Jak gęsta może być materia? Białe karły, Stoner i Chandrasekhar (1930-1931)

31 lipca 1930 roku z Mumbaju odpłynął parowiec „Lloyd Triestino”. Wśród pasażerów znajdował się dziewiętnastoletni Subrahmanyan Chandrasekhar, udający się do Anglii stypendysta rządu indyjskiego. Zdążył on opublikować już pierwszą pracę na temat statystyk kwantowych, dwa lata wcześniej dowiedział się od przebywającego gościnnie w Indiach Arnolda Sommerfelda, że całej fizyki mikroświata należy nauczyć się na nowo i wszystkie podręczniki sprzed kilku lat są już nieaktualne. Zaczął więc z zapałem czytać artykuły dotyczące mechaniki kwantowej i pierwszą swą pracę wysłał do Anglii do Ralpha Fowlera z Cambridge. Wiedział o nim tylko tyle, że uczony ten zaproponował kwantowe wyjaśnienie problemu tzw. białych karłów – niewielkich gwiazd zbudowanych z niezwykle gęstej materii nawet 100 000 razy gęstszej od wody. Astronomowie, którzy uzyskiwali tak wysokie szacowania gęstości, nie potrafili zrazu w nie uwierzyć, sądząc, że w obliczenia musiał wkraść się jakiś niezidentyfikowany błąd. W astronomii dość często się zdarza, że trzeba rewidować dotychczasowe założenia i wyniki. Podczas podróży Chandrasekhar unikał balów i wieczorków organizowanych na statku, był zresztą wegetarianinem i nie brał do ust wielu podawanych potraw. Pracował. Jego obliczenia wskazywały, że białe karły nie mogą być zbyt masywne, gdyż nie będą stabilne. Wynik ten stał w sprzeczności z dotychczasową wiedzą i Chandrasekhar miał stoczyć trudną wieloletnią walkę o uznanie prawdziwości jego obliczeń. Białe karły są ostatnim stadium ewolucji gwiazd i nie mogą być bardziej masywne niż 1,4 masy Słońca. Co w takim razie dzieje się z gwiazdami pięcio-, dziesięcio- i dwudziestokrotnie bardziej masywnymi? Czy jest możliwe, że pozbywają się one w jakiś sposób niemal całej swej masy, aby osiągnąć w końcu stadium białego karła? Jeśli tak, to czy może się to odbywać w długim czasie w sposób spokojny, czy też należy spodziewać się eksplozji? Wynik Chandrasekhara miał przełomowe znaczenie, bo wskazywał, że grawitacja może stać się siłą, która dosłownie kruszy materię. O jego wadze świadczy fakt, iż pół wieku później za tę pracę indyjski uczony otrzymał Nagrodę Nobla. Spędził długie i twórcze życie naukowe, stając się jednym z najbardziej znanych astrofizyków dwudziestego wieku, a jednak właśnie to młodzieńcze osiągnięcie wydawało się godne uhonorowania najważniejszą nagrodą.

W Londynie pierwszą książką, którą kupił Chandrasekhar, były Principles of Quantum Mechanics, fundamentalne, pomnikowe dzieło dwudziestoośmioletniego Paula Diraca, który zdążył już stać się klasykiem tej młodej dziedziny. W istocie były to lata zupełnie wyjątkowe w dziejach fizyki: niemal każda nowa praca miała szanse przejść do historii. Odkrywano bowiem kolejne zastosowania nowego formalizmu: w fizyce, w chemii, w astrofizyce. Zasady wprowadzone dla wyjaśnienia zjawisk atomowych okazały się w zasadniczym zrębie słuszne także w fizyce jąder atomowych, cząstek elementarnych, pozwalały też zrozumieć, jak przebiegają zjawiska we wszechświecie: od źródeł energii gwiazd, przez ich budowę oraz rodzaje wysyłanego promieniowania. Był to okres pionierski, gdy wyznaczano dopiero granice nowego terytorium i wciąż przesuwały się one dalej. Coś takiego zdarza się niezwykle rzadko, a w życiu uczonego najwyżej raz. Chandrasekhar znalazł się też w znakomitym miejscu: Trinity College w Cambridge, gdzie pracowali Fowler i jego niedawny doktorant Dirac, a także Arthur Stanley Eddington, astrofizyk, autor książki The Internal Constitution of the Stars, którą starannie przestudiował i z której korzystał podczas pracy na statku.

Na czym polegał problem białych karłów? W dostępnych nam eksperymentalnie warunkach materii nie można zbyt mocno ścisnąć. Atomy zachowują się bowiem jak sztywne kulki i nawet pod wielkim ciśnieniem gęstość ciał stałych niemal się nie zmniejsza się, ledwie przekraczając – w przypadku najcięższych metali – dwudziestokrotność gęstości wody. Większą gęstość – ponad sto gęstości wody – osiąga materia blisko centrum Słońca. Składa się ona głównie z produktów jonizacji wodoru: protonów i elektronów o bardzo wysokiej temperaturze. Mimo tak wielkich gęstości plazmę tę wciąż można traktować jak gaz doskonały. Przeskok do gęstości milion razy większych od gęstości wody nie wydawał się fizycznie możliwy bez temperatur sięgających miliony stopni, powierzchnia białego karła świeciła w zakresie widzialnym jak gwiazda, musiała więc mieć temperaturę liczoną w tysiącach stopni.

Kwantowe wyjaśnienie zaproponował Ralph Fowler, pod którego patronatem, lecz zupełnie samodzielnie, pracował Paul Dirac. Elektrony są, jak dziś mówimy, fermionami, tzn. podlegają szczególnemu ograniczeniu: w jednym stanie kwantowym może znajdować się jeden elektron (a jeśli ignorujemy stany spinowe, to dwa różniące się rzutem spinu). Właśnie Paul Dirac obok Enrico Fermiego pierwszy zaproponował kwantowomechaniczny opis takich cząstek (nazwa fermiony, a nie np. dirakiony, nie ma głębszego uzasadnienia historycznego, a prawdopodobnie jedynie fonetyczne). Samą zasadę jeden stan – jeden elektron zaproponował zresztą nieco wcześniej Wolfgang Pauli, jeszcze jeden z dwudziestoparolatków wywracających wtedy fizykę do góry nogami. Zasada ta wyjaśnia sposób zapełniania się powłok i podpowłok w atomach. Fowler wyobraził sobie, że biały karzeł cały jest jedną wielką cząsteczką, w której elektrony tworzą coś w rodzaju gazu. Było to pierwsze zastosowanie tej idei, nieco później Arnold Sommerfeld zastosował ją do elektronów w metalach.

W atomie stan określają liczby kwantowe. W przypadku elektronów zamkniętych w gwieździe niczym w pudle skwantowane są ich wartości pędu. Dozwolone wartości tworzą sieć punktów kratowych w przestrzeni pędu (bez początku, ponieważ pęd całkowity równy zeru jest zabroniony przez zasadę nieoznaczoności). Rysunek przedstawia takie  pudło w 2D. Elektrony będą stopniowo zapełniać dozwolone stany aż do pewnej maksymalnej wartości pędu p_F, zwanej pędem Fermiego.

Jest to tzw. zdegenerowany gaz elektronowy. W pierwszym przybliżeniu można ograniczyć się do temperatury zerowej, ponieważ energia elektronów w tej sytuacji wynika nie z wysokiej temperatury, ale stąd, że wszystkie niższe stany energetyczne są zajęte. Objętość komórki w przestrzeni pędów przypadająca na dwa elektrony o różnym spinie równa jest

\Delta p_x\Delta p_y\Delta p_z=\dfrac{h^3}{V},

gdzie h jest stałą Plancka, a V objętością gwiazdy/pudła z elektronami. Widzimy, że gdy objętość pudła maleje, komórki w przestrzeni pędu rosną i przy tej samej liczbie elektronów pęd Fermiego wzrośnie. Oznacza to, że wraz z gęstością gwiazdy rośnie energia kinetyczna elektronów (równa \frac{mv^2}{2}=\frac{p^2}{2m}). Gwiazda utrzymywana jest siłami grawitacyjnymi. Energia grawitacyjna kuli o masie M i promieniu R równa jest

E_p=-\alpha \dfrac{GM^2}{R},

gdzie \alpha jest współczynnikiem zależnym od rozkładu gęstości i równym \frac{3}{5} dla kuli jednorodnej. Grawitacja jest siłą przyciągającą, więc energia rośnie tu, gdy zwiększa się promień: gdyby działała jedynie grawitacja, materia skurczyłaby się do punktu. Można znaleźć punkt równowagi, gdy suma energii kinetycznej elektronów oraz energii potencjalnej grawitacji jest najmniejsza. Promień gwiazdy jest wówczas równy

R\approx 1,15 a_B \lambda \dfrac{1}{N_n^{1/3}},

gdzie a_B=0,5\cdot 10^{-10} m jest promieniem Bohra, \lambda=1,25\cdot 10^{36} to stosunek sił elektrostatycznych do sił grawitacyjnych między protonami, a N_n jest łączną liczbą nukleonów w gwieździe. Widzimy, że im większa gwiazda, tym mniejszy promień, a więc gęstość gwiazdy rośnie jak kwadrat masy, co jest zachowaniem dość osobliwym. Promień obliczony z powyższego wzoru okazuje się dla gwiazdy o masie Słońca tego samego rzędu co promień Ziemi: a więc ogromna masa Słońca skupiłaby się w objętości zbliżonej do Ziemi. Znaczy to, że materia gwiazdy osiąga ogromne gęstości. Rzeczywiste gęstości są jeszcze większe, niż sądzono w latach trzydziestych i przekraczają milion gęstości wody. Gaz elektronowy pozwalał też objaśnić, czemu biały karzeł nie skurczy się już więcej: w istocie temperatura ma niewielki wpływ na konfigurację elektronów i struktura taka jest stabilna nawet w zerze absolutnym.

Praca Fowlera uchodzi za najwybitniejszą pozycję w jego dorobku: była w zasadzie rzuceniem idei, ale idei znakomitej, podjętej potem nie tylko w astrofizyce, ale i w fizyce ciała stałego. Jedna tak płodna idea i jeden doktorant tej klasy co Dirac, to zdecydowanie wystarczy na spełnioną karierę naukową.

Obliczenia takie, jak zarysowane powyżej, wykonał Edmund Stoner w 1929 roku. Interesowało go pytanie, czy istnieje maksymalna gęstość materii? Stoner także należał do ludzi Cambridge, jednak jego doktorat był eksperymentalny i nie odebrał on matematycznego wykształcenia, które zawsze było mocną stroną tamtejszych absolwentów. Mimo to zajął się teorią i to z powodzeniem. Jego praca The distribution of electrons among atomic energy levels z 1924 roku zainspirowała Wolfganga Pauliego do sformułowania słynnej zasady wykluczania. W reakcji na artykuł Stonera mało znany fizyk Wilhelm Anderson, pracujący w Tartu w Estonii, zwrócił uwagę, że przy dużych gęstościach, duży będzie pęd Fermiego i nie można używać newtonowskiego wyrażenia na energię kinetyczną (\frac{1}{2}mv^2), lecz należy zastosować wyrażenie relatywistyczne

E=\sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2}\approx pc.

W przypadku skrajnie relatywistycznym obowiązuje przybliżenie zapisane powyżej. Okazuje się, że teraz nie dla każdej masy istnieje rozwiązanie i biały karzeł musi mieć masę nieprzekraczającą pewnej wartości granicznej. Anderson wyznaczył tę granicę, choć jego praca nie była całkowicie poprawna. Stoner w następnym artykule uwzględnił relatywistyczne wyrażenie na energię elektronów i prawidłowo wyznaczył maksymalną liczbę nukleonów, a więc i masę białego karła:

N_n =0,77 \left(\dfrac{c\hbar}{Gm_n^2}\right)^{\frac{3}{2}} \sim \left(\dfrac{m_{P}}{m_n}\right)^3.

Po prawej stronie wyraziliśmy tę wielkość przez masę Plancka m_P: jest to kombinacja trzech fundamentalnych stałych fizycznych – stałej Plancka, prędkości światła i stałej grawitacyjnej. Maksymalna masa zwana jest granicą Chandrasekhara i po uwzględnieniu współczynników liczbowych równa jest 1,4 masy Słońca. Przyjmujemy, że na każdy elektron przypadają dwa nukleony.

Zależność promienia białego karła od masy (https://en.wikipedia.org/wiki/Chandrasekhar_limit)

Naszkicowane przez nas podejście zakłada minimalizację energii w jednorodnym gazie elektronowym. Tak właśnie obliczył to Stoner. Subrahmanyan Chandrasekhar wybrał podejście bardziej szczegółowe, w którym analizuje się warunki równowagi w gwieździe. Jego pierwsza praca, pisana podczas podróży do Anglii, była tylko krótkim zarysem, szczegółowe rozwinięcie podał w następnych latach. Prowadzi ono do podobnych wniosków, nieco różniących się liczbowo. Czemu więc granica ta związana została w historii jedynie z nazwiskiem Chandrasekhara? Jak się zdaje, Edmund Stoner nie walczył zbytnio o priorytet. Być może tematyka astrofizyczna nie była mu tak bliska jak Chandrasekharowi, stopniowo zajął się bowiem fizyką ciała stałego.

Także Lew Landau otrzymał graniczną wartość masy w bardzo eleganckiej krótkiej pracy z 1931 roku. Jednak graniczna wartość masy wydawała mu się wnioskiem absurdalnym. Pisał: „Ponieważ w rzeczywistości masy takie spokojnie sobie istnieją jako gwiazdy, nie wykazując żadnych takich absurdalnych tendencji, musimy wywnioskować, że wszystkie gwiazdy o masie przekraczającej 1,5 masy Słońca zawierają z pewnością obszary, w których prawa mechaniki kwantowej (a więc także statystyki kwantowej) są naruszone” (Neutron Stars, Black Holes and Binary X-Ray Sources, ed. H. Gursky, R. Ruffini, D. Reidel 1975, s. 272). Musimy zdawać sobie sprawę, że zarówno teoria względności, jak i mechanika kwantowa były względnie nowymi dziedzinami i nie było jasne, czy nie pojawią się nowe idee, które zmienią zasadniczo punkt widzenia. Dopiero z perspektywy dziesięcioleci widać, że zarówno teoria względności, jak i fizyka kwantowa zostały w fizyce na dobre i są niezmiernie odporne na wszelkie „poprawianie” – to dlatego trudno jest w fizyce o nowe pomysły, muszą one bowiem stanowić uogólnienie tego, co już znamy, a co zostało bardzo dokładnie przetestowane teoretycznie i przede wszystkim eksperymentalnie.

Chandrasekhar bardzo zaciekle bronił wniosku o maksymalnej masie białego karła. Arthur Eddington – podobnie jak Landau – uważał go za absurd. W ciągu kilku lat spór między Eddingtonem, uznanym autorytetem, a młodym uczonym z Indii stał się na tyle gorący, że Chandrasekhar nie mógł pozostać w Trinity College i wyjechał do Stanów Zjednoczonych.

Rację miał Chandrasekhar (i Stoner). Gwiazdy o dużych masach nie mogą stać się białymi karłami. Mogą zostać gwiazdami neutronowymi, w których materia ma gęstość zbliżoną do materii jądrowej. Znów jednak pojawia się graniczna wartość masy, powyżej której niemożliwe jest stabilne istnienie gwiazdy neutronowej. Przy dużych masach grawitacja zwycięża i jedyną możliwością staje się utworzenie czarnej dziury. Granica Chandrasekhara była pierwszą wskazówką, że struktura materii nie jest odporna na grawitacyjne zapadanie się. Być może zaakceptowanie tej sytuacji było trudne także dlatego, że intuicyjnie chcemy wierzyć w stabilny świat, dający nam metafizyczne i psychologiczne oparcie. Dlatego kłopoty miał Galileusz, z tego samego powodu zwalczano teorię ewolucji, a także niechętnie uznano teorię Wielkiego Wybuchu. Uświadomienie sobie, że zamieszkujemy narażony na rozmaite kataklizmy kawałek skalnej skorupy pływający w ciekłym podłożu i krążący po niezbyt stabilnej orbicie w zmieniającym się ciągle i katastroficznym wszechświecie, nie poprawia, by tak rzec, filozoficznego samopoczucia.

Reklamy

Einstein dadaista (1919-1920)

Przyjmowanie nowej prawdy naukowej to proces dramatyczny. Grają w nim rolę emocje, ambicje, przesądy, ale na szczęście także racjonalne przesłanki – na dłuższą metę nie da się utrzymać teorii, która nie ma eksperymentalnych potwierdzeń i dzięki której nie udało się zrozumieć niczego nowego. Teoria względności zyskała efektowne potwierdzenie w roku 1919 i Albert Einstein nagle stał się sławny na cały świat.

Artystka awangardowa Hannah Höch umieściła go na sławnym kolażu Cięcie dadaistycznym nożem kuchennym przez piwny brzuch najnowszej epoki weimarskiej w kulturze Niemiec (1919).

Hannah Höch, Cut with the Kitchen Knife Dada Through the Last Weimar Beer-Belly Cultural Epoch of Germany, 1919-20

Obrazek na flickr zawiera identyfikację niektórych postaci kolażu. A tu jest jego większa wersja:

https://www.artsy.net/artwork/hannah-hoch-cut-with-the-dada-kitchen-knife-through-the-last-weimar-beer-belly-cultural-epoch-in-germanyc

Na prawo od Einsteina mamy nieco pokiereszowaną twarz cesarza Wilhelma II, który abdykował po przegranej wojnie i uciekł do Holandii, pod nim fragment fotografii z manifestacji bezrobotnych. Są także Karol Marks i Lenin, niemieccy komuniści i artyści. Obok Einsteina głowa prezydenta Republiki Weimarskiej Friedricha Eberta doklejona do torsu tancerki topless. W prawym dolnym rogu znajduje się główka autorki na tle mapy Europy z zaznaczonymi krajami, w których kobiety nie mają jeszcze prawa głosu (Francja, Portugalia, Bałkany; Polska znalazła się tu chyba przez pomyłkę). Einstein – Żyd i naukowy rewolucjonista – niemal automatycznie łączony był z lewicą społeczną i artystycznym undergroundem. Wciąż zapowiadano jego wyjazd do Moskwy, gdzie nigdy nie był ani się też nigdy nie wybierał. Jeszcze po drugiej wojnie światowej FBI usiłowało ustalić, czy uczony był członkiem partii komunistycznej w Niemczech (nie był, nie był też żadnym sympatykiem komunizmu), przeszukiwano jego śmieci i podsłuchiwano telefon.

W roku 1919 fizyk nieoczekiwanie znalazł się w centrum zainteresowania mediów. Jego teoria zaczęła ściągać na siebie entuzjazm albo oburzenie, które trudno dziś zrozumieć. Jako element kultury masowej zaczęła być krytykowana, objaśniana bądź zwalczana przez ludzi, którzy nie mieli pojęcia o fizyce. Z jakiegoś powodu wszyscy zapragnęli mieć na jej temat własny pogląd. Szczególnie bulwersowała względność czasu: oto nie płynie on jednakowo dla wszystkich i zamiast być solidną podstawą rzeczywistości sam staje się jeszcze jednym zjawiskiem, kolejną zmienną fizyczną, podlegającą pomiarowi. Czas własny mierzony przez dwóch obserwatorów, którzy rozdzielili się i potem ponownie spotykają, zależy od ich historii, od tego, co im się po drodze przydarzyło, obaj na ogół zmierzą inny odstęp czasu pomiędzy spotkaniami. Jest to paradoks bliźniąt – w istocie żaden paradoks, lecz własność naszego świata sprawdzana tysiące razy eksperymentalnie, choć nie na bliźniakach.

W Niemczech publiczna dyskusja na temat teorii względności od początku zatruta była oparami nacjonalizmu: Żyd Einstein dla niektórych nie był dość narodowoniemiecki, toteż nie mógł mieć racji. Intelekt żydowski różni się bowiem od germańskiego: jest powierzchowny, nie zgłębia istoty rzeczy, tworzy sztuczne uogólnienia, lubuje się w abstrakcjach. Żydzi w Niemczech stanowili zaledwie 1% ludności, lecz spośród nich wywodziła się wielka część wybitnych uczonych, w miastach takich jak Berlin większość prawników i lekarzy było pochodzenia żydowskiego, do Żydów należały wielkie domy towarowe i koncerny prasowe. Konstytucję Republiki Weimarskiej napisał Żyd. Z punktu widzenia nacjonalistów to Żydzi stali za przegraną wojną (teoria noża w plecy) i to oni teraz bogacili się w kapitalistycznej gospodarce. Nawet komunistami, buntującymi się przeciwko kapitalizmowi, też często byli Żydzi.

W życiu politycznym jest mniej przypadków, niż się sądzi. Osoba Einsteina była wygodnym celem ataków: żeby wzbudzić wrogość, trzeba najpierw stworzyć postać wroga, wykazać, jak przebiegłe są jego knowania. Paul Weyland, zawodowy hochsztapler i mąciciel, umyślił sobie, że przeprowadzi całą kampanię przeciwko teorii względności i jej autorowi. Założył coś, co nazywało się Grupą Roboczą Niemieckich Przyrodników dla Zachowania Czystej Nauki (Arbeitgemeinschaft
deutscher Naturforscher zur Erhaltung reiner Wissenschaft). Naprawdę istniał chyba tylko ten szyld oraz pieniądze, które Weyland obiecywał różnym uczonym za wzięcie udziału w zwalczaniu teorii względności – 10 do 15 tys. marek – nie wiadomo, czy ktoś ostatecznie otrzymał taką sumę, czy też Weyland dopiero zamierzał ją zarobić. Jak się zdaje, Weyland zachęcany był przez dwóch noblistów, antysemitów i nacjonalistów: Philippa Lenarda i Johannesa Starka. W sierpniu 1920 roku w wielkiej sali Filharmonii Berlińskiej odbył się pierwszy z zapowiadanej serii antyeinsteinowskich sabatów. Wystąpili na nim sam Weyland oraz profesor eksperymentator z Berlina, Ernst Gehrcke, od lat zwalczający teorię względności. Weyland, określający Einsteina jako naukowego dadaistę, następująco przedstawił sytuację Niemiec:

Teraz, gdy zubożeliśmy pod względem finansowym, prowadzi się działania mające nam odebrać naszą własność  intelektualną; od dziś mamy przestać myśleć w sposób niezależny. W polityce to się im udało. Widzicie to każdego dnia i każdej godziny we wszystkich wiadomościach, jak oszalała grupa bezkrytycznych ludzi pod wodzą pozbawionych  skrupułów i egoistycznych przywódców zmierza do bolszewizmu. Etyka i moralność stały się pustymi słowami, ludzie, którzy starają się zabić w Niemcach wszystko, co czyniło ich wielkimi, teraz chcą im odebrać także naukę. (…) Bo konsekwencje i intencje teorii względności i zasady względności Einsteina i jego zwolenników sięgają dalej i głębiej, niż uświadamia to sobie opinia publiczna.

Niewykluczone, że Weyland starał się po prostu zarobić na biletach wstępu na owo przedstawienie. Zjawiło się sporo publiczności, w tym sam Einstein. Gehrcke przedstawił główne tezy swej broszury: Teoria względności – naukowa sugestia masowa, wydanej nakładem Grupy Roboczej jako pierwszy zeszyt serii. Gehrcke starał się ograniczać do argumentacji naukowej i żywo zaprzeczał, że kierują nim jakieś pozanaukowe względy. Przeświadczony był jednak, że zdemaskował rozmaite szalbierstwa Einsteina. Jego zdaniem Einstein sprytnie wykorzystywał fakt, że naukowcy ograniczeni są swoją specjalnością i stworzył teorię, która zawiera elementy filozofii, fizyki i matematyki tak pomieszane, że nikt nie czuje się dostatecznie kompetentny, aby ją zanegować.

Ernst Gehrcke. Einstein powiedział o nim: „ Gdyby miał tyle inteligencji co arogancji, to dyskusja z nim byłaby nawet przyjemna”.

Z rzeczy pozytywnych Gehrcke wierzył w istnienie eteru i wypowiedzi Einsteina na ten temat uważał za sprytne kluczenie oraz mylenie tropów. Rzeczywiście, był tu Einstein niekonsekwentny: najpierw, w szczególnej teorii, z młodzieńczą dezynwolturą stwierdził, że eter jest zbędny, później, w teorii ogólnej, obdarzył czasoprzestrzeń strukturą geometryczną, która w pewnym stopniu mogła przypominać eter. Nie była to jednak zmiana poglądów filozoficznych, lecz raczej podążanie za fizyką: fizyk nie może sobie zadekretować, że zawsze będzie trzymać się jakichś ram pojęciowych, bo przyroda może nie zechcieć z nim współpracować w tej kwestii. W każdym razie to, co dla kogoś innego byłoby naukowym namysłem, ewolucją poglądów wskutek wieloletniej pracy, w oczach Gehrckego stało się po prostu próbą oszustwa. Szczególnie upodobał sobie Gehrcke następujący argument przeciwko paradoksowi bliźniąt: skoro Einstein twierdzi, że wszystkie ruchy są względne, to obaj bliźniacy znajdują się w symetrycznej sytuacji, bo z każdym z nich można związać układ odniesienia (co jest prawdą, ale nie oznacza, że historie obu stają się dzięki temu symetryczne). Wiele też mówił Gehrcke o grawitacyjnym przesunięciu linii widmowych ku czerwieni, które było przewidziane przez Einsteina, lecz nie zostało zaobserwowane. Pomijał przy tym trudności obserwacyjne: przewidywany efekt był niewielki w porównaniu z szerokością typowych linii widmowych ciał niebieskich. Jako specjalista od optyki musiał to świetnie rozumieć, wolał jednak udawać, że obserwacje wyraźnie przeczą teorii względności. Także obserwacje Eddingtona – ugięcia promieni świetlnych w pobliżu Słońca – zbył pobieżnym omówieniem, jakby już fakt potwierdzenia niemieckiej teorii przez Anglika tuż po wojnie nie stanowił dodatkowego argumentu na rzecz Einsteina. Nikt nigdy nie kwestionował zresztą absolutnej uczciwości i prawdomówności kwakra Eddingtona. Milczał też Gehrcke na temat berlińskich zwolenników teorii względności: przede wszystkim Maksa Plancka, uchodzącego za największy autorytet nie tylko naukowy, ale i moralny, a także Maksa von Laue, noblisty i niewątpliwie „prawdziwego” Niemca. Postawa Gehrckego charakteryzowała się nienaukowymi uprzedzeniami, nawet jeśli pozornie prowadził on debatę ściśle naukową.

Ostatecznie z serii wykładów i wydawnictw nic nie wyszło. Inni naukowcy wycofali się z przedsięwzięcia, widząc, że nie przyniesie im ono chluby. Wycofał się też chyłkiem Philipp Lenard, który nawet poczuł się urażony tym, że jest wymieniany w kontekście tej sprawy – najwyraźniej wydawało mu się, że hipokryzja warta jest tyle samo co cnota.

Epizody tego rodzaju nie były na szczęście całą prawdą o nauce niemieckiej, ale też stanowiły coś więcej niż nieprzyjemne incydenty. Życie publiczne Niemiec przesiąknięte było nienawiścią i żądzą odwetu. W roku 1920 Niemcy nie były jeszcze skazane na powtórną wojnę i jej złowieszcze konsekwencje. Były jednak krajem wewnętrznie bardzo podzielonym. Podziały te z upływem lat rosły i po wieloletnim podżeganiu do nienawiści, po zimnej wojnie domowej z elementami przemocy, wykoleiły kraj zupełnie. Stało się to w latach trzydziestych, gdy gospodarka zaczęła już wychodzić z kryzysu. To najlepszy dowód, że Marks się mylił: ekonomia nie determinuje historii. Jeśli na nią wpływa, to w sposób pośredni, poprzez społeczne nastroje, a one zależą od wielu czynników, także irracjonalnych i trudnych do zmierzenia. W przypadku Niemiec wielką rolę odegrało poczucie upokorzenia przegraną wojną i jej wersalskimi następstwami. Hitler obiecywał lepszą przyszłość i jednocześnie wpędził Niemcy w wojnę, która musiała być przegrana – wystarczyło spojrzeć na mapę. Ale społeczeństwo powodowane resentymentem łatwo dało sobie wyperswadować, że w taki właśnie sposób uda się stworzyć potęgę kraju i zapewnić trwały pokój. Gdyby Niemcy nie cierpieli na ten chorobliwy, pełen kompleksów nacjonalizm, ich kraj stałby się mocarstwem dwadzieścia lat wcześniej w sposób pokojowy. Nacjonalizm nigdy nie jest lekarstwem, zawsze jest chorobą.

 

 

Kosmologia relatywistyczna w kwadrans II

  • Metryka czasoprzestrzeni

Dla naszego jednorodnego i izotropowego modelu z płaską 3-przestrzenią metryka wszechświata przyjmuje prostą postać:

ds^2=c^2 dt^2-R^2 d\vec{x}\,^2=c^2 dt^2-R^2 (dr^2+r^2 d\vartheta^2+r^2 \sin^2\vartheta d\varphi^2).

Druga postać zapisana jest przez współrzędne sferyczne r, \vartheta, \varphi. Współrzędne x,y,z oraz r, \vartheta, \varphi dla danej galaktyki pozostają stałe (o ile nie ma ona ruchu własnego, a tylko bierze udział w rozszerzaniu wszechświata: przepływie Hubble’a). Jedyny parametr, czynnik skali R(t) opisuje ewolucję wszechświata, czyli jego rozszerzanie (choć równie dopuszczalne teoretycznie byłoby kurczenie się). Czasoprzestrzeń ta nie jest płaska, mimo że płaska jest 3-przestrzeń. Ogólna teoria względności dopuszcza dowolne układy współrzędnych, ten nasz wyróżniony jest fizycznie: w tym układzie współrzędnych mamy wspólny kosmiczny czas oraz współrzędne współporuszające się. Odległość danej galaktyki od nas (r=0) równa jest

D=R(t)r,

oznacza to, że szybkość oddalania się danej galaktyki równa jest (przyjmujemy, że galaktyka nie ma ruchu własnego):

\dot{D}=\dot{R}r =\dfrac{\dot{R}}{R}Rr\equiv H(t) D.

Jest to prawo Hubble’a. Zauważmy, że ta odległość mierzona jest w danej chwili kosmicznego czasu, a więc i prędkość powinna być obecną prędkością galaktyki. W rzeczywistości nie możemy obserwować całej przestrzeni w żadnej chwili – jedyne, co widzimy, to stożek przeszłości: dalsze obiekty w chwilach odpowiednio wcześniejszych itd. W napisanym powyżej prawie Hubble’a prędkość nie musi być mniejsza niż c. Nie musimy się tym przejmować, ponieważ startujemy z metryki, która automatycznie zapewnia lokalną stałość prędkości, a jedynie to się liczy.

  • Mikrofalowe promieniowanie tła (CMB)

Do tej pory mówiliśmy tylko o grawitacji, nie interesowaliśmy się zjawiskami opisanymi przez inne dziedziny fizyki. Jeśli wszechświat był kiedyś gęsty, to musiał także być gorący. Rozpatrzmy, co się dzieje z gęstością energii promieniowania u (w dżulach na metr sześcienny), gdy objętość V się zmienia. Z I zasady termodynamiki mamy (rozszerzanie jest adiabatyczne):

dE=d(uV)=V du+u dV=-p dV,

gdzie p jest ciśnieniem promieniowania. Jest ono równe p=\frac{1}{3}u. Wstawiając to do I zasady termodynamiki i korzystając z faktu, że V=\frac{4}{3}\pi R^3, a dV=4\pi R^2 dR, dostaniemy

\dfrac{du}{u}+4\dfrac{dR}{R}=0\Rightarrow u\sim R^{-4}.

Gęstość energii podzielona przez c^2 daje wkład promieniowania do całkowitej gęstości materii – wielkość, którą należy traktować jako źródło grawitacji w równaniu (*) z pierwszej części. Patrząc nieco inaczej, długość fali promieniowania powinna skalować się, jak R^{-1}, a liczba fotonów w jednostce objętości jak R^{-3}.

Ponieważ energia atomów zależy od współczynnika skali jak R^{-3}, więc dla małych R energia promieniowania wszystko zdominuje. Wiadomo też, że gęstość energii promieniowania jest proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury T^4, otrzymujemy więc

T\sim\dfrac{1}{R}.

Temperatura promieniowania jest tym wyższa, im bliżej Wielkiego Wybuchu jesteśmy i energia promieniowania dominuje nad innymi postaciami energii. Mamy więc gorący Wielki Wybuch. W 1965 roku zaobserwowano promieniowanie, które pozostało z wczesnego etapu wszechświata i które z tego powodu zwane jest też reliktowym, jest bowiem czymś w rodzaju skamieliny. Od tamtej pory badane jest ono z coraz większą dokładnością przez różne misje, ostatnią był satelita Planck.

To, co dociera do nas z każdego kierunku wszechświata jest promieniowaniem cieplnym, rozkładem Plancka, o temperaturze niecałe 3K, a więc głównie mikrofalowym. Promieniowanie to jest obrazem wszechświata w chwili t=380 \,000 lat po Wielkim Wybuchu. Zostało wyemitowane gdy czynnik skali był 1000 razy mniejszy niż dziś, miało więc ono wówczas temperaturę 3000 K i przypadało na obszar widzialny i podczerwień. Co więcej, okazuje się, że z bardzo dużą dokładnością (10^{-5}) temperatura owego promieniowania jest taka sama w każdym kierunku. Kolejne misje satelitarne badały właśnie owe fluktuacje: ich rozkład i wielkość zawierają najróżniejsze informacje na temat wszechświata w tamtym momencie. Z niejednorodności tych wyewoluował dzisiejszy wszechświat.

Skąd wzięło się promieniowanie tła? Wszechświat przed t=380\, 000 lat składał się głównie z protonów i elektronów, które miały na tyle dużą energię kinetyczną (temperaturę), że nie łączyły się w atomy wodoru. Taka plazma silnie rozprasza promieniowanie elektromagnetyczne, ponieważ naładowane cząstki wprawiane są przez nie w drgania, a to z kolei oznacza wysyłanie nowej fali elektromagnetycznej (jak w antenie) kosztem energii fali pierwotnej. W rezultacie energia wysyłana jest na wszystkie strony, ośrodek nie przepuszcza promieniowania. Sytuacja zmieniła się, gdy temperatura spadła na tyle, by elektrony mogły utworzyć z protonami atomy wodoru. Powstał wtedy zwykły atomowy gaz, tak samo przezroczysty jak np. powietrze. Od tamtej pory termodynamiczne losy atomów i promieniowania rozprzęgły się. Z atomów powstało wszystko, co dziś widzimy: gwiazdy, planety, galaktyki itp., natomiast promieniowanie stygło w miarę rozszerzania, aż dotarło do nas.

Mała dygresja. Przy okazji promieniowania zauważmy, że statyczny wszechświat Einsteina, omawiany poprzednio, byłby niestabilny także z powodów astrofizycznych. Gdyby nawet dobrać odpowiednio jego gęstość i stałą grawitacyjną, to po pewnym czasie zmieniłaby się jego zawartość: gwiazdy syntetyzują hel z wodoru i cięższe pierwiastki z lżejszych, zamieniając różnicę energii na promieniowanie. Z czasem więc mniej będzie materii atomowej, a więcej promieniowania. Gdyby to było wszystko, pole grawitacyjne by się nie zmieniło, ponieważ obie zmiany są równe za sprawą zasady zachowania energii. Jednak źródłem pola grawitacyjnego jest nie sama gęstość materii \varrho, lecz wielkość \varrho+3p/c^2. Oznacza to, że pole grawitacyjne stanie się silniejsze po zamianie materii atomowej na promieniowanie, gdyż dla promieniowania (po uwzględnieniu, że p=u/3c^2\equiv \varrho/3) mamy: \varrho +3p/c^2=2\varrho. W einsteinowskiej grawitacji ciśnienie światła też jest źródłem pola grawitacyjnego.

  • Odległości

W rozszerzającym się wszechświecie należy być ostrożnym, kiedy mówi się o odległościach. Jedną z możliwych definicji wymieniliśmy wyżej: to odległość mierzona w danym momencie kosmicznego czasu. Do innej miary odległości prowadzi chwila wyemitowania światła t_e, które obserwujemy dziś w t_0. Światło to biegło więc t_0-t_e lat. Jak daleko znajdowało się owe źródło w chwili emisji? Inaczej mówiąc, jak daleko dotrze światło wysłane w chwili t_e z punktu r=0 i odebrane w chwili t_0? Światło biegnie po linii świata, dla której ds=0, a więc jego współrzędna r w chwili t_0 będzie równa

c dt=R(t) dr \Rightarrow r={\displaystyle \int_{t_e}^{t_0}}\dfrac{c dt}{R(t)}.

Odległość tego punktu w chwili emisji jest dana równaniem

D=R(t_e)r,

a dzisiejsza odległość tego punktu równa jest

D_{now}=R(t_0)r.

Odległość D jako funkcja chwili emisji jest to stożek przeszłości zbudowany na zdarzeniu tu i teraz. Ponieważ wszechświat kurczy się, gdy cofamy się w czasie, więc odległości D osiągają maksimum dla pewnej chwili emisji. Oznacza to, że wszystko, co widzimy, znajduje się w odległościach nie większych od owego maksimum. W ten sposób kątowe rozmiary galaktyk osiągają pewne minimum, a te, które wysłały światło jeszcze wcześniej, będą widziane jako większe na niebie (choć słabsze).

Na rysunku widzimy kształt stożka przeszłości i dwie linie świata galaktyk. Każdą z nich mogliśmy zobaczyć w chwili przecięcia jej linii świata ze stożkiem przeszłości. Obie były wtedy w podobnej odległości, powinny więc być jednakowej wielkości kątowej. Światło odpowiadające czerwonej galaktyce biegło do nas dłużej, a  jego długość fali rozciągnęła się bardziej, uległa większemu przesunięciu ku czerwieni w języku astronomów. Dziś obie znajdują się znacznie dalej od nas, ale już tego nie zobaczymy.

  • Trudności kosmologii Wielkiego Wybuchu: płaskość i horyzonty

Obserwowana 3-przestrzeń jest płaska. Oznacza to, że całkowita gęstość wszystkich form energii równa się dokładnie wartości krytycznej. Inaczej mówiąc nasz wszechświat ma dokładnie prędkość ucieczki: ani mniej, ani więcej. Oznacza to, że np. w jedną nanosekundę po Wielkim Wybuchu gęstość musiała być dopasowana bardzo ściśle, inaczej nasz wszechświat zachowywałby się całkiem inaczej. To tak, jakbyśmy wystrzelili z Ziemi pocisk z prędkością idealnie równą 11,2 km/s, ani trochę więcej, ani trochę mniej. Nie jest to niemożliwe, nie wygląda jednak na sytuację zbyt „naturalną” – postawiłem cudzysłów, ponieważ nie wiemy, co jest, a co nie jest naturalne dla wszechświata. Fizycy woleliby jakiś mechanizm, który faworyzuje płaski wszechświat.

Źródło: Ned Wright Cosmological Tutorial

Innym problemem jest stałość temperatury promieniowania tła docierającego z każdej strony. Na pierwszy rzut oka stałość ta wygląda zdroworozsądkowo: gaz był w równowadze termicznej, więc wysyłał promieniowanie o jednej temperaturze. Żeby zobaczyć, dlaczego jest to problem, wprowadźmy tzw. czas konforemny, spełniający warunek dt =R d\tau. Mamy wówczas

ds^2=R^2(c^2 d\tau^2-d\vec{x}\,^2).

Nasza metryka jest taka jak przestrzeni Minkowskiego, choć niezupełnie, gdyż przemnożona jest przez pewien wspólny czynnik skali. Nie ma sztuczki sprowadzającej zakrzywioną przestrzeń do płaskiej, ponieważ są one geometrycznie różne. Nasza czasoprzestrzeń nadal jest zakrzywiona, czego oznaką jest funkcja R(t). Jednak takie współrzędne są wygodne, gdyż zapewniają, że światło na wykresie czasoprzestrzennym biegnie pod kątem \pm 45^{\circ} (przyjmujemy c=1). Galaktyki w tym układzie współrzędnych mają stałe położenia, czyli ich linie świata biegną pionowo w górę. Sytuacja wygląda wówczas następująco. W chwili rozprzęgnięcia promieniowania z atomami stożki przeszłości różnych punktów CMB były rozłączne.

Rozłączne stożki przeszłości oznaczają, że w przeszłości zdarzenia takie nie miały żadnych wspólnych zdarzeń, a więc i możliwości wyrównania temperatury, bo takie wyrównywanie następuje dzięki wymianie energii. Izotropia promieniowania tła staje się więc wynikiem jakiegoś bardzo szczególnego wyboru warunków początkowych. Znów: fizycy woleliby nie zakładać aż tak szczególnych warunków początkowych. Obliczenia pokazują, że promieniowanie docierające z kątów większych niż $1,5^{\circ}$ powinno być fizycznie niezależne. Cała sfera niebieska rozpada się na ok. 10 000 niezależnych kawałków. Z jakiegoś powodu wszystkie te kawałki mają taką samą temperaturę.

Standardowym sposobem uniknięcia tych paradoksów jest inflacja. W bardzo wczesnym etapie po Wielkim Wybuchu, np. t=10^{-35} s przez bardzo krótki czas mamy dużą stałą kosmologiczną i wszechświat rozszerza się wykładniczo zgodnie z modelem de Sittera. Potem wraca do zwykłego modelu, o którym mówiliśmy. W przypadku płaskości skutek inflacji jest taki, jakbyśmy niewiarygodnie mocno nadmuchali balon: jego powierzchnia stanie się automatycznie płaska, przynajmniej dla naszej dokładności pomiarów. Także problem horyzontu rozwiązuje się wtedy dość naturalnie. Inflacja trwa bardzo krótko, licząc w czasie kosmicznym, ale długo w czasie konforemnym. Wygląda to tak.

Skutek jest więc taki, jakbyśmy cofnęli chwilę Wielkiego Wybuchu i dzięki temu stożki przeszłości różnych punktów promieniowania tła zdążyły się zetknąć.

Inflacja przewiduje także właściwe zachowanie fluktuacji promieniowania tła, co jest ważne, bo przesądza o dalszej ewolucji wszechświata.

Jak to zwykle bywa, każde rozwiązanie rodzi dalsze pytania i trudności. Nie wiadomo nic o konkretnym fizycznym mechanizmie inflacji, to znaczy wiadomo tyle, ile wynika z ograniczeń kosmologicznych, nic nie wiemy natomiast o konkretnych polach, które miałyby inflację wywołać. Jest też problem łagodnego wyjścia z fazy inflacyjnej, tzw. graceful exit. Chodzi o to, że modele przewidujące inflację na ogół nie chcą się zatrzymać, lecz dalej wywołują zachowania budzące wątpliwości. Np. generują bąble czasoprzestrzeni, które byłyby oddzielnymi wszechświatami. Nie ma więc żadnego ogólnie przyjętego opisu tej fazy wszechświata. Niektórzy, np. Roger Penrose, sądzą, że idea ta więcej kłopotów rodzi niż rozwiązuje.

Kosmologia relatywistyczna w kwadrans I

Kosmologia, czyli nauka o wszechświecie jako jednym obiekcie fizycznym, została zapoczątkowana przez Einsteina w 1917 roku. Nauka ta ma więc zaledwie sto lat i niesamowite osiągnięcia: potrafimy dziś bardzo wiele powiedzieć na temat wszechświata, w którym się znajdujemy.

  • Sens równań Einsteina

Ponieważ nie chcemy wprowadzać aparatu matematycznego geometrii różniczkowej, skorzystamy ze sformułowania H.C. Baeza i E.F. Bunna, gdzie można znaleźć więcej szczegółów.

Wyobraźmy sobie niewielką kulę cząstek próbnych, które są względem siebie w spoczynku w chwili t=0 i spadają swobodnie w  polu grawitacyjnym. Jeśli chwilę odczekamy, kula ta pod działaniem grawitacji przekształci się w elipsoidę. Przesunięcia cząstek będą proporcjonalne do kwadratu czasu (mierzonego w środku naszej kuli). Objętość kuli także zmieni się proporcjonalnie do kwadratu czasu:

V(\delta t)=V(0)+\dfrac{1}{2}\ddot{V} \delta t^2,

gdzie \ddot{V} jest drugą pochodną objętości naszej kuli (pierwsza pochodna znika, ponieważ cząstki spoczywają w chwili początkowej). Jeśli w objętości naszej kuli znajduje się jakaś materia, to można ją opisać za pomocą gęstości \varrho oraz ciśnień, jakie ona wywiera: p_x, p_y, p_z. W teorii względności ciśnienie (które jest niczym innym niż strumieniem pędu cząstek przypadającym na jednostkę powierzchni) należy dodać do gęstości materii.

Dla naszej kuli cząstek próbnych (zakładamy, że ich masa i energia jest znikomo mała) obowiązuje równanie grawitacyjne:

\dfrac{\ddot{V}}{V}=-4\pi G \left(\varrho+\dfrac{p_x+p_y+p_z}{c^2}\right) \mbox{ (*)}.

Stała G jest stałą grawitacji. Okazuje się, że równanie to jest równoważne tensorowym równaniom Einsteina, musimy tylko dopuścić kule cząstek próbnych poruszających się w chwili początkowej z dowolnymi prędkościami względem naszego inercjalnego (swobodnie spadającego) układu odniesienia. Zazwyczaj ciśnienie jest symetryczne i możemy wtedy zapisać wyraz z ciśnieniami jako 3p/c^2.

Intuicyjny sens tego równania jest jasny: materia (a także ciśnienie) zmniejszają objętość kuli cząstek próbnych – grawitacja jest siłą przyciągającą. Jeśli nasza kula znajduje się w pustej przestrzeni, jej objętość się nie zmieni, zmieniać się będzie natomiast jej kształt.

  • Ekspansja wszechświata

Przyjmiemy przybliżenie wszechświata jednorodnego (taki sam w każdym miejscu) oraz izotropowego (taki sam w każdym kierunku). Obserwacje pokazują, że w dostatecznie dużej skali założenia te są spełnione. Wszechświat nasz się rozszerza, co można sobie wyobrazić, jak na rysunku: daleki obiekty (np. galaktyki) są wciąż względem siebie rozmieszczone tak samo, powiększa się jedynie skala tego obrazu. Możemy ją mierzyć za pomocą jednego parametru R(t). Mamy więc pewien wyróżniony układ współrzędnych dla wszechświata: względem niego galaktyki się nie poruszają (średnio biorąc, ponieważ mogą one mieć swoje prędkości własne, których na rysunku nie zaznaczyliśmy). Jest też jeden wyróżniony czas. Spoczynek galaktyk w tym naszym układzie współrzędnych jest ich ruchem w polu grawitacyjnym (linie stałych współrzędnych są krzywymi geodezyjnymi).

Rozszerzanie nie dotyczy obiektów bliskich, np. Układu Słonecznego albo naszej Galaktyki. Obserwacje wskazują, że R(t) jest funkcją rosnącą czasu. Chwila, w której R(t_{BB})=0, jest chwilą Wielkiego Wybuchu. Skala wszechświata byłaby w niej równa zeru, czyli wszystkie odległości zmniejszyłyby się do zera. Wielki Wybuch jest więc ściągnięciem (być może nieskończonej) przestrzeni do zera, osobliwością. Nie jest wybuchem np. bomby w przestrzeni, lecz wybuchem samej przestrzeni. Znaczy to tylko tyle, że ogólna teoria względności, jak i wszystko, co dziś wiemy, słuszne jest dla t>t_{BB}\equiv 0. Sytuacja jest podobna jak dla funkcji y=1/x: jest ona określona dla wartości x>0 i nie ma sensu w x=0. To wszystko nie wyklucza, że kiedyś jakaś lepsza teoria nie zastąpi owej osobliwości czymś skończonym, gdyż wielkości nieskończone to żadne przewidywanie.

  • Dynamika wszechświata Einsteina-de Sittera

Najprostszy model wszechświata wskazali w 1932 roku Albert Einstein i Willem de Sitter w krótkim komunikacie. Ponieważ chcemy skorzystać z równania Einsteina (*), więc powinniśmy rozpatrzyć kulę cząstek próbnych (galaktyk) spoczywających względem siebie w pewnej chwili. Na rysunku kula ta oznaczona jest jako B’.

Zmiany jej objętości łatwo powiązać ze zmianami jej promienia r(t). Otrzymujemy:

\dfrac{\ddot{V}}{V}=3\dfrac{\ddot{r}}{r}=-4\pi G \varrho,

gdzie pominęliśmy wyraz z ciśnieniem materii.

Wyobraźmy sobie teraz drugą kulę, która rozszerza się wraz z wszechświatem. Dla uproszczenia przyjmijmy, że obie kule mają jednakowy promień w chwili początkowej. Różnią się prędkościami ruchu, czyli pierwszymi pochodnymi współrzędnych, tak jak to zaznaczono na rysunku. Cząstki na powierzchni obu kul poruszają się z tym samym przyspieszeniem, ponieważ ich ruch jest spadaniem w polu grawitacyjnym, a wszystko spada z takim samym przyspieszeniem. Mamy zatem \ddot{R}=\ddot{r} i możemy poprzednie równanie przepisać dla kuli współporuszającej się z galaktykami:

3\dfrac{\ddot{R}}{R}=-4\pi G\varrho.

Zapisaliśmy to dla nieskończenie małej kuli, ale w jednorodnym i izotropowym wszechświecie równanie takie będzie słuszne dla kuli o dowolnych rozmiarach. Druga pochodna promienia równa jest

\ddot{R}=-\dfrac{4}{3}\pi R^3 \varrho \dfrac{G}{R^2}=-\dfrac{GM}{R^2}. \mbox{(2)}

Zastąpiliśmy iloczyn objętości kuli i gęstości masą M. Ta masa zawarta wewnątrz kuli nie zmienia się z czasem, ponieważ kula współporusza się z galaktykami. Otrzymaliśmy równanie, które ma prostą interpretację newtonowską. Jest to równanie ruchu ciała (czerwona kropka) w polu grawitacyjnym masy M.

Wiemy, że zależnie od wartości prędkości możliwe są dwie sytuacje: albo nasza czerwona kropka zawróci po osiągnięciu pewnej maksymalnej odległości, albo będzie oddalać się do nieskończoności. Ten sam wniosek dotyczy kuli galaktyk: albo zawrócą one w pewnej chwili, albo nigdy nie zawrócą i będą się oddalać nieograniczenie. Model Einsteina-de Sittera dotyczy sytuacji granicznej: gdy prędkość oddalania jest równa prędkości ucieczki. Jest to więc najmniejsza prędkość, przy której ekspansja nigdy się nie zatrzyma. Całkowita „energia” naszej czerwonej kropki równa się zero (piszemy w cudzysłowie, bo to nie jest energia świata, lecz jedynie wielkość analogiczna do energii, gdyż takie same równania mają takie same rozwiązania i możemy skorzystać z wiedzy przedeinsteinowskiej):

\dfrac{\dot{R}^2}{2}-\dfrac{GM}{R}=0 \Rightarrow R(t)\sim t^{\frac{2}{3}}.

W modelu tym wszechświat zaczyna się Wielkim Wybuchem. Einstein i de Sitter chcieli zbudować najprostszy relatywistyczny model rozszerzającego się wszechświata i niezbyt przejmowali się szczegółowymi wynikami obserwacji. Model ten ma jeszcze tę własność, że trójwymiarowa przestrzeń jest w nim płaska. W teorii Einsteina to sytuacja szczególna, nasza siatka galaktyk mogłaby bowiem być zakrzywiona.

Oczywiście na obrazku możemy przedstawić dwuwymiarowe powierzchnie, a w tym przypadku chodzi o trójwymiarową przestrzeń.

Wydaje się, że 3-przestrzeń naszego wszechświata jest płaska, tzn. jeśli byłaby zakrzywiona, to promień krzywizny musiałby być gigantyczny nawet w skali kosmologicznej.

  • Stała kosmologiczna = ciemna energia

Einstein zauważył, że z formalnego punktu widzenia jego równania pola mogą zawierać dodatkowy wyraz proporcjonalny do metryki. Fizycznie odpowiadałby on stałej gęstości energii w całej przestrzeni równej \varrho_{vac} c^2  oraz stałemu ciśnieniu p. Wyobraźmy sobie pewną objętość V. Energia w niej zawarta równa się \varrho_{vac} c^2 V. Z termodynamiki wiemy, że zmiana energii dE równa się pracy wykonanej nad układem -pdV. W naszym przypadku

dE=\varrho_{vac} c^2 dV=-pdV\Rightarrow p=-\varrho_{vac} c^2.

Nietypowy znak ciśnienia związany jest z tym, że teraz rozszerzanie powiększa energię zamiast ją zmniejszać, jak w przypadku gazu w naczyniu. Jeśli we wszechświecie nie ma żadnej innej formy energii, równania Einsteina przybierają postać:

3\dfrac{\ddot{R}}{R}=-4\pi G (\varrho_{vac} -3\varrho_{vac})=8\pi G \varrho_{vac}\equiv \Lambda c^2.

Parametr \Lambda zwany jest stałą kosmologiczną. Wszechświat taki prędzej czy później zacznie się rozszerzać (przyjmujemy, że stała kosmologiczna jest dodatnia), i to coraz szybciej. Pusty wszechświat ze stałą kosmologiczną nazywa się wszechświatem de Sittera. Czynnik skali R(t) rośnie wykładniczo z czasem:

R(t)=R_0\exp\left(\sqrt{\dfrac{\Lambda c^2}{3}}t\right).

Zauważmy, że w takim modelu nie ma Wielkiego Wybuchu, ponieważ czynnik skali zawsze jest dodatni. Oczywiście, wiemy, że w naszym wszechświecie występuje materia, a więc wszechświat de Sittera nie jest realistycznym modelem, lecz jedynie pewnym przybliżeniem. Obserwacje pokazują, że nasz wszechświat coraz bardziej zbliża się do świata de Sittera. Mówimy dziś o ciemnej energii, co jest inną nazwą dla stałej kosmologicznej (choć może się też okazać, że sytuacja jest bardziej skomplikowana i opis za pomocą \Lambda nie wystarczy).

  • Wszechświat Einsteina i wszechświat w XXI wieku

Stała kosmologiczna wprowadzona została przez Einsteina w pracy, która zapoczątkowała kosmologię w dzisiejszym sensie. Uczony sądził, że obserwacje wskazują, iż wszechświat jest statyczny, nie zmienia się z czasem. Równania pola grawitacyjnego nie dopuszczają takiej możliwości, dopóki nie wprowadzimy stałej kosmologicznej. Równanie (*) przybiera postać:

3\dfrac{\ddot{R}}{R}=-4\pi G\varrho+\Lambda c^2,

co można przekształcić podobnie jak dla modelu EdS:

\ddot{R}=-\dfrac{MG}{R^2}+\dfrac{\Lambda c^2}{3}R\mbox{ (3)}.

W porównaniu z (2) do przyciągającego wyrazu grawitacyjnego doszedł wyraz odpychający ze stałą kosmologiczną. Jeśli zażądamy, aby ich suma była równa zeru, otrzymamy statyczny model Einsteina z 1917 roku. Później, kiedy okazało się, że wszechświat się rozszerza, Einstein bez żalu pozbył się wyrazu kosmologicznego. Model statyczny był zresztą i tak nie do utrzymania, ponieważ nie jest on stabilny. Załóżmy bowiem, że dobraliśmy tak stałe, iż prawa strona równania (3) równa jest zeru. Mamy więc równowagę. Jeśli jednak powiększymy choćby nieznacznie czynnik skali R, to wzrosną oba wyrazy po prawej stronie i przyspieszenie będzie dodatnie, tzn. niewielki przyrost R powiększy się i nasz wszechświat zacznie się rozszerzać. Podobnie, jeśli zmniejszylibyśmy nieznacznie czynnik skali, prawa strona równania stałaby się ujemna i czynnik skali zacząłby się samorzutnie zmniejszać. Można to też pokazać, zapisując zasadę zachowania „energii” dla równania (3), podobnie jak to zrobiliśmy dla równania (2):

\dfrac{v^2}{2}-\dfrac{GM}{R}-\dfrac{\Lambda c^2 R^2}{6}\equiv E_k+E_p=const.

Nasza „energia” potencjalna ma w tym przypadku postać wzniesienia: jeśli nawet znajdziemy się na jego szczycie z zerową „energią” kinetyczną, to każde, nawet najmniejsze, zaburzenie wytrąci nas z położenia równowagi.

Sytuacja ta ma zasadnicze znaczenie dla naszego wszechświata, ponieważ zawiera on zarówno materię, jak i ciemną energię. Znajdujemy się już po prawej stronie zbocza i coraz szybciej staczamy się w dół, co oznacza, że wyraz kosmologiczny dominuje nad zwykłą grawitacją.

Źródło ilustracji: NASA

Na powyższym obrazku mamy porównanie kilku różnych modeli kosmologicznych. Linia czerwona oznacza 30% materii i 70% ciemnej energii (stałej kosmologicznej) – to są proporcje naszego wszechświata. Linia niebieska pokazuje, jak zachowywałby się czynnik skali, gdyby przyjąć, że ciemnej energii nie ma. Linia zielona odpowiada światowi Einsteina-de Sittera, w którym nie ma ciemnej energii. Wreszcie linia pomarańczowa opisuje wszechświat znacznie gęstszy od naszego, który najpierw się rozszerza, po czym zaczyna się kurczyć aż po Wielki Krach.

 

Tu jeszcze raz widzimy czynnik skali zgodny z obserwacjami naszego wszechświata. 3-przestrzeń jest płaska. Funkcję tę można wyrazić przez funkcje elementarne (por. koniec tekstu). Dla małych t zachowanie przypomina model EdS, później przełącza się na model dS (sama ciemna energia). Grawitacja zakrzywia funkcję w dół, ciemna energia wypycha ją w górę. W rezultacie powstaje krzywa dość zbliżona do linii prostej, ale jest to początek wykładniczego wzrostu.

  • Geometria modelu Einsteina

Nasze podejście do równań Einsteina utrudnia nieco zbadanie, jak wygląda geometria różnych modeli. Pokażemy poniżej, że model statyczny Einsteina opisywany jest geometrią sferyczną: tzn. 3-przestrzeń jest sferą trójwymiarową (powierzchnią kuli czterowymiarowej).

Mamy więc

3\dfrac{\ddot{V}}{V}=-4\pi G\varrho_0+\Lambda c^2=0.

Warunek ten otrzymany był dla niewielkiej kuli cząstek próbnych spoczywającej względem materii wszechświata Einsteina. Rozpatrzmy teraz inną kulę cząstek próbnych, która porusza się ruchem jednostajnym z prędkością v względem materii wszechświata. W układzie nowych cząstek próbnych materia świata ma większą energię: zamiast spoczynkowej mc^2 każda cząstka świata ma teraz energię mc^2+\frac{mv^2}{2} (zakładamy, że prędkość jest nierelatywistyczna). Ponadto długość w kierunku ruchu się skróci i objętość zmniejszy o czynnik \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\approx 1-\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}. Łącznie gęstość naszej materii wzrośnie:

\varrho=\varrho_0\left(1+\dfrac{v^2}{c^2}\right).

W naszym układzie odniesienia pojawi się też ciśnienie w kierunku ruchu, ponieważ wszystkie cząstki poruszają się z taką samą prędkością v.

Pęd transportowany przez powierzchnię o polu S w czasie \delta t będzie równy całkowitemu pędowi cząstek na rysunku, czyli \varrho_0 vv\delta t S, a ciśnienie prostopadłe do powierzchni będzie równe p=\varrho_0 v^2. Łącznie otrzymamy

\dfrac{\ddot{V}}{V}=-8\pi G\varrho_0\dfrac{v^2}{c^2}. \mbox{ (4)}

Co to znaczy, że przestrzeń jest zakrzywiona? Prędkości naszych cząstek próbnych są jednakowe i każda z nich porusza się po południku. Zakrzywienie przestrzeni będzie przejawiać się w tym, że takie równolegle poruszające się cząstki będą się do siebie zbliżać: dwóch podróżników startujących na północ z dwóch punktów równika spotka się na biegunie północnym. Kula poruszająca się w przestrzeni kulistej (możemy sobie wyobrazić koło poruszające się po powierzchni sferycznej) o promieniu krzywizny R_U zostaje skrócona w kierunku prostopadłym do ruchu, ponieważ jej cząstki biegną po południkach, a te zbiegają się ku sobie.

Wyobraźmy sobie, że skrajne cząstki naszego koła poruszają się po południkach tworzących ze sobą kąt \delta \varphi. Obie cząstki poruszają się z przyspieszeniem dośrodkowym. Patrząc sponad bieguna północnego naszej kuli, zaobserwujemy przyspieszenia obu cząstek \vec{a}_1 oraz \vec{a}_2.

Przyspieszenie względne, jak to widać z rysunku, będzie równe

\ddot{y}=-a\delta\varphi=-\dfrac{v^2}{R_U}\dfrac{y}{R_U}=-y\dfrac{v^2}{R_U^2}.

Wobec tego kula 3D cząstek próbnych skróci się w kulistej przestrzeni w dwóch wymiarach prostopadłych do kierunku ruchu i będziemy mieli

\dfrac{\ddot{V}}{V}=2\dfrac{\ddot{r}}{r}=-\dfrac{2v^2}{R_U^2}.

Wstawiając ten wynik do równania (4), otrzymamy warunek

\dfrac{2 v^2}{R_U^2}=8\pi G \varrho_0 \dfrac{v^2}{c^2} \Rightarrow R_U=\dfrac{c}{\sqrt{4\pi G\varrho_0}}=\dfrac{1}{\sqrt{\Lambda}}.

Tyle właśnie otrzymał Einstein. Wniosek ten dość mu się podobał, ponieważ wszechświat miałby skończoną objętość, a zarazem nie miał brzegu.

  • Zależność czynnika skali od czasu

Obliczmy czynnik skali wszechświata dla płaskiego świata zbudowanego z chłodnej materii (p=0) i ciemnej energii. Jest to przypadek naszego wszechświata. Płaskość 3-przestrzeni oznacza, że suma „energii” kinetycznej i potencjalnej jest równa zeru:

\dfrac{1}{2}\dot{R}^2=\dfrac{GM}{R^2}\Rightarrow H^2\equiv \dfrac{1}{R^2}\left(\dfrac{dR}{dt}\right)^2=\dfrac{8\pi G \varrho_{crit}}{3}.

Otrzymaliśmy warunek, jaki spełniać musi gęstość wszechświata: musi być ona równa \varrho_{crit}. Wyrażenie \frac{\dot{R}}{R} nazywa się stałą Hubble’a. Stała Hubble’a zależy od czasu (nie jest więc ściśle biorąc stałą). W przypadku gdy wszechświat jest płaski, lecz zawiera oprócz zwykłej materii także ciemną energię, warunek płaskości przybiera postać:

\varrho_{crit}=\varrho_m+\varrho_{vac}.

Przeważnie zapisuje się to, podając ułamek energii każdego składnika:

\Omega_m+\Omega_{\Lambda}=1,\,\mbox{ gdzie } \Omega_m\equiv\dfrac{\varrho_m}{\varrho_{crit}} \mbox{ oraz } \Omega_{\Lambda}\equiv\dfrac{\varrho_{vac}}{\varrho_{crit}}.

Stała Hubble’a w danym momencie od Wielkiego Wybuchu nie zależy od konkretnego wyboru czynnika skali, można więc wybrać go tak, jak lubią astronomowie obserwacyjni, żeby obecna skala wszechświata była równa 1. Możemy teraz napisać:

\dfrac{1}{R}\dfrac{dR}{dt}=H_0 \sqrt{ \dfrac{\Omega_{m,0}}{R^3}+\Omega_{\Lambda,0} }.

W ostatnim równaniu wyraziliśmy gęstości o prawej stronie przez ich dzisiejsze wartości (gęstość materii skaluje się jak R^{-3}, gęstość energii próżni się nie zmienia). Chcemy teraz wyznaczyć z tego równania funkcję R(t). Pomnóżmy obie strony równania przez \frac{3}{2} R^{3/2}, otrzymujemy wówczas;

\dfrac{ dR^{\frac{3}{2}} }{dt}=\dfrac{3}{2}H_0 \sqrt{ \Omega_{m,0}+\Omega_{\Lambda,0}R^{3} }.

Jeśli wprowadzimy nową zmienną u=R^{3/2}, możemy nasze równanie przepisać w postaci

\dfrac{du}{\sqrt{ k^2+u^2} }=\dfrac{3H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}}}{2} dt,

gdzie k^2\equiv \frac{\Omega_{m,0}}{\Omega_{\Lambda,0}}. Wykonując jeszcze jedno postawienie u=k\sinh \zeta, otrzymamy

\zeta=\dfrac{3H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}}}{2} t,

a wracając do starej zmiennej, możemy zapisać wyrażenie na czynnik skali:

R=\left( \dfrac{\Omega_{m,0}} {\Omega_{\Lambda,0} }\right)^{\frac{1}{3}} \sinh^{\frac{2}{3}} \dfrac{3H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0} }}{2} t .

Wyrażenie to pozwala natychmiast zobaczyć, że dla małych czasów (\sinh x\approx x) czynnik skali rośnie jak t^{\frac{2}{3}}, dla dużych natomiast staje się wykładniczy (\sinh x\approx \frac{1}{2}e^{x}). Możemy więc opisać ewolucję naszego wszechświata za pomocą trzech parametrów dzisiejszego wszechświata: stałej Hubble’a oraz dwóch gęstości.

  • Wiek wszechświata

Znajomość obecnego składu wszechświata $latex \Omega_{m,0}$ oraz $latex \Omega_{\Lambda,0}$ wraz ze znajomością dzisiejszej stałej Hubble’a pozwala też obliczyć czas T, jaki upłynął od Wielkiego Wybuchu (czyli czas, gdy a(T)=1):

T=\dfrac{2}{3 H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0} }} \,\mbox{artgh}\, \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}  }.

Dla danych misji Planck z roku 2015: \Omega_{m,0}=1-\Omega_{\Lambda,0}=0.3089 i stałej Hubble’a H_0=67.90 km/s/Mpc wiek wszechświata T=13.80\cdot 10^9 lat. Zadziwiające jest, że tak niewielka liczba parametrów (gęstość, stała Hubble’a plus wiedza o płaskości) wystarczy do obliczenia, co dzieje się z obiektem tak skomplikowanym jak wszechświat.