikogo przekonać do swojej pracy i nie zabiegał o to zbyt energicznie. Astronom Królewski George Bidell Airy zareagował dopiero na trzecią pracę Le Verriera, wcześniej Adamsowi nie udało się z nim spotkać. Zabawnym szczegółem jest fakt, że James Challis, który na polecenie Airy’ego zaczął poszukiwania planety, katalogował gwiazdy w „podejrzanej” okolicy i przy okazji dwa razy zaobserwował Neptuna, nie widząc o tym. Odkładał opracowanie obserwacji na później, aż w końcu dowiedział się o odkryciu Gallego.

Orbity wynikające z obliczeń obu uczonych były zbyt duże, w konsekwencji przecenil oni znacznie masę Neptuna. W rzeczywistości był on bliżej Urana i miał mniejszą masę.

Siła przyciągająca Urana ze strony Neptuna (strzałki pełne) i jej przybliżenie u Le Verriera (strzałki przerywane). Rysunki z artykułu rocznicowego na stulecie odkrycia autorstwa André Danjona, Le centenaire de la découverte de Neptune, „Ciel et Terre”, t. 62 (1946), s. 369-383.

Odkrycie to zapoczątkowało wielką karierę Le Verriera, który z czasem został dyrektorem Obserwatorium w Paryżu, rządzącym despotycznie przez wiele lat. Adams, choć ceniony, pozostawał w cieniu, mimo że obaj wykonywali dość podobną pracę polegającą na szczegółowych obliczeniach teoretycznych opartych na prawie ciążenia. Obaj też, niezależnie, dotarli do granicy dokładności takiego programu naukowego. Adams opublikował w 1854 roku pracę, z której wynikało nieznaczne przyspieszenie ruchu Księżyca po orbicie z czasem (tzw. przyspieszenie wiekowe albo sekularne). Le Verrier zaś obliczył, że orbita Merkurego obraca się nieco szybciej niż powinna po uwzględnieniu przyciągania pozostałych planet. Efekt był drobny, równy 38″ na stulecie, lecz realny. Żądny jeszcze większej sławy uczony francuski postulował tym razem istnienie planety bliższej Słońca niż Merkury. Nadano jej nazwę Wulkan, lecz choć szukano jej długo, ostatecznie wyjaśniono tylko tyle, że takiej planety na pewno nie ma.

Oba drobne efekty znalezione przez Adamsa i Le Verriera okazały się prawdziwe. W pierwszym przypadku przyczyną jest nie przyspieszanie Księżyca, ale zwalnianie obrotu Ziemi wokół osi. Dodatkowy obrót orbity Merkurego (dziś przyjmuje się jego wartość równą 43″ na stulecie) wynika natomiast z ogólnej teorii względności i obliczenie tej wartości w listopadzie 1915 roku stało się przełomowym momentem naukowego życia Alberta Einsteina.

Międzynarodowa Wystawa Elektryczna w Paryżu (1881)

W 1831 roku Michael Faraday odkrył zjawisko indukcji elektromagnetycznej, tzn. sposób wytwarzania prądu elektrycznego ze zmiennego pola magnetycznego. Było to odkrycie ogromnej wagi teoretycznej, ujawniając nieznane dotąd powiązania w przyrodzie. Pytano nawet wtedy Faradaya, jaki jest pożytek z jego odkrycia. Odpowiedział tak, jak wcześniej Benjamin Franklin: A jaki jest pożytek z nowo narodzonego dziecka?

Pięćdziesiąt lat później, w roku 1881, sensacją Paryża stała się wielka międzynarodowa wystawa poświęcona wyłącznie elektryczności. Zwiedziło ją od sierpnia do listopada ponad 750 000 widzów. Znanym i od lat powszechnie stosowanym wynalazkiem był telegraf, produkcja rozmaitych urządzeń z nim związanych i łączenie coraz to nowych miejscowości liniami telegraficznymi stanowiło impuls do powstania całego przemysłu. Pod koniec lat siedemdziesiątych pojawiły się jednak zupełnie nowe zastosowania. Jednym z nich był telefon, opatentowany w roku 1876 przez Alexandra Grahama Bella i szybko zdobywający sobie popularność. W roku 1881 w Paryżu było około trzystu abonentów tej usługi. Dzięki wystawie wynalazek zdobył ogromną popularność, pokazywano tam m.in. „teatrofon”, tzn. muzyczną transmisję teatralną na żywo, której można było słuchać przez słuchawki. Powszechnie zachwycano się znakomitą jakością dźwięku, pozwalającą rozpoznać artystów po głosie, a nawet usłyszeć szmer na widowni.

Telefony wykorzystywały istniejące już linie telegraficzne, mogły więc stosunkowo szybko się rozwijać. Gości paryskiej wystawy woził elektryczny tramwaj konstrukcji Siemensa, ilustrując jeszcze jedną z możliwości nowej technologii.

Zaprezentowano też różne rodzaje lamp elektrycznych. Coraz szerzej wprowadzano lampy łukowe, w których źródłem światła było ciągłe wyładowanie elektryczne pomiędzy dwiema elektrodami węglowymi. Oślepiająco jasne z bliska, nie nadawały się one do zastosowań domowych, mogły jednak służyć do oświetlania miejsc publicznych. Trzy lampy Siemensa na wystawie w Paryżu zdołały oświetlić teren pół hektara, dając światło niczym podczas pełni księżyca. Chwalono oświetlenie tego rodzaju w teatrach: powietrze było czystsze i nie było tak duszno jak przy oświetleniu gazowym. Często łączono oświetlenie gazowe z elektrycznym: w Operze Paryskiej oprócz gazowych kandelabrów umieszczono też plafony z kręgami „elektrycznych diamentów”. Jednym z popularnych wtedy rozwiązań były tzw. świece Jabłoczkowa; w lampach tych elektrody węglowe ustawione były równolegle do siebie, dzięki czemu spalając się podczas świecenia, skracały się równomiernie i łuk elektryczny był stale tej samej długości. Umieszczano je w matowych kloszach, by nie raziły wzroku.

W latarniach zastosowanych w Paryżu i Londynie jedna świeca Jabłoczkowa starczała na półtorej godziny, instalowano je w zestawach po sześć w jednej latarni, otrzymując w ten sposób dziewięć godzin świecenia.
Innym wynalazkiem oświetleniowym, który pojawił się niemal jednocześnie w różnych wersjach była żarówka. Amerykanie Thomas Alva Edison i Hiram S. Maxim oraz Anglik sir Joseph Wilson Swan zaprezentowali w latach 1879-1880 swoje odmiany wynalazku, trwał wyścig w ulepszaniu technologii oraz w ich opatentowywaniu.

Głównym trudnością było wytworzenie cienkiego włókna, które mogło się równomiernie żarzyć przez dłuższy czas. Początkowo stosowano włókna węglowe, później zaczęto używać metali takich, jak tantal, osm czy wolfram.

Etapy produkcji włókna węglowego z bambusa japońskiego oraz produkcji samej żarówki, najlepsze egzemplarze świeciły wówczas do 1200 godzin (technologia Th. A. Edisona)

Żarówki dawały żółtoczerwone, niezbyt silne światło odpowiednie do zastosowań domowych. Rosnące zapotrzebowanie na prąd elektryczny wymagało budowy elektrowni i linii przesyłowych, z początku niewielkich i na skalę lokalną. Można było oczekiwać, że nowa technologia rozpowszechni się i stworzy cały rynek związany z produkcją oraz instalacją urządzeń: od generatorów i mierników, przez okablowanie i produkty końcowe w rodzaju lamp czy silników elektrycznych. Duże firmy europejskie i amerykańskie starały się rozwijać całe zespoły uzupełniających się urządzeń, tak aby dotrzeć do odbiorcy końcowego i obniżyć koszty jednostkowe. Nawet Edison myślał jednak zbyt zachowawczo, ponieważ tworzył urządzenia na prąd stały, których można było używać niedaleko od miejsca wytworzenia prądu. Chciał elektryfikować dzielnice, co w pierwszych latach było nowatorskie, ale potem okazało się, że opłaca się budowa wielkich sieci i oddalonych od siebie dużych elektrowni. Wygrał prąd zmienny, który można transformować, zmniejszając straty podczas przesyłania.

Generator Edisona z Wystawy Paryskiej (moc 120 KM zapewniała maszyna parowa, masa urządzenia 17 t, wirowało 325 obrotów na minutę, pozwalając na pracę 1000 żarówek jednocześnie).

Jak czuli się ludzie, stając po raz pierwszy wobec tak wielkich przeobrażeń świata wokół nich? Henry Adams, amerykański historyk, potomek dwóch prezydentów, opisał swoje wrażenia z Wystawy światowej w Paryżu w roku 1900:

„Aż do zamknięcia Wielkiej Wystawy w listopadzie roku 1900, Adams wciąż ją odwiedzał, boleśnie pragnąc wiedzy, niezdolny jednak jej znaleźć. Pragnąłby wiedzieć, ile potrafiłby z niej zrozumieć najlepiej poinformowany człowiek na świecie. Kiedy tak rozmyślał nad chaosem, przypadkiem spotkał Langleya, który go po niej oprowadził. Na życzenie Langleya Wystawa zrzuciła zbędne szatki i ukazała nagą skórę, ponieważ Langley wiedział, co należy studiować, a także dlaczego i w jaki sposób, podczas gdy Adams mógłby równie dobrze stać całą noc na dworze i gapić się na Drogę Mleczną. A przecież Langley nie powiedział niczego nowego ani nie nauczał niczego, czego by się nie można było nauczyć trzysta lat temu od lorda Bacona. (…) Najbardziej zdumiewającą cechą edukacji jest to, jak wielką ilość ignorancji udaje się w niej zmieścić pod postacią martwych faktów. Adams oglądał większość z owych magazynów sztuki zwanych muzeami, a jednak nie wiedział, jak patrzeć na eksponaty artystyczne z roku 1900. Z głęboką uwagą studiował Karola Marksa i jego doktryny dotyczące historii, lecz nie potrafił ich zastosować w Paryżu. Langley z łatwością wielkiego mistrza eksperymentu odsuwał na bok każdy przedmiot, który nie odsłaniał nowego zastosowania siły, a więc w naturalny sposób odrzucał każde niemal dzieło sztuki. Podobnie jak ignorował niemal wszystkie produkty przemysłowe. Prowadził swego ucznia prosto do sił. Głównym przedmiotem jego zainteresowania były nowe silniki, które mogłyby znaleźć zastosowanie w jego statkach powietrznych i uczył Adamsa zadziwiających subtelności o nowym silniku Daimlera i automobilu, który od 1893 roku, przy szybkości 100 kilometrów na godzinę, stał się koszmarem niemal tak samo destrukcyjnym jak tylko o dziesięć lat od niego starszy elektryczny tramwaj i który mógł stać się równie straszny jak lokomotywa parowa, która była niemal w tym samym wieku co Adams.

Następnie pokazał swemu studentowi wielką halę silników, wyjaśniając mu, jak niewiele sam wie na temat elektryczności oraz wszelkich innych sił, a nawet na temat Słońca, które wypluwa z siebie trudną do pojęcia ilość ciepła i które według jego najpewniejszej wiedzy mogłoby jej wypluwać mniej albo więcej w dowolnym czasie. Dla niego silnik był tylko pomysłowym kanałem służącym do przekazania gdzie indziej ciepła utajonego w paru tonach kiepskiego węgla schowanego w brudnej maszynowni starannie ukrytej przed wzrokiem. Dla Adamsa wszakże silnik stał się symbolem nieskończoności. W miarę jak przywykał do wielkiej galerii maszyn, zaczynał postrzegać czterdziestostopowe silniki jako siłę moralną, taką jaką wczesnym chrześcijanom wydawał się krzyż. Nawet glob ziemski robił mniejsze wrażenie w swoim staromodnym miarowym obrocie rocznym czy dziennym niż to ogromne koło obracające się na wyciągnięcie ręki z zawrotną szybkością i niemal bezgłośnie, buczące swoje ledwie słyszalne ostrzeżenie, by trzymać się o włos dalej z respektu dla jego mocy, lecz tak cicho, że nie zbudziłoby dziecka śpiącego na jego obudowie. W końcu zaczynało się do niego modlić, jak uczył odziedziczony instynkt, taką postawę powinien człowiek przyjąć wobec milczącej i nieskończonej siły. Wśród tysięcy symboli ostatecznej energii silnik nie był może znakiem najbardziej ludzkim, lecz z pewnością najbardziej ekspresyjnym”.

Samuel Pierpoint Langley był fizykiem, astronomem i jednym z pionierów lotnictwa.

James Clerk Maxwell i prędkości cząsteczek gazu (1859)

Brytyjskie Towarzystwo Krzewienia Nauk (BAAS) zebrało się na swój doroczny zjazd we wrześniu w Aberdeen. To niewielkie miasto miało wówczas dwa uniwersytety i wybudowało w ciągu roku wielką salę koncertową na 2400 słuchaczy, choć i tak wszyscy chętni ledwie mogli się pomieścić. Uczonych zaszczycił obecnością królewski małżonek, książę Albert, który wygłosił przemówienie i przez cztery godziny wizytował jedną z uczelni. Nauka stanowiła mocną stronę imperium brytyjskiego, naród kupców i żeglarzy kolekcjonował osobliwe przedmioty i rośliny, badał czaszki prehistorycznych ludzi z Nepalu, interesował się polem magnetycznym i skałami z odległych części globu, rozwijał konstrukcję parowców, pracował nad projektem kabla telegraficznego przez Atlantyk – pierwszy taki kabel położono rok wcześniej, lecz po kilku tygodniach przestał działać. Za kilka lat miała nastąpić następna próba, tym razem zakończona powodzeniem.

BA150_rdax_800x491

Na zjeździe trzy komunikaty przedstawił młody profesor z miejscowego Marischal College, James Clerk Maxwell. Dwudziestoośmioletni Szkot, absolwent Trinity College w Cambridge, napisał już kilka wielce obiecujących prac: na temat pola elektromagnetycznego, pierścieni Saturna i widzenia barwnego. Do elektromagnetyzmu miał niebawem wrócić, tworząc jednolitą teorię zjawisk elektrycznych, magnetycznych i optycznych (co stało się największym osiągnięciem w fizyce od dwustu lat, od czasów Isaaca Newtona). Kilkuletnia, rozbudowana w szczegółach, praca nad pierścieniami Saturna doprowadziła go do wniosku, że nie mogą one być zbudowane z materii stałej ani ciekłej, muszą być zbiorowiskiem niewielkich fragmentów krążących niezależnie wokół planety (co się potwierdziło: są to bryłki lodu o rozmiarach zawartych najczęściej w przedziale od centymetra do 10 m). Za pracę nad pierścieniami Saturna otrzymał Nagrodę Adamsa, nazwaną na cześć brytyjskiego współodkrywcy Neptuna. Maxwell pasjonował się też eksperymentami dotyczącymi widzenia barwnego, rozwijając idee Thomasa Younga i Hermanna von Helmholtza. Jego koło barw pozwalało ilościowo porównywać wrażenia barwne wytworzone przez zmieszanie trzech barw podstawowych: czerwieni, zieleni i błękitu. Nasuwało to myśl o fotografii barwnej: wystarczy bowiem sfotografować obraz w trzech barwach i później te trzy obrazy odpowiednio zmieszać.

My zajmiemy się tu pracą dotyczącą teorii kinetycznej gazów. Jest to niezwykle prosty model, który dość precyzyjnie opisuje zachowanie rzeczywistych gazów. Przyjmuje się w nim, że cząsteczki zderzają się sprężyście ze sobą oraz ze ściankami naczynia, poruszając się między zderzeniami prostoliniowo. Jak przedstawił to Maxwell na zjeździe w Aberdeen: cząsteczki powietrza poruszają się średnio z prędkością 1500 stóp na sekundę, przebywają między zderzeniami średnią drogę 1/447000 cala, co oznacza, że ulegają 8 077 200 000 zderzeniom w ciągu sekundy. Można śmiało przypuszczać, że Maxwell pragnął tymi liczbami zaintrygować słuchaczy (przedstawił też na zjeździe badania nad kolorami oraz model pierścieni Saturna – a więc mówił o rzeczach mogących zainteresować nie tylko ekspertów). Profesor musiał wywrzeć korzystne wrażenie, rok później przeniósł się bowiem do Londynu.

Maxwell pierwszy zadał pytanie: jaki jest rozkład statystyczny prędkości cząsteczek w gazie. Podał też prawidłową odpowiedź, zwaną dziś rozkładem Maxwella. Inspiracją były rozważania Adolphe’a Queteleta, jednego z pionierów statystyki w naukach społecznych i biologii. Szkocki uczony przeczytał długą recenzję pracy Queteleta w „Edinburgh Review”. Niepodpisany artykuł był autorstwa sir Johna Herschela i zawierał m.in. takie rozumowanie:

Przypuśćmy, że upuszczamy z dużej wysokości kulkę, pragnąc, by upadła ona w oznaczonym punkcie. Kulka spada i jej odchylenie od tego punktu stanowi błąd, a prawdopodobieństwo tego błędu jest pewną nieznaną funkcją kwadratu błędu, tzn. sumy kwadratów odchyleń w dwóch prostopadłych kierunkach. Ponieważ prawdopodobieństwo danego odchylenia zależy tylko od jego wartości, a nie od kierunku, więc prawdopodobieństwa obu odchyleń w prostopadłych kierunkach muszą być opisane tą samą funkcją ich kwadratów. Ponieważ także odchylenie w dowolnym kierunku jest równoważne odpowiednim odchyleniom w dwu prostopadłych kierunkach, które zdarzyły się jednocześnie i są od siebie niezależne – jest więc zdarzeniem, na które składają się dwa niezależne zdarzenia, zatem jego prawdopodobieństwo będzie równe iloczynowi tamtych oddzielnych prawdopodobieństw. Na podstawie tego warunku określić można postać nieznanej funkcji: takiej, że iloczyn dwóch owych funkcji dla dwóch argumentów równy jest tej samej funkcji od sumy obu argumentów. Ale w każdej książce z algebry wykazuje się, że własność taką posiada funkcja wykładnicza, i tylko ona. Jest to więc funkcja kwadratu błędu wyrażająca prawdopodobieństwo jego popełnienia.

W zapisie algebraicznym rozumowanie to sprowadza się do równości

f(x^2+y^2)=f(x^2)f(y^2) \Rightarrow f(x^2)=\exp(-\alpha x^2),

gdzie \alpha jest parametrem. Nasz wynik znany był wtedy jako funkcja błędu, dziś nazywany jest rozkładem normalnym – uzasadnieniem tej nazwy jest jego niezwykle częste występowanie w wielu sytuacjach: nie tylko błędy pomiaru, ale także mnóstwo innych wielkości wykazuje rozkład tego typu o charakterystycznym kształcie krzywej dzwonowej.

normal67

 

Wykres ze strony http://www.regentsprep.org/regents/math/algtrig/ats2/normallesson.htm. Jednostką na osi x jest 1/\sqrt{2\alpha}, odchylenie standardowe.

James Clerk Maxwell zastosował bardzo podobne rozumowanie do prędkości cząstek gazu. Jeśli potraktujemy składowe prędkości w prostopadłych kierunkach jako trzy zmienne v_x, v_y, v_z, to ich rozkłady prawdopodobieństwa powinny być opisane tą samą funkcją:

f(v_x^2+v_y^2+v_z^2)=f(v_x^2)f(v_y^2)f(v_z^2) \Rightarrow f(v^2_x)=\exp(-\alpha v_x^2),

gdzie \alpha jest pewnym parametrem. Maxwell pokazał też w swej pracy, że ów parametr zależy od masy cząsteczek m oraz temperatury T. Dziś zapisujemy to następująco:

\alpha=\dfrac{m}{2kT},

gdzie k to stała Boltzmanna. Znając rozkład prawdopodobieństwa dla składowych prędkości, można łatwo znaleźć postać rozkładu dla samej prędkości, korzystając z tego, że v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2. Rozkład prawdopodobieństwa przyjmuje postać:

p(v)=v^2\exp({-\alpha v^2}). \mbox{ (*)}

Zwykle ten wynik nazywamy rozkładem Maxwella. Pokazuje on, że w gazie występują wszystkie możliwe wartości prędkości, choć z różnym prawdopodobieństwem. Rozkład ten pozwala zrozumieć np., czemu w atmosferze jest mało lekkich pierwiastków, jak wodór – lżejsze atomy szybciej się poruszają i łatwiej jest im uciec w przestrzeń kosmiczną (a zawsze pewien niewielki ułamek cząsteczek ma dużą prędkość, jest to tzw. ogon rozkładu Maxwella).

MaxwellBoltzmann-en

https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell–Boltzmann_distribution#/media/File:MaxwellBoltzmann-en.svg

W późniejszym okresie Maxwell wrócił do wyprowadzenia tego rozkładu i uzyskał je z nieco solidniejszych założeń, które sprowadzały się do przyjęcia, iż wektory prędkości cząsteczek gazu nie są ze sobą skorelowane – co także nie jest założeniem oczywistym (tzw. chaos molekularny). To drugie podejście Maxwella otworzyło drogę do pracy Ludwiga Boltzmanna, wielkiego fizyka, który zajmował się głównie teorią gazów, rozszerzając ją stopniowo do fizyki statystycznej.

(*) Warunek v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2 to równanie sfery w przestrzeni v_x, v_y, v_z. Na sferze takiej prędkość jest stała. Szukając prawdopodobieństwa dla wąskiego przedziału prędkości (v,v+dv), musimy uwzględnić fakt, że objętość cienkiej powłoki między dwoma sferami równa się 4\pi v^2 dv – stąd dodatkowe v^2 w rozkładzie Maxwella. Nasze wszystkie rozkłady są nieunormowane, należy też, ściśle biorąc, rozważać zawsze niewielkie przedziały, a nie konkretne wartości, nie chciałem jednak zaciemniać prostych koncepcji, które tu się pojawiają.