Balony i ciemne gwiazdy Johna Michella (1783)

We wrześniu 1783 roku podpisano traktat pokojowy między Stanami Zjednoczonymi a Wielką Brytanią. Amerykańska kolonia wywalczyła sobie niepodległość. Sporą rolę w politycznych zabiegach o wolność odegrał Benjamin Franklin, znany uczony i pierwszy Amerykanin sławny na cały ówczesny świat. Sędziwy uczony pełnił w tych latach funkcję ambasadora we Francji, co miało ogromne znaczenie – bez francuskiej pomocy finansowej i wojskowej kolonie nie zdołałyby się wyzwolić. Franklin, członek Towarzystwa Królewskiego, który spędził przedtem wiele lat w Londynie i czuł się tam jak w domu, uznał jesienią tego roku, że czas nawiązać zerwane z powodu wojny stosunki naukowe. Nic jednak na tym świecie nie wraca do punktu wyjścia, rozbrat z Anglią stał się nieodwracalny. Toteż pisząc do sir Josepha Banksa, przewodniczącego Towarzystwa Królewskiego, Franklin dał mu odczuć po której stronie się znajduje.

Jesień tego roku upłynęła w Paryżu pod znakiem kolejnych prób lotów balonem. Dziesiątki tysięcy ludzi przyglądało się pierwszym lotom. Niektórzy widzieli w tym jedynie niepoważną modę, Franklin sądził inaczej. Pisał do Banksa:

Przykro mi, że ten eksperyment pozostaje całkowicie zaniedbany w Anglii, gdzie tak silny jest geniusz mechaniczny. Szkoda, że nie ma takiego samego współzawodnictwa między narodami, jakie widzę tutaj między dwoma stronnictwami: wasza filozofia wydaje się zbyt nieśmiała. W tym kraju nie boimy się tak bardzo, że ktoś się może z nas śmiać. Jeśli zrobimy coś głupiego, to pierwsi jesteśmy gotowi się z tego śmiać i niemal taką samą przyjemność sprawia nam bon mot albo dobra chanson, gdy wyśmiewają niepowodzenie jakiegoś projektu, jak i chwalą sukces. Nie wydaje mi się, aby warto było rezygnować z przeprowadzenia nowego eksperymentu tylko dlatego, że nie widzimy, do czego można by wykorzystać tę umiejętność.

Opisał mu też jedną z takich prób:

Ponieważ czułem się trochę niedysponowany, powietrze było chłodne, a ziemia wilgotna, zrezygnowałem z udania się do Ogrodu Tuileries, gdzie umieszczony był balon, nie wiedząc, jak długo będzie trzeba czekać, zanim będzie on gotów do odlotu, i zdecydowałem pozostać w mym powozie blisko posągu Ludwika XV (…) ranek był mglisty, ale koło pierwszej znacznie się przejaśniło ku wielkiemu zadowoleniu widzów, których była niezliczona rzesza, gdyż kilka dni wcześniej ogłoszono w gazetach zamiar przeprowadzenia eksperymentu, tak że wyległ na zewnątrz nie tylko cały Paryż: w okolicach Tuileries, na nabrzeżach i mostach, na ulicach, w oknach i na dachach domów, ale także mieszkańcy okolicznych miast i wiosek. Nigdy dotąd żaden eksperyment filozoficzny nie zgromadził tyle publiczności. (…) Między pierwszą a drugą widzowie uraczeni zostali widokiem [balonu] wznoszącego się majestatycznie ponad drzewa, a następnie stopniowo ponad budynki, co dostarczyło niezwykle pięknego spektaklu! Na wysokości jakichś dwustu stóp dzielni śmiałkowie wychylili się i pomachali białym proporczykiem na obie strony swej gondoli, aby pozdrowić widzów, którzy odpowiedzieli gromkim aplauzem. (…) Miałem ze sobą kieszonkową lunetę, za pomocą której śledziłem balon, stopniowo przestając rozróżniać najpierw ludzi, potem gondolę, a kiedy po raz ostatni widziałem balon, wydawał mi się nie większy niż orzeszek laskowy

W odpowiedzi Banks przywoływał zasługi brytyjskie: biskupa Johna Wilkinsa, który w XVII wieku fantazjował na temat machin latających i Henry’ego Cavendisha, który pierwszy napełniał bańki mydlane palnym powietrzem (tzn. wodorem).

Kiedy jednak nasi przyjaciele po Pańskiej stronie morza nieco ochłoną, zauważą z pewnością, jak przyglądamy się zbiorowiskom gwiazd i meteorów, badając, czy nie potrafimy zdobyć nie mniejszej wiedzy dzięki zastosowaniu teorii do tego, co znajdujemy w arsenałach nieba.
Pan Michell przedstawił interesujący artykuł, w którym traktuje światło jako podlegające działaniu grawitacji na równi z innymi ciałami.

John Michell, duchowny, geolog, badacz magnetyzmu i autor pierwszego przyrządu do „zważenia Ziemi”, tzn. wyznaczenia jej średniej gęstości (albo masy, co na jedno wychodzi), uznał, że grawitacja działa także na cząstki światła. Ponieważ przyspieszenie nadawane przez siły grawitacji nie zależy od rodzaju ciała, więc nie musimy nic wiedzieć na temat mas takich cząstek światła.

Posługując się mechaniką Newtona, obliczył on, o ile cząstki światła dobiegające do Ziemi spowalniane są przez grawitację Słońca. Potrzebował do tego obliczyć prędkość ucieczki ze Słońca v w porównaniu z prędkością światła c. Otrzymał

\dfrac{v}{c}\approx \dfrac{1}{497}.

Oznaczało to, że prędkość cząstek światła daleko od powierzchni Słońca można wyznaczyć z warunku

c_{\infty}^2=c^2-v^2 \Rightarrow c_{\infty}=\sqrt{c^2-v^2}\approx c\left(1-\dfrac{1}{494000}\right).

Prędkość zmieniałaby się więc w tym przypadku nieznacznie. Można jednak wyobrazić sobie, że we wszechświecie istnieją ciała znacznie masywniejsze od Słońca. Jeśli przyjmiemy, że mają one tę samą co ono gęstość średnią, to wystarczy, by ich promień był 497 razy większy od promienia Słońca, by światło nie mogło uciec z ich pola grawitacyjnego. Byłyby to więc ciemne gwiazdy, niewidoczne optycznie. Możliwe byłyby także sytuacje, gdy prędkość cząstek światła jest znacznie zmniejszona w stosunku do swej wartości wyjściowej. Można by zaobserwować takie zmiany dzięki zjawisku załamania, które zależy od prędkości światła w obu ośrodkach. Astronomowie dość szybko stwierdzili, że nie obserwuje się takich zmian.

Cztery uwagi na koniec.

  1. Hipoteza Michella jest naturalna w cząstkowej teorii światła. Nie ma natomiast powodu, aby światło podlegało działaniu grawitacji, jeśli jest ono falą w eterze. Nie ma też takiego powodu w elektromagnetycznej teorii Maxwella. Oddziaływanie grawitacji na światło pojawia się dopiero w teorii Einsteina, ponieważ deformuje się czasoprzestrzeń, w której porusza się światło i nie ma tu znaczenia, czym jest światło – każda cząstka o zerowej masie będzie się poruszać tak samo.
  2. Wynik Michella dla ciemnych gwiazd jest liczbowo taki sam, jak wzór na promień Schwarzschilda dla czarnej dziury.  Znaczy to, że możliwa jest czarna dziura zbudowana z materii o gęstości Słońca, a więc rzędu gęstości wody, byle tylko masa była dostatecznie duża: 500^3=125\cdot 10^6 mas Słońca. Takie czarne dziury znajdują się w centrach galaktyk. To przykład, że utworzenie się czarnej dziury nie musi następować w warunkach skrajnie wielkiej gęstości. Promień Schwarzschilda jest proporcjonalny do masy, więc średnia gęstość równa masa/promień^3 jest proporcjonalna do M^{-2}.
  3. Gwiazda Michella różni się od czarnej dziury: światło mogłoby z niej uciec, gdyby zostało wyemitowane np. ze wznoszącej się rakiety. Podobnie astronauta mógłby uciec z ciemnej gwiazdy Michella posługując się rakietą. W przypadku czarnej dziury nie ma takiej możliwości.
  4. Teoria emisyjna światła broniona była na początku XX w. przez Waltera Ritza. Silnym kontrargumentem obserwacyjnym jest wobec niej fakt, że nie obserwuje się zmian prędkości światła wysyłanego przez składniki gwiazd podwójnych. Zmiany prędkości źródła nie wpływają na prędkość światła – zwrócił na to uwagę Willem de Sitter.

Zobaczmy, jak Michell obliczył prędkość ucieczki ze Słońca.
Promień kątowy Słońca to 16’, czyli w radianach 1/214,19. Promień Słońca R jest więc 214,19 razy mniejszy od promienia orbity Ziemi. Z III prawa Keplera zastosowanego do Ziemi i satelity Słońca na orbicie równej jego promieniowi, otrzymujemy okres obiegu takiego (hipotetycznego) satelity: T=10067 \mbox{ s}. Wiadomo z dzieła Newtona, że prędkość ucieczki jest \sqrt{2} razy większa od prędkości satelity na orbicie kołowej. Wiadomo wreszcie, że światło biegnie ze Słońca t=488\mbox{ s} (używamy tu danych Michella).
Mamy więc

\dfrac{v}{c}=\sqrt{2}\,\dfrac{2\pi R}{T}\dfrac{t}{214,19 R}\approx \dfrac{1}{497}.

Kwadrat prędkości ucieczki z pola grawitacyjnego równy jest kwadratowi prędkości uzyskanej w spadaniu ze spoczynku aż do powierzchni (Słońca w naszym przypadku):

{\displaystyle v^2=\int_{R}^{\infty}\dfrac{2GM}{r^2}dr=\dfrac{2GM}{R}}.

Na rysunku całka to pole pod krzywą zaznaczone na niebiesko i równe polu powierzchni czerwonego prostokąta z lewej strony. Do tradycji szkoły brytyjskiej należało posługiwanie się geometrią i opisem słownym, bez wyrażeń algebraicznych.

Zauważmy, że przy powiększaniu ciała bez zmiany gęstości masa M będzie proporcjonalna do R^3 i prędkość będzie proporcjonalna do R: dlatego ciemna gwiazda powinna mieć promień 497 razy większy od Słońca.
Michell, podobnie jak Newton, nie znał pojęcia energii potencjalnej. Dziś zapisalibyśmy zasadę zachowania energii w nieskończoności i na powierzchni Słońca:

\dfrac{c_{\infty}^2}{2}=\dfrac{c^2}{2}-\dfrac{GM}{R}.

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google

Komentujesz korzystając z konta Google. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Połączenie z %s