Dante Alighieri i 3-sfera

Zaczniemy od Dantego. Jak Rembrandt czy Michał Anioł, jest Dante jednym z tych artystów, których pamiętamy z imienia. W XIV wieku, gdy opisał swą podróż po zaświatach, kosmologia spleciona była ściśle z teologią. Arystotelesowski system sfer (wywodzący się od Eudoksosa) został schrystianizowany przez Tomasza z Akwinu. Świat z boskiego zwierzęcia, które porusza się samo, stał się areną dramatu moralnego. U Dantego dokładnie w środku Ziemi znajduje się głowa upadłego Lucyfera. Humanista Antonio Manetti przedstawił je w roku 1506 następująco:

Młody Galileusz wygłosił w Accademia Fiorentina dwa wykłady, poświęcone topografii dantejskiego piekła. Wykłady te pomyślane były jako sposób kultywowania „czystej mowy toskańskiej”, co należało do celów działalności Akademii. W grę wchodził także patriotyzm: młody uczony bronił poglądów swego rodaka, Antonia Manettiego, przed niezasłużoną krytyką Alessandra Velutella z Lukki. Piekło bowiem, jak wiadomo, znajduje się dokładnie pod Jerozolimą i ma kształt stożka o kącie rozwarcia 60º i wierzchołku w środku Ziemi. Poszczególne jego kręgi tworzą coś w rodzaju amfiteatru – infernal teatro – na którego samym dole znajduje się Lucyfer, a w jego trzech paszczach trzej najwięksi zdrajcy:
Judasz oraz Brutus i Kasjusz, organizatorzy zamachu na Juliusza Cezara.


Galileusz, podobnie jak jego poprzednicy, starał się wyczytać z tekstu Dantego matematyczne szczegóły. Fragment opisu Lucyfera w Pieśni XXIV można było potraktować jako proporcję.

Cesarz, władnący nad krainą nędzy,
Z lodu wysterczał do połowy łona,
A olbrzym ze mną porówna się prędzej
Niż z olbrzymami jego dwa ramiona.

Wynika stąd, że wzrost Dantego ma się do wzrostu olbrzyma tak, jak wzrost olbrzyma do długości ramion Lucyfera. Wzrost Dantego znamy: wynosił on 3 braccia. Potrzebny jest jeszcze wzrost olbrzyma. Informację tę daje Pieśń XXXI:

Jako Piotrowa szyszka, tej wielkości
Była ogromna głowa wielkoluda.

Chodziło o szyszkę z brązu znajdującą się w Rzymie i mającą wielkość 5½ braccia, taką samą wielkość ma zatem głowa olbrzyma. Ponieważ wysokość człowieka równa jest ośmiu rozmiarom głowy, więc wysokość olbrzyma równa jest 44 braccia. Korzystając z tej wielkości obliczamy wielkość ramienia Lucyfera: będzie ona równa 645 braccia. Wzrost człowieka jest trzykrotnie większy niż długość ramienia, stosując tę proporcję otrzymujemy 1935 braccia. Jako prawdziwy humanista, młody uczony także do olbrzyma i Lucyfera przykłada ludzką miarę; po latach udowodni, że proporcje ciała muszą zmieniać się z rozmiarami każdego stworzenia, inaczej kości nie wytrzymałyby ciężaru. Po uwzględnieniu uwagi poety, że Lucyfer jest jeszcze nieco większy („olbrzym ze mną porówna się prędzej…”), dostajemy na wzrost Lucyfera okrągło 2000 braccia. W podobny sposób oblicza Galileusz inne wielkości charakteryzujące Dantejskie Piekło.

Jak traktować tego typu rozważania? Zapewne podobnie jak dzisiejsze doktoraty: nie wszystko musi być tu prawdą, chodzi raczej o pewne ćwiczenie formalne, w którym startując z określonych założeń, adept stara się wykazać swobodą w posługiwaniu się metodami naukowymi: tym razem warsztatem humanisty z matematyczną ogładą. W dużo mniejszym stopniu chodziło zapewne o samo Piekło, choć bowiem Dante miał status wizjonera, to Boska Komedia nie była nigdy oficjalnym stanowiskiem Kościoła. W samo istnienie Piekła, gdzieś pod ziemią, wierzono chyba dość
powszechnie i zapewne wierzyć w nie mógł także młody Galileusz. Nie zetknął się jeszcze z kopernikanizmem i nie zdążył przemyśleć zagadnień kosmologii. W dojrzałym wieku uzna argument o centralnym miejscu Piekła we wszechświecie za śmiechu warty.

Ziemia i jej na ogół nieszczęśni mieszkańcy była w środku, lecz moralnie najniżej. Doskonalsze, bo zbudowane z niezniszczalnego tworzywa – eteru – były sfery planetarne. Doskonalszy także, bo kołowy, był ich ruch. Całość przedstawił Peter Apian, już po śmierci Kopernika, na znanym drzeworycie.

Jest to wersja wszechświata przeznaczona dla filozofów i poetów, astronomowie korzystali z innej. Ponad siódmą sferą Saturna mamy ósmą zawierającą gwiazdy, a także dziewiątą, kryształową, oraz dziesiątą: Primum Mobile. Owa dziesiąta (u Dantego – dziewiąta) sfera wprawiała w ruch wszystko poniżej, a poruszała się siłą intelektualnej miłości do Boga, który oczywiście u Arystotelesa znaczył zupełnie co innego niż u Dantego.

Świat jest więc skończony, a nawet zdaje się mieć brzeg, poza który wychynąć nie można. Otóż w XXVIII Pieśni Raju Dante dociera do owej największej sfery i opisuje nam to, co zobaczył i co objaśnia mu niezawodna przewodniczka, Beatrycze (w życiu ziemskim była mężatką, a on miał czworo dzieci z żoną, w zaświatach jednak stosunki ich przybrały inny obrót). Spoglądając, wydawałoby się z brzegu wszechświata, widzi Dante cały nowy świat wirujący wokół centralnego boskiego ognia. Jest tam też dziewięć sfer, ale zamieszkałych przez istoty wyższe, całą hierarchię anielską.

Poeta znajduje się gdzieś w punkcie P.

Interpretatorzy mieli zazwyczaj kłopot z tym drugim światem. Tymczasem z matematycznego punktu widzenia oba te kuliste światy mogłyby być połówkami 3-sfery, czyli sfery trójwymiarowej, S^3. Sferę taką stanowił świat Einsteina, pierwszy nowoczesny model kosmologiczny. Przestrzeń ma ograniczoną objętość, lecz nie ma brzegu, podobnie jak powierzchnia kuli. Przyjrzyjmy się temu bliżej.

Kula (jednostkowa) to zbiór punktów leżących bliżej niż 1 od pewnego punktu środkowego. W jednym wymiarze K^1 to po prostu odcinek otwarty (-1,1). Jego brzeg, czyli 0-sferę stanowią dwa punkty (-1),(1). W dwóch wymiarach kula K^2 to wnętrze koła, jej brzeg to 1-sfera S^1, czyli okrąg.

Zauważmy, że okrąg stanowią punkty spełniające równanie x^2+y^2=1. Możemy okrąg uważać za złożony z dwóch części: dodatniej S^1_{+} (y>0) i ujemnej S^1_{-} (y<0). Każdą z tych części możemy w sposób ciągły i wzajemnie jednoznaczny zrzutować na kulę K^1, czyli odcinek: (x,y)\mapsto (x), gdzie y=\sqrt{1-x^2}. Aby uzyskać cały okrąg (1-sferę), musimy dodać jeszcze dwa brakujące punkty (-1,0),(1,0), czyli 0-sferę.

Można zatem 1-sferę uważać za sumę dwóch oddzielnych egzemplarzy K^1 oraz 0-sfery. Taki podział daje się też przeprowadzić dla 2-sfery.

Każą z dwóch półsfer: dodatnią i ujemną można zrzutować w sposób ciągły i wzajemnie jednoznaczny na kulę K^2. Jeśli dodamy do tego 1-sferę S^1, otrzymamy całą 2-sferę, czyli brzeg kuli K^3. W przypadku 3-sfery, czyli brzegu kuli czterowymiarowej nie możemy sporządzić wprawdzie rysunku, ale postępowanie da się łatwo uogólnić. 3-sfera jest zbiorem punktów w przestrzeni czterowymiarowej x,y,z, w spełniających równanie x^2+y^2+z^2+w^2=1, skąd w=\pm\sqrt{1-x^2-y^2-z^2}. Możemy więc każdemu punktowi K^3 przypisać dokładnie dwa punkty na 3-sferze:

(x,y,z)\mapsto (x,y,z, \pm w).

Otrzymamy w ten sposób dwie połsfery S^3, które należy jeszcze uzupełnić o sferę „równikową” S^2. Przecinając sferę S^3 rozmaitymi płaszczyznami w=const począwszy od „bieguna północnego” (x,y,z,1), otrzymywać bedziemy coraz większe 2-sfery odgrywające rolę równoleżników. Największą 2-sferą jest równik: przecięcie płaszczyzną w=0, następnie dla ujemnych wartości w przecięcia będą 2-sferami o coraz mniejszym promieniu aż zbiegną się w „biegun południowy”. 

Dante znajdując się w punkcie równika 3-sfery miał więc przed sobą dwie połówki owej 3-sfery, z których każda równoważna jest kuli K^3 – inaczej mówiąc miał przed oczami dwa zbiory koncentrycznych 2-sfer: środek jednej stanowiła Ziemia, a dokładniej Lucyfer, środek drugiej – Bóg widziany jako gorejący świetlisty punkt. Można 3-sferę przedstawić jako złożenie dwóch (np. jednakowych, ale różnych) kul, w których odpowiadające sobie, „tak samo położone” punkty brzegu zostały utożsamione. Idąc więc od Ziemi, w punkcie P znajdujemy się na wspólnym brzegu obu kul i podziwiać możemy oba światy. Poeta wykazał się tu znakomitą intuicją topologiczną. Całość tej konstrukcji, 3-sfera, nie ma brzegu, tak jak świat Dantego.

Wykorzystałem artykuł Marka Petersona Dante and 3-sphere, „American Journal of Physics”, t. 47(12), (1979), s. 1031-1035.

Nagroda Nobla dla Einsteina: polityka i pieniądze

Einstein był przekonany, że prędzej czy później otrzyma Nagrodę Nobla. W 1918 r. zaproponował pieniądze z Nagrody swej pierwszej żonie Milevie jako fundusz zabezpieczający przyszłość synów. Oferta ta miała ją skłonić do zgody na rozwód, którego wciąż mu odmawiała, mimo że od 1914 roku mieszkali w innych krajach: ona w Szwajcarii, on w Niemczech. Einstein chciał uregulować prawnie swój związek z kuzynką Elsą Einstein, która miała dwie dorosłe córki z poprzedniego małżeństwa. Już teraz zaproponował Milevie 40 000 marek jako zaliczkę na poczet przyszłej Nagrody.

Czy rzeczywiście mógł się spodziewać Nagrody Nobla? Był niewątpliwie najwybitniejszym uczonym tamtego okresu i całej pierwszej ćwierci wieku XX. Jego dorobek był przy tym różnorodny, oprócz teorii względności: szczególnej i ogólnej obejmował początki fizyki kwantowej: cząstki światła (dziś zwane fotonami), skwantowane drgania kryształów (zwane fononami), teorię promieniowania (z której wyprowadza się działanie lasera), miała jeszcze do tego dojść kondensacja Bosego-Einsteina, przykład przemiany fazowej możliwej tylko dzięki kwantowej naturze materii. A do tego jeszcze teoria ruchów Browna, dzięki której ponad wszelką wątpliwość stwierdzono istnienie atomów (w tej dziedzinie równolegle do Einsteina z powodzeniem pracował Marian Smoluchowski zmarły przedwcześnie w 1917 roku). Z tego materiału dałoby się wykroić kilka porządnych Nagród Nobla, spora część tych osiągnięć miała potwierdzenie doświadczalne: Robert Millikan wykazał słuszność równania Einsteina dla zjawiska fotoelektrycznego, pomiary Walthera Nernsta i innych wskazywały, że drgania kryształów są skwantowane, a Jean Perrin zbadał szczegółowo ruchy Browna. No i w roku 1919 Arthur Eddington zmierzył ugięcie promieni świetlnych w pobliżu Słońca. Można powiedzieć, że nie było w historii tej nagrody uczonego, któremu bardziej by się ona należała.

Społeczność naukowa zdawała sobie z tego sprawę: od roku 1910 był Einstein nominowany do Nagrody Nobla regularnie (z wyjątkiem lat 1911 i 1915), z czasem przez coraz większą liczbę uczonych. Komitet Noblowski (udzielający rekomendacji z danej dziedziny), a także Akademia Królewska (która zatwierdza kandydatury, ale czasem zgłasza i zatwierdza własnych kandydatów) nie mogły więc nie zdawać sobie sprawy z jego pozycji w świecie naukowym. Szwedzcy uczeni mieli silne związki ze światem niemieckim, wydawałoby się, że powinno to faworyzować kandydata z Berlina. Jednak nie takiego kandydata Szwedzi pragnęli. Faworyzowali oni tradycyjnie badania doświadczalne, wielu akademików wciąż wierzyło, że tylko fakty eksperymentalne mają znaczenie, a wyszukane, by nie powiedzieć: wydumane, teorie stanowią jedynie zbędną nadbudowę. W dodatku ich sympatie polityczne były wyraźnie prawicowe i nacjonalistyczne, choć Szwecja była podczas wojny neutralna. Einstein niezbyt pasował do wizerunku statecznego profesora służącego własnemu krajowi: był zbyt bezkompromisowy i nonkonformistyczny, w dodatku deklarował się jako pacyfista. Toteż pierwsza uroczystość noblowska po wojnie, w czerwcu 1920 roku, doborem laureatów sprawiała raczej wrażenie rewanżystowskie.

11821-landscape-gallery

filmik z roku 1920

Mamy tu od lewej: Fritza Habera (chemia, 1918), Charlesa Glovera Barklę (fizyka, 1917), Maksa Plancka (fizyka, 1918), Richarda Willstättera (chemia, 1915), Johannesa Starka (fizyka, 1919) i Maksa von Laue (fizyka, 1914), wszyscy prócz wdowca Willstättera w towarzystwie małżonek. Niewątpliwie przeważają Niemcy, a także eksperymentatorzy,  teoretykami są tu Planck i von Laue. Nagroda dla Habera, pomysłodawcy i gorliwego wykonawcy broni chemicznej, była jawną prowokacją, choć przyznano mu ją za proces Habera-Boscha ważny w produkcji nawozów dla rolnictwa (dzięki temu samemu procesowi Niemcy mogły prowadzić latami wojnę mimo odcięcia od chilijskiej saletry). Planck otrzymał nagrodę mocno już spóźnioną, ale był najbardziej szanowanym fizykiem w Niemczech i nie sposób było go pominąć. Max von Laue został nagrodzony za dyfrakcję rentgenowską (choć nie on przeprowadził eksperymenty), Stark za prace doświadczalne wybitne wprawdzie, ale z pewnością nie przełomowe – za jego kandydaturą stał Philipp Lenard, także eksperymentator i podobnie jak Stark skrajny nacjonalista. Osobliwym przypadkiem jest Barkla – jedyny przedstawiciel Ententy, Brytyjczyk, znany z prac nad widmami rentgenowskimi, lecz wówczas już raczej na marginesie, głoszący dziwne i słabo umotywowane poglądy na temat tzw. zjawiska J. Pozostały one na zawsze w obszarze niesprawdzonych i nie potwierdzonych spekulacji. Zgłosił go Ernest Rutherford, ale był to jeden z tych laureatów, o których szybko i zasłużenie zapomniano.

W roku 1920, a więc wkrótce po obserwacjach Eddingtona, raport na temat Einsteina przygotował Svante Arrhenius, wybitny fizykochemik, twórca teorii dysocjacji elektrolitycznej, który był zwolennikiem panspermii – idei, iż zarodki życia przybyły z kosmosu. Arrhenius sądził, że mogły być przenoszone przez ciśnienie promieniowania gwiazd. Dziś pamiętany jest także jako pionier badania wpływu CO2 w atmosferze na temperaturę Ziemi. Jak widzimy, zainteresowania Arrheniusa były wprawdzie szerokie, lecz odległe od fizyki fundamentalnej. Jego raport przynosił dyskusję trzech efektów obserwacyjnych przewidywanych przez teorię względności: precesji peryhelium Merkurego (potwierdzona), ugięcia światła w pobliżu tarczy Słońca (jego zdaniem: efekt nie potwierdzony jednoznacznie ze względu na duże błędy obserwacji) oraz grawitacyjnego przesunięcia ku czerwieni (efekt zaobserwowany dopiero w 1959 roku przez Roberta Pounda i Glena Rebkę, gdy dzięki zjawisku Mößbauera, otrzymano bardzo wąskie linie widmowe). Arrhenius nie był przekonany, reszta Komitetu i Akademii także nie, kandydatura Einsteina nie została nawet poddana pod głosowanie. Dodatkowo był to rok kampanii antyeinsteinowskiej prowadzonej przez Lenarda, Starka i tyleż nieprzejednanego co niekompetentnego w tej dziedzinie Ernsta Gehrckego (specjalistę od spektroskopii). Nagrodę Nobla za rok 1920 przyznano Szwajcarowi, Charlesowi Édouardowi Guillaume, dyrektorowi Międzynarodowego Biura Miar i Wag za odkrycie inwaru, stopu żelaza i niklu o bardzo niskim współczynniku rozszerzalności. Było to odkrycie bez wątpienia pożyteczne, pozwalało bowiem na budowę dokładniejszych zegarów wahadłowych, choć jak dziś wiemy, zegary wahadłowe nie miały przed sobą wielkiej przyszłości w roku 1920. Dokładne pomiary – choćby nawet nic z nich nie wynikało – były jednak ideałem bliskim szwedzkim uczonym. Oczywiście, pomiary jako informacja o zachowaniu przyrody są bezcenne, ale ponieważ nie można zmierzyć zależności wszystkiego od wszystkiego, warto wybierać wielkości, których pomiar autentycznie rozwija wiedzę, a nie tylko zapełnia tablice Landolta-Börnsteina. Nagroda w dziedzinie chemii trafiła znacznie bardziej fortunnie do Walthera Nernsta.

W roku 1921 aż czternastu uczonych (na trzydziestu dwóch) wskazało kandydaturę Einsteina. Jako jedyny Einstein otrzymał nominacje z obu stron niedawnego konfliktu, mimo że panowała naukowa zimna wojna i Niemcy byli izolowani, zwłaszcza przez Anglików i Francuzów, od udziału w konferencjach, międzynarodowych komitetach itp. Alianci wciąż nie mogli zapomnieć niemieckich zbrodni wojennych: chloru i gazu musztardowego, zatapiania statków  pasażerskich przez U-booty, a także wystosowaniem orędzia Do cywilizowanego świata, podpisanego przez 93 niemieckich luminarzy i zaprzeczającego oczywistym faktom. Einsteina, który nie podpisał owego fatalnego dokumentu i znany był z pacyfizmu, traktowano inaczej niż jego kolegów niemieckich (co zresztą rodziło trudności i napięcia w jego stosunkach z krajowymi kolegami, na ogół przepojonymi żądzą odwetu za wojnę). Zadania oceny dorobku Einsteina tym razem podjął się Allvar Gulstrand, oftalmolog i laureat Nagrody z medycyny. Zajmował się on optyką wzroku i miał w tej dziedzinie osiągnięcia, np. ulepszenie lampy szczelinowej, do dziś używanej przez okulistów. Czuł się jednak mocny także w fizyce matematycznej. 

allvar-gullstrand-68126cb2-b5ab-49c3-93a0-15fc2a843c5-resize-750

Gullstrand opublikował w 1921 r. pracę, w której odkrył inną postać metryki dla sferycznie symetrycznego ciała w teorii względności. Jest to bardzo ważny przypadek, bo dotyczy typowej sytuacji astrofizycznej. Pierwsi rozwiązania takie uzyskali Karl Schwarzschild i niezależnie od niego Johannes Droste. Za pomocą nowej metryki, dziś zwanej metryką Painlevégo-Gullstranda, szwedzki profesor usiłował dowieść, że teoria Einsteina nie daje jednoznacznych przewidywań, a nawet można w niej otrzymać dowolną wielkość precesji peryhelium Merkurego w zależności od pewnej arbitralnie przyjętej stałej całkowania. Nie jest to prawda. Sytuacja była już w tamtym czasie dość dobrze rozpoznana i równania Einsteinowskie rozwiązywali w swoich wykładach i książkach m.in. wybitni matematycy tacy, jak David Hilbert i Hermann Weyl. Trudno się było spodziewać, że i oni, i Max von Laue, który także napisał książkę poświęconą teorii Einsteina, nie dostrzegli elementarnego błędu. Na publikację Gullstranda zareagował zresztą jego rodak, w dodatku fizyk teoretyczny, Carl Wilhelm Oseen, który zauważył słusznie, że w teorii względności z zasady nie ma jednego układu współrzędnych, ponieważ obowiązuje ogólna kowariancja, tzn. równania słuszne są w dowolnych współrzędnych. W związku z tym nie wolno przypisywać wybranym współrzędnym jakiegoś szczególnego znaczenia fizycznego, są one tylko swego rodzaju etykietami, które nie mogą wpływać na obserwowane zjawiska. 

carl-wilhelm-oseen-9dd0178c-b8e5-4800-9819-7f37e5753c9-resize-750

Gullstrand nie dawał się jednak nikomu przekonać i miał ponoć stwierdzić, że „Einstein nie może dostać Nagrody Nobla, choćby nawet cały świat się tego domagał”. Jego zdecydowana postawa przeważyła tym łatwiej, że większość akademików i tak nie miała ochoty przyznawać nagrody Einsteinowi. W roku 1921 nagrody z fizyki nie przyznano, odkładając decyzję na rok następny. 

W roku 1922 sytuacja nieco się zmieniła. Teraz do Komitetu Noblowskiego dołączył Oseen i zaczął prowadzić misterną grę. Nie był on wielkim zwolennikiem Einsteina, choć jako teoretyk lepiej sobie zdawał sprawę z wysokiej pozycji uczonego. Celem Oseena było jednak zapewnienie nagrody Nielsowi Bohrowi za jego model atomu. Duńczyk potrzebował pieniędzy na rozwinięcie swego instytutu w Kopenhadze, powszechnie zresztą sądzono, że nagroda mu się należy. Ponieważ jednak praca Bohra pochodziła z roku 1913 i Duńczyk był w stosunku do Einsteina już młodszym pokoleniem fizyków, Oseen zadbał, aby przyznano nagrodę zarówno Einsteinowi, jak i Bohrowi. W przypadku Einsteina obrał sprytną strategię, by ograniczyć się do jednej tylko pracy, lecz dobrze potwierdzonej przez doświadczenie. Chodziło o równanie zjawiska fotoelektrycznego. Eksperyment potwierdzał równanie Einsteina i można było na chwilę zapomnieć o leżącej u podstaw tego równania teorii, że światło ma naturę cząstkową. Równanie w każdym razie było słuszne i Oseen skoncentrował się na tym jednym punkcie. Strategia ta przyniosła podwójny sukces: postanowiono przyznać Einsteinowi nagrodę za rok 1921, a Bohrowi za rok 1922. 

Wczesną jesienią 1922 roku zaczęto Einsteinowi dawać do zrozumienia, że być może powinien zarezerwować czas, aby w grudniu udać się do Sztokholmu. Uczony zignorował te aluzje i wybrał się na wcześniej zaplanowaną turę odczytów do Japonii. Gdy oficjalnie ogłoszono przyznanie obu nagród z fizyki, był na morzu między Hong Kongiem a Szanghajem. Nie uważał za stosowne odnotować otrzymania Nagrody Nobla w dzienniku podróży, który prowadził. Najprawdopodobniej niezbyt go to obeszło, a poza tym pieniądze obiecał już Milevie. Wkrótce pochłonęły go egzotyczne wrażenia z Japonii, gdzie na Święcie Chryzantem stał się większą atrakcją niż cesarzowa. Podczas oficjalnej uroczystości 10 grudnia 1922 roku Svante Arrhenius następująco przedstawił osiągnięcia Einsteina:

Nie ma prawdopodobnie wśród żyjących współcześnie fizyków nikogo, kogo imię znane by było tak szeroko, jak imię Alberta Einsteina. Dyskusje koncentrują się przeważnie na jego teorii względności. Ma ona związek z epistemologią i dlatego była przedmiotem ożywionej debaty w kręgach filozoficznych. Nie jest sekretem, iż sławny filozof Bergson z Paryża kwestionuje tę teorię, podczas gdy inni filozofowie popierają ją całkowicie. Teoria ta posiada także implikacje astronomiczne, które są obecnie sprawdzane w dokładny sposób.

Tradycjonalistyczny upór Akademii Szwedzkiej sprawił ostatecznie, że Einstein otrzymał Nagrodę Nobla za swoją najbardziej wizjonerską pracę dotyczącą fotonów (nawet Planck sądził, że Einstein posunął się w niej zbyt daleko, co pokazuje, jak bardzo młody Einstein wyprzedzał poglądy kolegów). Dyplom i medal odebrał ambasador Niemiec, który okazał się bardziej asertywny od ambasadora Szwajcarii (Einstein wciąż uważał się za obywatela Szwajcarii). Dopiero w styczniu 1923 roku Einstein oficjalnie podziękował za przyznanie mu Nagrody Nobla, pisząc do Arrheniusa: „Bardzo się cieszę, między innymi dlatego, że nie będą mnie już z wyrzutem pytać: «Czemu nie dostał pan Nagrody Nobla?»”

Warunkiem otrzymania pieniędzy z Nagrody jest poprowadzenie wykładu. Arrhenius zaprosił Einsteina do Göteborga na odbywający się latem zjazd skandynawskich przyrodników i zaproponował mu, by na temat wykładu wybrał nie zjawisko fotoelektryczne, lecz teorię względności. Einstein uprzejmie się zgodził, choć opowiedział głównie o swojej nowej wersji jednolitej teorii pola. Jak zawsze, najbardziej interesowała go praca, którą się w danym momencie
zajmował. W odczycie wygłoszonym do dwóch tysięcy słuchaczy, wśród których znajdował się król Szwecji, Einstein streścił obie teorie względności. Przedstawił też „będący obecnie przedmiotem żywego zainteresowania problem identyczności pola grawitacyjnego i pola elektromagnetycznego. Umysł dążący do unifikacji teorii nie może być  usatysfakcjonowany tym, że istnieją dwa pola, które są całkowicie od siebie niezależne. Poszukiwana jest  matematycznie jednolita teoria, w której pole grawitacyjne i pole elektromagnetyczne będą interpretowane jako różne składowe czy przejawy tego samego jednolitego pola (…) W szczególności teoria pola, moim zdaniem, może być  zadowalająca tylko wówczas, gdy dopuszczać będzie elementarne ciała elektryczne jako rozwiązania wolne od osobliwości”. Był to program badawczy uczonego na następne trzydzieści lat. Fizyka poszła za Bohrem.

Pieniądze z Nagrody – równowartość swych dziesięcioletnich zarobków – rzeczywiście przekazał Milevie, która kupiła najpierw jeden, a potem dwa kolejne domy w Zurychu. Mileva nie miała żyłki do interesów i inwestycje te okazały się raczej kosztowną klapą. Einstein z daleka próbował jej pomagać, głównie ze względu na synów, z których młodszy Eduard trafił do zakładu psychiatrycznego i jego utrzymanie sporo kosztowało. Uczony po wyjeździe do Stanów Zjednoczonych stracił większość swego europejskiego majątku, który skonfiskowali naziści. Żeby kupić w Princeton słynny domek przy Mercer Street 112, musiał zorganizować specjalną aukcję jednego ze swych rękopisów. 

Co maszyny parowe mówią nam o czarnych dziurach? (Carnot, 1824, Hawking 1974)

Termodynamika jest dziedziną zdumiewającą. Wyprowadzone z niej zależności pojawiają się w najróżniejszych dziedzinach fizyki. Pokażemy tu mały przykład: rozumowanie Sadiego Carnota dotyczące sprawności maszyn parowych i pewien eksperyment myślowy zaproponowany przez Roberta Gerocha w 1971 r., który doprowadził do odkrycia niezerowej temperatury czarnych dziur. Pracowało nad tym zagadnieniem kilku uczonych, najważniejszy wkład wnieśli Jacob Beckenstein i Stephen Hawking. Ten ostatni końcową formułę uznał za tak ważną, że pragnął, by mu ją wyryto na nagrobku. Odkrycie to oznaczało, że czarne dziury nie są zupełnie czarne, wysyłają bowiem promieniowanie cieplne i kiedyś, po bardzo długim czasie, wyparują.

Angielski napis: Tu spoczywa to, co było śmiertelne w Stephenie Hawkingu. Słowa powtarzają po angielsku to, co wyryto kiedyś na nagrobku Isaaca Newtona nieopodal: Hic depositum est quod mortale fuit Isaaci Newtoni.

Zaczniemy od Carnota. Sadi, był synem Lazare’a Carnota, generała-matematyka, polityka i organizatora, dzięki któremu armia rewolucyjna odnosiła sukcesy i który później służył Napoleonowi Bonaparte, póki ten nie zdradził ideałów rewolucji dla osobistej władzy. Lazare Carnot napisał znany podręcznik mechaniki maszyn. Jego syn, Sadi, absolwent École Polytechnique, także został inżynierem wojskowym. Nie mógł raczej liczyć na karierę we Francji w czasach restauracji monarchii Burbonów, zajmował więc jakieś niewiele znaczące stanowiska w Sztabie Generalnym i rozwijał się intelektualnie. Mając 27 lat, w 1824 roku opublikował niewielką książeczkę Réflexions sur la Puissance Motrice du Feu (Rozważania o sile poruszającej ognia). Nie została ona doceniona przez współczesnych, a kilka lat później Carnot zmarł na cholerę. Pracę Carnota odkryło dopiero następne pokolenie fizyków, w tym William Thomson, późniejszy lord Kelvin.

Carnot rozumiał, jak ogromną rolę odgrywają maszyny parowe: w jego czasach znajdowały one wciąż nowe zastosowania, zwłaszcza Anglia korzystała na rozpowszechnieniu nowych technologii, bez nich nie byłoby Imperium Brytyjskiego. Toteż Carnot spróbował zbudować naukową teorię wydajności maszyn cieplnych. Posługiwał się zresztą teorią cieplika, nieznana była bowiem jeszcze zasada zachowania energii, lecz rozumowania Carnota można było łatwo zmodyfikować, tak też poniżej zrobimy. Odkrycie Carnota jest równoważne temu, co później stało się II zasadą termodynamiki

Rozumiano oczywiście, że nie może istnieć maszyna, która wiecznie będzie się poruszać: perpetuum mobile. Paryska Akademia nauk w roku 1775 uchwaliła, że zaprzestaje analizowania nadsyłanych wciąż rozwiązań problemu podwojenia sześcianu, kwadratury koła i trysekcji kąta, a także wynalazków umożliwiających wieczny ruch bez napędu z zewnątrz. Problemy geometryczne znane były od starożytności i coraz bardziej się przekonywano, że są nierozwiązalne jako konstrukcje za pomocą liniału i cyrkla. Maszyny parowe (oraz wszelkie silniki cieplne, a także zwierzęta) zamieniają ciepło na pracę. Z dzisiejszego punktu widzenia rzec można, iż zamieniają nieuporządkowany ruch cząsteczek i atomów na uporządkowany ruch tłoka. Tutaj także obowiązuje pewien zakaz: nie można zamienić bez strat ciepła na energię mechaniczną. Czasem mówi się, że niemożliwe jest perpetuum mobile drugiego rodzaju, czyli urządzenie, które pobierałoby ciepło wyłącznie z jednego źródła, a następnie zamieniało je w całości na pracę. Jest to istota II zasady termodynamiki. Gdyby możliwe było np. pobranie z oceanów światowych ilości ciepła odpowiadającej zmianie temperatury o 1 K i zamiana go w całości na pracę, uzyskalibyśmy około 1025 J, czyli mniej więcej sto tysięcy razy więcej, niż roczna produkcja energii elektrycznej na świecie w 2013 roku. Zasada zachowania energii byłaby przy tym spełniona, naruszałoby to jedynie II zasadę termodynamiki.

Carnot podszedł do zagadnienia w duchu kartezjańskim i matematycznym. Pominął wszelkie szczegóły konstrukcyjne, sprowadzając maszynę parową do takiego działania cyklicznego, w którym pobieramy najpierw pewną ilość ciepła Q w wyższej temperaturze, a następnie oddajemy mniejszą ilość ciepła q w temperaturze niższej.

Konieczne są tu obiekty o dwóch różnych temperaturach: źródło ciepła i chłodnica. Intuicyjnie jasne jest, że gdy ciepło przepływa wprost z ciała o wyższej temperaturze do ciała o niższej temperaturze, to tracimy możliwość wykonania użytecznej pracy – mamy do czynienia z procesem nieodwracalnym. Maszyna cieplna o największej wydajności, to taka, w której ciepło przepływa zawsze między ciałami o praktycznie tej samej temperaturze: wystarczy wówczas nieznacznie zmienić jedną z temperatur, by odwrócić kierunek przepływu ciepła. W przypadku silnika cieplnego najpierw należy mu dostarczyć ciepła w sytuacji, gdy substancja robocza (np. para wodna) ma temperaturę nieznacznie mniejszą od temperatury źródła ciepła T_1, następnie wykonuje ona pracę, a potem oddaje pewną ilość ciepła do chłodnicy, przy czym substancja robocza powinna mieć temperaturę nieznacznie tylko wyższą niż T_2. Łatwo wyobrazić sobie odwrócenie takiego cyklu, nasza maszyna pracowałaby wówczas jak lodówka.

Carnot udowodnił, że maszyna odwracalna nie może mieć mniejszej wydajności niż nieodwracalna. Gdyby tak było, moglibyśmy obie maszyny sprząc ze sobą: pierwszą w kierunku normalnym, a drugą działającą odwrotnie (lodówka) i jeszcze uzyskalibyśmy pewną dodatkową pracę zewnętrzną.

Widać z obrazka, że takie urządzenie (niebieski prostokąt) wykonuje cykl, w którym zamienia na pracę ciepło pobrane z chłodnicy, a to jest niemożliwe. Musi więc zachodzić nierówność W\le W', a więc także i wydajność silnika cieplnego

\eta=\dfrac{W}{Q}\le\dfrac{W'}{Q}=\eta_{odwr}.

Ponieważ dwie maszyny odwracalne pracujące między danymi temperaturami muszą spełnić takie nierówności w obie strony, więc muszą mieć jednakową wydajność. Wydajność maszyny odwracalnej jest wyłącznie funkcją obu temperatur. Sprawność takiej maszyny odwracalnej jest granicą teoretyczną wydajności maszyn rzeczywistych i równa jest

\eta_{odwr}=\dfrac{W'}{Q}=1-\dfrac{q'}{Q}=1-\dfrac{T_2}{T_1}.

Ostatnia równość jest zarazem definicją skali temperatur absolutnych. Wprowadził ją Thomson w 1848 roku. Jego oraz Rudolfa Clausiusa uważa się za odkrywców II zasady termodynamiki, odkryli oni na nowo fakty znane Carnotowi, a także rozwinęli tę dziedzinę. II zasadę można sformułować także w ten sposób, że całkowita suma entropii świata rośnie.

Przenosimy się teraz o 150 lat w przód. Wiadomo, że zasady termodynamiki mają zastosowanie powszechne, niezależnie od tego, z jakim obszarem zjawisk mamy do czynienia: elektromagnetyzm, reakcje chemiczne, grawitacja – fizyka nie jest zbiorem niezależnych poddziedzin, lecz spójną całością. W latach szęśćdziesiątych ubiegłego wieku fizycy zrozumieli, że we wszechświecie powinny w pewnych warunkach tworzyć się czarne dziury. Jedną z najważniejszych postaci w tej nowej astrofizyce był John Wheeler, autor określenia „czarne dziury“ i mentor całej plejady wybitnych relatywistów. Jego doktorantem był Ja’akow Beckenstein. Kiedyś Wheeler w niezobowiązującej pogawędce zauważył, że zawsze czuje się jak przestępca, kiedy stawia filiżankę gorącej herbaty obok filiżanki mrożonej herbaty i pozwala im wyrównać temperatury.

Moja zbrodnia zostawia ślad aż po kres czasu i nie ma sposobu, by ją zatrzeć albo odwrócić. Wystarczy jednak, by w pobliżu przepływała akurat jakaś czarna dziura i żebym wrzucił do niej gorącą herbatę i tę mrożoną, a dowody mojej zbrodni zostałyby zatarte na zawsze.

Należy przy tym wyobrazić sobie Johna Wheelera, ubranego w nienaganny garnitur, konserwatystę z przekonań, który rzeczywiście mógłby odczuwać moralny dyskomfort z powodu beztroskiego powiększania entropii świata. Oczywiście treść fizyczna tej wypowiedzi była jak najbardziej serio: znikanie różnych obiektów za horyzontem zdarzeń sprawia, że z bilansu entropii wszechświata znika to, co wpadło do dziury. W ten sposób II zasada termodynamiki traci ważność, bo nie możemy sporządzić pełnego bilansu entropii świata. Wiadomo było, że czarne dziury zacierają jakikolwiek ślad tego, co do nich wpada i jedynym śladem jest zmiana masy, momentu pędu i ładunku dziury. Czy obiekty tak proste mogą być obdarzone entropią, która jest miarą liczby mikrostanów danego obiektu? Wiadomo było dzięki Stephenowi Hawkingowi, że pole powierzchni horyzontu czarnej dziury zawsze rośnie, przypominając pod tym względem entropię. Ale tylko przypominając – nikt bowiem nie chciał uwierzyć, że dziury naprawdę mają entropię. Gdyby miały, powinny też mieć niezerową temperaturę, a każdy obiekt o niezerowej temperaturze wysyła promieniowanie cieplne. Tymczasem dziura ma jedynie pochłaniać cząstki i promieniowanie. 

Robert Geroch przedstawił tę sytuację za pomocą silnika cieplnego. Wyglądałoby to jakoś tak:

Rysunek Louisa Fulgoniego

Napełniamy pudło promieniowaniem o pewnej temperaturze T z dala od dziury tak, że energia promieniowania równa się E. Pudło ma masę m=E/c^2. Następnie powoli opuszczamy na lince nasze pudło. Opuszczaniu masy w polu grawitacyjnym towarzyszy wykonanie pewnej pracy i np. wygenerowanie prądu zasilającego żarówkę, jak na rysunku. Jeśli opuścimy pudło aż do horyzontu zdarzeń, jego energia całkowita stanie się równa zero (jakby do energii spoczynkowej mc^2 doszła energia potencjalna grawitacji równa -mc^2).  Znaczy to, że całą energię E udało nam się zamienić na pracę. Otwieramy teraz pudło, pozwalając promieniowaniu wpaść do dziury i podnosimy z powrotem puste, lekkie pudło. Cykl się zamyka. Stworzyliśmy idealny silnik cieplny.

Jacob Beckenstein, analizując sytuacje takie jak powyższa, pierwszy zasugerował, że czarna dziura powinna mieć entropię i ustalił, jaki wzór powinien ją opisywać. Był wtedy młodym uczonym tuż po doktoracie i musiał wytrzymać ciśnienie zmasowanej krytyki uznanych ekspertów, w tym Stephena Hawkinga. W końcu to Hawking rozstrzygnął problem, wykazując, ku własnemu zdumieniu, że czarne dziury promieniują i obliczył stosowną temperaturę. Praca ta powstała na gruncie kwantowej teorii pola, rozszerzając jej zastosowanie na zakrzywioną czasoprzestrzeń. 

Silnik Gerocha nie ma stuprocentowej sprawności. Jeśli promieniowanie ma temperaturę T, to samo pudło musi mieć rozmiar przynajmniej typowej długości fali L. Najniższe możliwe położenie pudła osiągniemy, gdy jego dolna ścianka dotknie horyzontu zdarzeń. Środek masy pudła znajduje się wtedy na pewnej wysokości L/2 i energia całkowita pudła równa się mgL/2 (g jest natężeniem pola grawitacyjnego na powierzchni horyzontu). 

Toteż praca uzyskana podczas opuszczania pudła równa jest

W=mc^2-mg\dfrac{L}{2},

a sprawność maszyny wynosi

\eta=\dfrac{W}{mc^2}=1-\dfrac{gL}{2c^2}.

Typową długość fali odpowiadającą temperaturze T możemy znaleźć jako warunek równości energii cieplnej k_{B}T (k_B jest stałą Boltzmanna – czyli w zasadzie przelicznikiem energii na temperaturę i odwrotnie) i energii fotonu (jest to też treść tzw. prawa Wiena dla promieniowania cieplnego):

k_{B}T=\dfrac{\hbar c}{L}.

Sprawność silnika przyjmuje więc postać

\eta=1-\dfrac{g\hbar }{2ck_B T}\equiv 1-\dfrac{T_{BH}}{T}.

Z porównania otrzymujemy oszacowanie temperatury Hawkinga

T_{BH}=\dfrac{g\hbar}{2k_B c}.

Oczywiście niezbyt przejmowaliśmy się stałymi liczbowymi, toteż nie należy się spodziewać, że wynik ten będzie dokładny. Wartość dokładna okazuje się mniejsza o czynnik \pi:

T_{BH}=\dfrac{g\hbar}{2\pi k_B c}.

William Unruh udowodnił, że jeśli poruszamy się z przyspieszeniem g w pustej przestrzeni, to zaobserwujemy w naszym układzie odniesienia promieniowanie o takiej temperaturze jak we wzorze Hawkinga. Jest to tzw. efekt Unruh. Zgodnie z zasadą równoważności pole grawitacyjne i przyspieszenie są lokalnie równoważne.

Temperatura Hawkinga w przypadku czarnych dziur o masach astrofizycznych jest skrajnie mała i zdecydowanie poza zasięgiem obserwacji. Osiągnięciem Hawkinga było pokazanie, że i w tym przypadku obowiązuje II zasada termodynamiki. Fakt, że czarna dziura promieniuje, i to tym silniej, im mniejszą ma masę, oznacza, że po bardzo długim czasie czarne dziury wyparują i wszechświat wypełniony będzie samym promieniowaniem. Taki kres wszechświata, według ulubionej hipotezy Rogera Penrose’a, byłby możliwym początkiem następnego wszechświata. 

Żeby otrzymać temperaturę w postaci z nagrobka w Westminster Abbey, należy wstawić za g wartość 

g=\dfrac{GM}{r_S^2},

gdzie r_S to promień Schwarzschilda:

r_S=\dfrac{2GM}{c^2},

a G\, M oznaczają odpowiednio stałą grawitacyjną i masę dziury. Wzór opisujący g jest (przypadkowo) taki sam jak w teorii klasycznej dla grawitacji na powierzchni kuli o promieniu r_S

O temperaturze Hawkinga pisałem już wcześniej.

Ugięcie światła gwiazd w pobliżu Słońca (Praga 1911-Berlin 1915, z Zurychem po drodze)

W Pradze Einstein wrócił po kilkuletniej przerwie do problemu grawitacji. Pierwszą pracą opublikowaną w Pradze było obliczenie kąta odchylenia promienia światła przechodzącego w pobliżu Słońca. Przewidywana wartość wynosiła 0,87 sekundy kątowej i można było mieć nadzieję, że astronomowie będą potrafil zmierzyć ten niewielki kąt. Rozważania Einsteina nad polem grawitacyjnym w teorii względności znalazłyby wówczas oparcie w obserwacjach.
Czemu światło w polu grawitacyjnym miałoby się odchylać? Odpowiedź na to pytanie była łatwa aż do początku wieku XIX. Uważano bowiem wtedy za Newtonem, iż światło jest strumieniem cząstek o wielkiej prędkości. Byłoby więc naturalne, że cząstki owe są przyciągane przez Słońce, tak samo jak każdy inny rodzaj materii. Wielkość takiego ugięcia obliczyli Johann Georg von Soldner (1804), a przed nim Henry Cavendish (ok. 1784, niepublikowane), w którego papierach znaleziono ścisły wzór na odchylenie cząstki poruszającej się po orbicie hiperbolicznej. Promienie biegnące przy krawędzi Słońca powinny odchylać się o 0,87 sekundy kątowej. Jak obliczyć wielkość Newtonowską odchylenia, pokazuję tutaj.

Jednak od początku XIX wieku światło uważano za falę i nie było widać żadnego konkretnego powodu, by grawitacja zakłócała bieg takich fal. A ponieważ kąt 0”,87 jest bardzo niewielki, więc nie próbowano nawet sprawdzić obserwacyjnie, czy efekt ten istnieje. Praca Soldnera została całkowicie zapomniana.

Punktem wyjścia Alberta Einsteina była zasada równoważności, spostrzeżenie, które uważał później za najszczęśliwszą myśl swego życia. Chodziło o związek pola grawitacyjnego z przyspieszeniem. Jeśli znajdziemy się w statku kosmicznym, który nie ma włączonych silników, doznajemy stanu nieważkości: wewnątrz naszego statku grawitacja jest „wyłączona”. Dokonując obserwacji w kabinie takiego statku, zauważymy, że obowiązuje w nim I zasada dynamiki: ciała, na które nie działają żadne siły, poruszają się ruchem jednostajnym i prostoliniowym. Inaczej mówiąc, układ odniesienia związany ze statkiem kosmicznym jest układem inercjalnym. Teoria względności sformułowana przez Einsteina w roku 1905 dotyczyła właśnie takich układów odniesienia. Zasada równoważności mówi także, że kiedy włączymy silniki naszego statku kosmicznego i zaczniemy poruszać się z przyspieszeniem, astronauta odczuje to jako „włączenie” pola grawitacyjnego. Promień światła biegnący prostoliniowo w układzie inercjalnym, w układzie przyspieszonym będzie się zakrzywiał. A ponieważ układ przyspieszony jest fizycznie równoważny polu grawitacyjnemu, więc należy oczekiwać, że w polu grawitacyjnym promień światła ulegnie zakrzywieniu.

Lokalne zakrzywienie promienia będzie zresztą dokładnie takie, jakby światło było newtonowską cząstką w polu grawitacyjnym. Można do niego zastosować wzór opisujący zwykły rzut paraboliczny (*). Einstein w roku 1911 zastosował zasadę równoważności w połączeniu z geometrią euklidesową, ponieważ aż do listopada 1915 roku nie zdawał sobie sprawy, że w zagadnieniu tym ważne okaże się także zakrzywienie 3-przestrzeni.

W przypadku fali zmiana kierunku wiąże się ze zmianą prędkości rozchodzenia. Einstein musiał więc przyjąć, że zasada stałości prędkości światła w próżni – jeden z fundamentów szczególnej teorii względności – nie obowiązuje w sposób absolutnie ścisły. Prędkość światła miała się nieco zmieniać zależnie od położenia w polu grawitacyjnym. Zależność była następująca:

c(h)\approx c(0)\left(1+\dfrac{ah}{c^2}\right),

tzn. na wysokości h prędkość światła jest nieco większa. Wielkość ah jest to potencjał pola grawitacyjnego – wielkość, która pomnożona przez masę m cząstki daje jej energię potencjalną (w polu o przyspieszeniu grawitacyjnym a energia potencjalna równa jest mah). Naruszając przyjętą wcześniej przez siebie samego zasadę stałości prędkości światła, Einstein wykazywał się odwagą, której nie brakowało mu także i później, nie był nigdy niewolniczo przywiązany do własnych pomysłów. W tym przypadku pakował się w kłopoty, które dopiero stopniowo sobie uświadamiał. Szczególna teoria względności była zbyt ważna, by ją poświęcać. Intuicja mówiła mu jednak, że także zasada równoważności powinna być słuszna. Zgodnie z nią, światło wysłane do góry w polu grawitacyjnym powinno mieć w punkcie odbioru częstość mniejszą niż w punkcie wysłania. Częstość to liczba okresów w jednej sekundzie, a więc jedna sekunda na górze zawiera mniej okresów fali niż na dole. Sekunda jest więc na górze krótsza, a odmierzany takimi sekundami czas płynie szybciej. Mamy tu do czynienia z dwoma rodzajami czasu.

Pierwszym jest czas własny mierzony np. za pomocą zegara atomowego, czyli częstości jakiejś określonej linii widmowej. Światło biegnące z dołu do góry w polu grawitacyjnym będzie miało tak mierzoną częstość mniejszą u góry niż miało w chwili wysłania na dole.

Drugim rodzajem czasu jest współrzędna czasowa. Jeśli pole grawitacyjne jest statyczne, to odstępy czasu mierzone współrzędną czasową (za pomocą czasu współrzędnościowego, jak się czasem mówi) między jednakowymi sygnałami (cząstkami) wysyłanymi w punkcie 0 i odbieranymi w punkcie h powinny być jednakowe. Kiedy popatrzymy na wykres czasoprzestrzenny (poniżej), stanie się jasne dlaczego. W sytuacji statycznej linia świata cząstki nie powinna zależeć od tego, w jakiem momencie zostanie ona wysłana, bo fizyka nie zależy od czasu. mamy więc taką samą krzywą przesuniętą jedynie w czasie (współrzędnościowym). Takie liczenie czasu ma sens, jeśli chcemy porównywać, co dzieje się w różnych punktach.

Z rysunku widać, że okres (i częstość) światła mierzony czasem współrzędnościowym będzie taki sam na każdej wysokości. Aby pogodzić te dwa sposoby liczenia czasu, musimy przyjąć, że odstęp czasu własnego \Delta\tau odpowiadający danemu \Delta t jest na wysokości h równy

\Delta\tau=\Delta t \left(1+\dfrac{ah}{c^2}\right).

Pole grawitacyjne zmienia więc przelicznik jednego czasu na drugi. Czas współrzędnościowy związany jest z globalną sytuacją, umożliwia nam porównania miedzy różnymi punktami, nie mierzymy go bezpośrednio. Czas własny natomiast to będzie zawsze czas mierzony w danym punkcie za pomocą standardowego zegara. Prędkość światła wyrażona w czasie własnym jest zawsze równa c i tego nie zmienia żadne pole grawitacyjne. Natomiast prędkość światła wyrażona za pomocą współrzędnej czasowej może zmieniać się od punktu do punktu i tak należy rozumieć wzór wyżej opisujący zmiany prędkości światła.

W pierwszej pracy wysłanej z Pragi odchylenie promienia świetlnego obliczone jest na podstawie zasady Huyghensa: każdy punkt czoła fali jest źródłem nowej fali kulistej, a obwiednia tych wszystkich fal kulistych staje się nowym czołem fali. Skoro prędkość fali zależy od położenia, jej czoło musi zmienić kierunek.

Można na efekt ten patrzeć jak na skutek przyciągania grawitacyjnego, ale Einstein zapoczątkował tu nowe podejście: prędkość światła się zmienia, bo zmienia się przelicznik czasu globalnego (umożliwiającego porównania) na lokalny (który mierzymy obserwując zjawiska w pewnym miejscu). Inaczej mówiąc, światło biegnie nadal po krzywej najkrótszego czasu, ale przestrzeń stała się czymś w rodzaju ośrodka o zmiennym współczynniku załamania. Odchylenie od prostoliniowości toru jest więc podobne do tego, co obserwuje się w zjawiskach takich jak miraże w rozgrzanym powietrzu nad drogą (albo pustynią).

Przewidywany efekt był niewielki, ale można było mieć nadzieję na jego wykrycie podczas zaćmienia Słońca (gdy widać gwiazdy blisko tarczy naszej gwiazdy). Tak się rzeczywiście stało, ale dopiero w roku 1919. Wcześniej Einstein zbudował, zburzył i zbudował na nowo swoją teorię grawitacji, czyli ogólną teorię względności. Okazało się przy okazji, że w Pradze widział sprawy zbyt prosto. Nawet w przypadku stosunkowo słabego pola grawitacyjnego Słońca należy bowiem uwzględnić także zakrzywienie przestrzeni. Matematycznie wygląda to następująco. Dla dwóch zdarzeń w czasoprzestrzeni Minkowskiego (szczególna teoria względności) odległych o \Delta t, \, \Delta x, \, \Delta y, \, \Delta z, kwadrat odległości \Delta s ma postać

\Delta s^2=c^2 \Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2.

Oznacza to m.in., że dla zdarzeń, które można połączyć sygnałem świetlnym \Delta s=0, a to z kolei pociąga za sobą równość

\left(\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2+ \left(\dfrac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2+  \left(\dfrac{\Delta z}{\Delta t}\right)^2 =c^2.

Jest to po prostu twierdzenie Pitagorasa dla składowych prędkości światła, jej wartość zawsze równa się c -pewnej stałej fizycznej. Podejście praskie oznaczało, że kwadrat odległości czasoprzestrzennej ma postać:

\Delta s^2=(c^2+2\Phi) \Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2,

gdzie \Phi jest potencjałem grawitacyjnym, czyli uogólnieniem ah z wyrażeń wyżej. Teraz kwadrat prędkości światła jest równy

c^2\left(1+\dfrac{2\Phi}{c^2}\right),

a sama prędkość

c\left(1+\dfrac{\Phi}{c^2}\right).

Przyjmujemy tutaj, że \Phi\ll c^2, co znaczy, że pole grawitacyjne nie jest bardzo silne. Co się zmieniło w ostatecznej, berlińskiej, wersji teorii Einsteina? Odległość czasoprzestrzenna przybrała postać:

\Delta s^2=(c^2+2\Phi) \Delta t^2-\left(1-\dfrac{2\Phi}{c^2}\right)(\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2).

Czynnik, który pojawił się przed współrzędnymi przestrzennymi, daje zakrzywienie 3-przestrzeni. Jeśli teraz obliczymy prędkość światła (tak jak wyżej z warunku ds=0), dostaniemy wartość

c\left(1+\dfrac{2\Phi}{c^2}\right).

Dodatkowa dwójka w liczniku daje dwukrotnie większy efekt zakrzywienia toru światła, co Einstein skonstatował ze sporym zdziwieniem. Tę właśnie podwojoną wartość (1,74 sekundy kątowej przy tarczy Słońca) zmierzył w roku 1919 Arthur Eddington. Nowa teoria nie tylko zupełnie inaczej opisywała świat (zamiast siły grawitacji inna geometria czasoprzestrzeni), ale też przewidywała inny wynik obserwacyjny. Okazało się to bardzo ważne dla akceptacji nowej teorii, zapoczątkowało też ogromną sławę uczonego, która w jakiś sposób trwa po dziś dzień.

Więcej o Einsteinowskiej teorii grawitacji.

(*) Jak zwrócili uwagę Jürgen Ehlers i Wolfgang Rindler (General Relativity and Gravitation, 29, No. 4 (1997), 519-529.