Od zasady najdłuższego czasu do równań Maxwella III

W poprzednich dwóch częściach rozpatrzyliśmy zasadę wariacyjną dla cząstki w polu, które okazało się elektromagnetyczne (przy okazji otrzymaliśmy siłę Lorentza) oraz zasadę wariacyjną dla pola elektromagnetycznego. Skoro zaszło się tak daleko, warto może pokazać jeszcze kilka prostych konsekwencji tego, co uzyskaliśmy. Dwa równania Maxwella (prawo Gaussa i prawo Ampère’a) mają u nas postać:

\partial^{\mu}F_{\mu\nu}=\mu_0 j_{\nu},\mbox{(1)}

gdzie j_{\nu}=(c\rho,-\vec{j}) jest czterowektorem gęstości ładunku oraz gęstości prądu; nie wprowadzaliśmy ich poprzednio, ponieważ ominęliśmy obliczenie wariacji lagranżianu oddziaływania pola z cząstkami, wyraz taki ma postać -\int j^{\mu}A_{\mu} d^{4}x. Jasne jest, że muszą pojawić się jakieś źródła: ładunki i prądy.

Dwa pozostałe równania Maxwella (prawo Faradaya oraz magnetyczny odpowiednik prawa Gaussa) wyglądają następująco:

\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\partial_{\rho}F_{\mu\nu}+\partial_{\nu}F_{\rho\mu}=0.\mbox{(2)}

Z równości tej otrzymujemy cztery równania skalarne, gdy trzy wskaźniki są różne. Jednak samo równanie jest prawdziwe dla dowolnego zestawu wskaźników, przy powtarzających się dostajemy tożsamościowo zero, np.

\partial_{0}F_{01}+\partial_{1}F_{00}+\partial_{0}F_{10}=0,

gdyż wyraz środkowy równy jest zeru, a dwa skrajne mają przeciwne znaki (bo F_{\mu\nu}=-F_{\nu\mu}).

Pokażemy trzy krótkie wnioski z równań zapisanych w tej postaci:

  1. Równania Maxwella w próżni sprowadzają się do równania falowego, a to znaczy, że pole elektromagnetyczne może wędrować w przestrzeni jako fala.
  2. Możemy zapisać te równania za pomocą czteropotencjału A_{\mu}.
  3. Spełniona jest zasada zachowania ładunku.

Ad 1 Obliczmy pochodną \partial^{\mu} z naszego równania (2):

\partial^{\mu}\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\partial^{\mu}\partial_{\rho}F_{\mu\nu}+\partial^{\mu}\partial_{\nu}F_{\rho\mu}=0.

Należy to sobie wyobrażać jako wzięcie pochodnej, a następnie wysumowanie po powtarzającym się wskaźniku. Dwa ostatnie wyrazy są w próżni równe zeru na mocy równania (1). Wyraz pierwszy to

\partial^{\mu}\partial_{\mu}=\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}\equiv \square.

Taki operator nazywa się dalambercjanem (od Jeana Le Ronda d’Alemberta, który zajmował się jeszcze w XVIII wieku równaniem falowym) przez analogię do laplasjanu. Otrzymany wynik można więc krótko zapisać:

\square F_{\mu\nu}=0.

A więc teoria przewiduje fale w próżni.

Ad 2 Tensor pola wyraża się przez czteropotencjał następująco:

F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}.

Wartości pola elektromagnetycznego otrzymujemy przez różniczkowanie, więc jasne jest, iż wybór czteropotencjału nie jest jednoznaczny. Równanie (2) zapisane za pomocą czteropotencjału daje tożsamościowo zero:

\partial_{\mu}(\partial_{\nu}A_{\rho}-\partial_{\rho} A_{\nu})+\partial_{\rho}(\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu})+ \partial_{\nu}(\partial_{\rho}A_{\mu}-\partial_{\mu}A_{\rho})=0.

Łatwo zauważyć, że mamy pary wyrazów różniących się tylko znakiem (kolejność różniczkowania wolno zawsze zmienić). W bardziej rozbudowanej matematycznie teorii jest to tzw. tożsamość Bianchiego (od matematyka włoskiego z przełomu XIX i XX wieku, pierwszy zresztą tę tożsamość zapisał Ricci-Curbastro, a potem odkrywana była jeszcze wiele razy na nowo). Wstawiając potencjał do równania (1), otrzymujemy

\partial^{\mu}(\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu})=\square A_{\nu}-\partial_{\nu}(\partial^{\mu}A_{\mu})=\mu_{0}j_{\nu}.

Ostatnie równanie można uprościć, korzystając ze swobody cechowania. Możemy bowiem zażądać, żeby ostatni wyraz w nawiasie po lewej stronie był równy zeru. Ograniczamy w ten sposób dowolność wyboru czteropotencjału. Warunek ten nazywa się cechowaniem Lorenza (od duńskiego uczonego Ludwiga Lorenza, którego nie należy mylić z Holendrem Hendrikiem Lorentzem od transformacji Lorentza). Jeśli go nałożymy, to nasz czteropotencjał spełnia niejednorodne równanie falowe:

\square A_{\mu}=\mu_{0}j_{\mu}.

Tam gdzie nie ma ładunków ani prądów, otrzymujemy równanie falowe dla czteropotencjału. W tej formie równania Maxwella wyglądają więc następująco:

\begin{cases} \square A_{\mu}=\mu_{0}j_{\mu}\\ \partial^{\mu}A_{\mu}=0.\end{cases}

W tej postaci mamy tylko jedno równanie na czterowektor plus warunek cechowania. Czyli w istocie pole elektromagnetyczne nie potrzebuje sześciu składowych (po trzy dla pola elektrycznego i magnetycznego), wystarczą cztery, a nawet nieco mniej, ze względu na warunek cechowania, który ogranicza możliwości.

Ad 3 Ostatni punkt: zasada zachowania ładunku. Wynika ona z równania (1), gdy weźmiemy jego pochodną:

\partial^{\nu}\partial^{\mu}F_{\mu\nu}=0=\mu_{0} (\partial^{\nu}j_{\nu}).

Pierwsza równość pochodzi stąd, że pochodne możemy przestawiać bez zmiany znaku, natomiast tensor F_{\mu\nu} jest antysymetryczny. Tak przy okazji, nazywa się często F_{\mu\nu} tensorem Faradaya, oczywiście Michael Faraday nie miał pojęcia o tensorach, odkrył jednak, że zmienne pole magnetyczne generuje pole elektryczne. Ostatnie wyrażenie to uogólnienie dywergencji na cztery wymiary:

\dfrac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\vec{j}=0.

Ostatnie równanie znaczy tyle, że jeśli w danym punkcie prąd wypływa, to gęstość ładunku musi odpowiednio maleć. Ładunek jest zachowany, i to lokalnie: aby wypłynął z danej objętości, musi przeciąć powierzchnię, która tę objętość ogranicza. Jeśli był, a teraz go nie ma, to znaczy, że musiał przejść przez granicę.

Równania Maxwella zapisane jak wyżej nie tylko wyglądają prościej, ale wskazują jawnie, że teoria jest relatywistycznie kowariantna, tzn. zgodna z teorią względności. To nie koniec zalet takiego podejścia: okazuje się, że w teorii grawitacji Einsteina postać równań Maxwella jest właściwie taka sama.

Reklamy

Kopenhaga 1941: spotkanie Wernera Heisenberga z Nielsem Bohrem

Czy obłąkańcze ideologie zawsze są samoniszczące? I jakie są ich koszty społeczne? Gdzie kończy się patriotyzm, a zaczyna oportunizm i łajdactwo? Czy uczonym wolno zamykać się w wieży z kości słoniowej? Jacy naprawdę są ludzie, których znamy? Czy historia jest w ogóle możliwa inaczej niż jako rozmowa duchów na Polach Elizejskich?
Sztuka Michaela Frayna Copenhagen jest dialogiem trzech duchów: Wernera Heisenberga, Nielsa Bohra i jego żony Margharete. Chyba nie wystawiona nigdy w Polsce, odniosła wielki sukces w Londynie, Nowym Jorku i w innych miejscach świata.

Spotkanie owych trzech duchów poprzedzone było wieloma latami ziemskiej znajomości. Bohr pierwszy raz zetknął się z Heisenbergiem, gdy wygłaszał w Getyndze w czerwcu 1922 roku swe słynne wykłady, zwane potem Festiwalem Bohra. Dwudziestolatek o chłopięcym wyglądzie zwrócił publicznie uwagę na pomyłkę Bohra i tym go zaintrygował. Trzeba rozumieć kontekst: Niels Bohr był wtedy najbardziej znanym fizykiem atomowym, w listopadzie miano ogłosić, że otrzymuje Nagrodę Nobla. Tak się złożyło, że Bohr otrzymał ją jednocześnie z Albertem Einsteinem, który został laureatem za rok 1921. W grudniu 1922 Svante Arrhenius, przewodniczący Komitetu Noblowskiego z fizyki zaprezentował osiągnięcia obu uczonych: w ten sposób Einstein, najwybitniejszy fizyk pierwszej ćwierci wieku XX, został symbolicznie złączony z Bohrem, patronem intelektualnym nurtu, który za kilka lat miał przynieść mechanikę kwantową. Sytuacja niecodzienna nawet jak na uroczystości noblowskie (nie spotkali się jednak przy tej okazji, ponieważ Einstein był w Japonii). Teoria względności i mechanika kwantowa do dziś są dwoma najważniejszymi osiągnięciami ostatniego stulecia. Rok 1922 stanowił też początek powojennego przełamywania lodów w nauce: wizyta Bohra w Getyndze i Einsteina w Paryżu były pierwszymi zapowiedziami powrotu do międzynarodowej współpracy po latach pierwszej wojny światowej, o której dziś rzadko mówimy, bo niebawem wybuchła następna wojna, jeszcze bardziej brutalna i bezwzględna.

Heisenberg był asystentem Maksa Borna i okazał się najzdolniejszym spośród tamtych chłopaków, ich fizykę nazywano czasem Knabenphysik – fizyką chłopców. Rewolucje robią ludzie młodzi: zarówno Einstein, jak i twórcy mechaniki kwantowej, zaczynali jako dwudziestoparolatkowie, a po trzydziestce już raczej kontynuowali poprzednie osiągnięcia (czasem tak wielkie jak teoria grawitacji). Bohr zaczął wkrótce współpracować z Heisenbergiem, i to podczas stażu w Danii wiosną roku 1925 powstała pierwsza przełomowa praca z mechaniki kwantowej. Max Born, pełen wątpliwości, pisał do Einsteina: „Moi młodzi ludzie: [Werner] Heisenberg, [Pascual] Jordan, [Friedrich] Hund są znakomici. Muszę się czasem poważnie wysilić, aby nadążyć za ich rozważaniami. Wprost bajecznie opanowali tak zwaną zoologię termów [chodzi o termy atomowe, pojęcie z dziedziny spektroskopii, widma pierwiastków są skomplikowane, lecz ich szczegółowa znajomość okazała się kluczem do fizyki mikroświata]. Najnowsza praca Heisenberga, która się niebawem ukaże, wygląda bardzo mistycznie, ale jest prawdziwa i głęboka”. Praca Heisenberga była zupełnie samodzielna, miał on silną osobowość i umiał się przeciwstawić apodyktycznemu Bohrowi. Duński uczony był wprawdzie kimś w rodzaju duchowego ojca mechaniki kwantowej, ale jego wpływ na młodszych bywał szkodliwy: kilku naukowców miało za złe Bohrowi, że odwiódł ich od słusznych myśli, przez co przeszło im koło nosa jakieś odkrycie. Jednocześnie jednak Bohr troszczył się o wszystkich swoich pupilów i z nimi przyjaźnił, wspólnie pływali żaglówką, jeździli na nartach albo odbywali długie, nawet kilkudniowe spacery.

Gdy Hitler został kanclerzem Niemiec, Werner Heisenberg był już sławny. W grudniu tego roku otrzymał Nagrodę Nobla za rok 1932 razem ze swoimi dwoma konkurentami w tworzeniu mechaniki kwantowej: Erwinem Schrödingerem i Paulem Dirakiem, którzy podzieli się Nagrodą za rok 1933. Trzydziestodwuletni profesor był wielką nadzieją nauki niemieckiej, nie miał Żydów w rodzinie i czuł się gorącym patriotą, choć może z lekka brzydził go NSDAP-owski sztafaż. Orszak studentów z pochodniami przeszedł ulicami Lipska pod dom laureata. Heisenberg zdecydowany był nie wyjeżdżać z Niemiec, chciał też pracować dla ojczyzny, kultywując swoją dziedzinę, czyli fizykę teoretyczną. Okazało się to nieproste. W 1937 roku został publicznie zaatakowany w organie prasowym SS jako „biały Żyd”, tzn. ktoś, kto głosi idee fizyki żydowskiej wśród niemieckiej młodzieży. Porównano go nawet do Carla von Ossietzky’ego, działacza pokojowego i laureata pokojowej Nagrody Nobla, niebawem zamęczonego w Dachau. Do fizyki żydowskiej zaliczano oczywiście teorię względności, ale także mechanikę kwantową. W tym drugim przypadku kryterium było całkowicie polityczne (to ja decyduję, kto jest Żydem): akurat ani Heisenberg, ani Schrödinger, ani Dirac nie byli Żydami. Pół-Żydem był Niels Bohr, co wkrótce zaczęło mieć znaczenie. Przez następny rok Heisenberg starał się „oczyścić” z zarzutów, jego list dotarł do samego Heinricha Himmlera, który zarządził śledztwo. Badano w nim życie fizyka, sprawdzano m.in. czy aby nie jest homoseksualistą (ożenił się bowiem niedawno i dotąd miał raczej przyjaciół mężczyzn, choć homoseksualistą nie był) i dlaczego nie wykazywał entuzjazmu wobec nazistów. Przesłuchiwano go też w podziemiach SS w Berlinie naprzeciwko napisu: „Oddychaj głęboko i spokojnie”. W końcu dano mu spokój i uznano, że jest nieszkodliwym profesorem, trzymającym się swojej dziedziny i być może przydatnym reżimowi. Zaczęto go potrzebować szybciej, niż ktokolwiek sądził. Podjęto bowiem w Niemczech prace nad projektem uranowym, który miał prowadzić do zbudowania reaktora, a może także bomby nuklearnej. Najważniejszym uczonym pracującym nad tym projektem został w naturalny sposób Werner Heisenberg.

Niels Bohr między Elisabeth i Wernerem Heisenbergiem, z tyłu Victor Weisskopf (1937, pewnie przy okazji ślubu Heisenberga)

I właśnie jako szef prac nad uzyskaniem energii z uranu Heisenberg pojawił się w Kopenhadze. W zasadzie pracowano nad reaktorem, który mógłby wytwarzać w dalekiej przyszłości pluton. Ale możliwość bomby rysowała się nad horyzontem i, jak się zdaje, Heisenberg ciężko pracował, aby wykazać swoją przydatność dla ojczyzny. Nie przejawiał zbyt wiele inteligencji emocjonalnej: pojawił się w Kopenhadze jako przedstawiciel nauki niemieckiej, miał wygłosić wykład w Instytucie Kulturalnym Niemiec. Duńczycy, poddani okupacji (wprawdzie stosunkowo łagodnej) dużego sąsiada, niezbyt garnęli się do kontaktów z Niemcami, zwłaszcza że w praktyce chodziło o propagandę III Rzeszy. Na wykładzie nie pojawili się najważniejsi naukowcy duńscy. Heisenberg spotkał się natomiast z Bohrem prywatnie, odbyli też wspólny spacer, aby porozmawiać (obaj, słusznie, obawiali się podsłuchów). O swojej wizycie Heisenberg pisał do swej żony, Elisabeth:

Moja droga Li,
oto znowu jestem w tym tak dobrze mi znanym mieście, gdzie pozostała cząstka mego serca od tamtego czasu sprzed piętnastu lat. Kiedy usłyszałem znowu kuranty z wieży ratuszowej, zamknąłem okno mego hotelowego pokoju i coś ścisnęło mnie mocno w środku: wszystko było tak samo, jakby nic się na świecie nie zmieniło. To takie dziwne, napotkać własną przeszłość, to tak jakby spotkało się samego siebie. (…) Późnym wieczorem poszedłem pieszo pod jasnym rozgwieżdżonym niebem przez zaciemnione miasto do Bohra.
Bohr i jego rodzina mają się dobrze; on sam się trochę postarzał, jego synowie są już całkiem dorośli. Rozmowa szybko zeszła na ludzkie zmartwienia i nieszczęsne wypadki ostatnich czasów; w sprawach ludzkich konsensus jest oczywisty; w kwestiach politycznych stwierdziłem, że nawet tak wielki człowiek jak Bohr nie potrafi całkowicie rozdzielić myślenia, odczuwania oraz nienawiści. Ale może nie powinno się ich nigdy rozdzielać. (…)
Wczoraj znowu spędziłem cały wieczór z Bohrem; oprócz pani Bohr i dzieci była też młoda Angielka, która mieszka u nich, ponieważ nie może wrócić do Anglii. Trochę dziwnie jest rozmawiać teraz z Angielką. Podczas nieuniknionych rozmów politycznych, podczas których ja broniłem naturalnie i automatycznie naszego systemu, wyszła i pomyślałem, że w sumie to całkiem miłe z jej strony. – Dziś rano byłem na molo z [Carlem Friedrichem] Weizsäckerem, wiesz, tam przy porcie, gdzie znajduje się Langelinie. Teraz stoją tam na kotwicy niemieckie okręty wojenne, kutry torpedowe, krążowniki pomocnicze i tym podobne. Był pierwszy ciepły dzień, port i niebo ponad nim zabarwione bardzo jasnym lekkim błękitem. Dwa duże frachtowce odpłynęły w stronę Elsynoru; przypłynął węglowiec, prawdopodobnie z Niemiec, dwie łodzie żaglowe, pewnie takiej wielkości, jak ta, którą pływaliśmy dawniej wypływały z portu, pewnie na popołudniową wycieczkę. W pawilonie na Langelinie zjedliśmy obiad, wszędzie dokoła byli sami szczęśliwi i radośni ludzie, a przynajmniej takie robili na nas wrażenie. W ogóle ludzie tu wyglądają na szczęśliwych. Wieczorem na ulicach widzi się promieniejące szczęściem młode pary, idące na dancing, nie myślące o niczym innym. Trudno o coś bardziej odmiennego niż życie na ulicach tutaj i w Lipsku.
(…) Pierwszy oficjalny wykład jest mój, jutro wieczorem. Niestety, członkowie Instytutu Bohra nie przyjdą z powodów politycznych. Jeśli wziąć pod uwagę, że Duńczycy żyją bez jakichkolwiek restrykcji i żyją wyjątkowo dobrze, to zadziwiające jest, że wzbudzone tu zostało tak wiele nienawiści i strachu, iż nawet współpraca w dziedzinie kultury, kiedyś tak oczywista, teraz stała się prawie niemożliwa. (list z końca września 1941 roku)

Bohra doszły słuchy, jak Heisenberg opowiada, że okupacja Danii i Norwegii to przykra konieczność, w odróżnieniu od okupacji wschodniej Europy, która jest niezbędna, gdyż kraje te nie potrafią same się rządzić (było to przed Stalingradem). Z perspektywy Danii wyglądało to oczywiście inaczej, tym bardziej że należało się spodziewać dalszych kroków niemieckich władz okupacyjnych. Dotąd aresztowali oni komunistów, dwa lata później przyszła kolej na Żydów i Bohr sam musiał się ratować przeprawą przez Bałtyk (na szczęście znalazł się w niemieckiej ambasadzie przyzwoity człowiek, Georg Ferdinand Duckwitz, który uprzedził o zamiarach nazistów i praktycznie wszyscy Żydzi duńscy zostali w porę przetransportowani łodziami rybackimi do Szwecji). Heisenberg wspomniał Bohrowi, że pracuje nad energią z uranu i nawet spytał go, co należy zrobić z moralnego punktu widzenia. Nie chciał chyba jednak słuchać odpowiedzi. Elisabeth Heisenberg opowiadała, że mąż bardzo się bał, iż alianci zbudują broń nuklearną wcześniej niż Niemcy. Oczywiście reszta świata obawiała się czegoś dokładnie odwrotnego. Rozmowa zostawiła nieprzyjemny osad w pamięci Bohra. Ich dawna przyjaźń z Heisenbergiem nigdy już się nie odrodziła, choć po wojnie spotykali się czasem.

„Był tu Werner Heisenberg, fizyk teoretyczny z Niemiec, kiedyś wielki nazista. Z niego jest wielki uczony, lecz niezbyt przyjemny człowiek” – stwierdził Einstein w 1954 roku. Einstein najprawdopodobniej uważał za nazistów tych, którzy pracowali dla reżimu Hitlera bez względu na to, czy należeli do NSDAP albo innych organizacji nazistowskich.

Po wojnie uczeni niemieccy starali się przekuć swoje niepowodzenie w sukces moralny, lecz wydaje się, że po prostu (i na całe szczęście) zabrakło im wizji i możliwości technicznych.
David C. Cassidy wyliczył techniczne powody niepowodzenia ekipy Heisenberga:

  • Nie obliczyli masy krytycznej uranu 235: nie sądzili, że wystarczą kilogramy, nie tony
  • Nie umieli przeprowadzić separacji izotopów: metodę separacji gazów znał w Niemczech Gustav Hertz, ale jako nieczysty rasowo pracował w prywatnym laboratorium
  • Moderator: ekipa Heisenberga nie wiedziała, że nadaje się do tego grafit, ale musi zostać oczyszczony z domieszek boru, co zauważył Leo Szilard, Żyd oczywiście i emigrant. Z kolei ciężka woda z Norwegii nie docierała dzięki sabotażowi.
  • Reaktor Heisenberga składał się z płaskich płyt uranu w zbiorniku z ciężką wodą, co było wygodne do obliczeń teoretycznych, lecz marne jako rozwiązanie inżynierskie.
  • Projekt wymagał połączonej wiedzy i znakomitej organizacji: amerykańskie zasoby i poziom techniki oraz europejscy uczeni, przeważnie Żydzi albo ofiary antysemityzmu: Bohr, Oppenheimer, Feynman, Bethe, Wigner, von Neumann, Fermi, Peierls, Compton, Ulam, praktycznie jest to słownik wielkich fizyków
  • Przebieg wojny: po początkowych sukcesach zaczęły się niemieckie porażki i coraz trudniej było zmobilizować zasoby na projekt nierokujący natychmiastowych sukcesów

W sumie po stronie naukowo-inżynierskiej zemściła się na nazistach ich obłąkańcza ideologia antysemicka, rządy idiotów, którzy przez rok sprawdzali, czy Heisenberg się nadaje na profesora w ich Rzeszy.

Temperatura Hawkinga dla Oli

Ola jest biologiem, lecz ponieważ dużo się teraz wszędzie pisze o osiągnięciach Stephena Hawkinga, chciałaby się dowiedzieć, co to takiego promieniowanie Hawkinga. Praca Hawkinga miała takie wielkie znaczenie, ponieważ połączyła obszar klasyczny i kwantowy: teorię grawitacji Einsteina z kwantową teorią pola. Nikomu nie udało się uzyskać pełnej teorii łączącej obie dziedziny, fizyka podstawowa pozostaje rozdwojona, mimo pracy najlepszych uczonych przez ostatnie pół wieku.

Krótko w punktach:

  • Teorie fundamentalne w fizyce wiążą się z konkretnymi stałymi. Szczególna teoria względności wprowadziła prędkość światła jako przelicznik czasu na przestrzeń, jej wyrażenia zawierają więc c. Ogólna teoria względności Einsteina (teoria grawitacji) zawiera jeszcze stałą grawitacji G (tę z prawa powszechnego ciążenia). Z kolei mechanika kwantowa używa stałej Plancka h, jej relatywistyczna wersja, kwantowa teoria pola, używa zarówno h, jak i c. Formalnie można uznać, że zadanie stojące przed fizykami to zbudowanie teorii, która będzie korzystać ze wszystkich wymienionych stałych. Pojawiają się one w wyrażeniu na temperaturę Hawkinga, m.in. dlatego było to ważne osiągnięcie teoretyczne (1974 r.)

 

  • Grawitacja jest siłą przyciągającą: im mniejsze są rozmiary ciała, tym silniej działa (mówimy o ciałach niebieskich utrzymujących się w całości dzięki własnej grawitacji). Teoria grawitacji Einsteina przewiduje, że jeśli masę M uda się zmieścić w obszarze o promieniu mniejszym niż

R=\dfrac{2GM}{c^2},

gdzie G jest stałą grawitacyjną, a c prędkością światła, powstanie czarna dziura, czyli obiekt zbudowany z samej czasoprzestrzeni, otoczony horyzontem zdarzeń: wszystkie linie świata mogą tylko wchodzić do wnętrza, nic nie może z tego obszaru uciec. Promień ten dla Słońca równy jest 3 km, czyli gdyby całą materię Słońca zmieścić w takim małym obszarze, stałoby się ono czarną dziurą. Słońcu to nie grozi, ale masywnym gwiazdom owszem.

Diagram czasoprzestrzenny kolapsu (zapadania) grawitacyjnego (ze strony Johna Nortona, znakomitego źródła popularnej informacji)

  • Osiągnięciem Stephena Hawkinga było pokazanie, że czarne dziury nie są takie czarne – „ain’t so black” – jak to ujął sam odkrywca. Efekt jest czysto kwantowy i związany z tym, że próżnia kwantowa jest bardzo ożywiona i dynamiczna. Tworzą się w niej np. wirtualne pary elektron-pozyton. Jeśli dzieje się to w pobliżu horyzontu zdarzeń, jedna z cząstek może wpaść do dziury, a druga uciec na zewnątrz. Czarna dziura powinna promieniować. Skądinąd wiadomo, że czarną dziurę w pełni można scharakteryzować, podając jej masę, moment pędu i ładunek. Dla nieobracającej się czarnej dziury o zerowym ładunku zostaje tylko jeden parametr: masa. Jeśli czarna dziura ma promieniować, to charakterystyczna długość fali promieniowania powinna być związana z promieniem, bo nie ma innych parametrów o wymiarze długości:

\lambda\sim R=\dfrac{2GM}{c^2}.

Znaczek \sim znaczy tu dla nas: z dokładnością do czynników czysto liczbowych w rodzaju 4\pi itp. Fotony o długości fali \lambda mają energię

E=\dfrac{hc}{\lambda}.

Jest to wzór Plancka-Einsteina: stała h to stała Plancka, jej pojawienie się świadczy zawsze o tym, że mamy do czynienia z fizyką kwantową. Pozostaje przeliczyć typową energię na temperaturę. Związek między nimi daje stała Boltzmanna k_B:

E \sim k_B T.

Łącząc te wyrażenia, dostajemy następujący wzór na temperaturę promieniowania czarnej dziury:

T\sim \dfrac{hc^3}{k_{B}GM}.

Dokładne wyrażenie zawiera jeszcze czynnik 4\pi^2 w mianowniku. Istotne jest, że dziura powinna promieniować, i to jak ciało o temperaturze danej powyższym wyrażeniem. Dla mas spotykanych w astrofizyce promieniowanie to ma skrajnie niską temperaturę i nie ma mowy o jego wykryciu. Taka jest zapewne główna przyczyna, dla której Stephen Hawking nie otrzymał Nagrody Nobla. Fizycy wierzą w samo zjawisko, ale nikt go nie zaobserwował. Wypromieniowywanie energii zmniejsza masę czarnej dziury (E=mc^2!), a więc z czasem każda czarna dziura powinna wyparować. Ponieważ promieniowanie jest tak słabe, więc czas potrzebny do wyparowania jest gigantyczny w porównaniu z wiekiem wszechświata.

  • Skoro czarne dziury mają temperaturę to powinny też mieć entropię (pierwszy mówił o tym Jacob Bekenstein, potem obliczył ją Hawking).

dS=\dfrac{dMc^2}{T}\sim \dfrac{c^3}{G\hbar}RdR,

całkując dostaniemy wyrażenie na entropię:

\dfrac{S}{k_B}\sim \dfrac{A}{l_{P}^2}.

W ostatnim wyrażeniu A jest polem powierzchni horyzontu zdarzeń, a l_{P} to długość Plancka:

l_{P}=\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}}=1,6\cdot 10^{-35}\mbox{ m}.

Znaczy to, że czarna dziura ma jakieś mikrostany kwantowe: ich liczbę opisuje właśnie entropia. Czarne dziury nie są zatem, jak chciałby Einstein (a ściśle mówiąc, jego teoria) prostymi, niezłożonymi strukturami czasoprzestrzennymi, gdyż  mają mnóstwo stanów. Długość Plancka jest kilkadziesiąt rzędów wielkości poniżej skali dostępnej eksperymentom. Entropia wiąże się z informacją, można to symbolicznie pokazać na rysunku:

 

Źródło obrazka

Wygląda tak, jakby na powierzchni czarnej dziury mieściła się informacja o jej mikrostanach. Wynik ten jest dziwny, gdyż zazwyczaj entropia jest proporcjonalna do objętości ciała: entropia dwóch kawałków czegokolwiek jest równa sumie entropii każdego kawałka z osobna. A tu mamy proporcjonalność do pola powierzchni. Czasem w związku z tym mówi się o holografii: tutaj powierzchnia koduje stan układu czasoprzestrzennego, trochę tak, jak hologram dwuwymiarowy może zamknąć informację o przedmiocie w przestrzeni.

Od jakiegoś momentu zacząłem pisać \hbar\equiv h/2\pi, co nie ma znaczenia dla naszych oszacowań.

 

Proxima Centauri

Wszechświat jest niemal pusty: ogromne, niewyobrażalnie rozległe przestrzenie, oddzielają planety od siebie i Słońca, a jeszcze większe odległości dzielą Słońce od innych gwiazd. Światło ze Słońca na Ziemię podróżuje niecałe dziewięć minut, do najbliższej gwiazdy natomiast ponad cztery lata. Gwiazda ta, zwana stosownie Proxima Centauri, jest najmniejszym składnikiem układu potrójnego: dwie gwiazdy mniej więcej podobne do Słońca krążą dość blisko siebie, a w sporej od nich odległości krąży Proxima, czerwony karzeł o masie dziesięć razy mniejszej od Słońca. Całość widoczna jest gołym okiem na niebie południowym jako α Centauri, trzecia spośród najjaśniejszych gwiazd, za Syriuszem i Canopus. W roku 2016 odkryto, że Proxima ma planetę skalistą podobną do Ziemi, lecz znajdującą się bardzo blisko gwiazdy i przez to narażoną na wpływ cząstek wyrzucanych z jej powierzchni. Temperatura owej planety wynikająca z wielkości energii dostarczanej przez gwiazdę to jakieś -40ºC, jednak obecność atmosfery mogłaby podnieść temperaturę dzięki efektowi cieplarnianemu. W sumie więc, mimo że chodzi o nasze najbliższe sąsiedztwo, wiadomo niezbyt wiele. Istnieje projekt, Breakthrough Starshots, którego intencją jest wysłanie grupy miniaturowych bezzałogowych statków kosmicznych do układu α Centauri. Miałyby one osiągnąć prędkość 0,2c dzięki wykorzystaniu ciśnienia promieniowania. Z jednej strony jest to prędkość ogromna, tysiące razy większa niż do tej pory uzyskiwane. Z drugiej zaś, jest to niezbyt wiele, jak na potrzeby lotów międzygwiezdnych: całość misji będzie trwać i trwać przez wiele lat, a potem będzie trzeba latami oczekiwać na informacje.
Przyjrzyjmy się możliwościom między gwiezdnej podróży z punktu widzenia praw fizyki, nie przejmując się, jak można by praktycznie uzyskać prędkości podświetlne. Najszybsza teoretycznie podróż możliwa z ziemską załogą polegałaby na poruszaniu się ze stałym przyspieszeniem. Załoga odczuwałaby wtedy to przyspieszenie jako ciążenie. Z przyczyn fizjologicznych powinno ono być równe przyspieszeniu ziemskiemu g. Wyobraźmy więc sobie rakietę, która porusza się ze stałym przyspieszeniem. Według fizyki galileuszowej przebyta droga s byłaby równa

s=\dfrac{1}{2}gt^2,

gdzie t jest czasem podróży. Moglibyśmy przez połowę czasu przyspieszać, a przez drugą połowę czasu zwalniać. Wtedy t byłoby połową czasu podróży, a s – połową odległości. Gdy wyrazimy przyspieszenie ziemskie w wygodnych w tym zagadnieniu jednostkach, otrzymamy g\approx 1 (rok świetlny)/(rok)2. A więc w ciągu roku uzyskalibyśmy prędkość równą 1, czyli prędkość światła (=rok świetlny/rok). Fizyka galileuszowa nie nadaje się do tego zagadnienia, należy użyć teorii względności.
Stałe przyspieszenie w teorii względności oznacza, że nie prędkość v, lecz parametr prędkości \varphi jest proporcjonalny do czasu mierzonego w rakiecie \tau:

 \varphi=g\tau,

gdzie v= \mbox{tgh }\varphi. (spotkaliśmy go już wcześniej). Parametr \varphi przy małych prędkościach jest równy prędkości (w jednostkach c).

Ma on też bardzo ważną własność: w teorii względności to parametry prędkości się dodają, a nie prędkości jak u Galileusza. Można łatwo obliczyć, że czas mierzony przez obserwatora na Ziemi t oraz położenie rakiety x będą miały następującą postać:

\begin{cases}t=\dfrac{1}{g}\sinh g\tau\\ \\ x=\dfrac{1}{g}\cosh g\tau.\end{cases}

Położenie i czas początkowy wybrane zostały tak, żeby ładniej wyglądały na wykresie poniżej (jednostkami są lata i lata świetlne, przyspieszenie jest równe przyspieszeniu ziemskiemu).

Widzimy, że otrzymaliśmy hiperbolę, która w miarę upływu czasu zbliża się asymptotycznie do linii prostej. Fizycznie oznacza to, że prędkość rakiety zbliża się do prędkości światła. Jest to odpowiednik ruchu jednostajnie przyspieszonego w teorii względności. Dla małych czasów zależność jest kwadratowa: startujemy z wierzchołka hiperboli, a każdy wierzchołek regularnej krzywej ma kształt paraboli w przybliżeniu. Możemy zresztą sprawdzić, że krzywa jest hiperbolą, spełnia bowiem warunek:

x^2-t^2=\dfrac{1}{g^2}=\mbox{const}.

Znów można złożyć podróż z dwóch faz: przyspieszania i hamowania i będą one symetryczne. Czas obserwowany na Ziemi będzie zawsze mniejszy niż zasięg lotu, bo lot odbywa się z prędkością mniejszą niż prędkość światła. Przy długich czasach obie te wielkości będą się przybliżać do siebie. Zupełnie inaczej jednak zachowuje się czas mierzony w rakiecie: jest to parametr \tau. Przy krótkiej podróży oba czasy różnią się niewiele, przy długiej różnice stają się ogromne. Jest to nieco inny przypadek paradoksu bliźniąt.

(Czas na wykresach mierzony jest w latach, g=1 w naszych jednostkach)

Wynika z tego, że w czasie swego życia astronauci mogą zalecieć bardzo daleko (jeśli tylko technika na to pozwoli). Wystąpi jednak efekt podróży w czasie w przód: zanim wrócą, na Ziemi minie bardzo wiele lat i albo już zapanuje raj, albo zupełnie nie będzie do czego wracać.

Obliczenia.

Odstęp czasu własnego d\tau i czasu ziemskiego związane są równaniem:

d\tau^2=dt^2-dx^2=dt^2-v^2 dt^2=dt^2 (1-v^2)=\dfrac{dt^2}{\cosh^2 \varphi}.

Obliczając stąd dt, otrzymujemy

dt=\cosh \varphi d\tau.

Obliczmy jeszcze pochodną

\dfrac{dx}{d\tau}=\dfrac{dx}{dt}\dfrac{dt}{d\tau}=\mbox{ tgh }\varphi \cosh\varphi=\sinh\varphi.

Wstawiając \varphi=g\tau i całkując (sinus i cosinus zamieniają się przy tym miejscami), otrzymujemy wzory w tekście. Jest to przykład, że funkcje hiperboliczne mogą być całkiem przydatne, jeśli uczyliśmy się kiedyś zwykłej trygonometrii.

 

Międzynarodowa Wystawa Elektryczna w Paryżu (1881)

W 1831 roku Michael Faraday odkrył zjawisko indukcji elektromagnetycznej, tzn. sposób wytwarzania prądu elektrycznego ze zmiennego pola magnetycznego. Było to odkrycie ogromnej wagi teoretycznej, ujawniając nieznane dotąd powiązania w przyrodzie. Pytano nawet wtedy Faradaya, jaki jest pożytek z jego odkrycia. Odpowiedział tak, jak wcześniej Benjamin Franklin: A jaki jest pożytek z nowo narodzonego dziecka?

Pięćdziesiąt lat później, w roku 1881, sensacją Paryża stała się wielka międzynarodowa wystawa poświęcona wyłącznie elektryczności. Zwiedziło ją od sierpnia do listopada ponad 750 000 widzów. Znanym i od lat powszechnie stosowanym wynalazkiem był telegraf, produkcja rozmaitych urządzeń z nim związanych i łączenie coraz to nowych miejscowości liniami telegraficznymi stanowiło impuls do powstania całego przemysłu. Pod koniec lat siedemdziesiątych pojawiły się jednak zupełnie nowe zastosowania. Jednym z nich był telefon, opatentowany w roku 1876 przez Alexandra Grahama Bella i szybko zdobywający sobie popularność. W roku 1881 w Paryżu było około trzystu abonentów tej usługi. Dzięki wystawie wynalazek zdobył ogromną popularność, pokazywano tam m.in. „teatrofon”, tzn. muzyczną transmisję teatralną na żywo, której można było słuchać przez słuchawki. Powszechnie zachwycano się znakomitą jakością dźwięku, pozwalającą rozpoznać artystów po głosie, a nawet usłyszeć szmer na widowni.

Telefony wykorzystywały istniejące już linie telegraficzne, mogły więc stosunkowo szybko się rozwijać. Gości paryskiej wystawy woził elektryczny tramwaj konstrukcji Siemensa, ilustrując jeszcze jedną z możliwości nowej technologii.

Zaprezentowano też różne rodzaje lamp elektrycznych. Coraz szerzej wprowadzano lampy łukowe, w których źródłem światła było ciągłe wyładowanie elektryczne pomiędzy dwiema elektrodami węglowymi. Oślepiająco jasne z bliska, nie nadawały się one do zastosowań domowych, mogły jednak służyć do oświetlania miejsc publicznych. Trzy lampy Siemensa na wystawie w Paryżu zdołały oświetlić teren pół hektara, dając światło niczym podczas pełni księżyca. Chwalono oświetlenie tego rodzaju w teatrach: powietrze było czystsze i nie było tak duszno jak przy oświetleniu gazowym. Często łączono oświetlenie gazowe z elektrycznym: w Operze Paryskiej oprócz gazowych kandelabrów umieszczono też plafony z kręgami „elektrycznych diamentów”. Jednym z popularnych wtedy rozwiązań były tzw. świece Jabłoczkowa; w lampach tych elektrody węglowe ustawione były równolegle do siebie, dzięki czemu spalając się podczas świecenia, skracały się równomiernie i łuk elektryczny był stale tej samej długości. Umieszczano je w matowych kloszach, by nie raziły wzroku.

W latarniach zastosowanych w Paryżu i Londynie jedna świeca Jabłoczkowa starczała na półtorej godziny, instalowano je w zestawach po sześć w jednej latarni, otrzymując w ten sposób dziewięć godzin świecenia.
Innym wynalazkiem oświetleniowym, który pojawił się niemal jednocześnie w różnych wersjach była żarówka. Amerykanie Thomas Alva Edison i Hiram S. Maxim oraz Anglik sir Joseph Wilson Swan zaprezentowali w latach 1879-1880 swoje odmiany wynalazku, trwał wyścig w ulepszaniu technologii oraz w ich opatentowywaniu.

Głównym trudnością było wytworzenie cienkiego włókna, które mogło się równomiernie żarzyć przez dłuższy czas. Początkowo stosowano włókna węglowe, później zaczęto używać metali takich, jak tantal, osm czy wolfram.

Etapy produkcji włókna węglowego z bambusa japońskiego oraz produkcji samej żarówki, najlepsze egzemplarze świeciły wówczas do 1200 godzin (technologia Th. A. Edisona)

Żarówki dawały żółtoczerwone, niezbyt silne światło odpowiednie do zastosowań domowych. Rosnące zapotrzebowanie na prąd elektryczny wymagało budowy elektrowni i linii przesyłowych, z początku niewielkich i na skalę lokalną. Można było oczekiwać, że nowa technologia rozpowszechni się i stworzy cały rynek związany z produkcją oraz instalacją urządzeń: od generatorów i mierników, przez okablowanie i produkty końcowe w rodzaju lamp czy silników elektrycznych. Duże firmy europejskie i amerykańskie starały się rozwijać całe zespoły uzupełniających się urządzeń, tak aby dotrzeć do odbiorcy końcowego i obniżyć koszty jednostkowe. Nawet Edison myślał jednak zbyt zachowawczo, ponieważ tworzył urządzenia na prąd stały, których można było używać niedaleko od miejsca wytworzenia prądu. Chciał elektryfikować dzielnice, co w pierwszych latach było nowatorskie, ale potem okazało się, że opłaca się budowa wielkich sieci i oddalonych od siebie dużych elektrowni. Wygrał prąd zmienny, który można transformować, zmniejszając straty podczas przesyłania.

Generator Edisona z Wystawy Paryskiej (moc 120 KM zapewniała maszyna parowa, masa urządzenia 17 t, wirowało 325 obrotów na minutę, pozwalając na pracę 1000 żarówek jednocześnie).

Jak czuli się ludzie, stając po raz pierwszy wobec tak wielkich przeobrażeń świata wokół nich? Henry Adams, amerykański historyk, potomek dwóch prezydentów, opisał swoje wrażenia z Wystawy światowej w Paryżu w roku 1900:

„Aż do zamknięcia Wielkiej Wystawy w listopadzie roku 1900, Adams wciąż ją odwiedzał, boleśnie pragnąc wiedzy, niezdolny jednak jej znaleźć. Pragnąłby wiedzieć, ile potrafiłby z niej zrozumieć najlepiej poinformowany człowiek na świecie. Kiedy tak rozmyślał nad chaosem, przypadkiem spotkał Langleya, który go po niej oprowadził. Na życzenie Langleya Wystawa zrzuciła zbędne szatki i ukazała nagą skórę, ponieważ Langley wiedział, co należy studiować, a także dlaczego i w jaki sposób, podczas gdy Adams mógłby równie dobrze stać całą noc na dworze i gapić się na Drogę Mleczną. A przecież Langley nie powiedział niczego nowego ani nie nauczał niczego, czego by się nie można było nauczyć trzysta lat temu od lorda Bacona. (…) Najbardziej zdumiewającą cechą edukacji jest to, jak wielką ilość ignorancji udaje się w niej zmieścić pod postacią martwych faktów. Adams oglądał większość z owych magazynów sztuki zwanych muzeami, a jednak nie wiedział, jak patrzeć na eksponaty artystyczne z roku 1900. Z głęboką uwagą studiował Karola Marksa i jego doktryny dotyczące historii, lecz nie potrafił ich zastosować w Paryżu. Langley z łatwością wielkiego mistrza eksperymentu odsuwał na bok każdy przedmiot, który nie odsłaniał nowego zastosowania siły, a więc w naturalny sposób odrzucał każde niemal dzieło sztuki. Podobnie jak ignorował niemal wszystkie produkty przemysłowe. Prowadził swego ucznia prosto do sił. Głównym przedmiotem jego zainteresowania były nowe silniki, które mogłyby znaleźć zastosowanie w jego statkach powietrznych i uczył Adamsa zadziwiających subtelności o nowym silniku Daimlera i automobilu, który od 1893 roku, przy szybkości 100 kilometrów na godzinę, stał się koszmarem niemal tak samo destrukcyjnym jak tylko o dziesięć lat od niego starszy elektryczny tramwaj i który mógł stać się równie straszny jak lokomotywa parowa, która była niemal w tym samym wieku co Adams.

Następnie pokazał swemu studentowi wielką halę silników, wyjaśniając mu, jak niewiele sam wie na temat elektryczności oraz wszelkich innych sił, a nawet na temat Słońca, które wypluwa z siebie trudną do pojęcia ilość ciepła i które według jego najpewniejszej wiedzy mogłoby jej wypluwać mniej albo więcej w dowolnym czasie. Dla niego silnik był tylko pomysłowym kanałem służącym do przekazania gdzie indziej ciepła utajonego w paru tonach kiepskiego węgla schowanego w brudnej maszynowni starannie ukrytej przed wzrokiem. Dla Adamsa wszakże silnik stał się symbolem nieskończoności. W miarę jak przywykał do wielkiej galerii maszyn, zaczynał postrzegać czterdziestostopowe silniki jako siłę moralną, taką jaką wczesnym chrześcijanom wydawał się krzyż. Nawet glob ziemski robił mniejsze wrażenie w swoim staromodnym miarowym obrocie rocznym czy dziennym niż to ogromne koło obracające się na wyciągnięcie ręki z zawrotną szybkością i niemal bezgłośnie, buczące swoje ledwie słyszalne ostrzeżenie, by trzymać się o włos dalej z respektu dla jego mocy, lecz tak cicho, że nie zbudziłoby dziecka śpiącego na jego obudowie. W końcu zaczynało się do niego modlić, jak uczył odziedziczony instynkt, taką postawę powinien człowiek przyjąć wobec milczącej i nieskończonej siły. Wśród tysięcy symboli ostatecznej energii silnik nie był może znakiem najbardziej ludzkim, lecz z pewnością najbardziej ekspresyjnym”.

Samuel Pierpoint Langley był fizykiem, astronomem i jednym z pionierów lotnictwa.

Czy Einstein zapowiadał się na geniusza? (1879-1894)

„Nie mam żadnych szczególnych uzdolnień. Cechuje mnie tylko niepohamowana ciekawość”.
Einstein napisał te słowa w liście do swego przyszłego biografa Carla Seeliga w roku 1952, a więc mając już przeszło siedemdziesiąt lat i spoglądając wstecz na całe minione życie. Nie sądzę, by powodowała nim skromność, raczej przedstawił trzeźwy osąd własnego talentu. Przez te lata znał wielu ludzi bardzo wybitnych, niektórych wręcz genialnych, miał więc skalę porównawczą. Nie był dużym dzieckiem, jakim się go – zwłaszcza dawniej – przedstawiało: oto geniusz zachowujący dziecięcą prostotę w świecie dorosłych, ktoś, kto potrafi, nic sobie nie robiąc ze społecznych ani filozoficznych konwencji, spojrzeć inaczej na kwestie tak fundamentalne, jak czas i przestrzeń. Dziecko z baśni Andersena, które woła: król jest nagi.

Rozwijał się dość szybko, nie miał jednak nic z wunderkinda. Mówił powoli, z rozwagą, zastanawiał się nad swymi odpowiedziami, nie miał powierzchownej łatwości i szybkiego refleksu, które często brane są za oznaki zdolności. Dorastał w zamożnej rodzinie. Dom w Monachium, niedaleko za bramą miejską, otoczony ogrodem i wygodny, stanowił miejsce jego pierwszych zabaw. Nawet zabawki były po mieszczańsku solidne: kamienne klocki firmy Anker, miniaturowa maszyna parowa podarowana przez wuja. Zadziwił go jednak kompas, którego igła uparcie trzymała się jednego kierunku, podlegając jakiejś niewidzialnej sile – dobry początek dla kogoś, kto całe życie poświęci teorii pola.

Grająca na fortepianie matka zauważyła, że ma słuch muzyczny. Zaczął więc przychodzić nauczyciel gry na skrzypcach, chłopiec uczył się, choć bez zapału. W szkole nie błyszczał, ale nauka przychodziła mu łatwo. Katolicka szkoła podstawowa wpłynęła na Alberta w nieoczekiwany sposób. Musiał tam uczyć się religii, szło mu to na tyle dobrze, że podpowiadał nawet katolickim kolegom. Jego rodzice, choć niezwiązani z religią i nie uczęszczający do synagogi, poczuli się w obowiązku zapewnić Albertowi dla równowagi lekcje judaizmu. W rezultacie Albert stał się niezwykle pobożny, przestał jeść wieprzowinę, układał hymny do Pana, które śpiewał sobie po drodze do szkoły. Tolerancyjni rodzice nie bardzo wiedzieli, co z tym począć. Ujawniła się w ten sposób istotna różnica między Albertem a jego ojcem, Hermannem, który lekceważąco wypowiadał się o żydowskiej religii, traktując ją jako nagromadzenie przesądów. Być może doszła tu do głosu różnica pokoleniowa: Hermann pragnął asymilacji i zatarcia różnic kulturowych, Albert natomiast wcześnie zdał sobie sprawę, że jako Żyd skazany jest w niemieckim społeczeństwie na alienację – zawsze bowiem będzie kimś obcym. Nie zetknął się w tym czasie z poważniejszymi przejawami antysemityzmu, nauczyciele starali się zachować neutralność, choć chłopcy, zwłaszcza w szkole podstawowej, przynosili z domu niechęć i lekceważenie wobec Żydów, objawiające się dokuczaniem i zaczepkami. Nie można wykluczyć, że religijność Alberta miała w sobie także motyw obronny. Nie tylko nie zaczął wstydzić się swego pochodzenia, lecz wręcz przeciwnie, pragnął je zaakcentować.

Wiara Alberta nie dotrwała do bar micwy, nim skończył trzynaście lat, jego nową wiarą stała się nauka. Zainteresowania naukowe Alberta jeszcze bardziej oddaliły go od szkoły. Uczęszczał teraz do klasycznego Gimnazjum Luitpolda. Rodzice chcieli, aby zdobył najlepsze wykształcenie. W ówczesnej Europie najbardziej prestiżowymi szkołami były gimnazja klasyczne, w których połowę czasu zajmowały łacina i greka. Wierzono, że czas spędzony nad językami klasycznymi służy rozwojowi umysłu, stanowiąc swego rodzaju gimnastykę mózgu. Ponadto warstewka kultury klasycznej pozwalała od razu poznać, kto przeszedł edukację tego rodzaju. „Najbardziej zdumiewającą cechą edukacji jest to, jak wielką ilość ignorancji udaje się w niej zmieścić pod postacią martwych faktów” (Henry Adams). Jak się zdaje, jedyne co Albert zawdzięczał szkole to lekcje niemieckiego w szóstej klasie gimnazjum. Zainteresowanie Goethem zostało mu na całe życie. Nie nauczył się natomiast w szkole niczego z matematyki i fizyki.

Zwrot w kierunku nauki nastąpił pod wpływem osobliwej przyjaźni Alberta z przychodzącym do nich na obiady studentem medycyny z Polski, Maksem Talmudem. Chłopiec zapalił się do materializmu filozoficznego w stylu Georga Büchnera (nb. lekarza), który głosił, iż istnieje tylko siła i materia. Dzięki popularnym książkom Aarona Bernsteina zapoznał się z podstawami chemii, astronomii, fizyki, biologii. Bernstein, syn rabina z Gdańska, głosił pochwałę ludzkiego rozumu, nie był jednak ateistą jak Büchner.

Bardzo ważnym doświadczeniem Alberta stało się zetknięcie z geometrią. Częściowo dokonało się to dzięki rozmowom ze stryjem Jakobem, inżynierem, częściowo wpływ miał Max Talmud, przynosząc chłopcu odpowiednie książki. Zanim jeszcze ujrzał pierwszy podręcznik geometrii, udało mu się wykazać twierdzenie Pitagorasa.

Zauważył (po dłuższym zastanawianiu się nad tym problemem), że wysokość opuszczona z kąta prostego dzieli trójkąt na dwa mniejsze i podobne trójkąty. (Pojęcie podobieństwa trójkątów uznał za oczywiste. Zatem ich pola powierzchni są proporcjonalne do kwadratu długości przeciwprostokątnych, czyli kc^2=ka^2+kb^2, gdzie k jest wspólnym współczynnikiem proporcjonalności). Tym, co zrobiło na Einsteinie ogromne wrażenie, były nie tyle rozmaite twierdzenia, ile sam fakt, że można owe twierdzenia udowodnić, wychodząc z pewnych postulatów. Chodziło zatem o metodę postępowania, nie wyniki. Pierwszy swój podręcznik geometrii opisywał potem Einstein jako „świętą książeczkę”. Dziś zaniedbuje się nauczania geometrii, niewielu więc uczniów ma podobne doświadczenia. Klasyczna geometria nadaje się zresztą nadzwyczajnie do tego, by pokazać na czym polega prawdziwa matematyka, ponieważ już na poziomie szkolnym łatwo znaleźć zadania, które mogą stanowić wyzwanie intelektualne, a zarazem możliwe do rozwiązania bez wielkiej wiedzy i szczególnych technik.

Geometria Euklidesa była pierwszą historycznie dziedziną sformułowaną w sposób aksjomatyczny. Pewność takiej metody dedukcyjnej robiła wrażenie na wielu uczonych w przeszłości. Wielu też starało się tę metodę naśladować w innych dziedzinach, np. Kartezjusz albo Newton. Albert dopiero z czasem zdał sobie sprawę, że aksjomaty geometrii nie są bynajmniej oczywiste, tak samo jak i jej rezultaty. Przyjmując pewien zestaw aksjomatów, otrzymujemy teorię pewnego typu – nie ma jednak żadnych przesłanek, oprócz logicznej niesprzeczności, aby przyjąć ten zestaw aksjomatów raczej niż inny. Gdy zajmujemy się matematyką, kryterium wyboru może stanowić to, czy powstała teoria jest ciekawa, czy wiąże się z innymi teoriami matematycznymi itd. Fizyk musi wybrać postulaty, które nie prowadzą do sprzeczności z doświadczeniem.

Albert robił szybkie postępy w matematyce. W wieku piętnastu lat przerobił już podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego H.B. Lübsena (jego autor sam był samoukiem, który okazał się dobrym nauczycielem). Einstein umiał dużo, jak na ówczesnego nastolatka, w przyszłości miał się nauczyć jeszcze więcej. Nie to jednak przesądziło o jego późniejszych osiągnięciach. Najważniejsza była ciekawość w połączeniu z upartym charakterem.

Zetknął się wcześnie z najnowocześniejszą wtedy techniką: elektrycznością. Stryj i ojciec prowadzili do spółki firmę produkującą generatory elektryczne, fabryka była nieopodal domu, Albert bywał tam często, wiedział, jak działają różne urządzenia, widział na ich przykładzie, jak niewidzialne siły pola elektromagnetycznego można przesyłać przewodami, jak można ich energię wykorzystać do oświetlenia albo do rozmów telefonicznych. Rozumiał technikę, ale nie upajał się jej osiągnięciami, dość szybko zauważył, że interesują go zasady działania tych urządzeń, a nie ich praktyczna realizacja czy ewentualne zyski. Ciekawość Alberta kierowała się ku fundamentalnym wyjaśnieniom, miała charakter teoretyczny.
Po rozczarowaniu religijnym, kiedy zrozumiał, że biblijne przypowieści nie mogą być prawdziwe w sensie dosłownym i że istniejące religie stanowią przedłużenie władzy państwowej, służąc raczej spętaniu jednostek niż ich wyzwoleniu, zaczął krytycznie obserwować wszystkich wokół: rodziców, nauczycieli gimnazjalnych. Jego cierpki krytycyzm potrafił ranić, a jego pewny siebie uśmieszek doprowadzał niektórych do wściekłości. Dawał odczuć, że jego prawdziwy świat znajduje się gdzie indziej i że jego królestwo niewiele ma wspólnego z codziennymi zabiegami i staraniami ludzi, którzy nie potrafią go dosięgnąć. Nie wiemy, kiedy dokładnie postanowił, że nie zostanie inżynierem – czy było to przed, czy raczej wskutek niepowodzeń ojca w interesach. Mała fabryczka braci Einstein nie miała szans w konkurencji z gigantami takimi, jak Siemens czy AEG (kapitał 20 milionów marek).

Po kolejnym niepowodzeniu bracia postanowili przenieść się do Włoch. Albert miał zostać w Monachium: czekały go jeszcze trzy lata gimnazjum, dopiero wtedy mógł zdać maturę i myśleć o uniwersytecie.

Ci, którzy go znali, pamiętali jego śmiech przypominający szczekanie foki. Philipp Frank pisał: „[Einstein] widział sprawy codzienne w nieco komicznym świetle i coś z tego nastawienia wyzierało z jego słów; jego poczucie humoru rzucało się w oczy. Kiedy ktoś powiedział coś zabawnego, intencjonalnie albo niechcący, Einstein reagował bardzo żywiołowo. Wydobywający się z głębi jego jestestwa śmiech był jedną z jego charakterystycznych cech, które natychmiast zwracały uwagę. Dla ludzi dookoła był ów śmiech źródłem radości i ożywienia. Czasem jednak dawało się w nim wyczuć krytycyzm, który nie każdemu przypadał do gustu. Ludziom o wysokiej pozycji społecznej niezbyt się podobało, że Einstein uważa ich świat za śmiechu warty w porównaniu z wielkimi problemami, którymi sam się zajmuje. Jednak ludzie o niższej pozycji społecznej czerpali zawsze przyjemność z obcowania z Einsteinem. Jego sposób prowadzenia rozmowy sytuował się gdzieś między dziecinnymi żartami a gryzącym szyderstwem, tak że niektórzy nie wiedzieli, czy powinni się śmiać, czy obrazić. (…) Toteż wrażenie, jakie Einstein wywierał na otoczeniu, oscylowało między dziecinną wesołością a cynizmem”.

Albert zamknął się w swoim świecie fizyki, matematyki, wyobraźni i pojęć, nauczył się też skutecznie go chronić, zaczął prowadzić coś w rodzaju podwójnego życia. W tym ważniejszym, niedostępnym dla innych, rządziła ciekawość, inżynierska dociekliwość: jak to jest zbudowane i jak działa. Jego ciekawość skierowana była wszakże w stronę, by tak rzec, euklidesową: w stronę poszukiwania zasad, na których opiera się świat. Zapewne ta ogromna ciekawość sprawiła, że spędził lata i dziesiątki lat na zastanawianiu się nad fizyką. Kiedy mówimy o uporze albo wytrwałości, akcentujemy cechy charakteru ważne, ale w jakiś sposób wtórne. W jego przypadku wytrwałość była dopełnieniem ciekawości, była napędzana kolejnymi pytaniami, jakie się wyłaniały w miarę znajdywania odpowiedzi na poprzednie pytania. Jego siostra Maja zapamiętała, że w dzieciństwie Albert cierpliwie budował domki z kart, osiągające nawet czternaście kondygnacji. Jakby już wtedy ujawniła się jego wielka cierpliwość oraz pogodna łatwość burzenia i zaczynania od nowa.

A co ze światem ludzi i jego wymaganiami? Wszyscy musimy w jakimś stopniu brać udział w jego oczekiwaniach i rytuałach. Albert nie nadawał się na buntownika, był na to zbyt racjonalny. Nauczył się jednak chronić swą wewnętrzną niezależność – i ta umiejętność odegrała wielką rolę w jego życiu naukowym. Pierwszą oznaką owej niezależności stał się banalny konflikt szkolny. W siódmej klasie gimnazjum pojawił się nowy wychowawca, doktor Joseph Degenhart. Podobnie jak inni nauczyciele w tym gimnazjum był człowiekiem dobrze wykształconym. Uczył greki, do której Albert nie pałał wielkim entuzjazmem, jak zresztą do wszelkiej nauki pamięciowej. Miał on bowiem zawsze tę wadę inteligentnych ludzi, że trudno go było zmusić do robienia czegoś, co uważał za bezsensowne. Nie znamy szczegółów konfliktu między Degenhartem i Einsteinem. Prawdopodobnie wychowawca starał się klasie zaszczepić współzawodnictwo w nauce greki, chciał, by uczniowie w zdyscyplinowany sposób podążali za nim, niczym za swoim dowódcą – porównanie bynajmniej nie nonsensowne – szkoły starano się zmilitaryzować, zaprowadzając dyscyplinę i ćwicząc w cnocie posłuszeństwa wobec przełożonych. Degenhart napotkał opór ze strony Alberta. Uczeń nie miał zamiaru spędzać zbyt wiele czasu nad greką, traktował ten przedmiot jako zło konieczne. Zirytowany Degenhart pozwolił sobie na publiczną uwagę, że z Einsteina nic nie będzie. Piętnastolatek odwzajemnił mu się milczącym szyderstwem. Ta psychomachia trwała jakiś czas, aż w końcu oznajmiono mu, że powinien zmienić szkołę, gdyż sama jego obecność podrywa autorytet profesora wobec klasy. Wkrótce Einstein zdobył zaświadczenie lekarskie, iż powinien odpocząć z powodu wyczerpania nerwowego i opuścił na zawsze szkołę oraz Monachium. Nie chciał mieszkać w Niemczech, nie chciał być dłużej obywatelem królestwa Wirtembergii (jakim był z racji urodzenia w Ulm) i nie chciał służyć w niemieckiej armii. „Każdy, komu sprawia przyjemność maszerowanie w szeregu przy dźwiękach muzyki, już przez to samo wywołuje we mnie uczucie pogardy; jedynie przez przypadek obdarzono go wielką mózgownicą, gdyż mlecz pacierzowy wystarczyłby najzupełniej na jego potrzeby”. Nie przypuszczał wtedy, iż kiedykolwiek wróci do Niemiec, choć wiedział przecież, ile znaczy niemiecka nauka i niemieckie uniwersytety. W szkolnych latach Einsteina na uniwersytecie w Monachium wykładał najwybitniejszy ówczesny fizyk, Ludwig Boltzmann, co oczywiście nie miało jeszcze żadnego znaczenia dla ucznia gimnazjum. Jednak już za niewiele lat Einstein miał twórczo rozwinąć prace Boltzmanna. Psychologowie podają regułę dziesięciu lat: tyle mniej więcej trzeba, aby ktoś zdolny doszedł do mistrzostwa w trudnej wyspecjalizowanej dziedzinie, jak gra w szachy, gra na instrumencie albo fizyka. Albert Einstein był na początku swojej dekady pogłębiania wiedzy i odkrywania jej dla siebie.

Porzucenie szkoły dwa i pół roku przed maturą nie było rozważne, decyzję podjął sam, nie uprzedzając o niej rodziców. Ale tak samo mało „rozważne” były niemal wszystkie prace Einsteina. Nigdy nie dążył do łatwo osiągalnego celu. Nie zadowalały go kompromisy i częściowe sukcesy, tak jak nie przejmował się tym, co inni sądzą na temat jego osoby czy pracy. Właśnie ta silna osobowość w połączeniu z ciekawością zapowiadała w nim kogoś nietuzinkowego. W owym czasie ani on sam, ani nikt inny nie mógł przepowiedzieć, jak bardzo niezwykłe będzie twórcze życie Einsteina. „Wielkość naukowa jest w zasadzie kwestią charakteru. Najważniejsze to nie iść na zgniłe kompromisy”.