Evangelista Torricelli: nieskończona trąba i barometr (1643-1644)

Nauka powstająca w XVII wieku była iście rewolucyjna: podważono jednocześnie niemal cały tradycyjny system myślowy, wiedzę zgromadzoną od tysiącleci. Świat materialny zmienił się niewiele od średniowiecza, choć nauczono się żeglować po oceanach i korzystać z broni palnej. Jednak technika była wciąż prymitywna, energia trudno dostępna, a większość ludzi walczyła jedynie o przetrwanie. Zanim przeobraziła się cywilizacja, należało najpierw przebudować zawartość głów. Postęp pojęciowy jest zawsze niezmiernie trudny, trzeba pokonać własne nawyki myślowe, wyciągnąć wnioski z nowych założeń, niewielu ludzi potrafi żyć wśród tymczasowych koncepcji i bez żalu porzucać je na rzecz innych, nowych, lepiej opisujących wymykającą się rzeczywistość. M.in. dlatego niewielu jest einsteinów na świecie, mimo że nie brak ludzi bardzo inteligentnych i utalentowanych.

Evangelista Torricelli określany jest często jako uczeń Galileusza. W istocie był bardziej uczniem Benedetta Castellego, wiernego przyjaciela i okazjonalnie współpracownika mistrza z Florencji. Ze starym, niewidomym już uczonym spędził ledwie kilka miesięcy: od października 1641 r. do stycznia roku następnego, gdy Galileusz zmarł. Torricelli był już wtedy po trzydziestce i był ukształtowanym uczonym w duchu archimedesowym, gdzieś między matematyką a inżynierią i eksperymentem. Odziedziczył po Galileuszu stanowisko matematyka przy księciu Toskanii. Galileusz był także nadwornym filozofem, czyli fizykiem i astronomem, ale w owej chwili, dziesięć lat po wyroku inkwizycji, lepiej było nie kłuć w oczy władz kościelnych. Sławnego uczonego pochowano w nieoznaczonym grobie i musiało minąć sto lat, nim pozwolono na postawienie tablicy nagrobnej. Torricelli w roku 1643 stał się sławny w całej uczonej Europie dzięki rozważaniom na temat pewnej nieskończonej bryły, która miała skończoną objętość. Przypominała ona wnętrze trąby.

tromba

Bryła Torricellego powstaje z obrotu hiperboli (równobocznej) wokół jednej z asymptot. Wycinamy z niej tylko część zaznaczoną na rysunku: mamy zwężającą się, nieskończenie długą trąbę. Torricelli wykazał, że pole powierzchni takiej trąby jest nieskończone, lecz objętość jest skończona. Oszacujemy tę objętość. Dzielimy naszą bryłę na cylindryczne cienkie powłoki: leżą one jedna wewnątrz drugiej jak składany tubus. Pole podstawy takiej powłoki (wydrążonego walca) równe jest 2\pi r dr, co jest iloczynem długości okręgu i grubości naszej powłoki dr. Objętość wydrążonego walca o takiej podstawie  i wysokości h(r) możemy łatwo oszacować z góry:

dV=2\pi r dr h(r) < 2 \pi r dr \dfrac{a^2}{r}=2 \pi a^2 dr.

Zatem suma objętości wszystkich wydrążonych walców jest mniejsza niż 2\pi a^2 R, gdzie R to największy promień przekroju poprzecznego trąby. Torricelli obliczył tę objętość, stosując metodę Cavalieriego, a także przeprowadzając dowód w duchu Archimedesa. Paradoksalny wynik wzbudził zainteresowanie i komentowali go najwięksi matematycy epoki: jeśli był prawdziwy, granice matematyki matematyki zostały poszerzone.

W roku następnym został Torricelli odkrywcą barometru. Tak się zwykle mówi, bardzo upraszczając całą sprawę. On sam nie uznawał siebie za wynalazcę takiego przyrządu ani nad nim jakoś szczególnie nie pracował. Dopiero później urządzenie takie zaczęto nazywać barometrem i traktować jako przyrząd służący do pomiaru ciśnienia atmosferycznego. Torricelli niczego nie mierzył w sposób ciągły, lecz uważał swoje doświadczenie za rodzaj filozoficznego (tj. naukowego) pokazu. Chodziło w nim o istnienie próżni. Natura abhorret vacuum – natura nie znosi próżni – mawiali filozofowie scholastyczni, czerpiąc to twierdzenie od Arystotelesa. Wiadomo było z praktycznych doświadczeń inżynierów, iż nie można wciągnąć wody w rurze wyżej niż na 18 łokci. Galileusz objaśniał to siłami spoistości wody: gdy wysokość jej słupa przekracza owe 18 łokci, słup rozrywa się pod własnym ciężarem, tak jak rozerwałaby się pod własnym ciężarem dostatecznie długa kolumna z marmuru zawieszona od góry. Torricelli sądził inaczej, uważał, że słup cieczy równoważony jest ciśnieniem zewnętrznym. A skoro chodzi o równowagę, to zamiast 18 łokci wody wystarczy 5/4 łokcia i jeden cal żywego srebra (rtęci) – gdyż jego ciężar właściwy jest kilkanaście razy większy. Wystarczy wziąć szklaną rurkę długości, powiedzmy, dwóch łokci, zatopioną z jednej strony i nalać do niej rtęci. Następnie zatykamy rurkę palcem i odwracamy zatopioną częścią do góry, po czym wkładamy rurkę do naczynia z rtęcią (nikt w XVII wieku nie rozumiał, jak się zdaje, jak szkodliwe może być takie nieostrożne manipulowanie rtęcią, Newton żartował sobie, że posiwiał wcześnie z powodu używania rtęci w doświadczeniach alchemicznych, naprawdę chyba się tym jednak nie przejmował).

torr

Uczony sądził, że nad rtęcią tworzy się próżnia. A więc łatwo jest ją wytworzyć i natura się jej nie lęka. O swoich doświadczeniach napisał do Michelangela Ricciego w czerwcu 1644 roku. Pokazywał je też ojcu Marinowi Mersenne’owi, który spełniał w owych czasach rolę serwera pocztowego dla środowiska uczonych, gdy ten odwiedził go we Florencji. Nie słychać, aby Torricelli zamienił swoją odwróconą rurkę na stały przyrząd, który można z dnia na dzień obserwować. Spodziewał się chyba, że zmiany ciśnienia atmosferycznego będą większe, niż są w rzeczywistości. W tym samym liście pisał, iż żyjemy na dnie oceanu powietrza – coś podobnego sugerował kilkanaście lat wcześniej Giovanni Battista Baliani w liście do Galileusza. Torricelli mógł o takim poglądzie słyszeć. Tak czy owak nie zajmował się sprawą dłużej, dopiero kilka lat później stała się ona europejską sensacją, gdy doświadczenia podobne zaczęto powtarzać w różnych krajach, a przede wszystkim we Francji, a zagadnieniem ciśnienia atmosferycznego i istnienia próżni zajął się m.in. Blaise Pascal. Dla jego analitycznego i skłonnego do paradoksów umysłu pogląd, który przeczył jednocześnie scholastykom i „nowoczesnemu” Kartezjuszowi, musiał wydawać się wielce interesujący. Torricelli zmarł młodo, w roku 1649, i nie dożył czasów, w których uznano go za „odkrywcę barometru”. Zapewne byłby zdziwiony, że ten maleńki fragment jego naukowego dorobku doczekał się takiej sławy, podczas gdy o reszcie mało kto dziś pamięta.

List Torricellego do Ricciego.

Jego angielski przekład

 

Reklamy

Parabola, sounding-board i piękno geometrii

Wielka Brytania ma do dziś znakomitą tradycję uprawiania nauki za stosunkowo niewielkie pieniądze. Royal Society i inne uczone towarzystwa były długo organizacjami zrzeszającymi amatorów na równi z zawodowcami. Sprawiało to, że rozmaite dziwne eksperymenty czy obserwacje osobliwości sąsiadowały w angielskich czasopismach z rzetelnymi osiągnięciami profesjonalistów. Przynajmniej jednak za dziwactwa te rząd Jego/Jej Królewskiej Mości nie musiał wypłacać wysokich apanaży czy to w formie pensji, czy grantów na dogłębne studia nad niczym.

W 1826 roku zbudowano w Attercliffe koło Sheffield niewielki kościół. Okazało się, że występował w nim silny pogłos i choć dźwięk mowy pastora był dobrze słyszalny, to zamazany i niewyraźny. Standardowym sposobem wzmacniania dźwięku idącego od ambony do wiernych była drewniana płyta, sounding-board, umieszczana zwykle poziomo nad amboną. Odbijała ona część dźwięku w stronę publiczności. Określenie sounding-board do dziś zresztą funkcjonuje w angielszczyźnie, lecz głównie w sensie przenośnym. W Attercliffe tego rodzaju rozwiązanie nie pomogło. Toteż wielebny John Blackburn, który studiował w St. John’s College w Cambridge, sięgnął po rozwiązanie znane z geometrii od czasów starożytnych. Wiadomo, że paraboloida – powierzchnia powstająca przy obrocie paraboli wokół osi – ma własność ogniskowania promieni w jednym punkcie. Może więc także służyć jako reflektor, gdy w ognisku umieścimy źródło naszych promieni. John Blackburn obudował więc ambonę w taki sposób, że mówca znajdował się w jej ognisku, a dźwięk rozchodził się na wnętrze kościoła.

Efekty były znakomite, wielebny Blackburn opisał ze szczegółami swą konstrukcję w „The Philosophical Magazine” w roku 1829. Podobnego rozwiązania używa się do dziś, np. w mikrofonach parabolicznych zbierających dźwięk z jakiegoś kierunku i umożliwiających słuchanie rozmów ze sporej odległości.

512px-parabolicmicrophone

Innych przykładów dostarczają wszelkie teleskopy optyczne i radiowe, tu np. gigantyczny radioteleskop w Arecibo, za pomocą którego Aleksander Wolszczan odkrył pierwsze planety poza Układem Słonecznym (a macierzysty UMK zerwał z nim współpracę, bo uczony kiedyś spotykał się z jakimiś agentami SB – co godne i sprawiedliwe, a także słuszne i zbawienne – wszak mamy tylu uczonych, którzy z nikim się nie spotykali oraz niczego nie odkryli).

telescopio_arecibo_thumb

Z jakichś powodów, znanych wyłącznie wysokim komisjom ds. programów nauczania, nie uczy się w szkole nic ponadto, że parabola to wykres funkcji kwadratowej, np. y=ax^2. W sposób naturalny pojawia się ta krzywa w rzutach (gdy opór powietrza jest do pominięcia). Np. w rzucie poziomym ciało przesuwa się poziomo wciąż z tą samą prędkością początkową v, spadając jednocześnie pionowo z przyspieszeniem ziemskim g. Mamy więc dwa równania: w kierunku poziomym x położenie jest proporcjonalne do czasu, a w kierunku pionowym y – do kwadratu czasu (oś y kierujemy w dół).

\left\{ \begin{array}{l}  x=vt\\  y=\dfrac{gt^2}{2} \end{array} \right.\quad \Rightarrow \quad y=\left(\dfrac{g}{2v^2}\right)x^2=ax^2

Dokładnie tyle potrafił udowodnić Galileusz na temat rzutów (miał techniczny problem z rzutami ukośnymi, nie było jeszcze geometrii analitycznej). Rzut poziomy można zilustrować pokazem, przedstawiony zabytkowy przyrząd pochodzi z Teylers Museum w Haarlemie.

large1

Kulka stacza się po łuku z lewej strony i następnie przelatuje przez kolejne pierścienie rozmieszczone zgodnie z równaniem paraboli.

Pokażemy, że kształt paraboliczny może ogniskować promienie w jednym punkcie. Starożytni, którzy nie znali algebry, definiowali parabolę inaczej: jest to zbiór punktów równoodległych od pewnej zadanej prostej (fioletowa na rysunku)oraz od pewnego punktu F.

parabola

Łatwo pokazać, jak można konstrukcyjnie wyznaczyć punkty paraboli. Zaczynamy od P’. Wystawiamy z tego punktu prostopadłą do naszej poziomej prostej (zwanej kierownicą) oraz budujemy dwusieczną odcinka FP’: XP. Szukany punkt P paraboli leży na przecięciu obu prostych i spełnia warunki definicji paraboli. Z konstrukcji tej wynika też, że kąty FPX oraz XPP’ są równe, więc promień biegnący pionowo z góry do P odbije się w kierunku F. Ponieważ dotyczy to każdego promienia biegnącego wzdłuż osi, więc wszystkie one przetną się w F (zwanym ogniskiem).

Łatwo też pokazać, że tak wyznaczona krzywa spełnia algebraiczne równanie paraboli. Niech ognisko znajduje się w punkcie (0,f) układu współrzędnych, kierownica zaś ma równanie y=-f (na rysunku f=0,25). Równe odległości punktu (x,y) od kierownicy i od ogniska dają równanie

(y+f)^2=x^2+(y-f)^2 \Rightarrow y=\dfrac{x^2}{4f}.

Istnieje jeszcze inna definicja paraboli jako przecięcia stożka. Wyobraźmy sobie stożek, bierzemy płaszczyznę styczną do jednej z jego tworzących SR, a następnie przecinamy stożek inną płaszczyzną równoległą do tej pierwszej. Krzywa powstająca na przecięciu płaszczyzny z powierzchnią stożka będzie parabolą.

parabola_conic

Z rysunku odczytać możemy równanie krzywej. Zaczynając od okręgu na dole, mamy x^2=\mbox{PM}\cdot \mbox{MR} (jest to znane twierdzenie nt. wysokości trójkąta prostokątnego (u nas PLR). Ze środkowego rysunku (obie płaszczyzny są prostopadłe do rysunku) widać, że długość MR nie zależy od tego, na jakiej wysokości przetniemy stożek płaszczyzną prostopadłą do jego osi. Natomiast długość PM z twierdzenia Talesa jest proporcjonalna do y, mamy więc y\propto x^2. Ta ostatnia definicja sugeruje związek paraboli z innymi możliwymi przecięciami stożka: elipsą oraz hiperbolą. Ale to już całkiem inna historia.