Parabola, sounding-board i piękno geometrii

Wielka Brytania ma do dziś znakomitą tradycję uprawiania nauki za stosunkowo niewielkie pieniądze. Royal Society i inne uczone towarzystwa były długo organizacjami zrzeszającymi amatorów na równi z zawodowcami. Sprawiało to, że rozmaite dziwne eksperymenty czy obserwacje osobliwości sąsiadowały w angielskich czasopismach z rzetelnymi osiągnięciami profesjonalistów. Przynajmniej jednak za dziwactwa te rząd Jego/Jej Królewskiej Mości nie musiał wypłacać wysokich apanaży czy to w formie pensji, czy grantów na dogłębne studia nad niczym.

W 1826 roku zbudowano w Attercliffe koło Sheffield niewielki kościół. Okazało się, że występował w nim silny pogłos i choć dźwięk mowy pastora był dobrze słyszalny, to zamazany i niewyraźny. Standardowym sposobem wzmacniania dźwięku idącego od ambony do wiernych była drewniana płyta, sounding-board, umieszczana zwykle poziomo nad amboną. Odbijała ona część dźwięku w stronę publiczności. Określenie sounding-board do dziś zresztą funkcjonuje w angielszczyźnie, lecz głównie w sensie przenośnym. W Attercliffe tego rodzaju rozwiązanie nie pomogło. Toteż wielebny John Blackburn, który studiował w St. John’s College w Cambridge, sięgnął po rozwiązanie znane z geometrii od czasów starożytnych. Wiadomo, że paraboloida – powierzchnia powstająca przy obrocie paraboli wokół osi – ma własność ogniskowania promieni w jednym punkcie. Może więc także służyć jako reflektor, gdy w ognisku umieścimy źródło naszych promieni. John Blackburn obudował więc ambonę w taki sposób, że mówca znajdował się w jej ognisku, a dźwięk rozchodził się na wnętrze kościoła.

Efekty były znakomite, wielebny Blackburn opisał ze szczegółami swą konstrukcję w „The Philosophical Magazine” w roku 1829. Podobnego rozwiązania używa się do dziś, np. w mikrofonach parabolicznych zbierających dźwięk z jakiegoś kierunku i umożliwiających słuchanie rozmów ze sporej odległości.

512px-parabolicmicrophone

Innych przykładów dostarczają wszelkie teleskopy optyczne i radiowe, tu np. gigantyczny radioteleskop w Arecibo, za pomocą którego Aleksander Wolszczan odkrył pierwsze planety poza Układem Słonecznym (a macierzysty UMK zerwał z nim współpracę, bo uczony kiedyś spotykał się z jakimiś agentami SB – co godne i sprawiedliwe, a także słuszne i zbawienne – wszak mamy tylu uczonych, którzy z nikim się nie spotykali oraz niczego nie odkryli).

telescopio_arecibo_thumb

Z jakichś powodów, znanych wyłącznie wysokim komisjom ds. programów nauczania, nie uczy się w szkole nic ponadto, że parabola to wykres funkcji kwadratowej, np. y=ax^2. W sposób naturalny pojawia się ta krzywa w rzutach (gdy opór powietrza jest do pominięcia). Np. w rzucie poziomym ciało przesuwa się poziomo wciąż z tą samą prędkością początkową v, spadając jednocześnie pionowo z przyspieszeniem ziemskim g. Mamy więc dwa równania: w kierunku poziomym x położenie jest proporcjonalne do czasu, a w kierunku pionowym y – do kwadratu czasu (oś y kierujemy w dół).

\left\{ \begin{array}{l}  x=vt\\  y=\dfrac{gt^2}{2} \end{array} \right.\quad \Rightarrow \quad y=\left(\dfrac{g}{2v^2}\right)x^2=ax^2

Dokładnie tyle potrafił udowodnić Galileusz na temat rzutów (miał techniczny problem z rzutami ukośnymi, nie było jeszcze geometrii analitycznej). Rzut poziomy można zilustrować pokazem, przedstawiony zabytkowy przyrząd pochodzi z Teylers Museum w Haarlemie.

large1

Kulka stacza się po łuku z lewej strony i następnie przelatuje przez kolejne pierścienie rozmieszczone zgodnie z równaniem paraboli.

Pokażemy, że kształt paraboliczny może ogniskować promienie w jednym punkcie. Starożytni, którzy nie znali algebry, definiowali parabolę inaczej: jest to zbiór punktów równoodległych od pewnej zadanej prostej (fioletowa na rysunku)oraz od pewnego punktu F.

parabola

Łatwo pokazać, jak można konstrukcyjnie wyznaczyć punkty paraboli. Zaczynamy od P’. Wystawiamy z tego punktu prostopadłą do naszej poziomej prostej (zwanej kierownicą) oraz budujemy dwusieczną odcinka FP’: XP. Szukany punkt P paraboli leży na przecięciu obu prostych i spełnia warunki definicji paraboli. Z konstrukcji tej wynika też, że kąty FPX oraz XPP’ są równe, więc promień biegnący pionowo z góry do P odbije się w kierunku F. Ponieważ dotyczy to każdego promienia biegnącego wzdłuż osi, więc wszystkie one przetną się w F (zwanym ogniskiem).

Łatwo też pokazać, że tak wyznaczona krzywa spełnia algebraiczne równanie paraboli. Niech ognisko znajduje się w punkcie (0,f) układu współrzędnych, kierownica zaś ma równanie y=-f (na rysunku f=0,25). Równe odległości punktu (x,y) od kierownicy i od ogniska dają równanie

(y+f)^2=x^2+(y-f)^2 \Rightarrow y=\dfrac{x^2}{4f}.

Istnieje jeszcze inna definicja paraboli jako przecięcia stożka. Wyobraźmy sobie stożek, bierzemy płaszczyznę styczną do jednej z jego tworzących SR, a następnie przecinamy stożek inną płaszczyzną równoległą do tej pierwszej. Krzywa powstająca na przecięciu płaszczyzny z powierzchnią stożka będzie parabolą.

parabola_conic

Z rysunku odczytać możemy równanie krzywej. Zaczynając od okręgu na dole, mamy x^2=\mbox{PM}\cdot \mbox{MR} (jest to znane twierdzenie nt. wysokości trójkąta prostokątnego (u nas PLR). Ze środkowego rysunku (obie płaszczyzny są prostopadłe do rysunku) widać, że długość MR nie zależy od tego, na jakiej wysokości przetniemy stożek płaszczyzną prostopadłą do jego osi. Natomiast długość PM z twierdzenia Talesa jest proporcjonalna do y, mamy więc y\propto x^2. Ta ostatnia definicja sugeruje związek paraboli z innymi możliwymi przecięciami stożka: elipsą oraz hiperbolą. Ale to już całkiem inna historia.

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s