Spadający deszcz i czarna dziura Schwarzschilda

Opiszemy za Thanu Padmanabhanem prosty, choć nie całkiem prawidłowy, sposób otrzymania metryki czarnej dziury Schwarzschilda. Fizycznie jest to zagadnienie pola grawitacyjnego wokół sferycznej masy M. Spróbujmy znaleźć metrykę daleko od naszego ciała, w odległości r od centrum. Wyobrażamy sobie infinitezymalne układy współrzędnych: jeden xy nieruchomy względem centrum, a drugi x_{in}y_{in} swobodnie spadający ku centrum z nieskończoności. Układ swobodnie spadający jest lokalnie inercjalny, więc metryka w nim ma szczególnie prostą postać metryki Minkowskiego (wszędzie c=1):

ds^2=dt_{in}^2-d\vec{r}_{in}\,^2.

Zakładamy teraz, że przejścia od układu spadającego do nieruchomego możemy dokonać za pomocą transformacji Galileusza, czyli tak, jakbyśmy nie uczyli się nigdy o Einsteinie:

\begin{cases}d\vec{r}_{in}=d\vec{r}-\vec{v}dT \\  dt_{in}=dT.\end{cases}

Wstawiając tę transformację do metryki swobodnej, otrzymujemy

ds^2=(1-v^2)dT^2 +2\vec{v}\cdot \vec{dr} dT -d\vec{r}\,^2.

Newtonowska prędkość ciała spadającego z nieskończoności jest równa prędkości ucieczki:

v=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}.

Ostatecznie nasza metryka wygląda we współrzędnych radialnych następująco:

ds^2=\left(1-\dfrac{2GM}{r}\right)dT^2-2\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}dr dT-d\vec{r}\,^2.

Jest to metryka spadającego deszczu, w której czas jest czasem własnym spadających na centrum cząstek. Inaczej metryka Painlevé’go-Gullstranda. Nasza procedura nie jest prawidłowym wyprowadzeniem, ale nieco ułatwia wyobrażenie sobie, skąd takie wyrażenie może pochodzić. Ostateczną weryfikacją byłoby obliczenie dla tej metryki tensora Ricciego i wykazanie, że znika on dla wszystkich r>0.

Nietrudno pokazać, że spadanie z prędkością

\dfrac{dr}{dT}=-\sqrt{\dfrac{2GM}{r}},

jest ruchem geodezyjnym. Jeśli w metryce wydzielimy po prawej stronie dT^2, otrzymamy (dla ruchu radialnego d\vec{r}\,^2=dr^2):

ds^2=\left[1-\left(\dfrac{dr}{dT}+\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}\right)^2\right]dT\,^2\le dT\,^2.

Maksymalne ds otrzymamy więc, gdy znika nawias zwykły w ostatnim wyrażeniu i wtedy ds=dT. Pokazaliśmy już poprzednio, jak wyglądają stożki świetlne w tych współrzędnych, łatwo zauważyć istnienie horyzontu wokół centralnej osobliwości r=0. Można też przejść od naszych współrzędnych deszczu do zwykłej metryki Schwarzschilda (odwrotną drogę przebył Painlevé w 1921 r.). Należy w tym celu zmienić definicję czasu:

dT=dt+\dfrac{\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}}{1-\dfrac{2GM}{r}}dr.

Funkcję po prawej stronie można otrzymać, pisząc dT=dt+f(r)dr i tak dobierając funkcję f(r), żeby znikł wyraz niediagonalny z dr dt.

Reklamy

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

w

Connecting to %s