Proxima Centauri

Wszechświat jest niemal pusty: ogromne, niewyobrażalnie rozległe przestrzenie, oddzielają planety od siebie i Słońca, a jeszcze większe odległości dzielą Słońce od innych gwiazd. Światło ze Słońca na Ziemię podróżuje niecałe dziewięć minut, do najbliższej gwiazdy natomiast ponad cztery lata. Gwiazda ta, zwana stosownie Proxima Centauri, jest najmniejszym składnikiem układu potrójnego: dwie gwiazdy mniej więcej podobne do Słońca krążą dość blisko siebie, a w sporej od nich odległości krąży Proxima, czerwony karzeł o masie dziesięć razy mniejszej od Słońca. Całość widoczna jest gołym okiem na niebie południowym jako α Centauri, trzecia spośród najjaśniejszych gwiazd, za Syriuszem i Canopus. W roku 2016 odkryto, że Proxima ma planetę skalistą podobną do Ziemi, lecz znajdującą się bardzo blisko gwiazdy i przez to narażoną na wpływ cząstek wyrzucanych z jej powierzchni. Temperatura owej planety wynikająca z wielkości energii dostarczanej przez gwiazdę to jakieś -40ºC, jednak obecność atmosfery mogłaby podnieść temperaturę dzięki efektowi cieplarnianemu. W sumie więc, mimo że chodzi o nasze najbliższe sąsiedztwo, wiadomo niezbyt wiele. Istnieje projekt, Breakthrough Starshots, którego intencją jest wysłanie grupy miniaturowych bezzałogowych statków kosmicznych do układu α Centauri. Miałyby one osiągnąć prędkość 0,2c dzięki wykorzystaniu ciśnienia promieniowania. Z jednej strony jest to prędkość ogromna, tysiące razy większa niż do tej pory uzyskiwane. Z drugiej zaś, jest to niezbyt wiele, jak na potrzeby lotów międzygwiezdnych: całość misji będzie trwać i trwać przez wiele lat, a potem będzie trzeba latami oczekiwać na informacje.
Przyjrzyjmy się możliwościom między gwiezdnej podróży z punktu widzenia praw fizyki, nie przejmując się, jak można by praktycznie uzyskać prędkości podświetlne. Najszybsza teoretycznie podróż możliwa z ziemską załogą polegałaby na poruszaniu się ze stałym przyspieszeniem. Załoga odczuwałaby wtedy to przyspieszenie jako ciążenie. Z przyczyn fizjologicznych powinno ono być równe przyspieszeniu ziemskiemu g. Wyobraźmy więc sobie rakietę, która porusza się ze stałym przyspieszeniem. Według fizyki galileuszowej przebyta droga s byłaby równa

s=\dfrac{1}{2}gt^2,

gdzie t jest czasem podróży. Moglibyśmy przez połowę czasu przyspieszać, a przez drugą połowę czasu zwalniać. Wtedy t byłoby połową czasu podróży, a s – połową odległości. Gdy wyrazimy przyspieszenie ziemskie w wygodnych w tym zagadnieniu jednostkach, otrzymamy g\approx 1 (rok świetlny)/(rok)2. A więc w ciągu roku uzyskalibyśmy prędkość równą 1, czyli prędkość światła (=rok świetlny/rok). Fizyka galileuszowa nie nadaje się do tego zagadnienia, należy użyć teorii względności.
Stałe przyspieszenie w teorii względności oznacza, że nie prędkość v, lecz parametr prędkości \varphi jest proporcjonalny do czasu mierzonego w rakiecie \tau:

 \varphi=g\tau,

gdzie v= \mbox{tgh }\varphi. (spotkaliśmy go już wcześniej). Parametr \varphi przy małych prędkościach jest równy prędkości (w jednostkach c).

Ma on też bardzo ważną własność: w teorii względności to parametry prędkości się dodają, a nie prędkości jak u Galileusza. Można łatwo obliczyć, że czas mierzony przez obserwatora na Ziemi t oraz położenie rakiety x będą miały następującą postać:

\begin{cases}t=\dfrac{1}{g}\sinh g\tau\\ \\ x=\dfrac{1}{g}\cosh g\tau.\end{cases}

Położenie i czas początkowy wybrane zostały tak, żeby ładniej wyglądały na wykresie poniżej (jednostkami są lata i lata świetlne, przyspieszenie jest równe przyspieszeniu ziemskiemu).

Widzimy, że otrzymaliśmy hiperbolę, która w miarę upływu czasu zbliża się asymptotycznie do linii prostej. Fizycznie oznacza to, że prędkość rakiety zbliża się do prędkości światła. Jest to odpowiednik ruchu jednostajnie przyspieszonego w teorii względności. Dla małych czasów zależność jest kwadratowa: startujemy z wierzchołka hiperboli, a każdy wierzchołek regularnej krzywej ma kształt paraboli w przybliżeniu. Możemy zresztą sprawdzić, że krzywa jest hiperbolą, spełnia bowiem warunek:

x^2-t^2=\dfrac{1}{g^2}=\mbox{const}.

Znów można złożyć podróż z dwóch faz: przyspieszania i hamowania i będą one symetryczne. Czas obserwowany na Ziemi będzie zawsze mniejszy niż zasięg lotu, bo lot odbywa się z prędkością mniejszą niż prędkość światła. Przy długich czasach obie te wielkości będą się przybliżać do siebie. Zupełnie inaczej jednak zachowuje się czas mierzony w rakiecie: jest to parametr \tau. Przy krótkiej podróży oba czasy różnią się niewiele, przy długiej różnice stają się ogromne. Jest to nieco inny przypadek paradoksu bliźniąt.

(Czas na wykresach mierzony jest w latach, g=1 w naszych jednostkach)

Wynika z tego, że w czasie swego życia astronauci mogą zalecieć bardzo daleko (jeśli tylko technika na to pozwoli). Wystąpi jednak efekt podróży w czasie w przód: zanim wrócą, na Ziemi minie bardzo wiele lat i albo już zapanuje raj, albo zupełnie nie będzie do czego wracać.

Obliczenia.

Odstęp czasu własnego d\tau i czasu ziemskiego związane są równaniem:

d\tau^2=dt^2-dx^2=dt^2-v^2 dt^2=dt^2 (1-v^2)=\dfrac{dt^2}{\cosh^2 \varphi}.

Obliczając stąd dt, otrzymujemy

dt=\cosh \varphi d\tau.

Obliczmy jeszcze pochodną

\dfrac{dx}{d\tau}=\dfrac{dx}{dt}\dfrac{dt}{d\tau}=\mbox{ tgh }\varphi \cosh\varphi=\sinh\varphi.

Wstawiając \varphi=g\tau i całkując (sinus i cosinus zamieniają się przy tym miejscami), otrzymujemy wzory w tekście. Jest to przykład, że funkcje hiperboliczne mogą być całkiem przydatne, jeśli uczyliśmy się kiedyś zwykłej trygonometrii.

 

3 komentarze do “Proxima Centauri

  1. Niezłe – bardzo ładnie wyłożone. Cieszę się, że ktoś robi takie wyliczenia i pokazuje to w przystępny sposób. A teraz trochę „ale…”. Policzcie, ile energii potrzeba na takie przyspieszanie i hamowanie. Nawet przy wykorzystaniu antymaterii i bezstratnym zamienianiu energii na pęd, prawie cały statek musiałby zostać zamieniony w czystą energię. Ludzie, jako istoty biologiczne, nigdy nie polecą do innych gwiazd, no chyba, że stosunkowo wolno (0,5 c byłoby cudem) i… to już nie będzie Homo sapiens, z jakim się utożsamiamy – tacy „ludzie” musieliby być odporni na promieniowanie kosmiczne, żyć znacznie dłużej od nas i mieć naprawdę silne organizmy. Kwestię kosztów takiej podróży pozostawię bez komentarza. Jedyne wyjście, jakie widzę, to wysyłanie bardzo małych sond za pomocą żagli słonecznych, choć do tego też jeszcze daleka droga. Byłbym bardzo szczęśliwy, gdyby za mojego życia (do ~2070) ludzie założyli stałe bazy na Księżycu, Marsie i jakimś księżycu Saturna lub Jowisza, ale sądzę, że tylko połowa z tych planów się uda.

    Polubienie

    • Jest przedstawiony pomysl, potem troche „ale”, ktos inny doda od siebie cos madrego i pierwsze planowanie za soba. Wlasnie tak ludziska dochodza powoli do zeczy niemozliwych.

      Polubienie

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google

Komentujesz korzystając z konta Google. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Połączenie z %s